文档内容
2017 年上海市闵行区中考数学一模试卷
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的
是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
3．（4分）将二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析
式为（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣1 B．y=2（x+3）2﹣1
C．y=2x2+4 D．y=2x2﹣4
4．（4分）已知 =﹣2 （ 、 均为非零向量），那么下列判断错误的是（ ）
A．| |=2| | B．2 C． D．
5．（4分）一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平
距离x（米）的函数解析式是y=﹣ （x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离
3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的
水平距离为（ ）
A．1米 B．2米 C．4米 D．5米
6．（4分）如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分
线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
第1页（共28页）二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知：3a=2b，那么 = ．
8．（4分）计算：（ + ）﹣（ ﹣2 ）= ．
9．（4分）如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，
那么实际距离500km的两地在地图上的图距是 cm．
10．（4分）二次函数y=﹣ x2+5的图象的顶点坐标是 ．
11．（4分）已知抛物线y=x2﹣4x+3，如果点P（0，5）与点Q关于该抛物线的对称轴
对称，那么点Q的坐标是 ．
12．（4分）已知两个相似三角形的面积之比是1：4，那么这两个三角形的周长之
比是 ．
13．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= ，那么AB= ．
14．（4分）已知一斜坡的坡度i=1：2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为
米（精确到0.1米）
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE，交对角线AC
于点F，如果 = ，CD=6，那么AE= ．
16．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶
点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点
所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是 ．
第2页（共28页）17．（4分）2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高
度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度 263米的东
方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是 22.3°．已知东方明珠与上
海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为 米
（精确到1米）．（参考数据：sin22.3°≈0.38，cos22.3°≈0.93．tan22.3°≈0.41）
18．（4分）如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D在边BC上，将△ABD
沿着直线AD翻折，点B落在点B 处，如果B D⊥AC，那么BD= ．
1 1
三.解答题（共7题，满分78分）
19．（10分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），
B（2，﹣3），C（0，﹣3）
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，设 = ， = ．
（1）填空：向量 = ．（用向量 ， 的式子表示）．
（2）在图中作出向量 在向量 ， 方向上的分向量（不要求写作法，但要指出
所作图中表示结论的向量）．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于
第3页（共28页）E，点F是DE延长线上一点，联结AF．
（1）如果 = ，DE=6，求边BC的长；
（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．
22．（10分）如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米
的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰
角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1
米）参考数据 ≈1.41， ≈1.73．
23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结
DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且 = ．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AD2=DG•DE，求证： = ．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+mx+n的图象
经过点A（3，0），B（m，m+1），且与y轴相交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；
第4页（共28页）（2）求∠CAD的正弦值；
（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P的坐标．
25．（14分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC= ．点E为
线段BD上任意一点（点E与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于
点F，连接CE．设BE=x，y= ．
（1）求BD的长；
（2）如果BC=BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
第5页（共28页）2017 年上海市闵行区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形对应边对应成比例作答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC， ，
