文档内容
2014年上海市闵行区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上】
1．（4分）如果单项式﹣xa+1y3与 x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝2，b＝2
2．（4分）如果点P（a，b）在第四象限，那么点Q（﹣a，b﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）2014年3月14日，“玉兔号”月球车成功在距地球约384400公里远的
月球上自主唤醒，将384400保留2个有效数字表示为（ ）
A．380000 B．3.8×105 C．38×104 D．3.844×105
4．（4分）某商场一天中售出李宁牌运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如
下表所示，
鞋的尺码（单位：厘米） 23.5 24 24.5 25 26
销售量（单位：双） 1 2 2 5 1
则这11双鞋的尺码组成一组数据中众数和中位数分别为（ ）
A．25，25 B．24.5，25 C．26，25 D．25，24.5
5．（4分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线垂直相等的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．四边都相等的四边形是正方形
6．（4分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．
如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面
距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
第1页（共25页）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算： ＝ ．
8．（4分）在实数范围内进行因式分解：x2﹣4x+1＝ ．
9．（4分）关于x的方程2x2+3x﹣m＝0有实数根，那么实数m的取值范围是
．
10．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（﹣1）＝ ．
11．（4分）如果反比例函数的图象过点（﹣1，2），那么它在每个象限内y随x的增
大而 ．
12．（4分）把函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的
二次函数解析式是 ．
13．（4分）一个骰子六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，投掷一次，向上的一
面是合数的概率是 ．
14．（4分）已知： ＝3 ﹣ ， ＝ + ，则 ﹣4 ＝ ．
15．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，那么∠ +∠ ﹣∠ ＝ 度．
α β γ
16．（4分）如图，已知DE∥BC，且EF：BF＝3：4，那么AE：AC＝ ．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆 A， B外切，那
么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．
⊙ ⊙
第2页（共25页）18．（4分）如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜
边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图1所示的形状，使点
B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图1中的△ACB绕点C顺
时针方向旋转到图2的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的
长为 cm（保留根号）．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：﹣2﹣2﹣2cos45°﹣|8 ﹣1|+ ．
20．（10分）解方程组 ．
21．（10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为4，大圆的弦
AB与小圆交于点C、D，且AC＝CD，∠COD＝60°
（1）求大圆半径的长；
（2）若大圆的弦AE长为 ，请判断弦AE与小圆的位置关系，并说明理由．
第3页（共25页）22．（10分）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，
派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市
的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．
（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多
少支？
（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量
要少于红梅牌钢笔的数量的 ，但又不少于红梅牌钢笔的数量的 ．如果他们
买了锦江牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元．
请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少
①
元？
②
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰
三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，联结BD、EF相交
于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）当线段FG、GH和GB满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是菱形，并加以
证明．
24．（12分）已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角
坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分
别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴
第4页（共25页）于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求
出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）已知：如图 ，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是
△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI．
①
（1）设∠BAC＝2 ．如果用 表示∠BIC和∠E，那么∠BIC＝ ，∠E＝
