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2012年上海市崇明县中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（x3）3＝x6
C．x5+x5＝x10 D．（﹣ab）5÷（﹣ab）2＝﹣a3b3
2．（4分）下列根式中，与 为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）函数y＝（k﹣1）x中，如果y随着x增大而增大，那么常数k的取值范围
是（ ）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＞1 D．k≥1
4．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
6．（4分）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d
的取值范围是（ ）
A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜2
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a（a+2b）＝ ．
8．（4分）不等式组 的解集是 ．
9．（4分）因式分解：a3+a2﹣2a＝ ．
10．（4分）如果一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是
．
11．（4分）方程 的解是 ．
第1页（共27页）12．（4分）函数 的定义域是 ．
13．（4分）将抛物线：y＝x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的
抛物线是 ．
14．（4分）从1、2、3、4、5、6这六个数中任意取出一个数，取到的数能够被2整除
的概率是 ．
15．（4分）如果一斜坡的坡度为i＝1： ，某物体沿斜面向上推进了10米，那么
物体升高了 米．
16．（4分）如图，点G为△ABC的重心，MN过点G且MN∥BC，设向量 ，
，那么向量 ＝ ．（结果用 、 表示）．
17．（4分）如图， O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE
＝2，ED＝6，那么 O的半径长为 ．
⊙
⊙
18．（4分）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上
的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分41分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（10分）解方程组：
21．（5分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝
2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
第2页（共27页）（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值．
22．（2分）2011年4月，全县共有3500余名学生参加中考体育测试，为了了解九
年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测
试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A、B、C、D表
示）四个等级进行统计，并绘制成扇形图和统计表：
等级 成绩（分） 频数（人数） 频率
A 90～100 19 0.38
B 75～89 m x
C 60～74 n y
D 60以下 3 0.06
合计 50 1.00
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ，x＝ ，y＝ ；
（2）在扇形图中，C等级所对应的圆心角是 度；
（3）甲同学说：“我的立定跳远的成绩是此次抽样调查所得数据的中位数”．请
问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？ （填相应等级的字母）；
（4）如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男
生成绩等级达到优秀和良好的共有 人？
第3页（共27页）23．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交
AB于E，F在DE上，且AF＝CE＝AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
24．（4分）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7， ）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D
对称，求证：∠CFE＝∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有请求出所有符
和条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．
第4页（共27页）25．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发
沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速
度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运
动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣
BC﹣CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之
停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必
写出t的取值范围）
（2）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t
的值；若不能，请说明理由．
第5页（共27页）2012 年上海市崇明县中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（x3）3＝x6
C．x5+x5＝x10 D．（﹣ab）5÷（﹣ab）2＝﹣a3b3
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法与乘法等知识点
进行作答即可求得答案．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故A错误；
B、（x3）3＝x9，故B错误；
C、x5+x5＝2x5，故C错误；
D、（﹣ab）5÷（﹣ab）2＝﹣a5b5÷a2b2＝﹣a3b3，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数的幂的除法与乘法，积的乘方等多个运算
性质，需同学们熟练掌握．
2．（4分）下列根式中，与 为同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】先把各选项中的二次根式化为同类二次根式，再进行判断即可．
【解答】解：∵ ＝ ，
A、 ＝2与2 被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、 与2 被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、 ＝ 与2 被开方数相同，故是同类二次根式；
D、 ＝3 与2 被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
第6页（共27页）【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相
同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
3．（4分）函数y＝（k﹣1）x中，如果y随着x增大而增大，那么常数k的取值范围
是（ ）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＞1 D．k≥1
【考点】F5：一次函数的性质．
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【分析】先根据一次函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x中，如果y随着x增大而增大，
∴k﹣1＞0，解得k＞1．
