文档内容
2013年上海市闵行区中考数学三模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次根式中，与 一定是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么下列等式成立的是
（ ）
A．|a+b|＝a+b B．|a+b|＝a﹣b C．|b﹣1|＝b﹣1 D．|a﹣1|＝1﹣a
4．（4分）数据97，101，103，98，104，103的众数、中位数分别是（ ）
A．104、103 B．103、101 C．103、102 D．103、103
5．（4分）如果某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走a米，那么他上升的高度为（
）
A． 米 B． 米 C． 米 D．3a米
6．（4分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两条对角线相等
B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直
D．两条对角线分别平分一组对角
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算：（a3）2＝ ．
8．（4分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝ ．
9．（4分）不等式组 的解集为 ．
第1页（共25页）10．（4分）已知反比例函数 ，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取
值范围是 ．
11．（4分）已知：一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣x+1，且经过点（0，﹣
4），那么这个一次函数的解析式为 ．
12．（4分）将二次函数y＝x2+2的图象沿y轴方向向下平移3个单位，则所得图象
的函数解析式是 ．
13．（4分）如果从小杰等5名学生中任选1名担任学校升旗仪式的护旗手，那么
小杰被选中的概率为 ．
14．（4分）某校九（1）班数学标准化试题测试成绩分布情况如图所示（试题共20
题，每题5分，满分100分），如果成绩为60分及60分以上为及格，那么该班
学生的及格率为 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D．设 ， ，那
么 ＝ （结果用 、 的式子表示）．
16．（4分）已知：点G为Rt△ABC的重心，D为斜边AB的中点，如果 ，
，那么线段GD的长等于 ．
17．（4分）已知：两圆的半径长分别为6和2，圆心距为1，那么这两圆的位置关系
是 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，tanB＝2，将△ABC绕点B
顺时针旋转90°后得△BDE，其中点A、C分别运动到点D、E，联结AE，AE、CB
的延长线相交于点F，那么线段AF的长等于 ．
第2页（共25页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E、F分别是BD、AC的中
点，且AB＝AD，AC＝10，sinC＝ ．求：
（1）线段EF的长；
（2）∠B的余弦值．
22．（10分）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知
药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间（t 小时）成正
比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝ （a为常数），如图所示．据图
中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范
围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入
第3页（共25页）教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
23．（12分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边
三角形．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB、AC、AD相交于点F、G、H，联
结CE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）如果AD⊥BC，求证：BC＝2FG．
24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，1）、B
（0，4）两点，M为抛物线的顶点．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）设由（1）求得的抛物线的对称轴为直线l，点A关于直线l的对称点为点C，
AC与直线l相交于点D，联结OD、OC．请直接写出C与D两点的坐标，并求
∠COM+∠DOM的度数．
第4页（共25页）25．（14分）已知：如图1，A、B是 O上两点，OA＝5，AB＝8，C是 上任意一点，
OC与弦AB相交于点D，过点C作CE⊥OB，交射线BO于点E，CE的延长线
⊙
交 O于点F，联结BC、BF、OF．
（1）如图2，当点E是线段BO的中点时，求弦BF的长；
⊙
（2）当点E在线段BO上时，设AD＝x， ＝y，求y关于x的函数解析式，并
写出这个函数的定义域；
（3）当CD＝1时，求四边形OCBF的面积．
第5页（共25页）2013 年上海市闵行区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列二次根式中，与 一定是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】先对各项进行二次根式的化简，然后找出和 的被开方数相同的选项即
可．
【解答】解：A、 与 的被开方数不相同，故本选项错误；
B、 ＝a ，与 的被开方数相同，故本选项正确；
C、 ＝2 ，与 的被开方数不相同，故本选项错误；
D、 ＝2 |a|，与 的被开方数不相同，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相
同的二次根式叫做同类二次根式．
2．（4分）一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F5：一次函数的性质．
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【分析】首先确定k，k＞0，必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到
答案．
【解答】解：∵y＝﹣2x+3中，k＝﹣2＜0，
∴必过第二、四象限，
∵b＝3，
∴交y轴于正半轴．
∴过第一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