∴ = ，选项A、B、D正确；选项C错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质、平行线分线段成比例定理．找准相似
三角形对应边是解题的关键．
2．（4分）在 Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角比正确的
是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】利用三角函数的定义解答即可．
【解答】解：因为 ， ， ， ，
故选：B．
【点评】此题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答．
3．（4分）将二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3个单位后所得图象的函数解析
式为（ ）
A．y=2（x﹣3）2﹣1 B．y=2（x+3）2﹣1
第6页（共28页）C．y=2x2+4 D．y=2x2﹣4
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次函数的系数可得新二次函数
解析式．
【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，﹣1），二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3
个单位，
∴新抛物线的解析式为（0，﹣4），
∴二次函数y=2x2﹣1的图象向下平移3个单位后所得函数的解析式是 y=2x2﹣
4．
故选：D．
【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：抛物线的平移，看顶点的平
移即可；平移不改变二次函数的系数．
4．（4分）已知 =﹣2 （ 、 均为非零向量），那么下列判断错误的是（ ）
A．| |=2| | B．2 C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法
在选择题中的应用．
【解答】解：A、| |=1，2| |=2，则| |=2| |，故该选项判断正确；
B、由 =﹣2 得到 ∥ ，且 +2 =﹣ ，故该选项判断错误；
C、由 =﹣2 得到 ∥ ，故该选项判断正确；
D、由 =﹣2 |，则 ≠ ，故该选项判断正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
5．（4分）一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平
距离x（米）的函数解析式是y=﹣ （x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离
3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的
水平距离为（ ）
A．1米 B．2米 C．4米 D．5米
第7页（共28页）【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】令y=3.05得到关于x的二元一次方程，然后求得方程的解可得到问题的
答案．
【解答】解：令y=3.05得：﹣ （x﹣2.5）2+3.5=3.05，
解得：x=4或x=1（舍去）．
所以运行的水平距离为4米．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，将函数问题转化为方程问题是解题
的关键．
6．（4分）如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分
线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【解答】解：∵∠BAD=∠C，
∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA．故C正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．
故选：A．
第8页（共28页）【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还
要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．
二.填空题（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知：3a=2b，那么 = ﹣ ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】由3a=2b，可得 = ，可设a=2k，那么b=3k，代入 ，计算即可求解．
【解答】解：∵3a=2b，
∴ = ，
∴可设a=2k，那么b=3k，
∴ = =﹣ ．
故答案为﹣ ．
【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题，利用设“k”法比较简单．
8．（4分）计算：（ + ）﹣（ ﹣2 ）= ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平面向量的加法运算律进行计算即可．
【解答】解：（ + ）﹣（ ﹣2 ）
=（ ﹣ ） +（1+2） ，
= ．
故答案是： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握平面向量的加法运
算定律的应用．
9．（4分）如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，
那么实际距离500km的两地在地图上的图距是 10 0 cm．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】先设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，根据图上距离比上
第9页（共28页）实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，解即可．
【解答】解：设实际距离500km的两地在地图上的图距是xcm，则
4：2000000=x：50000000，
解得x=100．
故答案是100．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变得出等式．
10．（4分）二次函数y=﹣ x2+5的图象的顶点坐标是 （ 0 ， 5 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：
∵y=﹣ x2+5，
∴抛物线顶点坐标为（0，5），
故答案为：（0，5）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在
y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
11．（4分）已知抛物线y=x2﹣4x+3，如果点P（0，5）与点Q关于该抛物线的对称轴