故选：C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关
键．
4．（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．平行四边形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法
求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图
形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
第7页（共27页）C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定．
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【分析】A与C根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行
四边形是矩形即可判定；
B与D举反例即可判定，反例可以作图，利用数形结合思想解答．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形
是矩形；正确；
即可得C错误；
B、D、对角线互相垂直且相等的四边形可能是如图：
所以错误；
故选：A．
【点评】此题考查了：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线相等的平行
四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意当判定一个命题错
误时，举反例即可，当判定一个命题正确时，需要证明．
6．（4分）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d
的取值范围是（ ）
A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜2
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，外离，则d＞R+r；
内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，
当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；
当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．
故选：D．
【点评】本题难度中等，主要是考查圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．
第8页（共27页）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a（a+2b）＝ a 2 + 2 a b ．
【考点】4A：单项式乘多项式．
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【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积
相加计算即可．
【解答】解：原式＝a2+2ab，
故答案为：a2+2ab．
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算
时要注意符号的处理．
8．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 2 ＜ x ≤ 5 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
【解答】解：由2x＞﹣4，得x＞﹣2；
由x﹣5≤0，得x≤5，
所以不等式组 的解集是﹣2＜x≤5．
故答案为﹣2＜x≤5．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要
遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．（4分）因式分解：a3+a2﹣2a＝ a （ a + 2 ）（ a ﹣ 1 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3
项，可利用十字相乘法继续分解．
【解答】解：a3+a2﹣2a，
＝a（a2+a﹣2），
＝a（a+2）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与十字相乘法分解因式，要求灵活使用各种方法
对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式
再考虑运用十字相乘法分解．x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
第9页（共27页）10．（4分）如果一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，那么k的取值范围是 k ≤ 1
．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先根据一元二次方程x2﹣2x+k＝0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根
可知△≥0，求出k的取值范围即可．
【解答】解：由一元二次方程x2﹣2x+k＝0可知，a＝1，b＝﹣2，c＝k，
∵方程有实数根，
∴△＝b2﹣4ac≥0，即（﹣2）2﹣4k≥0，解得k≤1．
故答案为：k≤1．
【点评】本题考查的是根的判别式，根据题意得出关于k的不等式是解答此题的关
键．
11．（4分）方程 的解是 x ＝﹣ 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．
【解答】解：把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
12．（4分）函数 的定义域是 x ＞﹣ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，
就可以求解．
【解答】解：根据题意得：x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第10页（共27页）（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（4分）将抛物线：y＝x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的
抛物线是 y ＝（ x ﹣ 5 ） 2 + 2 或 y ＝ x 2 ﹣ 1 0 x +2 7 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】16：压轴题；46：几何变换．
【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析
式．
【解答】解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：
y＝（x﹣5）2+2，
将顶点式展开得，y＝x2﹣10x+27．
故答案为：y＝（x﹣5）2+2或y＝x2﹣10x+27．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接
代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
14．（4分）从1、2、3、4、5、6这六个数中任意取出一个数，取到的数能够被2整除
的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据题意，分析可得从这六个数中任意取出一个数，共6种情况，而取到
的数能够被2整除的有3种，利用概率的求法可得答案．
【解答】解：根据题意，从这六个数中任意取出一个数，共6种情况，
取到的数能够被2整除的有3种，即取到2、4、6，
故取到的数能够被2整除的概率是 ＝ ．
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）如果一斜坡的坡度为i＝1： ，某物体沿斜面向上推进了10米，那么
物体升高了 5 米．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】运用坡度的定义，即垂直高度与水平距离的比值，所以i＝tan∠ABC＝
第11页（共27页），再结合三角函数关系求出即可．
【解答】解：
∵斜坡的坡度为i＝1： ，
又∵i＝tan∠ABC＝
∴ ＝ ＝ ，
∴∠ABC＝30°，
∵某物体沿斜面向上推进了10米，即AB＝10，
∴AC＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了坡度的定义，以及锐角三角函数关系，正确的运用坡度的
