文档内容
2012年上海市闵行区中考数学三模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上】
1．（4分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A． B．0.212112… C． D．3.1415926
2．（4分）下列方程没有实数解的是（ ）
A．x4+x2＝0 B． C． D．x2﹣2x+3＝0
3．（4分）无论x取何实数，点P（x+1，x﹣1）一定不在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
4．（4分）一组数据有m个x ，n个x ，p个x ，那么这组数据的平均数为（ ）
1 2 3
A． B．
C． D．
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
6．（4分）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加
一个条件．
现有下面三种说法：
如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
如果添加条件“tanB＝tanC”，那么△ABC是等边三角形；
①
如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
②
上述说法中，正确的说法有（ ）
③
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
第1页（共25页）的相应位置上】
7．（4分）计算：a4÷a2＝ ．
8．（4分）因式分解：x3+6x2+9x＝ ．
9．（4分）方程 的解是 ．
10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根，那
么m＝ ．
11．（4分）函数 的定义域是 ．
12．（4分）二次函数y＝2x2﹣3图象的顶点坐标为 ．
13．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值
范围是 ．
14．（4分）将三块分别写有“20”，“12”，“上海”的牌子任意横着正排，恰好
排成“2012上海”或“上海2012”的概率为 ．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD．设 ， ，那么 ＝
．（结果用 、 的式子表示）
16．（4分）已知两个相似三角形的面积之比为1：2，那么这两个相似三角形的相
似比为 ．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为边AD上一点，BE＝BC．如果AB＝3，BC＝
5，那么sin∠DCE＝ ．
第2页（共25页）18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，将△BCD沿着
直线CD翻折，点B的对应点为点B′，如果B′D⊥AB，那么∠ACB′＝
度．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解不等式组 ，并求它的整数解．
21．（10分）已知：如图，AB为 O的弦，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线交
O于点C．过点C作CE⊥AO，分别与AB、AO的延长线相交于E、F两点．
⊙
⊙
CD＝8，sin∠A＝ ．
求：（1）弦AB的长；
（2）△CDE的面积．
22．（10分）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的
地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店
将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙
两店各进货多少箱饮料？
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为边AB、DC的中点，
CG∥DE，交EF的延长线于点G．
第3页（共25页）（1）求证：四边形DECG是平行四边形；
（2）当ED平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形．
24．（12分）已知：抛物线y＝x2﹣bx与x轴正半轴相交于点A，点B（m，﹣3）为抛
物线上一点，△OAB的面积等于6．
（1）求该抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）设C点为该抛物线的顶点， C的半径长为2．以该抛物线对称轴上一点P为
圆心，线段PO的长为半径作 P，如果 P与 C相切，求点P的坐标．
⊙
⊙ ⊙ ⊙
25．（14分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边
AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC＝MN．设AM
＝x．
（1）如果CD＝3，AM＝CM，求AM 的长；
（2）如果CD＝3，点N在边BC上．设CN＝y，求y与x的函数解析式，并写出函数
的定义域；
（3）如果∠ACB＝90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线
段ME的长是否会改变？说明你的理由．
第4页（共25页）第5页（共25页）2012 年上海市闵行区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上】
1．（4分）下列实数中，是无理数的为（ ）
A． B．0.212112… C． D．3.1415926
【考点】26：无理数．
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【分析】根据无理数的三种形式： 开方开不尽的数， 无限不循环小数， 含有
的数，结合选项即可得出答案．
① ② ③
【解答】解：A、 ＝3，是有理数，故本选项错误；
π
B、0.212112…，是无理数，故本选项正确；
C、 是有理数，故本选项错误；
D、3.1415926，是有理数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了无理数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的
三种形式，难度一般．
2．（4分）下列方程没有实数解的是（ ）
A．x4+x2＝0 B． C． D．x2﹣2x+3＝0
【考点】AA：根的判别式；AG：无理方程；B2：分式方程的解．
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【专题】11：计算题．
【分析】A、将方程左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0
即可求出方程的解，作出判断；
B、将方程左右两边平方转化为一个一元二次方程，求出方程的解，经检验即可得
到原方程的解，作出判断；
C、将方程左边的分子利用平方差公式分解因式，约分后得到一元一次方程，求出
第6页（共25页）一次方程的解得到x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可作出判断；
