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2012年上海市奉贤区中考数学三模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次根式中，属最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）若不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）在投掷一枚硬币的游戏过程中，已知“正面朝上”的概率为50%，那么
下列说法正确的是（ ）
A．投掷100次必有50次“正面朝上”
B．投掷100次可能有50次“正面朝上”
C．投掷很多次的时候，极少出现“正面朝上”
D．投掷很多次的时候，极有可能出现“正面朝上”
4．（4分）正比例函数y＝（k+1）x的图象经过第二、四象限，那么k为（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1
5．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．正多边形每个内角都相等
B．正多边形都是轴对称图形
C．正多边形都是中心对称图形
D．正多边形的中心到各边的距离相等
6．（4分）在△ABC中，AD是BC上的高，且AD＝ BC，E，F分别是AB，AC的中
点，以EF为直径的圆与BC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（a2）3÷a2＝_ ．
8．（4分）在实数范围内分解因式：x2﹣3＝ ．
第1页（共28页）9．（4分）已知函数 ，如果f（a）＝0，那么a＝ ．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那
么k ．
11．（4分）方程 的根是 ．
12．（4分）将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的
新抛物线的表达式是 ．
13．（4分）在 O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为
cm．
⊙
14．（4分）化简 的结果是 ．
15．（4分）将二元二次方程x2﹣2xy+y2＝4化为二个二元一次方程为 ．
16．（4分）如图，一座拦河大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝
5米，坡面CD的坡度i＝1： ，且BC＝CD，那么拦河大坝的高是 米．
17．（4分）某厂四月份产值是3百万元，设第二季度每个月产值的增长率相同，都
为x（x＞0），六月份的产值为y百万元，那么y关于x的关系式是： ．
18．（4分）如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边BC上，∠BAE＝25°．
把线段AE绕点A逆时针方向旋转，使点E落在边DC上，则旋转角 的度数
为 ．
α
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ．
第2页（共28页）21．（10分）平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠C、∠D的平分线分别交AD、
BC于点E、F，且AF⊥BC．
（1）求tan∠ADF；
（2）求CE的长．
22．（10分）甲，乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；
乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；
（1）将下表填完整：
身高 176 177 178 179 180
甲队（人数） 3 4 0
乙队（人数） 2 1 1
（2）甲队队员身高的平均数为 cm，乙队队员身高的平均数为 cm；
（3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由．
23．（12分）如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y＝ （x＞0）交于点B（2，
1）．过点P（a，a﹣1）（a＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y＝ （x＞0）和y＝
﹣ （x＜0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA．
第3页（共28页）24．（12分）如图，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为
直角边，向△ABC外侧作Rt△ABE和Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，
垂足分别为P、Q，
（1）若Rt△ABE和Rt△ACF都是等腰三角形，直接写出EP与FQ有怎样的数量
关系；
（2）若Rt△ABE和Rt△ACF中满足AB＝k AE，AC＝k AF时，（1）中的结论还成
立吗？若成立，请证明；若不成立，请探究EP与FQ有怎样的数量关系？
（3）若Rt△ABE和Rt△ACF中满足AB＝k AE，AC＝mAF时，连接EF交射线GA
于 点 D ， 试 探 究 ED 与 FD 有 怎 样 的 数 量 关 系 ？
25．（14分）已知： O的半径OA＝5，弦AB＝8，C是弦AB的中点，点P是射线
AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D．
⊙
（1）当点P在 O上，求OD的长．
（2）若点P在A ⊙ O的延长线上，设OP＝x， ，求y与x的函数关系式并写出自
变量x的取值范围．
（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长．
第4页（共28页）第5页（共28页）2012 年上海市奉贤区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次根式中，属最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】A、 的被开方数分子分母都乘以3，然后把根号中的分母去掉，故本选