；
α α
（2）如果AB＝1，且△ABC与△ICE相似时，求线段AC的长；
（3）如图 ，延长AI交EC延长线于F，如果∠ ＝30°，sin∠F＝ ，设BC＝m，试
② α
用m的代数式表示BE．
第5页（共25页）2014 年上海市闵行区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位
置上】
1．（4分）如果单项式﹣xa+1y3与 x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（ ）
A．a＝1，b＝3 B．a＝1，b＝2 C．a＝2，b＝3 D．a＝2，b＝2
【考点】34：同类项．
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【分析】根据同类项是字母相同相同，且相同的字母的指数也相同，可得答案．
【解答】解：单项式﹣xa+1y3与 x2yb是同类项，
a+1＝2，b＝3，
a＝1，b＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了同类项，相同的字母的指数也相同是解题关键．
2．（4分）如果点P（a，b）在第四象限，那么点Q（﹣a，b﹣4）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
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【分析】根据第四象限的点的坐标特征确定出a、b的正负情况，再确定出点Q的
横坐标与纵坐标的正负情况，然后根据各象限内点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴﹣a＜0，b﹣4＜0，
∴点Q（﹣a，b﹣4）在第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符
号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，
+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
第6页（共25页）3．（4分）2014年3月14日，“玉兔号”月球车成功在距地球约384400公里远的
月球上自主唤醒，将384400保留2个有效数字表示为（ ）
A．380000 B．3.8×105 C．38×104 D．3.844×105
【考点】1L：科学记数法与有效数字．
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【分析】根据科学记数法的表示方法，可得384400的科学记数法表示方法，根据
有效数字，可得答案．
【解答】解：384400保留2个有效数字表示为3.8×105，
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法与有效数字，科学记数法a×10n，a是一位整数，且
只含有两位数．
4．（4分）某商场一天中售出李宁牌运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如
下表所示，
鞋的尺码（单位：厘米） 23.5 24 24.5 25 26
销售量（单位：双） 1 2 2 5 1
则这11双鞋的尺码组成一组数据中众数和中位数分别为（ ）
A．25，25 B．24.5，25 C．26，25 D．25，24.5
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【专题】16：压轴题；27：图表型．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个
数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可
以不止一个．
【解答】解：从小到大排列此数据为：23.5、24、24、24.5、24.5、25、25、25、25、25、
26，
数据25出现了五次最多为众数．
25处在第6位为中位数．所以中位数是25，众数是25．
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中
位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果
数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平
均数．
第7页（共25页）5．（4分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线垂直相等的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D．四边都相等的四边形是正方形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据菱形、矩形、等腰梯形的判定与性质分别判断得出即可．
【解答】解：A、根据菱形的判定方法，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此
选项错误；
B、两条对角线相等且互相垂直的四边形有可能是等腰梯形，故此选项错误；
C、根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此选项正确；
D、根据四边都相等的四边形是菱形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形、矩形的判定等知识，熟练掌握其性质是解题关键．
6．（4分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．
如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面
距离为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】利用坡度先求得垂直距离，根据勾股定理求得坡面距离．
【解答】解：∵水平距离为4m．
∴铅直高度为0.75×4＝3m．
根据勾股定理知：坡面相邻两株数间的坡面距离为5m．
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形问题．利用坡度tan ＝0.75＝ 求解．
α
第8页（共25页）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算： ＝ 2 ．
【考点】22：算术平方根．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即 ＝|a|．
【解答】解： ＝ ＝2 ．
故答案为2 ．
【点评】此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是
一道基础题．
8．（4分）在实数范围内进行因式分解：x2﹣4x+1＝ （ x ﹣ 2+ ）（ x ﹣ 2 ﹣ ） ．
【考点】58：实数范围内分解因式．
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【专题】44：因式分解．
【分析】因为x2﹣4x+1＝0的根为x ＝2﹣ ，x ＝2+ ，所以x2﹣4x+1＝（x﹣2+
