文档内容
2017 年上海市杨浦区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果延长线段AB到C，使得 ，那么AC：AB等于（ ）
A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2
2．（4分）在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标
的水平距离是（ ）
A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα
3．（4分）将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（
）
A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1
C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+3
4．（4分）在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不
经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（4分）下列命题不一定成立的是（ ）
A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
B．两个等腰直角三角形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
6．（4分）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°， ，那么∠B的
度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）线段3cm和4cm的比例中项是 cm．
8．（4分）抛物线y=2（x+4）2的顶点坐标是 ．
9．（4分）函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而 ．
10．（4分）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称
轴是直线 ．
第1页（共25页）11．（4分）如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，
EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为 ．
12．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那
么S ：S 的值为 ．
△ADC △ABC
13．（4分）如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线
长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是 cm．
14．（4分）如果 + =3 ，2 ﹣ = ，那么 = （用 表示）．
15．（4分）已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α= 度．
16．（4分）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M
处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1： ．
17．（4分）用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表
格：
x … 1 2 3 4 …
y=ax2+bx+ … 0 ﹣1 0 3 …
c
那么该二次函数在x=0时，y= ．
18．（4分）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时
针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位
置，那么∠EFD的正切值是 ．
第2页（共25页）三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF= AB、过A作AG∥BC交
CF的延长线于点G．
（1）设 = ， = ，试用向量 和 表示向量 ；
（2）在图中求作向量 与 的和向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
20．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．
21．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角
∠DBC的正弦值为 ．
求：（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积．
22．（10分）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位
于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻
沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，
第3页（共25页）试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG
与CD相交于点F．
（1）求证：AC2=AD•AB；
（2）若 = ，求证：CG2=DF•BG．
24．（12分）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点
为D，它的对称轴与x轴交点为M．
（1）求点D、点M的坐标；
（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a
的值．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与
第4页（共25页）B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点
F，交边AC于点E．
（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；
（2）连接FP，设CP=x，S =y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
△MPF
（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请
证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．
第5页（共25页）2017 年上海市杨浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果延长线段AB到C，使得 ，那么AC：AB等于（ ）
A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2
【考点】ID：两点间的距离．
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【分析】作出图形，用AB表示出AC，然后求比值即可．
【解答】解：如图，∵BC= AB，
∴AC=AB+BC=AB+ AB= AB，
∴AC：AB=3：2．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，用AB表示出AC是解题的关键，作出图形更形
象直观．
2．（4分）在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标
的水平距离是（ ）
A．100tanα B．100cotα C．100sinα D．100cosα
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义直接进行解答即可．
【解答】解：∵∠BAC=α，BC=100m，
∴AB=BC•cotα=100cotαm．
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意画出图形，
第6页（共25页）利用数形结合求解是解答此题的关键．
3．（4分）将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（
）
A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1
C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位，可得y=2（x﹣1﹣2）2+3，即