项不是最简的；
B、27可以看作32与3的积，根据 ＝|a|即可化简，所以本选项不是最简的；
C、被开方数中有因式y3的指数为3，比根指数2大，所以本选项可以化简，不是
最简的；
D、本选项中的二次根式不能再化简，所以是最简的．
【解答】解：A、 ＝ ＝ ＝ ，故本选项错误；
B、 ＝ ＝ × ＝3 ，故本选项错误；
C、 ＝ ＝|y| ，故本选项错误；
D、 不能再化简，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题要求学生掌握最简二次根式的定义及判断方法，是一道基础题．
2．（4分）若不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．
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第6页（共28页）【分析】写出图中表示的两个不等式的解集，这两个式子就是不等式．这两个式子
组成的不等式组就满足条件．
【解答】解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的线且﹣1处是实心圆，表示x≥
﹣1；
从2出发向左画出的线且2处是空心圆，表示x＜2，所以这个不等式组为 ；
故选：C．
【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示
出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴
的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等
式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表
示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．（4分）在投掷一枚硬币的游戏过程中，已知“正面朝上”的概率为50%，那么
下列说法正确的是（ ）
A．投掷100次必有50次“正面朝上”
B．投掷100次可能有50次“正面朝上”
C．投掷很多次的时候，极少出现“正面朝上”
D．投掷很多次的时候，极有可能出现“正面朝上”
【考点】X3：概率的意义．
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【分析】根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生
的机会的大小，机会大也不一定发生．
【解答】解：
A、投掷100次必有50次“正面朝上”这种说法错误，因为50次朝上事件是随机
事件不是必然事件，故此选项错误；
B、投掷100次可能有50次“正面朝上”这种说法正确，因为50次朝上事件是有
可能发生的，故此选项正确；
C、投掷很多次的时候，极少出现“正面朝上”这种说法错误，因为投掷很多次的
时候，“正面朝上”和“反面朝上”的次数很接近，不是极少，故此选项错误；
D、投掷很多次的时候，极有可能出现“正面朝上”这种说法错误，因为投掷很多
次的时候，“正面朝上”和“反面朝上”的次数很接近，不是极有可能而是大
第7页（共28页）量，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的
区别．
4．（4分）正比例函数y＝（k+1）x的图象经过第二、四象限，那么k为（ ）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞﹣1 D．k＜﹣1
【考点】F6：正比例函数的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝（k+1）x的图象经过第二、四象限，
∴k+1＜0，解得k＜﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k
＜0时函数的图象经过二、四象限是解答此题的关键．
5．（4分）下列说法错误的是（ ）
A．正多边形每个内角都相等
B．正多边形都是轴对称图形
C．正多边形都是中心对称图形
D．正多边形的中心到各边的距离相等
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】根据正多边形的性质分别进行判断得出答案即可．
【解答】解：A、正多边形每个内角都相等，根据正多边形的定义得出此选项正确，
不符合题意；
B、正多边形都是轴对称图形，根据正多边形的性质得出，此选项正确，不符合题
意；
C、正多边形都是中心对称图形，当边数为奇数时，正多边形不是中心对称图形，
故此选项错误，符合题意；
D、根据正多边形中心为正多边形内切圆与外接圆圆心，故正多边形的中心到各
边的距离相等，此选项正确，不符合题意．
故选：C．
第8页（共28页）【点评】此题主要考查了正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
6．（4分）在△ABC中，AD是BC上的高，且AD＝ BC，E，F分别是AB，AC的中
点，以EF为直径的圆与BC的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】如图先根据中位线定理得到EF∥BC，EF＝ BC，再结合条件求出以EF
为直径的圆的圆心到直线BC的距离等于OD（平行线间的距离处处相等），从
而根据直线和圆的位置关系可知以EF为直径的圆与BC的位置关系是相切．
【解答】解：如图，
∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC，EF＝ BC，
∵AD是BC上的高，且AD＝ BC，
∴EF＝AD，
∴OD＝OA＝ AD＝ EF；
所以以EF为直径的圆的圆心到直线BC的距离等于OD
即以EF为直径的圆与BC的位置关系是相切．
故选：B．
【点评】直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来
判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则 d＞r，直线和圆相离，没有交