1 2
）（x﹣2﹣ ）．
【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0的根为x ＝2﹣ ，x ＝2+ ，
1 2
∴x2﹣4x+1＝（x﹣2+ ）（x﹣2﹣ ）．
故答案为：（x﹣2+ ）（x﹣2﹣ ）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式．先求出方程x2﹣4x﹣2＝0的两个根，再
根据ax2+bx+c＝a（x﹣x ）（x﹣x ）即可因式分解．
1 2
9．（4分）关于x的方程2x2+3x﹣m＝0有实数根，那么实数m的取值范围是 m ≥
﹣ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac≥0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵方程2x2+3x﹣m＝0有实数根，
∴△＝9﹣4×3（﹣m）≥0，
解得m≥﹣ ．
第9页（共25页）故答案为m≥﹣ ．
【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
10．（4分）⇔已知函数f（x）＝ ，那么f（﹣1）＝ ﹣ ．
【考点】E5：函数值．
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【分析】把x＝﹣1代入函数关系式进行计算即可得解．
【解答】解：f（﹣1）＝ ＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了函数值求解，准确计算是解题的关键．
11．（4分）如果反比例函数的图象过点（﹣1，2），那么它在每个象限内y随x的增
大而 增大 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】根据反比例函数图象的性质可知．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝ （k≠0），
∵反比例函数图象过点（﹣1，2），
∴把（﹣1，2）代入得﹣2＝k＜0，
根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而增大，
故答案为：增大；
【点评】解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的性质及用待定系数法求反比
例函数的解析式．
反比例函数图象的性质：
（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；
（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．
12．（4分）把函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的
二次函数解析式是 y ＝ 2 （ x ﹣ 3 ） 2 ﹣ 2 ．
第10页（共25页）【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【解答】解：y＝2x2的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得y＝2（x﹣
3）2﹣2．故填得到的二次函数解析式是y＝2（x﹣3）2﹣2．
【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
13．（4分）一个骰子六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6，投掷一次，向上的一
面是合数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据合数的定义求出6个数中素数的个数，除以数的总个数即可．
【解答】解：投掷一次出现的结果有：1，2，3，4，5，6，且每个结果出现的机会相同，
其中合数有4，6两个，
∴投掷一次，向上的一面是合数的概率是 ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查了合数就是指自然数中除了能被1和它本身整除的数外，
还可以被其他的数整除的数以及概率＝所求情况数与总情况数之比，难度适
中．
14．（4分）已知： ＝3 ﹣ ， ＝ + ，则 ﹣4 ＝ 2 ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号时的
符号变化．
【解答】解：∵ ＝3 ﹣ ， ＝ + ，
∴ ﹣4 ＝（3 ﹣ ）﹣4（ + ）＝3 ﹣ ﹣2 ﹣ ＝2 ﹣ ．
故答案为：2 ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平面向量的加减运
第11页（共25页）算法则是解此题的关键．
15．（4分）如图，直线AB∥CD∥EF，那么∠ +∠ ﹣∠ ＝ 18 0 度．
α β γ
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】根据平行线性质得出∠ ＝∠ADC，∠CDF＝180°﹣∠ ，根据
∠ +∠ADC+∠CDF＝360°推出∠ +∠ +180°﹣∠ ＝360°即可得出答案．
α γ
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
β β α γ
∴∠ ＝∠ADC，∠CDF＝180°﹣∠ ，
∵∠ +∠ADC+∠CDF＝360°，
α γ
∴∠ +∠ +180°﹣∠ ＝360°
β
∴∠ +∠ ﹣∠ ＝180°
β α γ
故答案为：180．
α β γ
【点评】本题考查了平行线的性质的应用，注意： 两直线平行，同位角相等，
两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同旁内角互补．
① ②
16．（4分）如图，已知DE∥BC，且EF：BF＝3：4，那么AE：AC＝ 3 ： 4 ．
③
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据相似三角形的判定推出△DEF∽△CBF，推出 ＝ ，求出 ＝ ，
证△ADE∽△ABC，推出 ＝ ，代入求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
第12页（共25页）∴ ＝ ，
∵EF：BF＝3：4，
∴ ＝ ，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴AE：AC＝3：4，
故答案为：3：4．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进
行推理能力，题目比较典型，难度适中．
17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，两等圆 A， B外切，那
⊙ ⊙
么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．
π
【考点】KQ：勾股定理；MK：相切两圆的性质；MO：扇形面积的计算．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∴扇形的半径为5，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ．