y=2（x﹣3）2+3，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”
直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．（4分）在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a＞0，b＜0，c＞0，那么它的图象一定不
经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【分析】根据已知条件“a＞0，b＜0，c＞0”判断出该函数图象的开口方向、与x和
y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象
限．
【解答】解：①∵a＞0、c＞0，
∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；
②∵a＞0，b＜0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴是x=﹣ ＞0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；
综合①②，二次函数y=ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y=ax2+bx+c系数
符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的
个数．
第7页（共25页）5．（4分）下列命题不一定成立的是（ ）
A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
B．两个等腰直角三角形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据相似三角形的判定定理进行判定即可．
【解答】解：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似一定成立；
两个等腰直角三角形相似一定成立；
两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似不一定成立；
各有一个角等于100°的两个等腰三角形相似一定成立，
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假
命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（4分）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°， ，那么∠B的
度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据 可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大
小，即可解题．
【解答】解：∵ ，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B=∠D=60°．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性
质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
第8页（共25页）7．（4分）线段3cm和4cm的比例中项是 2 cm．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据比例中项的概念，a：b=b：c，设比例中项是xcm，则列比例式可求．
【解答】解：设比例中项是xcm，则：
3：x=x：4，
x2=12，
x=±2 ，
∵线段是正值，
∴负值舍去，
故答案为：2 ．
【点评】本题主要考查了比例线段，理解比例中项的概念，求两条线段的比例中项
的时候，应舍去负数是解答此题的关键．
8．（4分）抛物线y=2（x+4）2的顶点坐标是 （﹣ 4 ， 0 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由抛物线的解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y=2（x+4）2，
∴抛物线顶点坐标为（﹣4，0），
故答案为：（﹣4，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即
在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
9．（4分）函数y=ax2（a＞0）中，当x＜0时，y随x的增大而 减小 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由解析式可确定其开口方向，再根据增减性可求得答案．
【解答】解：
∵y=ax2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．
第9页（共25页）10．（4分）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），那么它的对称
轴是直线 x = ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据抛物线上函数值相等的点离对称轴的距离相等可求得答案．
【解答】解：
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，2）和（4，2），
∴对称轴为x= = ，
故答案为：x= ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线上函数值相等的点离对称轴
的距离相等是解题的关键．
11．（4分）如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE∥BC，
EF∥AB，DE：BC=1：3，那么EF：AB的值为 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，利用相似的性质的得 = = ，再
利用比例性质得 = ，然后证明△CEF∽△CAB，然后利用相似比可得到 的
值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
第10页（共25页）∴ = = ，
∴ = ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ = = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意
利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，
寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三
角形的性质时，主要利用相似进行几何计算．
12．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那
么S ：S 的值为 ．
△ADC △ABC
【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据梯形的性质和三角形的面积计算公式，可以解答本题．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设AD与BC间的距离为h，
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查梯形、三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需
要的条件．
13．（4分）如果两个相似三角形的面积之比是9：25，其中小三角形一边上的中线
第11页（共25页）长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是 2 0 cm．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】因为两个三角形的面积之比9：25，根据相似三角形面积比等于相似比的
平方，即可求出周长的比，又因为对应中线的比等于相似比即可求出大三角形
的中线．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：25，
∴大三角形的周长：小三角形的周长是5：3，
∵小三角形一边上的中线长是12cm，
∴12÷ =20cm，
∴大三角形对应边上的中线长是20cm．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比
的平方；（3）相似三角形对应中线的比等于相似比．