D、找出一元二次方程中的a，b及c，计算出b2﹣4ac，根据b2﹣4ac的正负即可判
断出方程是否有解．
【解答】解：A、x4+x2＝0，变形得：x2（x2+1）＝0，
解得：x＝0，本选项不合题意；
B、 ＝x，两边平方得：x+1＝x2，即x2﹣x﹣1＝0，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 不合题意，舍去，
∴x＝ ，本选项不合题意；
C、 ＝ ＝x+2＝1，
解得：x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解，本选项不合题意；
D、x2﹣2x+3＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0，
∴此方程无解，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了无理方程，根的判别式，以及分式方程的解法，在解无理方程
是最常用的方法是两边平方法及换元法．本题用的是两边平方法．
3．（4分）无论x取何实数，点P（x+1，x﹣1）一定不在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【考点】D1：点的坐标．
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【分析】先判断点P的横坐标与纵坐标的大小关系，然后根据各象限内点的坐标
特征解答．
【解答】解：∵（x+1）﹣（x﹣1）＝x+1﹣x+1＝2＞0，
∴点P的横坐标一定大于纵坐标，
第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数，
∴横坐标一定小于纵坐标，
第7页（共25页）∴点P一定不在第二象限．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，利用作差法求出点P的横坐标大于纵坐标，记住各
象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限
（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（4分）一组数据有m个x ，n个x ，p个x ，那么这组数据的平均数为（ ）
1 2 3
A． B．
C． D．
【考点】W2：加权平均数．
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【分析】只要求出所有数据的总和除以出现的次数，即可得出加权平均数．
【解答】解：依题意得，这组数据的平均数为 ．
故选：D．
【点评】本题考查了加权平均数的定义．平均数＝总数÷总个数．
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形的判定即可求出答案．
【解答】解：A，错误，等腰梯形的对角线相等，但不是矩形；
B，错误，筝形的对角线互相垂直，但不是菱形；
C，正确；
D，错误，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可以是平行四边形．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊四边形的判定方法．
6．（4分）已知：在△ABC中，∠A＝60°，如要判定△ABC是等边三角形，还需添加
一个条件．
第8页（共25页）现有下面三种说法：
如果添加条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；
如果添加条件“tanB＝tanC”，那么△ABC是等边三角形；
①
如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．
②
上述说法中，正确的说法有（ ）
③
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】KL：等边三角形的判定．
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【分析】若添加条件“AB＝AC”，得到△ABC为等腰三角形，再由∠A为60°，利
用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得证；若添加条件“tanB＝
tanC”，由B和C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值得到∠B＝∠C，
再由∠A为60°，利用三角形的内角和定理得到∠B＝∠C＝60°，即三个内角相
等，可得出三角形ABC为等边三角形，得证；若添加条件“边AB、BC上的高
相等”，如图所示，由HL判定出直角三角形ACD与直角三角形AEC全等，由
全等三角形的对应角相等得到∠ACE＝∠BAC＝60°，再利用三角形的内角和
定理得到第三个角也为60°，即三内角相等，可得出三角形ABC为等边三角形
得证，综上，正确的个数为3个．
【解答】解： 若添加的条件为AB＝AC，由∠A＝60°，
利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；
①
若添加条件为tanB＝tanC，可得出∠B＝∠C，
又∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，
②
即∠A＝∠B＝∠C，
则△ABC为等边三角形；
若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：
③
已知：∠BAC＝60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE＝CD，
求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
第9页（共25页）∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选：A．
【点评】此题考查了等边三角形的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握
等边三角形的判定是解本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算：a4÷a2＝ a 2 ．
【考点】48：同底数幂的除法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
【解答】解：原式＝a4﹣2＝a2．
故答案为：a2．
【点评】此题考查了同底数幂的除法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同
底数幂的除法法则．
8．（4分）因式分解：x3+6x2+9x＝ x （ x + 3 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：x3+6x2+9x
＝x（x2+6x+9）
＝x（x+3）2．
故答案为：x（x+3）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式
第10页（共25页）首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直
到不能分解为止．
9．（4分）方程 的解是 x ＝ 1 ， x ＝ 2 ．
1 2