第6页（共25页）【点评】此题主要考查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．
3．（4分）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么下列等式成立的是
（ ）
A．|a+b|＝a+b B．|a+b|＝a﹣b C．|b﹣1|＝b﹣1 D．|a﹣1|＝1﹣a
【考点】29：实数与数轴．
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【分析】本题运用实数与数轴的对应关系确定b＜0，1＞a＞0，且|b|＞1＞|a|，然后
根据绝对值的意义化简即可求解．
【解答】解：由数轴上a，b两点的位置可知b＜0，1＞a＞0，且|b|＞|a|，
A、|a+b|＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b，故本选项错误；
B、|a+b|＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b，故本选项错误；
C、|b﹣1|＝﹣（b﹣1）＝﹣b+1，故本选项错误；
D、|a﹣1|＝﹣（a﹣1）＝1﹣a，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系，解答此类题目时应先根据由数轴上
a，b两点的位置确定a，b的符号及绝对值的大小．
4．（4分）数据97，101，103，98，104，103的众数、中位数分别是（ ）
A．104、103 B．103、101 C．103、102 D．103、103
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的定义，求解即可．
【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：97，98，101，103，103，104，
则众数为：103，
中位数为： ＝102．
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数和中位数
的定义，属于基础题．
5．（4分）如果某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走a米，那么他上升的高度为（
）
第7页（共25页）A． 米 B． 米 C． 米 D．3a米
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】首先根据题意画出图形，由某人沿坡度为1：3的斜坡向上行走a米，可得
AE：CE＝1：3，AC＝a，设AE＝x米，则CE＝3x米，由勾股定理用x表示出得
AC的长，继而求得答案．
【解答】解：如图：根据题意得：AC＝a，i＝1：3，
∴i＝ ＝ ．
设AE＝x米，则CE＝3x米，
∴AC＝ ＝ x（米），
∴ x＝a，
解得：x＝ a，
∴AE＝ a米．
即他上升的高度为 a米．
故选：A．
【点评】此题考查了坡度坡角问题，难度不大，注意掌握坡度的定义及应用，掌握
数形结合思想的应用．
6．（4分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．两条对角线相等
B．两条对角线互相平分
C．两条对角线互相垂直
D．两条对角线分别平分一组对角
【考点】L8：菱形的性质；LB：矩形的性质；LE：正方形的性质．
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【分析】根据正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质以及对角线的特点分别对每
一项进行分析，即可得出答案．
第8页（共25页）【解答】解：A、菱形对角线不相等，故本选项错误；
B、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
C、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；
D、三个图形中，只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，主要是从对角线进
行分析，正方形是平行四边形得最典型的图形．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算：（a3）2＝ a 6 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】按照幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算．即（am）n＝am（n m，n是正整
数）
【解答】解：（a3）2＝a6．
故答案为：a6．
【点评】本题考查了幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am（n m，n是正整
数），牢记法则是关键．
8．（4分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝ （ x ﹣ 1+ ）（ x ﹣ 1 ﹣ ）． ．
【考点】58：实数范围内分解因式．
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【专题】44：因式分解．
【分析】先把前面两项配成完全平方式，然后根据平分差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣1，
＝x2﹣2x+1﹣2，
＝（x﹣1）2﹣2，
＝（x﹣1+ ）（x﹣1﹣ ）．
故答案为：（x﹣1+ ）（x﹣1﹣ ）．
【点评】本题考查了利用公式进行因式分解的方法：把整式先配成完全平分式或
平分差的形式，然后利用公式法进行因式分解．
9．（4分）不等式组 的解集为 1 ＜ x ＜ 2 ．
第9页（共25页）【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分．
【解答】解： ，
由 得，x＞1，
由 得，x＜2，
①
不等式组的解集为1＜x＜2．
②
故答案为1＜x＜2．
【点评】本题考查了不等式组的解集，找到不等式组解集的公共部分是解题的关
键．
10．（4分）已知反比例函数 ，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取
值范围是 k ＞ 2 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】由x＜0时，y随x的增大而减小，可知反比例函数图象在第三象限，由此
确定反比例函数的系数（k﹣2）的符号．
【解答】解：∵当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴反比例函数图象在第三象限有一支，
∴k﹣2＞0，解得k＞2，
故答案为：k＞2．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数 （k≠0），（1）k＞0，反