定义是解决问题的关键．
16．（4分）如图，点G为△ABC的重心，MN过点G且MN∥BC，设向量 ，
，那么向量 ＝ ．（结果用 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由MN∥BC，点G为△ABC的重心，由重心的性质可得：MN：BC＝2：3，
然后由三角形法则，即可求得 的值，继而求得答案．
【解答】解：∵MN∥BC，点G为△ABC的重心，
∴MN：BC＝2：3，
∵ ， ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
第12页（共27页）∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识与三角形重心的性质．此题难度适中，注意掌
握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．
17．（4分）如图， O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE
＝2，ED＝6，那么 O的半径长为 ．
⊙
⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【专题】2B：探究型．
【分析】过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是正方形，利用
垂径定理即可求得OM，AM的长度，然后在直角△AOM中利用勾股定理即可
求得OA的长度．
【解答】解：过点O分别作AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN是矩形，连接
OA．
∵AB＝CD，AB⊥CD，
∴OM＝ON，
∴矩形OMEN是正方形．
∵CE＝2，ED＝6，
∴CD＝2+6＝8，
∵ON⊥CD
∴CN＝ CD＝4，
∴EN＝OM＝2，
同理：AM＝4．
第13页（共27页）在直角△AMO中，OA＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化
成求直角三角形的边长的计算．
18．（4分）在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上
的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为 ．
【考点】KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形．
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【专题】13：作图题；16：压轴题；35：转化思想．
【分析】如图，延长AC，做FD⊥BC交点为D，FE⊥AC，交点为E，可得四边形
CDFE是正方形，则，CD＝DF＝FE＝EC；等腰Rt△ABC中，
∠C＝90°，AC＝1，所以，可求出AC＝1，AB＝ ，又AB＝AF；所以，在直角
△AEF中，可运用勾股定理求得DF的长即为点F到BC的距离．
【解答】解：（1）如图，延长AC，作FD⊥BC交点为D，FE垂直AC延长线于点E，
∵CF∥AB，∴∠FCD＝∠CBA＝45°，
∴四边形CDFE是正方形，
即，CD＝DF＝FE＝EC，
∵在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝AF，
∴AB＝ ＝ ，
∴AF＝ ；
∴在直角△AEF中，（1+EC）2+EF2＝AF2
∴ ，
第14页（共27页）解得，DF＝ ；
（2）如图，延长BC，做FD⊥BC，交点为D，延长CA，做FE⊥CA于点E，
同理可证，四边形CDFE是正方形，
即，CD＝DF＝FE＝EC，
同理可得，在直角△AEF中，（EC﹣1）2+EF2＝AF2，
∴ ，
解得，FD＝ ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角
形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．
三、解答题（本大题共7题，满分41分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】2B：探究型．
第15页（共27页）【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝ ﹣1代入进行计
算即可．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）×
＝ ×
＝ ，
当x＝ ﹣1时，原式＝ ＝2﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．（10分）解方程组：
【考点】AF：高次方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先观察方程组中第二个等式，可以写成完全平方式的形式，把高次方程
转化成二元一次方程进行求解．
【解答】解：
由（2）式得到：（x﹣y）2＝1，
再得到x﹣y＝1或者x﹣y＝﹣1，
与（1）式组成方程组： 或
解得： ，
经检验，原方程组的解是： ， ．
【点评】本题主要考查高次方程的知识点，解答本题的关键是把二元二次方程转
第16页（共27页）化成二元一次方程进行求解，本题难度不大．
21．（5分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝
2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值．
【考点】KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理；LI：直角梯形；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）由点E，F分别为线段OA，OB的中点，根据三角形中位线的性质，可
得EF∥AB，EF＝ AB，又由AB∥CD，AB＝2CD，即可判定EF＝CD，∠OCD
＝∠OEF，∠ODC＝∠OFE，然后利用ASA，即可证得：△FOE≌△DOC；
（2）首先得出四边形DHBC为矩形，设CD＝AH＝k，则DH＝AH•tan60°，进而得
出AC，即可求得sin∠OEF的值．
【解答】证明：（1）∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF＝ AB，
∵CD＝ AB，CD∥AB，
∴EF＝CD，EF∥CD，
∴∠OEF＝∠OCD，∠ODC＝∠OFE，
在△FOE和△DOC中，
∵ ，
∴△FOE≌△DOC（ASA）；
（2）过点D作DH垂直AB，垂足为H，
第17页（共27页）∵四边形ABCD为直角梯形，
∴四边形DHBC为矩形，
∵AB＝2CD，
∴AH＝CD，
在Rt△AHD中
设CD＝AH＝k，
则DH＝AH•tan60°，
∴ ，
∴ ，
∵EF∥AB，
∴∠OEF＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，
∵ ，
∴sin∠OEF＝sin∠CAB＝ ＝ ．
【点评】此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例
定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想
的应用．
22．（2分）2011年4月，全县共有3500余名学生参加中考体育测试，为了了解九
年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测
试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A、B、C、D表
示）四个等级进行统计，并绘制成扇形图和统计表：
等级 成绩（分） 频数（人数） 频率
A 90～100 19 0.38
B 75～89 m x
第18页（共27页）C 60～74 n y
D 60以下 3 0.06
合计 50 1.00
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ 2 0 ，n＝ 8 ，x＝ 0. 4 ，y＝ 0.1 6 ；
（2）在扇形图中，C等级所对应的圆心角是 57. 6 度；
（3）甲同学说：“我的立定跳远的成绩是此次抽样调查所得数据的中位数”．请
问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？ B （填相应等级的字母）；
（4）如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男
生成绩等级达到优秀和良好的共有 39 0 人？
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图；W4：中位