对称，那么点Q的坐标是 （ 4 ， 5 ） ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】首先确定抛物线的对称轴，然后根据对称点的性质解题即可．
【解答】解：∵y=x2﹣4x+3的对称轴为x=2
∴点P（0，5）关于该抛物线的对称轴对称点Q的坐标为（4，5），
故答案为：（4，5）
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是了解对称点的性质．
12．（4分）已知两个相似三角形的面积之比是1：4，那么这两个三角形的周长之
比是 1 ： 2 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】由两个相似三角形的面积比是1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比
的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可
求得它们的周长比．
第10页（共28页）【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴这两个相似三角形的相似比是1：2，
∴它们的周长比是1：2．
故答案为：1：2．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似三
角形的面积比等于相似比的平方与相似三角形周长的比等于相似比性质的应
用．
13．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= ，那么AB= 9 ．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出AB的值．
【解答】解：∵sinA= ，
∴AB= =9，
故答案为：9
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题型．
14．（4分）已知一斜坡的坡度i=1：2，高度在20米，那么这一斜坡的坡长约为
44.7 米（精确到0.1米）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据题意画出图形，由斜坡的坡度i=1：2可设BC=x，则AC=2x，由勾股定理
得出AB的长，再由BC=20米即可得出结论．
【解答】解：如图，∵斜坡的坡度i=1：2，
∴设BC=x，则AC=2x，
∴AB= = = x，
∴ = ．
∵BC=20米，
∴ = ，解得x=20 ≈44.7（米）．
故答案为：44.7．
第11页（共28页）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题，熟记锐角三角函数
的定义是解答此题的关键．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE，交对角线AC
于点F，如果 = ，CD=6，那么AE= 4 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由 = 推出AF：FC=2：3，由四边形 ABCD是平行四边形，推出
CD∥AB，推出 = = ，由此即可解决问题．
【解答】解：∵ = ，
∴AF：FC=2：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△AEF∽△CDF，
∴ = = ，
∵CD=6，
∴AE=4，
故答案为4．
第12页（共28页）【点评】本题考查相似三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵
活应用所学知识解决问题，求出AF：CF的值是关键，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶
点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点
所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是 △ CDB ．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】连接BC、BD，由正方形的性质得出∠BCD=∠QOP，由勾股定理得：OP=BC=
，证出 ，得出△OPQ∽△CDB即可．
【解答】解：与△OPQ相似的是△BCD；理由如下：
连接BC、BD，如图所示：
则∠BCD=90°+45°=135°=∠QOP，
由勾股定理得：OP=BC= ，
∵OQ=2，CD=1，
∴ ，
∴△OPQ∽△CDB；
故答案为：△CDB．
第13页（共28页）【点评】本题考查了相似三角形的判定定理、正方形的性质以及勾股定理；熟练掌
握相似三角形的判定定理和勾股定理是解决问题的关键．
17．（4分）2016年3月完工的上海中心大厦是一座超高层地标式摩天大楼，其高
度仅次于世界排名第一的阿联酋迪拜大厦，某人从距离地面高度 263米的东
方明珠球体观光层测得上海中心大厦顶部的仰角是 22.3°．已知东方明珠与上
海中心大厦的水平距离约为900米，那么上海中心大厦的高度约为 63 2 米
（精确到1米）．（参考数据：sin22.3°≈0.38，cos22.3°≈0.93．tan22.3°≈0.41）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】先根据 Rt△ACE 中，∠AEC=90°，∠CAE=22.3°，AE=900，求得
CE=AE×tan22.3°=900×0.41≈ 369 米 ， 再 根 据 AB=DE=263 米 ， 求 得
CD=CE+DE=369+263=632米．
【解答】解：如图所示，在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAE=22.3°，AE=900，
∴CE=AE×tan22.3°=900×0.41≈369米，
∵AB=DE=263米，
∴CD=CE+DE=369+263=632（米）．
故答案是：632．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的运用，解决问题的关键是作辅助线构造
直角三角形，根据直角三角形中的边角关系矩形计算求解．
18．（4分）如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D在边BC上，将△ABD
第14页（共28页）沿着直线AD翻折，点B落在点B 处，如果B D⊥AC，那么BD= 2 ﹣2 ．
1 1
【考点】KK：等边三角形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】作DE⊥AB于E，根据折叠的性质、三角形内角和定理求出∠B′AC=30°，求
出∠BAD=45°，利用锐角三角函数的概念计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由折叠的性质可知，∠B′=∠B=60°，
∵B D⊥AC，
1
∴∠B′AC=30°，
∴∠B′AB=90°，
由折叠的性质可知，∠B′AD=∠BAD=45°，
在Rt△DEB中，DE=BD×sin∠B= BD，BE= BD，