点； d＝r，直线和圆相切，有一个交点； d＜r，直线和圆相交，有两个交点
①
本题还要结合中位线定理和平行线间的距离处处相等来进行判断．
② ③
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（a2）3÷a2＝_ a 4 ．
第9页（共28页）【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减和幂的乘方，底数不变指数相乘
求解．
【解答】解：（a2）3÷a2，
＝a6÷a2，
＝a6﹣2，
＝a4．
故答案为：a4．
【点评】此题考查了同底数幂的除法和幂的乘方的相关运算，按先乘方后乘除的
顺序运算即可．
8．（4分）在实数范围内分解因式：x2﹣3＝ （ x + ）（ x ﹣ ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法；58：实数范围内分解因式．
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【分析】把3写成 的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【解答】解：x2﹣3＝x2﹣（ ）2＝（x+ ）（x﹣ ）．
【点评】本题考查平方差公式分解因式，把3写成 的平方是利用平方差公式的
关键．
9．（4分）已知函数 ，如果f（a）＝0，那么a＝ 1 ．
【考点】63：分式的值为零的条件；E5：函数值．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先把a代入函数关系式，再根据分式的值为0的条件求出a的值即可．
【解答】解：当x＝a时，f（a）＝ ，
∵f（a）＝0，
∴ ，解得a＝1．
故答案为：a＝1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件及函数值，根据题意列出关于a的不等
式组是解答此题的关键．
第10页（共28页）10．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那
么k ＜ 4 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根△＞0，求出k的取
值范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4k＞0，解得k＜4．
故答案为：＜4．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）中，当
△＞0时方程有两个不相等的实数根是解答此题的关键．
11．（4分）方程 的根是 x ＝﹣ 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】将方程左右两边平方，将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解
得到x的值，将x的值代入原方程检验，即可得到原方程的解．
【解答】解： ＝﹣x，
左右两边平方得：2x+3＝x2，即x2﹣2x﹣3＝0，
因式分解得：（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
将x＝3代入方程检验，不合题意，
则原方程的解为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1
【点评】此题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换
元法，本题用了平方法．
12．（4分）将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的
新抛物线的表达式是 y ＝﹣ 3 （ x + 2 ） 2 ﹣ 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】首先根据二次函数解析式写出顶点坐标，再利用平移的特点写出新的抛
物线解析式，即可求出新的抛物线．
第11页（共28页）【解答】解：∵二次函数解析式为y＝﹣3x2+1，
∴顶点坐标（0，1）
向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的点是（﹣2，﹣2），
可设新函数的解析式为y＝﹣3（x﹣h）2+k，
代入顶点坐标得y＝﹣3（x+2）2﹣2，
故答案为：y＝﹣3（x+2）2﹣2．
【点评】此题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”
直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13．（4分）在 O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为 1 0
cm．
⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB
别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出
OB的长，即为圆的半径．
【解答】解：∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴BC＝AC＝ AB＝8cm，
又OC＝6cm，
在Rt△BOC中，利用勾股定理得：OB＝ ＝10cm．
故答案为：10
【点评】此题考查了勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
14．（4分）化简 的结果是 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先去括号，然后由加法的交换律与结合律，即可得：（ + ）﹣（ +
），然后由三角形法则，即可求得答案．
第12页（共28页）【解答】解：原式＝ ﹣ + ﹣
＝（ + ）﹣（ + ）
＝ ﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握平面向量的运算法
则是解此题的关键．
15．（4分）将二元二次方程x2﹣2xy+y2＝4化为二个二元一次方程为 x ﹣ y ＝ 2 和