比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
11．（4分）已知：一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣x+1，且经过点（0，﹣
4），那么这个一次函数的解析式为 y ＝﹣ x ﹣ 4 ．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
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【分析】根据两平行直线的解析式的k值相等求出k，再把经过的点的坐标代入函
数解析式计算求出b，从而得解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣x+1，
∴k＝﹣1，
第10页（共25页）∵经过点（0，﹣4），
∴b＝﹣4，
∴这个一次函数的解析式为y＝﹣x﹣4．
故答案为：y＝﹣x﹣4．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解
题的关键．
12．（4分）将二次函数y＝x2+2的图象沿y轴方向向下平移3个单位，则所得图象
的函数解析式是 y ＝ x 2 ﹣ 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新
抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，2），沿y轴方向向下平移3个单位，那么新抛物
线的顶点为（0，﹣1）；
可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝x2﹣1．
【点评】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线
的顶点坐标．
13．（4分）如果从小杰等5名学生中任选1名担任学校升旗仪式的护旗手，那么
小杰被选中的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由从小杰等5名学生中任选1名担任学校升旗仪式的护旗手，直接利用概
率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵从小杰等5名学生中任选1名担任学校升旗仪式的护旗手，
∴小杰被选中的概率为： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）某校九（1）班数学标准化试题测试成绩分布情况如图所示（试题共20
题，每题5分，满分100分），如果成绩为60分及60分以上为及格，那么该班
学生的及格率为 93.75% ．
第11页（共25页）【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】先将每一个小组的频数相加求得该班的总人数，用总人数减去不及格人
数得出及格人数，再用及格人数除以总人数即可求得及格率．
【解答】解：由频数分布直方图可以看出：总人数＝3+12+15+9+6+3＝48人，及格
人数＝48﹣3＝45人，
所以该班学生的及格率为45÷48＝0.9375＝93.75%．
故答案为：93.75%．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和
解决问题．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D．设 ， ，那
么 ＝ （结果用 、 的式子表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根据三线合一的性质可得： ＝
＝ ，然后由三角形法则，求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴ ＝ ＝ ，
第12页（共25页）∵ ，
∴ ＝ + ＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意
掌握三角形法则的应用．
16．（4分）已知：点G为Rt△ABC的重心，D为斜边AB的中点，如果 ，
，那么线段GD的长等于 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】利用勾股定理列式求出斜边AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半求出CD，然后三角形的重心到三角形顶点的距离等于到对边中点的
距离的2倍求解即可．
【解答】解：∵AC＝ ，BC＝2 ，
∴斜边AB＝ ＝ ＝ ，
∵D为斜边AB的中点，
∴CD＝ AB＝ ，
∵点G为Rt△ABC的重心，
∴CG＝2GD，
∴GD＝ CD＝ × ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的重心，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半的性质，难点在于利用“三角形的重心到三角形顶点的距离等于到对
第13页（共25页）边中点的距离的2倍”，此内容大部分教材已经删去．
17．（4分）已知：两圆的半径长分别为6和2，圆心距为1，那么这两圆的位置关系
是 内含 ．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】针对圆心距d，以及两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系
【解答】解：∵两圆的半径分别是2和6，圆心距是1，
∴R﹣r＝4，圆心距是1，
∴R﹣r＞d，
∴这两个圆的位置关系是：内含．
故答案为：内含．
【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系，圆与圆的位置关系与圆心距数量关
系间的联系是中考热点，需重点掌握．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，tanB＝2，将△ABC绕点B
顺时针旋转90°后得△BDE，其中点A、C分别运动到点D、E，联结AE，AE、CB
的延长线相交于点F，那么线段AF的长等于 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】延长DE交AC于H点，根据正切的定义可计算出AC＝2，再根据旋转的
性质得∠CBE＝90°，∠DEB＝∠ACB＝90°，BE＝BC＝1，则四边形BCHE为正
方形，所以CH＝HE＝1，AH＝1，于是可判断△AHE为等腰直角三角形，则
△ACF为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得AF＝ AC＝2
．
【解答】解：延长DE交AC于H点，如图，
∵∠ACB＝90°，BC＝1，tanB＝2，
第14页（共25页）而tanB＝ ，
∴AC＝2BC＝2，
∵△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△BDE，
∴∠CBE＝90°，∠DEB＝∠ACB＝90°，BE＝BC＝1，
∴四边形BCHE为正方形，