∵∠BAD=45°，DE⊥AB，
∴AE=DE= BD，
则 BD+ BD=2，
解得，BD=2 ﹣2，
故答案为：2 ﹣2．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对
称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是
解题的关键．
三.解答题（共7题，满分78分）
第15页（共28页）19．（10分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），
B（2，﹣3），C（0，﹣3）
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D是抛物线上一点，且点D的横坐标为﹣2，求△AOD的面积．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题；535：二次函数图象及其性质．
【分析】（1）把A，B，C三点坐标代入解析式求出a，b，c的值，即可求出函数解析
式；
（2）把x=﹣2代入抛物线解析式求出y的值，确定出D坐标，由OA为底，D纵坐标
绝对值为高，求出三角形AOD面积即可．
【解答】解：（1）把A（3，0），B（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y=ax2+bx+c得：
，
解得： ，
则抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）把x=﹣2代入抛物线解析式得：y=5，即D（﹣2，5），
∵A（3，0），即OA=3，
∴S = ×3×5= ．
△AOD
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本
题的关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，设 = ， = ．
（1）填空：向量 = ﹣ ．（用向量 ， 的式子表示）．
（2）在图中作出向量 在向量 ， 方向上的分向量（不要求写作法，但要指出
所作图中表示结论的向量）．
第16页（共28页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）首先利用平面向量三角形法则求得 ，然后由“E是边AC的中点”
来求向量 ；
（2）利用平行四边形法则，即可求得向量 ， 方向上的分向量．
【解答】解：（1）∵在△ABC中， = ， = ．
∴ = ﹣ = ﹣= ．
又∵E是边AC的中点，
∴ =﹣ ．
故答案是：﹣ ；
（2）如图，
过点E作EM∥AB交BC于点M．
、 即为向量 在向量 ， 方向上的分向量．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行
四边形法则的应用．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于
E，点F是DE延长线上一点，联结AF．
（1）如果 = ，DE=6，求边BC的长；
（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．
第17页（共28页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由DE与BC平行，得到两对同位角相等，进而得到三角形ADE与三角
形ABC相似，由相似得比例求出BC的长即可；
（2）由两直线平行得到一对同位角相等，再由已知角相等等量代换得到
∠FAE=∠ADF，根据公共角相等，得到三角形AEF与三角形ADF相似，由相似得
比例求出DF的长即可．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = ，
∵DE=6，
∴BC=9；
（2）∵DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∵∠B=∠FAE，
∴∠FAE=∠ADE，
∵∠F=∠F，
∴△AEF∽△DAF，
∴ = ，
∵FA=6，FE=4，
∴DF=9．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性
质是解本题的关键．
第18页（共28页）22．（10分）如图，电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，在离电线杆6米
的B处安置测角仪（点B，E，D在同一直线上），在A处测得电线杆上C处的仰
角为30°，已知测角仪的高AB=1.5米，BE=2.3米，求拉线CE的长，（精确到0.1
米）参考数据 ≈1.41， ≈1.73．
【考点】LB：矩形的性质；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过点A作AM⊥CD于点M，可得四边形ABDM为矩形，根据A处测得电线
杆上C处得仰角为23°，在△ACM中求出CM的长度，然后在Rt△CDE中求出
CE的长度．
【解答】解：过点A作AM⊥CD于点M，则
四边形ABDM为矩形，AM=BD=6米，
在Rt△ACM中，∵∠CAM=30°，AM=6米，
∴CM=AM•tan∠CAM=6× =2 （米），
∴CD=2 +1.5≈4.96（米），
在Rt△CDE中，ED=6﹣2.3=3.7（米），
∴CE= ≈6.2（米）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角
三角形，利用三角函数解直角三角形．
23．（12分）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结
DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且 = ．
第19页（共28页）（1）求证：AB∥CD；
（2）如果AD2=DG•DE，求证： = ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结
论；
（2）根据平行线的性质得到 ，根据等式的性质得到 = ，等量代换即
可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴ ，
∵ = ，
∴ ，
∴AB∥CD；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴ ，
∴ = ，
第20页（共28页）∴ = ，
∵AD2=DG•DE，
∴ = ，
∵AD∥BC，
∴ = ，
∴ = ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性
质是解题的关键．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x2+mx+n的图象
经过点A（3，0），B（m，m+1），且与y轴相交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；
（2）求∠CAD的正弦值；
（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题；KS：勾股定理的逆定理；S9：相似三角形的判定与性
质．