x ﹣ y ＝﹣ 2 ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】根据完全平方公式得出（x﹣y）2＝4，开方得出x﹣y＝±2，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣2xy+y2＝4，
（x﹣y）2＝4，
开方得：x﹣y＝±2．
故答案为：x﹣y＝2和x﹣y＝﹣2．
【点评】本题考查了解高次方程和完全平方公式，注意：x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2．
16．（4分）如图，一座拦河大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝
5米，坡面CD的坡度i＝1： ，且BC＝CD，那么拦河大坝的高是 1 5 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】12：应用题．
【分析】作DE⊥BC于E点，得到BE＝AD＝5，设BC＝CD＝x，表示出CE＝（x﹣
5）米，利用CD的坡度i＝1： ，得到DE＝ （x﹣5）米，利用在直角三角形
DEC中，DE2+EC2＝DC2得到（x﹣5）2+[ （x﹣5）]2＝x2，求得x即可．
第13页（共28页）【解答】解：作DE⊥BC于E点，
∵∠B＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE＝AD＝5，
设BC＝CD＝x
则CE＝（x﹣5）米，
∵CD的坡度i＝1： ，
∴DE：EC＝1：
∴DE＝ （x﹣5）米，
∵在直角三角形DEC中，DE2+EC2＝DC2，
∴（x﹣5）2+[ （x﹣5）]2＝x2，
解得：x＝15．
故答案为15．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的作出辅助线构造
直角三角形并利用解直角三角形的知识解决问题．
17．（4分）某厂四月份产值是3百万元，设第二季度每个月产值的增长率相同，都
为x（x＞0），六月份的产值为 y百万元，那么y关于x的关系式是： y ＝ 3
（ 1+ x ） 2 ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】六月份的产值＝四月份的产值×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：五月份的产值为3（1+x），
六月份的产值为3（1+x）2，
则y关于x的关系式是：y＝3（1+x）2．
故答案为y＝3（1+x）2．
第14页（共28页）【点评】本题考查了列一元二次方程；掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．
18．（4分）如图，已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边BC上，∠BAE＝25°．
把线段AE绕点A逆时针方向旋转，使点E落在边DC上，则旋转角 的度数
为 60 ° 或 70 ° ．
α
【考点】L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．
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【分析】连接AC，根据菱形的性质及等边三角形的判定易证△ABC是等边三角形
分两种情况： 将△ABE绕点A逆时针旋转60°，点E可落在边DC上，此时
△ABE与△ABE 重合； 将线段AE绕点A逆时针旋转70°，点E可落在边DC
①1
上，点E与点E 重合，此△AEC≌△AE C．
2 ② 2
【解答】解：连接AC．
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝60°．
本题有两种情况：
如图，将△ABE绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点E与点E 重合，此
1
时△ABE≌△ABE ，AE＝AE ，旋转角 ＝∠BAC＝60°；
① 1 1
α
∵∠BAC＝60°，∠BAE＝25°，
∴∠EAC＝35°．
②
如图，将线段AE绕点A逆时针旋转70°，使点E到点E 的位置，
2
此时△AEC≌△AE C，AE＝AE ，旋转角 ＝∠EAE ＝70°．
2 2 2
α
第15页（共28页）综上可知，符合条件的旋转角 的度数为60度或70度．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定，旋转的定义及性质．本
α
题容易漏掉第二种情况．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂和sin60°＝ 得到原式＝ ﹣1+ +2× ﹣2
，再进行分母有理化得到原式＝ ﹣1+2﹣ + ﹣2 ，然后合并同类二次
根式即可．
【解答】解：原式＝ ﹣1+ +2× ﹣2
＝ ﹣1+2﹣ + ﹣2
＝1﹣ ．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后
进行加减运算．也考查了负整数指数幂以及特殊角的三角函数值．
20．（10分）解方程： ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】可设y＝ ，则原方程可化为y+ ＝ ，整理可解出y值，然后代入
，即可求得x；
【解答】解：设y＝ ，则原方程可化为y+ ＝ ，
第16页（共28页）整理，得2y2﹣5y+2＝0，
解得y ＝2，y ＝ ，
1 2
当y＝2时，即 ＝2．解得x＝﹣4，
当y ＝ ，时，即 ＝ ．解得x＝2，
2
经检验：x＝﹣4，x＝2都是原方程的根；
∴原方程的根是x＝﹣4，x＝2．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比
较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化
注意求出方程解后要验根．
21．（10分）平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠C、∠D的平分线分别交AD、