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】方程两边平方，把无理方程化为整式方程，求解，然后代入被开方数进行
检验．
【解答】解：方程两边平方得，3x﹣2＝x2，
整理得，x2﹣3x+2＝0，
解得x ＝1，x ＝2，
1 2
检验：当x＝1时，3x﹣2＝3×1﹣2＝1＞0，
当x＝2时，3x﹣2＝3×2﹣2＝4＞0，
所以，原方程的解是x ＝1，x ＝2．
1 2
故答案为：x ＝1，x ＝2．
1 2
【点评】本题考查了解无理方程，（1）解无理方程的基本思想是“转化思想”，把
无理方程转化为整式方程求解．（2）解无理方程一定注意要验根，解无理方程
有时还需要利用换元思想．
10．（4分）已知关于x的方程x2﹣3x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根，那
么m＝ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△＝0，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+m＝0（m为常数）有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是根的判别式，孰知当△＝0时，一元二次方程y＝ax2+bx+c
（a≠0）有两个相等的实数根是解答此题的关键．
11．（4分）函数 的定义域是 x ≠ 4 ．
第11页（共25页）【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，即可求得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣4≠0，
解得：x≠4．
故答案是：x≠4．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12．（4分）二次函数y＝2x2﹣3图象的顶点坐标为 （ 0 ，﹣ 3 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据二次函数的顶点式，易得二次函数y＝2x2﹣3图象的顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝2x2﹣3图象的顶点坐标为（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若顶点坐标为
（k，h），则其解析式为y＝a（x﹣k）2+h．
13．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值
范围是 x ＞ 2 ．
【考点】F3：一次函数的图象．
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【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】根据一次函数的图象可直接进行解答．
【解答】解：由函数图象可知，此函数是减函数，当y＝3时x＝2，
故当y＜3时，x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求出x的取值范围是解答此
题的关键．
14．（4分）将三块分别写有“20”，“12”，“上海”的牌子任意横着正排，恰好
第12页（共25页）排成“2012上海”或“上海2012”的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】用a，b，c分别代表“20”、“12”、“上海”的3张相同卡片，利用树状
图展示所有 6 种等可能的结果数，其中恰好排成“2012 上海”或“上海
2012”占2种，然后根据概率的概念计算即可．
【解答】解：用a，b，c分别代表“20”、“12”、“上海”的3张相同卡片，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果数，其中恰好排成“2012上海”或“上海2012”占2种，
所以恰好排成“2012上海”或“上海2012”的概率＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用列表法与树状图法求概念的方法：先利用列表法或树状
图法展示所有等可能的结果数 n，再找出其中某事件可能发生的可能的结果
m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率＝ ．
15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD．设 ， ，那么 ＝
．（结果用 、 的式子表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】31：数形结合．
【分析】根据BC＝2AD可得 ＝2 ， ＝ + ＝ + ，然后根据 ＝ ﹣ 计
算即可．
【解答】解：∵BC＝2AD，AD∥BC， ，
第13页（共25页）∴ ＝2 ，
∵ ＝ + ＝ + ，
∴ ＝ ﹣ ＝ + ﹣2 ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是求出 、 ，
难度一般．
16．（4分）已知两个相似三角形的面积之比为1：2，那么这两个相似三角形的相
似比为 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】直接根据相似三角形面积的比等于相似比进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：2，
∴这两个相似三角形的相似比为＝ ＝1： ．
故答案为：1： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的
平方．
17．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为边AD上一点，BE＝BC．如果AB＝3，BC＝
5，那么sin∠DCE＝ ．
【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据矩形的性质求出AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∠A＝∠D＝90°，根据勾
股定理求出AE，求出DE，再根据勾股定理求出CE，根据锐角三角函数的定义
求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∠A＝∠D＝90°，
在Rt△ABE中，BE＝BC＝5，AB＝3，由勾股定理得：AE＝4，
第14页（共25页）即DE＝5﹣4＝1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE＝ ＝ ，
即sin∠DCE＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识点，关键
是求出CE的长，通过做此题培养了学生的计算和推理能力．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，将△BCD沿着
直线CD翻折，点B的对应点为点B′，如果B′D⊥AB，那么∠ACB′＝ 4 5
度．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KP：直角三角形斜边上的中线；PB：翻折变换（折
叠问题）．