∴CH＝HE＝1，
∴AH＝2﹣1＝1，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴AF＝ AC＝2 ．
故答案为2 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三
角形的判定与性质．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2F：分数指数幂；6E：零指数幂；79：二次根式的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据零指数幂、分数指数幂和分母有理化得原式＝1﹣（2﹣ ）+ +2（2
﹣ ），然后去括号后合并即可．
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣ ）+ +2（2﹣ ）
＝1﹣2+ + +4﹣2
第15页（共25页）＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在
进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、分数
指数幂．
20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】方程两边乘以x（2x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到
x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以x（2x﹣1），得（2x﹣1）2﹣3x2+2x（2x﹣1）＝0，
整理后，得5x2﹣6x+1＝0，
解得：x ＝1，x ＝ ，
1 2
经检验：x ＝1，x ＝ 是原方程的根，
1 2
则原方程的根是x ＝1，x ＝ ．
1 2
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E、F分别是BD、AC的中
点，且AB＝AD，AC＝10，sinC＝ ．求：
（1）线段EF的长；
（2）∠B的余弦值．
【考点】KQ：勾股定理；T7：解直角三角形．
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第16页（共25页）【分析】（1）连接AE，根据AB＝AD，E为BD中点，可证得AE⊥BD，然后根据F
为AC的中点，可得EF＝ AC，即可求出EF的长度；
（2）在Rt△AEC中，根据AC＝10，sinC＝ ，求出AE、EC的长度，然后根据D、E
分别为BC、BD的中点，求出BE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，继而
可求得∠B的余弦值．
【解答】解：（1）连接AE．
∵AB＝AD，E为BD的中点，
∴AE⊥BD，即得∠AEC＝90°．
又∵F是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝ AC＝5；
（2）在Rt△AEC中，
∵sinC＝ ＝ ，
∴AE＝ AC＝ ×10＝8，
∴CE＝ ＝ ＝6，
∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
又∵E为BD的中点，
∴BE＝ED＝ BD，
∵CE＝CD+ED＝2BE+BE＝6，
∴BE＝2，
∴AB＝ ＝ ＝2 ，
∴cosB＝ ＝ ＝ ．
第17页（共25页）【点评】本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半以及勾股定理的应用．
22．（10分）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知
药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间（t 小时）成正
比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝ （a为常数），如图所示．据图
中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范
围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入
教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
【考点】GA：反比例函数的应用．
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【专题】12：应用题；27：图表型．
【分析】（1）首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量
y（毫克）与时间（t 小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝
（a为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（2）根据（1）中的关系式列不等式，进一步求解可得答案．
第18页（共25页）【解答】解：（1）将点P（3， ）代入y＝ 中，
解得 ，有y＝ ，
将y＝1代入y＝ ，得
t＝ ，
所以所求反比例函数关系式为y＝ （t≥ ），
再将（ ，1）代入y＝kt，得k＝ ，
所以所求正比例函数关系式为y＝ t（0≤t＜ ）．
（2）解不等式 ＜ ，
解得t＞6，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室．
【点评】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是
确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
23．（12分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边
三角形．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB、AC、AD相交于点F、G、H，联
结CE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）如果AD⊥BC，求证：BC＝2FG．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；L7：平行四边形
第19页（共25页）的判定与性质；S4：平行线分线段成比例．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）通过全等三角形△BAD≌△CAE（SAS）的对应角相等判定∠B＝
∠ACE＝60°．则∠ACE＝∠BAC．所以根据平行线的判定知 BF∥CE．又
EF∥BC，故两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即四边形 BCEF是平
行四边形；
（2）由垂直得到直角，即由AD⊥BC，得到∠ADC＝90°．然后根据（1）中的平行线