BC于点E、F，且AF⊥BC．
（1）求tan∠ADF；
（2）求CE的长．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；
T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，∠C、∠D的平分线分别交AD、BC于
点E、F，易得△FCD与△DCE是等腰三角形，则可求得DE与FC的长，然后
由勾股定理即可求得AF的长，继而可求得tan∠ADF的值；
（2）首先连接EF，易证得平行四边形EFCD是菱形，然后由菱形的面积的求解方
法，即可求得CE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝8，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
第17页（共28页）∵∠C、∠D的平分线分别交AD、BC于点E、F，
∴∠ADF＝∠FDC，
∴∠DFC＝∠FDC，
∴FC＝DC＝5，
同理可证：DE＝DC＝5，
∴BF＝AE＝3，
∵AF⊥BC．AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF＝90°，
在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，AF＝4，
在Rt△AFD中，tan∠ADF＝ ；
（2）连接EF，
在Rt△AFD中，AF＝4，AD＝8，AF2+AD2＝FD2，
∴DF＝4 ，
∵FC＝DE＝5，
又∵AD∥BC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
又∵FC＝DC，
∴平行四边形EFCD是菱形，
∵S ＝ CE•FD＝AF•CF，
菱形EFCD
即 × •CE＝5×4，
∴CE＝2 ．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与
性质、勾股定理以及三角函数的定义等知识．此题难度适中，注意掌握数形结
第18页（共28页）合思想的应用．
22．（10分）甲，乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；
乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；
（1）将下表填完整：
身高 176 177 178 179 180
甲队（人数） 3 4 0
乙队（人数） 2 1 1
（2）甲队队员身高的平均数为 cm，乙队队员身高的平均数为 cm；
（3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由．
【考点】VA：统计表；W1：算术平均数；W7：方差．
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【专题】21：阅读型．
【分析】根据平均数和方差的概念求平均数和方差，哪支仪仗队更为整齐可通过
方差进行比较．
【解答】解：（1）
身高 176 177 178 179 180
甲队（人数） 0 3 4 3 0
乙队（人数） 2 1 4 1 2
（2） ＝ （3×177+4×178+3×179）＝178cm，
甲
＝ （2×176+1×177+4×178+1×179+2×180）＝178cm．
乙
故答案为：178；178．
（3）甲仪仗队更为整齐．
理由如下：
s 2＝ [3（177﹣178）2+4（178﹣178）2+3（179﹣178）2]＝0.6；
甲
s 2＝ [2（176﹣178）2+（177﹣178）2+4（178﹣178）2+（179﹣178）2+2（180﹣
乙
178）2]＝1.8；
第19页（共28页）故甲，乙两支仪仗队队员身高数据的方差分别为0.6和1.8，
∵s 2＜s 2
甲 乙
∴可以认为甲仪仗队更为整齐．
（也可以根据甲，乙两队队员身高数据的极差分别为2cm，4cm判断）．
【点评】本题考查了平均数和方差在现实中应用，解题的关键是需要知道方差的
定义与意义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝ （[ x ﹣
1 2 n 1
）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动
2 n
性越大，反之也成立．
23．（12分）如图，已知直线l经过点A（1，0），与双曲线y＝ （x＞0）交于点B（2，
1）．过点P（a，a﹣1）（a＞1）作x轴的平行线分别交双曲线y＝ （x＞0）和y＝
﹣ （x＜0）于点M、N．
（1）求m的值和直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）将点B（2，1）代入y＝ ，即可求出m的值，从而得到反比例函数的解
析式；将点A（1，0），点B（2，1）分别代入y＝kx+b，即可求出l的解析式；
（2）点P（a，a﹣1）（a＞1）在直线y＝2上，即可得到a﹣1＝2，从而求出a的值，得
到P点坐标，作出直线MN，连接MB、NA，即可构造三角形△PMB和△PNA，
然后根据对应线段成比例证出△PMB∽△PNA．
第20页（共28页）【解答】解：（1）由点B（2，1）在y＝ 上，有2＝ ，即m＝2．
设直线l的解析式为y＝kx+b，
由点A（1，0），点B（2，1）在y＝kx+b上，
得
解之，得 ，
∴所求直线l的解析式为y＝x﹣1．
（2）∵点P（a，a﹣1）（a＞1）在直线y＝2上，
∴P（3，2），
∴P在直线l上，是直线y＝2和l的交点，
∴根据条件得各点坐标为N（﹣1，2），M（1，2），P（3，2）．
∴NP＝3﹣（﹣1）＝4，MP＝3﹣1＝2，
AP＝ ＝ ＝2 ，BP＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝2，
在△PMB和△PNA中，∠MPB＝∠NPA，
∴△PMB∽△PNA．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，学会待定系数法以及熟悉相似三角形的
判定是解题的关键．
24．（12分）如图，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为