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【分析】利用翻折变换的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠B′CD，进而得出∠B＝∠3
＝ ＝67.5°，即可得出∠ACB′＝∠B′CD﹣∠4，求出即可．
【解答】解：∵将△BCD沿着直线CD翻折，点B的对应点为点B′，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠B′CD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，
∴AD＝CD＝BD，
∴∠B＝∠3，
∵B′D⊥AB，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠B＝∠3＝ ＝67.5°，
∴∠4＝90°﹣67.5°＝22.5°，
第15页（共25页）∴∠ACB′＝∠B′CD﹣∠4＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出∠4，∠B′CD的度数是
解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂和sin60°＝ 得到原式＝ ﹣1+ +2× ﹣2
，再进行分母有理化得到原式＝ ﹣1+2﹣ + ﹣2 ，然后合并同类二次
根式即可．
【解答】解：原式＝ ﹣1+ +2× ﹣2
＝ ﹣1+2﹣ + ﹣2
＝1﹣ ．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后
进行加减运算．也考查了负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
20．（10分）解不等式组 ，并求它的整数解．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后
求其整数解．
【解答】解：由 得x＜2
①
第16页（共25页）由 得x≥﹣1
∴此不等式组的解为﹣1≤x＜2
②
则整数解x＝﹣1，0，1．
【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：
同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
21．（10分）已知：如图，AB为 O的弦，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线交
O于点C．过点C作CE⊥AO，分别与AB、AO的延长线相交于E、F两点．
⊙
⊙
CD＝8，sin∠A＝ ．
求：（1）弦AB的长；
（2）△CDE的面积．
【考点】MR：圆的综合题；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）首先设 O的半径OA＝r，那么OD＝8﹣r．由OD⊥AB，得∠ADO＝
⊙
90°．于是由在Rt△AOD中，sin∠A＝ ＝ ，可得 ．继而求得r的长，
然后由垂径定理，求得弦AB的长；
（2）易证得△AOD∽△CED，然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方，求
得△CDE的面积．
【解答】解：（1）设 O的半径OA＝r，
则OD＝CD﹣OC＝8﹣r．
⊙
∵OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°．
∵在Rt△AOD中，sin∠A＝ ＝ ．
第17页（共25页）∴ ．
解得：r＝5，
∴OA＝5，OD＝3．
利用勾股定理，得：AD＝ ＝4，
∵OD⊥AB，O为圆心，
∴AB＝2AD＝8；
（2）∵CE⊥AO，
∴∠AFE＝∠CDE＝90°．
∴∠A+∠E＝90°，∠C+∠E＝90°，
∴∠A＝∠C，
又∵∠ADO＝∠CDE＝90°，
∴△AOD∽△CED．
∴ ＝ ＝ ，
∵S ＝ AD•OD＝ ×4×3＝6，
△ACD
∴S ＝4S ＝24．
△CDE △ACD
【点评】此题考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形
的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思
想的应用．
22．（10分）甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的
地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店
将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙
两店各进货多少箱饮料？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设甲店进货x箱，乙店进货（25﹣x）箱，根据甲、乙两家便利店到批发站采
购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比
乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业
第18页（共25页）额为1000元，比乙店少350元，可列方程求解．
【解答】解：设甲店进货x箱，乙店进货（25﹣x）箱（1分）
由题意可得 （4分）
x2﹣260x+2500＝0，（2分）
x ＝10；x ＝250（不符合题意，舍去）．（2分）
1 2
经检验x＝10是原分式方程的解，且符合题意，
25﹣x＝25﹣10＝15（箱）
答：甲店进货10箱，乙店进货15箱．（1分）
【点评】本题考查分式方程的应用，设出进货数，以价格差做为等量关系可列方程
求解．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为边AB、DC的中点，
CG∥DE，交EF的延长线于点G．
（1）求证：四边形DECG是平行四边形；
（2）当ED平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定；LC：矩形的判定；
LH：梯形．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）首先证明△DEF≌△CGF可得DE＝CG，再加上条件CG∥DE，可以
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形 DECG是平行四
边形．
（2）首先证明∠DEF＝∠EDF，∠FEC＝∠ECF，再证明∠EDC+∠DCE+∠DEC
＝180°，从而得到 2∠DEC＝180°进而得到∠DEC＝90°，再有条件四边形
DECG是平行四边形，
可得四边形DECG是矩形．
第19页（共25页）【解答】证明：（1）∵F是边CD的中点，
∴DF＝CF．
∵CG∥DE，
∴∠DEF＝∠CGF．
又∵∠DFE＝∠CFG，
∴△DEF≌△CGF（AAS），
∴DE＝CG，
又∵CG∥DE，
∴四边形DECG是平行四边形．
（2）∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠FDE．
∵E、F分别为边AB、DC的中点，
∴EF∥AD．
∴∠ADE＝∠DEF．
∴∠DEF＝∠EDF，
∴EF＝DF＝CF．
∴∠FEC＝∠ECF，
∴∠EDC+∠DCE＝∠DEC．
∵∠EDC+∠DCE+∠DEC＝180°，
∴2∠DEC＝180°．
∴∠DEC＝90°，
又∵四边形DECG是平行四边形，