得到∠AHE＝∠ADC＝90°．即EH⊥AD．又△ADE是等边三角形，所以EA＝
ED．AH＝DH．再根据平行线分线段成比例得到 ．即AF＝BF，同理可
得AG＝CG．故BC＝2FG．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°．
同理可知，AD＝AE，∠DAE＝60°．
即得∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即得∠BAD＝∠CAE．
∴在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴∠B＝∠ACE＝60°．
∴∠ACE＝∠BAC．
∴BF∥CE．
又∵EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
又∵EF∥BC，
∴∠AHE＝∠ADC＝90°．即EH⊥AD．
第20页（共25页）又∵△ADE是等边三角形，
∴EA＝ED．
∴AH＝DH．
∵EF∥BC，
∴ ．
∴AF＝BF，
同理可得 AG＝CG．
∴BC＝2FG．
【点评】本题综合考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以
及平行线分线段成比例等知识点，综合性比较强，需要同学们对知识有一个系
统的掌握．
24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，1）、B
（0，4）两点，M为抛物线的顶点．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）设由（1）求得的抛物线的对称轴为直线l，点A关于直线l的对称点为点C，
AC与直线l相交于点D，联结OD、OC．请直接写出C与D两点的坐标，并求
∠COM+∠DOM的度数．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）将已知两点的坐标代入的函数的解析式中求得b、c的值后配方即可
确定顶点坐标；
（2）首先确定该抛物线的对称轴，然后利用两点之间的距离公式求得OC、OE和
CE，利用勾股定理的逆定理得到∠OEC＝90°于是，由OE＝CE，得∠COE＝
第21页（共25页）45°，即得∠COM+∠DOM＝∠COE＝45°．
【解答】解：（1）由抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，1）、B（0，4）两点，
得
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+4．
由 y＝x2﹣4x+4，得 y＝（x﹣2）2．
即得该抛物线的顶点M的坐标为（2，0）．
（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线x＝2．
根据题意，C与D两点的坐标分别是C（3，1）、D（2，1）．
设点D关于x轴的对称点为点E，连接OE，CE．
则点E的坐标为E（2，﹣1），且∠DOM＝∠EOM．
利用两点间距离公式，
得 ，
，
．
∴OE＝CE，OC2＝10，OE2+CE2＝5+5＝10．
即得 OE2+CE2＝OC2．
∴∠OEC＝90°
于是，由OE＝CE，得∠COE＝45°．
即得∠COM+∠DOM＝∠COE＝45°．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析
式、勾股定理的逆定理等知识，涉及面较广，难度较大．
25．（14分）已知：如图1，A、B是 O上两点，OA＝5，AB＝8，C是 上任意一点，
OC与弦AB相交于点D，过点C作CE⊥OB，交射线BO于点E，CE的延长线
⊙
交 O于点F，联结BC、BF、OF．
（1）如图2，当点E是线段BO的中点时，求弦BF的长；
⊙
第22页（共25页）（2）当点E在线段BO上时，设AD＝x， ＝y，求y关于x的函数解析式，并
写出这个函数的定义域；
（3）当CD＝1时，求四边形OCBF的面积．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）先求出OC＝OB＝OF＝5，再根据CE⊥OB，点E是线段BO的中点，
得出EC＝EF，OE＝OB，则四边形OCBF是菱形，从而得出BF＝OC＝5；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，求出AH，再求出OH＝ ＝3，由
AD＝x，得 BD＝8﹣x，DH＝|x﹣4|，利用勾股定理得 OD＝ ＝
，再根据 ＝ 得：y＝ ；
（3）由CD＝1，得OD＝4，求出DH＝ ＝ ，BD＝4﹣ 或4+ ，再证
出△OBC≌△OBF，得出S ＝2S ，则当BD＝4+ 时，S ＝
四边形OCBF △OBC △OBD
BD•OH，
由CD＝1，OD＝4，得S ＝ S ，S ＝2S ＝ （4+ ）；当BD＝4
△OBC △OBD 四边形OCBF △OBC
﹣ 时，同理可得：S ＝2S ＝ （4﹣ ）．
四边形OCBF △OBC
第23页（共25页）【解答】解：（1）∵点C，B，F在 O上，
∴OC＝OB＝OF＝5，
⊙
∵CE⊥OB，点E是线段BO的中点，
∴EC＝EF，OE＝OB，
∴四边形OCBF是菱形，
∴△OBC是等边三角形，
∴BF＝OC＝5；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
∵OA＝OB，OH⊥AB，
∴AH＝ AB＝ 8＝4，
在Rt△OAH中，利用勾股定理，得：
OH＝ ＝ ＝3，
由AD＝x，得BD＝8﹣x，DH＝|x﹣4|，
在Rt△ODH中，利用勾股定理，得：
OD＝ ＝ ，
于是，△BOD与△BOC同高，
得： ＝ ＝ ，
即得：y＝ ，
这个函数的定义域为 ≤x＜8；
（3）由CD＝1，得OD＝4，
∴DH＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝4﹣ 或4+ ，
第24页（共25页）∵ ，
∴△OBC≌△OBF，
∴S ＝S ，
△OBC △OBF
∴S ＝2S ，
四边形OCBF △OBC
当BD＝4+ 时，S ＝ BD•OH＝ ×3（4+ ）＝ （4+ ），
△OBD
由CD＝1，OD＝4，得S ＝ S ＝ （4+ ），
△OBC △OBD
∴S ＝2S ＝ （4+ ）；
四边形OCBF △OBC
当BD＝4﹣ 时，
同理可得：S ＝2S ＝ （4﹣ ）；
四边形OCBF △OBC
∴四边形OCBF的面积等于 （4﹣ ）或 （4+ ）．
【点评】此题考查了圆的综合，用到的知识点是勾股定理、垂经定理、四边形三角
形的面积、全等三角形的判定与性质，关键是做出辅助线，综合利用有关定理
列出算式进行计算．
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日期：2018/12/26 20:40:56；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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