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【专题】15：综合题．
第21页（共28页）【分析】（1）根据二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），求得
m和n的值即可；
（2）根据A，C，D三点的坐标，求得CD= ，AC=3 ，AD=2 ，得到CD2+AC2=AD2，
根据勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，据此求得
∠CAD的正弦值；
（3）先求得直线CD为y=x+3，再设点P的坐标为（a，a+3），然后分两种情况进行讨
论：当点P在x轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E；当点P在x轴下方时，过点P
作PF⊥x轴于F，分别判定△ACD∽△AEP，△ACD∽△AFP，列出比例式求得a
的值即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（3，0），B（m，m+1），
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，顶点D的坐标为（1，4）；
（2）如图所示，在y=﹣x2+2x+3中，当x=0时，y=3，
∴C（0，3）
∵A（3，0），D（1，4），
∴CD= ，AC=3 ，AD=2 ，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴sin∠ACD= = ；
（3）∵直线CD经过C（0，3），D（1，4），
∴设可设直线CD为y=kx+b，则
，
解得 ，
第22页（共28页）∴直线CD为y=x+3，
设点P的坐标为（a，a+3），
①如图所示，当点P在x轴上方时，过点P作PE⊥x轴于E，则
PE=a+3，AE=3﹣a，
∵∠AEP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，
∴△ACD∽△AEP，
∴ = ，即 = ，
解得a=﹣ ，
∴a+3= ，
∴此时P的坐标为（﹣ ， ）；
②如图所示，当点P在x轴下方时，过点P作PF⊥x轴于F，则
PF=﹣（a+3），AF=3﹣a，
∵∠AFP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，
∴△ACD∽△AFP，
∴ = ，即 = ，
解得a=﹣6，
∴a+3=﹣3，
∴此时P的坐标为（﹣6，﹣3）；
综上所述，点P的坐标为 ．
第23页（共28页）【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、勾股定
理的逆定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解这类问题关键是作
辅助线构造相似三角形，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知
识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
25．（14分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC= ．点E为
线段BD上任意一点（点E与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于
点F，连接CE．设BE=x，y= ．
（1）求BD的长；
（2）如果BC=BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【考点】LO：四边形综合题．
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【分析】（1）过 A 作 AH⊥BD 于 H，再根据 AD∥BC，AB=AD=5，可得
∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根据tan∠ABD= ，计算出BH=DH=4，进而得
到BD=8；
第24页（共28页）（2）分两种情况用锐角三角函数计算即可得出结论．
（3）首先利用平行线的性质得出△FEB∽△CDB，即可得出y与x的函数关系式；
【解答】解：（1）如图1，过A作AH⊥BD于H，
∵AD∥BC，AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，
在Rt△ABH中，
∵tan∠ABD=tan∠DBC= ，
∴cos∠ABD= ，
∴BH=DH=4，
∴BD=8；
（2）∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，
∴①如图2，当CD=DE时，即：CD=DE=BD﹣BE=8﹣x，
过点D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，tan∠DBC= ，BD=8，
∴DG= BD= ，BG= BD= ，
∴CG=8﹣BG= ，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，DG2+CG2=CD2，
∴（ ）2+（ ）2=（8﹣x）2，
∴x=8+ （舍）或x=8﹣ ，
②如图3，当CE=CD时，
过点C作CG⊥BD，
∴DG=EG= DE，
在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC= ，
第25页（共28页）∴BG= ，
∴DG=BD﹣BG= ，
∴x=BE=BD﹣DE=BD﹣2DG= ．
（3）如图4，过点D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，tan∠DBC= ，BD=8，
∴DG= ，BG= ，
∴CG=BC﹣BG= ，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=6，
在△BCD中，BD=8，BC=10，CD=6，
∴△BCD是直角三角形，
∵EF∥CD，
∴∠BEF=∠BDC=90°，
在R△BEF中，tan∠DBC= ，BE=x，
∴BF= x
∵BC=10，
∴FC=10﹣ x，
∴ = ，
∵EF∥DC，
∴△FEB∽△CDB，
∴ =（ ）2，
第26页（共28页）∴ = •（ ）2=﹣ x2+ x（0＜x＜8）
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了锐角三角函数的定义，等腰三角形的性
质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，同高的三角形的面积的比等于底的
比，分类讨论是解本题的关键，是一道比较典型的中考常考题．
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第27页（共28页）日期：2018/12/24 0:13:04；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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