π
故答案为： ．
【点评】解决本π题的关键是把两个阴影部分的面积整理为一个规则扇形的面积．
第13页（共25页）18．（4分）如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜
边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图1所示的形状，使点
B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图1中的△ACB绕点C顺
时针方向旋转到图2的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的
长为 cm（保留根号）．
【考点】KL：等边三角形的判定；R2：旋转的性质．
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【专题】16：压轴题．
【分析】△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，已知斜边DE＝10，∠D＝
30°，可求CE；利用旋转60°可求∠ECG＝30°，∠CEG＝60°，从而可证∠CGE
＝90°．用勾股定理解直角△CEG即可．
【解答】解：由题意知，在Rt△ABC中，
∠A＝30°，∠B＝60°，
由旋转的性质知图（2）中，CB＝CE，
∴△BCE为等边三角形．
∴∠ECB＝60°，∠ECG＝30°．
而∠FED＝60°．
∴∠EGC＝90°，∠ECG＝30°，
∴EG＝ EC＝ ED＝ ×10＝ ，
FG＝ ＝ ．
【点评】本题考查旋转性质和勾股定理，题目难度不大．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：﹣2﹣2﹣2cos45°﹣|8 ﹣1|+ ．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角
第14页（共25页）函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计
算，第三项利用立方根及绝对值意义化简，最后一项分母有理化，计算即可得
到结果．
【解答】解：原式＝﹣ ﹣2× ﹣1+1+
＝﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程组 ．
【考点】B3：解分式方程．
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【分析】观察分式方程中发现，可设 ， ，将原方程组转换成整式方程组，
求出a、b的值，然后再求x、y的值．
【解答】解：设 ，
则原方程组可化为
解此方程得
∴
∴
检验：将 代入（2x﹣y）＝ ≠0．
第15页（共25页）∴所以原方程组的解是
【点评】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分
式方程转化为整式方程求解，
解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为4，大圆的弦
AB与小圆交于点C、D，且AC＝CD，∠COD＝60°
（1）求大圆半径的长；
（2）若大圆的弦AE长为 ，请判断弦AE与小圆的位置关系，并说明理由．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；MD：切线的判定．
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【分析】（1）过0点作OH⊥CD于H，在Rt△OCH中，根据勾股定理即可求得CH
的长，然后在Rt△AOH中利用勾股定理即可求得OA的长；
（2）过0点作OG⊥AE，垂足为G，证明OG等于圆的半径，即可求解．
【解答】解：（1）过0点作OH⊥CD于H，（1分）
在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2
∵OC＝OD，∠COD＝60°
∴OC＝CD＝4，∴CH＝2
∴OH＝2 （2分）
∵AC＝4，∴AH＝6（1分）
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2
∴AO＝4 （2分）
（2）过0点作OG⊥AE，垂足为G（1分）
第16页（共25页）∴AG＝ AE＝4 （2分）
在Rt△AOG中，AO2＝AG2+OG2
∴OG＝4，（1分）
∴G在小圆O上
∵OG⊥AE
∴大圆的弦AE与小圆相切．（2分）
【点评】本题主要考查了垂径定理以及切线的判定，证明圆心到直线的距离等于
半径，可以证得圆的切线．
22．（10分）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，
派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市
的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．
（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多
少支？
（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量
要少于红梅牌钢笔的数量的 ，但又不少于红梅牌钢笔的数量的 ．如果他们
买了锦江牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元．
请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少
①
元？
②
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）锦江牌钢笔费用+红梅牌钢笔费用就是240元．
（2）总费用y元，即购买红梅牌钢笔与锦江牌钢笔的费用的和．用代数式表示出
两种费用，即可写出函数关系式．
第17页（共25页）再依据：所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的 ，但又不少于
红梅牌钢笔的数量的 ．列出不等式组，解出x的取值范围；根据一次函数的性
质即可求解．
【解答】解：（1）设能买锦江牌钢笔x支，则能买红梅牌钢笔（40﹣x）支．依题意，
得8x+4.8（40﹣x）＝240．
解得x＝15．∴40﹣x＝40﹣15＝25．
答：能买锦江牌钢笔15支，红梅牌钢笔25支．
（2） 依题意，得y＝8x+4.8（40﹣x）＝3.2x+192．
①
又由题意，有 解得8≤x＜ ．
∴y关于x的函数关系式为y＝3.2x+192．
自变量x的取值范围是8≤x＜ 且x为整数．
对一次函数y＝3.2x+192，∵k＝3.2＞0
∴y随x的增大而增大．
②
∴对8≤x＜ ，当x＝8时，y值最小．
此时40﹣x＝40﹣8＝32，y ＝3.2×8+192＝217.6（元）．
最小
答：当买锦江牌钢笔8支，红梅牌钢笔32支时，所花钱最少，为217.6元．
【点评】（1）利用一次函数求最值时，主要应用一次函数的性质；
（2）用一次函数解决实际问题是近年中考中的热点问题．