14．（4分）如果 + =3 ，2 ﹣ = ，那么 = （用 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平面向量的运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵2 ﹣ = ，
∴6 ﹣3 =3 ，
∵ + =3 ，
∴ + =6 ﹣3 ，
∴ = ．
故答案是： ．
【点评】本题考查了平面向量的运算，类似于解一元一次方程进行计算即可，比较
简单，要注意移项要变号．
15．（4分）已知α是锐角，tanα=2cos30°，那么α= 6 0 度．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
第12页（共25页）【分析】根据30°角的余弦值等于 ，正切值是 的锐角为60°解答即可．
【解答】解：∵tanα=2cos30°=2× = ，
∴α=60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、
正切值是解此类题目的关键．
16．（4分）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M
处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i=1： 2. 4 ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离正好构成一个直角三角形，先根据勾股定
理，求出水平距离，然后根据定义解答．
【解答】解：由题意得，水平距离= =12，
∴坡比i=5：12=1：2.4．
故答案为2.4
【点评】本题考查的知识点为：坡度=垂直距离：水平距离，通常写成1：n的形式，
属于基础题．
17．（4分）用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象时，列出了如下表
格：
x … 1 2 3 4 …
y=ax2+bx+ … 0 ﹣1 0 3 …
c
那么该二次函数在x=0时，y= 3 ．
【考点】H2：二次函数的图象．
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【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称
轴，利用抛物线的对称性找到当x=0时，y的值即可．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（1，0）和点（3，0），
第13页（共25页）∴对称轴为x=2，
∴当x=4时的函数值等于当x=0时的函数值，
∵当x=4时，y=3，
∴当x=0时，y=3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质，利用表格找到二次函数的对称点是
解决此题的关键．
18．（4分）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时
针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位
置，那么∠EFD的正切值是 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理求
出AH、BD、CD、AD，根据旋转变换的性质得到∠FBD=∠CBA，证明FB∥AH，根
据四点共圆得到∠EFD=∠GBD，求出tan∠GBD即可．
【解答】解：作AH⊥BC于H，延长CD交EF于G，
∵AB=AC，
∴BH=CH= BC=3，
由勾股定理得，AH= =4，
×BC×AH= ×AC×BD，即6×4=5×BD，
解得，BD= ，
∴CD= = ，AD= ，
∵∠FBD=∠CBA，
第14页（共25页）∴∠FBE=∠DBC，
∵∠DBC+∠C=90°，∠HAC+∠C=90°，
∴∠FBE=∠BAH，
∴FB∥AH，
∴∠FBC=∠AHC=90°，
∴EF∥BC，
∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA，
∴AG=AE=BE﹣AB=BC﹣AB=1，
∴DG= ，
∴∠F=∠BDC=90°，
∴F、B、D、G四点共圆，
∴∠EFD=∠GBD，
tan∠GBD= = ，
∴∠EFD的正切值是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用，
掌握旋转变换的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知△ABC中，点F在边AB上，且AF= AB、过A作AG∥BC交
CF的延长线于点G．
（1）设 = ， = ，试用向量 和 表示向量 ；
（2）在图中求作向量 与 的和向量．
第15页（共25页）（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量；N3：作图—复杂作图．
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【分析】（1）证△AGF∽△BCF得 = = ，即AG= CB，由 = （ ）
可得答案；
（2）延长CB到E，使BE=AG，连接AE，则 = ．
【解答】解：（1）∵AG∥BC，AF= AB，
∴△AGF∽△BCF， = ，
∴ = = ，即AG= CB，
∴ = （ ）= ﹣ ；
（2）如图所示，
= = ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及向量的运算、作图，熟练掌握向
量的基本运算法则是解题的关键．
20．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．
第16页（共25页）【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）求出原抛物线上x=﹣2时，y的值，若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，
﹣1），根据纵坐标的变化可得其中的一种平移方式．
【解答】解：（1）将点B（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得： ，
解得： ，
∴此抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在y=﹣x2+2x+3中，当x=﹣2时，y=﹣4﹣4+3=﹣5，
若点（﹣2，﹣5）平移后的对应点为（﹣2，﹣1），
则需将抛物线向上平移4个单位．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌
握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．
21．（10分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角
∠DBC的正弦值为 ．
求：（1）对角线BD的长；
（2）梯形ABCD的面积．
【考点】LH：梯形；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）求出△ABD∽△DCB，得出比例式，即可得出答案；
（2）过D作DE⊥BC于E，解直角三角形求出DE，根据面积公式求出即可．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△DCB，
第17页（共25页）∴ = ，
∵AD=4，BC=9，
∴BD=6；
（2）
过D作DE⊥BC于E，
则∠DEB=90°，
∵锐角∠DBC的正弦值为 ，
∴sin∠DBC= = ，
∵BD=6，
∴DE=4，
∴梯形ABCD的面积为 ×（AD+BC）×DE= ×（4+9）×4=26．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形的性质，解直角三角形等知识
点，能求出BD的长是解此题的关键．
22．（10分）如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位
于南偏西30°方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻
沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，
试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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第18页（共25页）【分析】如图，由题意，∠ABF=30°，AB=12海里，推出AF=6海里，BF=6 海里，设
货轮从出发到客轮相逢所用的时间为 t，则 AC=10t 海里，BC=14t 海里，在