∴四边形DECG是矩形．
第20页（共25页）【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，矩形
的判定，关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理．
24．（12分）已知：抛物线y＝x2﹣bx与x轴正半轴相交于点A，点B（m，﹣3）为抛
物线上一点，△OAB的面积等于6．
（1）求该抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）设C点为该抛物线的顶点， C的半径长为2．以该抛物线对称轴上一点P为
圆心，线段PO的长为半径作 P，如果 P与 C相切，求点P的坐标．
⊙
⊙ ⊙ ⊙
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣bx与x轴正半轴相交，得出A的坐标，求出OA的
值，再根据△OAB的面积等于6，B（m，﹣3），得出b的值，即可求出抛物线的
表达式，再根据点B（m，﹣3）在抛物线上，从而求出m的值，求出B点的坐标；
（2）把抛物线y＝x2﹣4x进行整理，得出顶点坐标和对称轴，再设出P点的坐标，
得出PO的值，再分两种情况讨论，当 P与 C外切和果 P与 C内切时，
分别求出PC的值，得出n的值，即可求出点P的坐标．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx与x轴正半轴相交于点A，
∴y＝0时，得x ＝0，x ＝b，
1 2
∴A（b，0），且b＞0，
∴OA＝b，
∵△OAB的面积等于6，B（m，﹣3），
得S ＝ 3•b＝6，
△OAB
解得：b＝4．
∴A（4，0），抛物线的表达式为y＝x2﹣4x，
第21页（共25页）∵点B（m，﹣3）在抛物线y＝x2﹣4x上，
∴m2﹣4m＝﹣3．
解得：m ＝1，m ＝3．
1 2
∴点B的坐标为（1，﹣3）或（3，﹣3）．
（2）∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线的顶点为C（2，﹣4），对称轴为直线x＝2，
设P（2，n）．即得PO＝ ，
当 P与 C相切时，有外切或内切两种情况，并且n＞﹣4．
如果 P与 C外切，那么 PC＝PO+2．
⊙ ⊙
①即得 n+ ⊙ 4＝ ⊙ +2，
解得 n＝0，
∴P（2，0）．
如果 P与 C内切，那么 PC＝PO﹣2．
②即得 n+ ⊙ 4＝ ⊙ ﹣2，
解得 n＝﹣ ，
∴P（2， ）．
∴所求点P的坐标为（2，0）、（2， ）．
【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点有抛物线的顶点公式和三角
形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，不要漏
掉．
25．（14分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边
AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC＝MN．设AM
＝x．
（1）如果CD＝3，AM＝CM，求AM 的长；
（2）如果CD＝3，点N在边BC上．设CN＝y，求y与x的函数解析式，并写出函数
第22页（共25页）的定义域；
（3）如果∠ACB＝90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线
段ME的长是否会改变？说明你的理由．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）由等腰三角形的性质可知AD＝ AB＝4，根据勾股定理可求出AC＝
5，再通过证明△ACM∽△ABC，由相似三角形的性质可得 ，进而求出
AM的长；
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．由 AM＝x，得 BM＝8﹣x，又因为∠A＝
∠B，所以△MBF∽△ACD，由相似三角形的性质可知： ，进而求出y
与x的函数解析式，并写出函数的定义域即可；
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME＝4是定值，此题要分（ⅰ）
如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上；（ⅱ）如果点N在边CB的延长
线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上两种情况讨论分别
求出ME＝4．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B．
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴ ．
由勾股定理，得 ．
∵AM＝CM，
∴∠A＝∠ACM．
第23页（共25页）即得∠ACM＝∠B．
∴△ACM∽△ABC．
∴ ．
∴ ．即得 ．
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．
由 AM＝x，得 BM＝8﹣x．
∵MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB＝∠ADC＝90°．
又∵∠A＝∠B，
∴△MBF∽△ACD．
∴ ．即得 ．
∴ ．
∴ ．
∵MC＝MN，MF⊥BC，
∴ ．
即得 ．
定义域为 ；
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME＝4．
由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°．
又∵AC＝BC，CD⊥AB，AB＝8，
第24页（共25页）∴CD＝BD＝4．
即得∠BCD＝45°．
∵MC＝MN，
∴∠MCN＝∠MNC．
∵∠MCN＝∠MCD+∠BCD，∠MNC＝∠B+∠BMN，
∴∠MCD＝∠NME．
又∵CD⊥AB，NE⊥AB，
∴∠CDM＝∠MEN＝90°．
∴△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME＝CD＝4．
（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的
延长线上．
于是，由∠ABC＝∠MNC+∠BMN＝45°，
∠BCD＝∠MCD+∠MCN＝45°，
∠MCN＝∠MNC，
得∠MCD＝∠BMN．
再由 MC＝MN，∠CDM＝∠MEN＝90°，
得△MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ME＝CD＝4．
∴由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME＝4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的运用、相似三角形的判定和性
质以及全等三角形的判定和性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性强、难
度大一道不错的中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:42:46；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
第25页（共25页）