直角边，向△ABC外侧作Rt△ABE和Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，
垂足分别为P、Q，
（1）若Rt△ABE和Rt△ACF都是等腰三角形，直接写出EP与FQ有怎样的数量
关系；
第21页（共28页）（2）若Rt△ABE和Rt△ACF中满足AB＝k AE，AC＝k AF时，（1）中的结论还成
立吗？若成立，请证明；若不成立，请探究EP与FQ有怎样的数量关系？
（3）若Rt△ABE和Rt△ACF中满足AB＝k AE，AC＝mAF时，连接EF交射线GA
于 点 D ， 试 探 究 ED 与 FD 有 怎 样 的 数 量 关 系 ？
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得出AE＝AB，∠PEA＝∠BAG进而
得出△PEA≌△GAB，得出PE＝AG，同理可得出QF＝AG，即可得出答案；
（2）首先根据对应角∠ABG＝∠EAP，∠AGB＝∠EPA＝90°，得出
△ABG∽△EAP，进而得出△ACG∽△FAQ，即可得出 ＝ 求出EP＝FQ；
（3）由（2）可知： ＝k， ＝m，进而得出 ，再利用平行线性质得出ED与
FD的数量关系．
【解答】解：（1）结论：EP＝FQ．
理由：∵∠EAB＝90°，
∴∠EAP+∠BAG＝90°，
∵∠PEA+∠PAE＝90°，
∴∠PEA＝∠BAG，
在△PEA和△GAB中，
，
∴△PEA≌△GAB（AAS），
第22页（共28页）∴PE＝AG，
∴同理可得出：QF＝AG，
∴EP＝FQ．
（2）结论：EP＝FQ．
理由：∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE＝90°，∴∠BAG+∠EAP＝90°．
∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG＝90°，
∴∠ABG＝∠EAP．
∵∠AGB＝∠EPA＝90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴ ＝ ．
∵AB＝kAE，∴ ＝k，
同理△ACG∽△FAQ，
∴ ＝ ＝k，
∴ ＝ ．
∴EP＝FQ．
（3）结论： ．
由（2）可知：
∴ ＝k， ＝m
∴ ＝k， ＝m．
∴ ，
∵EP⊥GA，FQ⊥GA，
∴EP∥FQ．
第23页（共28页）∴ ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质
等知识，根据已知得出△ABG∽△EAP进而得出线段之间关系是解题关键．
25．（14分）已知： O的半径OA＝5，弦AB＝8，C是弦AB的中点，点P是射线
AO上一点（与点A不重合），直线PC与射线BO交于点D．
⊙
（1）当点P在 O上，求OD的长．
（2）若点P在A ⊙ O的延长线上，设OP＝x， ，求y与x的函数关系式并写出自
变量x的取值范围．
（3）连接CO，若△PCO与△PCA相似，求此时BD的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）连接BP，根据C是AB的中点，O是AP的中点，判断出点D是△ABP
的重心，然后根据三角形的重心到顶点的距离等于对边中点的距离的 2倍解
答即可；
（2）过点O作OE∥AB，交PC于点E，根据平行线分线段成比例定理表示出 、
第24页（共28页），再根据点C是AB的中点整理即可得解；
（3） 当P在AO延长线上时，根据相似三角形对应角相等可得∠PCO＝∠A，然
后求出∠PCO＝∠ABO，再根据等腰三角形三线合一的性质可得OC⊥AB，然
①
后求出∠AOC＝∠BCD，再求出△ACO和△BDC相似，然后根据相似三角形
对应边成比例列式求解即可； P在AO上时，根据△PCO与△PCA相似先判
定出CP⊥AO，利用相似三角形对应边成比例列式求出PO，过点B作BH⊥AO
②
于H，再求出OH，然后利用相似三角形对应边成比例列式求出OD，再根据
BD＝OB+OD代入数据计算即可得解．
【解答】解：（1）当P在 O上时，连接BP，
∵C是AB中点，O是AP中点，
⊙
∴点D为△ABP的重心，
∴OD＝ OB，
∵OA＝OB＝5，
∴OD＝ ×5＝ ；
（2）如图，过点O作OE∥AB，交PC于点E，
∵OE∥AB，
∴ ＝ ， ＝ ，
又∵AC＝BC，
∴ ＝ ，
即y＝ （x＞0）；
（3） 如图1，当P在AO延长线上时，
∵△PCO∽△PAC，
①
∴∠PCO＝∠A，
∵∠A＝∠ABO，
第25页（共28页）∴∠PCO＝∠ABO，
∵OA＝OB，点C是AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠PCO+∠BCD＝90°，
又∵∠A+∠AOC＝90°，
∴∠BCD＝∠AOC，
∴△ACO∽△BDC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴BD＝ ；
如图2，当P在AO上时，∵△PCO∽△PAC，
∴∠PCO＝∠A，
②
∴∠A+∠ACP＝∠PCO+∠ACP＝90°，
∴CP⊥AO，
∴△ACP∽△AOC，
∴ ＝ ，
∵AB＝8，C是AB的中点，
∴AC＝ ×8＝4，
∴ ＝ ，
解得AP＝ ，
∴PO＝AO﹣AP＝5﹣ ＝ ，
过点B作BH⊥AO于H，则OH＝PH﹣OP＝AP﹣OP＝ ﹣ ＝ ，
∵CP⊥AO，BH⊥AO，
∴PD∥BH，
第26页（共28页）∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴OD＝ ，
∴BD＝OB+OD＝5+ ＝ ，
综上所述，若△PCO与△PCA相似，此时BD的长为 或 ．
【点评】本题是圆的综合题型，主要考查了三角形的重心性质，平行线分线段成比
第27页（共28页）例定理，相似三角形的判定与性质，（1）需要熟记三角形的重心到顶点的距离
等于对边中点的距离的2倍，（2）作辅助线利用 ＝ 起到中间过渡是解题
的关键，（3）难点在于要分情况讨论．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:41:06；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第28页（共28页）