Rt△BFC中，根据BF2+CF2=BC2，列出方程即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意，∠ABF=30°，AB=12海里，
∴AF=6海里，BF=6 海里，
设货轮从出发到客轮相逢所用的时间为t，则AC=10t海里，BC=14t海里，
在Rt△BFC中，∵BF2+CF2=BC2，
∴（6 ）2+（6+10t）2=（14t）2，
整理得4t2﹣5t﹣6=0，解得t=2或﹣ （舍弃），
答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间2小时．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、
速度之间的关系、勾股定理等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，学会构
建方程解决问题，属于中考常考题型．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG
与CD相交于点F．
（1）求证：AC2=AD•AB；
（2）若 = ，求证：CG2=DF•BG．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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第19页（共25页）【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结
论；
（2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出
∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线，由角平分线得出 ，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC2=AD•AB；
（2）证明：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ADF=∠ACG，
∵ = ，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF=∠CAF，
即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴CG2=DF•BG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相
似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
24．（12分）在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4ax+4a+3（a＜0）的顶点
为D，它的对称轴与x轴交点为M．
（1）求点D、点M的坐标；
（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a
的值．
第20页（共25页）【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】（1）由y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+3，可得顶点D（2，3），M（2，0）．
（2）作PN⊥DM于N．由△PDN∽△MAO，得 = = = ，因为OM=2，OA=﹣4a
﹣3，PN=1，所以P（1，a+3），DN=﹣a，根据OA=2DN，可得方程﹣4a﹣3=﹣2a，
由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y=ax2﹣4ax+4a+3=a（x﹣2）2+3，
∴顶点D（2，3），M（2，0）．
（2）作PN⊥DM于N．
∵AM∥DP，
∴∠PDN=∠AMG，
∵DG∥OA，
∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，
∵∠PND=∠AOM=90°，
∴△PDN∽△MAO，
∴ = = = ，
∵OM=2，OA=﹣4a﹣3，PN=1，
∴P（1，a+3），
∴DN=﹣a，
∵OA=2DN，
∴﹣4a﹣3=﹣2a，
第21页（共25页）∴a=﹣ ．
当点A在y的正半轴上时，如图，
∴△PDN∽△MAO，
∴ = = = ，
∵OM=2，OA=4a+3，PN=1，
∴P（3，a+3），
∴DN=﹣a，
∵OA=2DN，
∴4a+3=﹣2a，
∴a=﹣ ，
综上所述，满足条件的a的值为﹣ 或﹣ ．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、相似三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用相似三角形的性质解决问题，用
方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
第22页（共25页）25．（14分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与
B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点
F，交边AC于点E．
（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；
（2）连接FP，设CP=x，S =y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
△MPF
（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请
证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先求出CP=1，利用对称得出∠MBN=90°，BP=BP=3，最后用锐角三角
函数的定义即可；
（2）先求出FG，再利用同角的三角函数相等，得出PG，再用三角形的面积公式求
解即可；
（3）利用对称先判断出AM=AP=AN，进而得出三角形AMN是等腰直角三角形，即
可得出∠AMN=45°，得出∠AFE=∠AMB，即可判断出△AEF∽△BAM．
【解答】解：（1）如图1，连接BN，
∵点P为边BC的中点，
∴CP=BP= BC=1，
∵点P与点M关于AC对称，
∴CM=CP=1
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵点P与点N关于AB对称，
∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45°，
第23页（共25页）∴∠CBN=90°，BM=CM+BC=3
在Rt△MBN中，tanM= = ；
（2）如图2，过点F作FG⊥BC，
设PG=m，
∴BG=BP﹣PG=2﹣x﹣m，MG=MP+PG=2x+m，
在Rt△BFG中，∠FBG=45°，
∴FG=BG=2﹣x﹣m，
在Rt△FMG中，tanM= = ，
在Rt△MNB中，tanM= = ，
∴ ，
∴m= ，
∴FG=2﹣x﹣
∴y=S = MP•FG= ×2x×[2﹣x﹣ ]= （0＜x＜2）；
△MPF
（3）△AEF∽△BAM
理由：如图3，连接AM，AP，AN，BN，
∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，
∴AM=AP=AN．∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB，
∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45°，
∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2（∠PAC+∠PAB）=90°，
∴∠AMN=45°=∠ABC，
∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF，
∴∠AFE=∠AMB，
∵∠EAF=∠ABM=45°，
第24页（共25页）∴△AEF∽△BAM．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，对称的性质，
三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是得出△PFM的
边PM上高和△MAN是等腰直角三角形，是一道很好的中考常考题．
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日期：2018/12/24 0:13:36；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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