数．
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【专题】27：图表型．
【分析】（1）根据B等级的人数所占的百分比为40%，总人数为50，列式计算即可
求出m的值，然后根据总人数列式计算即可求出n，再根据频率等于频数除以
总人数计算即可求出x、y；
（2）用频率乘以360°，计算即可得解；
（3）根据中位数的定义，找出第25、26两人所在的等级即可；
（4）求出A、B等级的频率，然后乘以500计算即可得解．
【解答】解：（1）m＝50×40%＝20，
n＝50﹣19﹣20﹣3＝50﹣42＝8，
＝0.4，
第19页（共27页）＝0.16，
（2）360°×0.16＝57.6°；
（3）按照成绩从低到高，第25、26两人都在B等级，
所以，落在B分数段；
（4）500×（0.38+0.4）＝500×0.78＝390人．
故答案为：（1）故答案为：20，8，0.4，0.16；（2）57.6°；（3）B；（4）390．
【点评】本题考查了频率分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，中位数的定
义，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运
用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交
AB于E，F在DE上，且AF＝CE＝AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；L6：平行四
边形的判定；L9：菱形的判定．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）证明△AEC≌△EAF，即可得到EF＝CA，根据两组对边分别相等的
四边形是平行四边形即可判断；
（2）当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．根据直角三角形的性质，即可证得AC
＝EC，根据菱形的定义即可判断．
【解答】（1）证明：由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，
∴EF∥CA，
第20页（共27页）∴∠FEA＝∠CAE，
∵AF＝CE＝AE，
∴∠F＝∠FEA＝∠CAE＝∠ECA．
在△AEC和△EAF中，
∵
∴△EAF≌△AEC（AAS），
∴EF＝CA，
∴四边形ACEF是平行四边形．
（2）解：当∠B＝30°时，四边形ACEF是菱形．
理由如下：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝ AB，
∵DE垂直平分BC，
∴∠BDE＝90°
∴∠BDE＝∠ACB
∴ED∥AC
又∵BD＝DC
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AB的中点，
∴BE＝CE＝AE，
又∵AE＝CE，
∴AE＝CE＝ AB，
又∵AC＝ AB，
∴AC＝CE，
∴四边形ACEF是菱形．
第21页（共27页）【点评】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定
定理是解题的关键．
24．（4分）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7， ）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D
对称，求证：∠CFE＝∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似？若有请求出所有符
和条件的点P的坐标；若没有，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，列方程组
求抛物线解析式；
（2）求直线AC的解析式，确定E点坐标，根据对称性求F点坐标，分别求直线
AF，CF的解析式，确定两直线与x轴的交点坐标，判断两个交点关于抛物线对
称轴对称即可；
（3）存在．由∠CFE＝∠AFE＝∠FAP，△AFP与△FDC相似时，顶点A与顶点F
第22页（共27页）对应，根据△AFP∽△FDC，△AFP∽△FCD，两种情况求P点坐标．
【解答】（1）解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝ x2﹣4x+6；
（2）证明：设直线AC的解析式y＝mx+n，
将A、C两点坐标代入，得 ，
解得 ，
∴y＝﹣ x+6，
∵y＝ x2﹣4x+6＝ （x﹣4）2﹣2，
∴D（4，﹣2），E（4，4），
∵F与E关于D对称，
∴F（4，﹣8），则直线AF的解析式为y＝﹣ x+6，CF的解析式为y＝ x﹣22，
∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（ ，0），（ ，0），
∵4﹣ ＝ ﹣4，
∴两个交点关于抛物线对称轴x＝4对称，
∴∠CFE＝∠AFE；
第23页（共27页）（3）解：存在．
设P（0，d），则AP＝|6﹣d|，AF＝ ＝2 ，
FD＝﹣2﹣（﹣8）＝6，CF＝ ＝ ，
∵∠PAF＝∠CFD，
∴点P位于点A的下方，
当△AFP∽△FDC时， ＝ ，即 ＝ ，解得d＝﹣ ，
当△AFP∽△FCD时， ＝ ，即 ＝ ，解得d＝﹣2，
∴P点坐标为（0，﹣ ）或（0，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求抛物线解析式，
根据抛物线的对称性，相似三角形的知识解题．
25．（4分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发
沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速
度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运
动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB﹣
BC﹣CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之
停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必
写出t的取值范围）
（2）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t
的值；若不能，请说明理由．
第24页（共27页）【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理；LI：直角梯形；S9：相似三角
形的判定与性质．
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【分析】（1）作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析
式；
（2）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对
应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，
由线段的对应比例关系求t．
【解答】解：（1）作QF⊥AC于点F，如图1，AQ＝CP＝t，
∴AP＝3﹣t．
由△AQF∽△ABC，BC＝ ＝4，
得 ．
∴ ．
∴在点P从C向A运动的过程中，△APQ的面积S＝ （3﹣t）• ；
（2）能．
当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．
∵DE⊥PQ，
①
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP＝90°．
由△APQ∽△ABC，得 ，
即 ．解得 ；
第25页（共27页）如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ＝90°．
②
由△AQP∽△ABC，得 ，
即 ．
解得 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，线段比的有关知识，利用二次函数的
相关知识以及实际应用相结合，同时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，
第26页（共27页）难度较大．
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日期：2018/12/26 20:42:35；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
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