23．（12分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰
三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，联结BD、EF相交
于点G，BD与AF相交于点H．
（1）求证：BD＝EF；
（2）当线段FG、GH和GB满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是菱形，并加以
证明．
第18页（共25页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定；
S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）求出∠BAD＝∠FAE，根据全等三角形的判定推出△BAD≌△FAE，
即可得出答案；
（2）根据相似三角形的判定推出△GHF∽△GFB，推出∠EFA＝∠FBD，求出AB
＝AD，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，
∴∠BAF+∠FAD＝∠DAE+∠FAD，
即∠BAD＝∠FAE，
在△BAD和△FAE中，
∴△BAD≌△FAE（SAS），
∴BD＝EF．
（2）当线段满足FG2＝GH×GB时，四边形ABCD是菱形，
证明：∵FG2＝GH×GB，
∴ ＝ ，
又∵∠BGF＝∠FGB，
∴△GHF∽△GFB，
∴∠EFA＝∠FBD，
∵△BAD≌△FAE，
第19页（共25页）∴∠EFA＝∠ABD，
∴∠FBD＝∠ABD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，菱形的判定，
相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
24．（12分）已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角
坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分
别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2+bx+c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴
于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求
出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解
析式；
（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一
第20页（共25页）元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（ ， ），使得四边形
ABPM为等腰梯形．
【解答】解：（1）∵Rt△AOB≌Rt△COD，
∴AB＝OD，OB＝CD，
∴点A（1，2），
∴OD＝AB＝2，OB＝CD＝1，
∴C（2，1），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点O（0，0），
∴可得c＝0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，C，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x，
∴对称轴是直线x＝ ，顶点坐标为（ ， ）；
（2）存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形，理由如下：
设点P的横坐标为t，
∵PN∥CD，
∴△OPN∽△OCD，
可得PN＝ ，∴P（t， ），
∵点M在抛物线上，
∴M（t，﹣ t2+ t），
过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG＝y ﹣y ＝2﹣（﹣ t2+ t）＝ t2﹣ t+2，BH＝PN＝ ，
A M
第21页（共25页）当AG＝BH时，四边形ABPM为等腰梯形，
∴ t2﹣ t+2＝ ，
化简得3t2﹣8t+4＝0，解得t ＝2（不合题意，舍去），t ＝ ，
1 2
∴点P的坐标为（ ， ）．
∴存在点P（ ， ），使得四边形ABPM为等腰梯形．
【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、
等腰梯形、相似三角形，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高
有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力．
25．（14分）已知：如图 ，△ABC中，AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．CE是
△ABC的外角∠ACD的平分线，交BI延长线于E，联结CI．
①
（1）设∠BAC＝2 ．如果用 表示∠BIC和∠E，那么∠BIC＝ 90°+ ，∠E＝
；
α α α
（2）如果AB＝1，且△ABC与△ICE相似时，求线段AC的长；
α
（3）如图 ，延长AI交EC延长线于F，如果∠ ＝30°，sin∠F＝ ，设BC＝m，试
② α
用m的代数式表示BE．
第22页（共25页）【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）根据三角形内角与外角的关系可以用 表示∠BIC和∠E；
（2）△ABC与△ICE相似，根据题意知∠ICE＝90°，可分三种情况讨论．根据“相
α
似三角形对应边的比相等”求出相应AC长；
（3）由于∠ACD是△ABC的外角，可得出∠ACD＝∠BAC+∠ABC；由于CE、IA、
IB分别为∠ACD、∠BAC、∠ABC的角平分线，不难得出∠ECD＝∠BCF＝
∠BIF＝∠BAI+∠ABI，由此可得出∠BCE＝∠EIF，即可证得△EBC∽△EFI．
所以根据该相似三角形的对应边成比例来求m的值．
【解答】解：（1）在△BCE中有：∠E＝180°﹣∠BCE﹣∠CBE，
又∵AI、BI分别平分∠BAC、∠ABC．
∴CI是∠ACB的平分线，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴∠ECI是平角∠BCD的一半，
∴∠ECI＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠BCI﹣∠CBI，
在△ABC中， ∠BAC＝ （180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝90°﹣∠BCI﹣∠CBE＝ ，
α
即∠E＝ ．
在三角形BIC中，由外角性质得到：∠BIC＝90°+ ，
α
综上所述，∠BIC＝90°+ ，∠E＝ ．
α
α 第α 23页（共25页）故填：90°+ ， ；
α α
（2）由题意易证得△ICE是直角三角形，且∠E＝ ．
当△ABC∽△ICE时，可得△ABC是直角三角形，有下列三种情况：
α
当∠ABC＝90° 时，∵∠BAC＝2 ，∠E＝ ；
∴只能∠E＝∠BCA，可得∠BAC＝2∠BCA．
① α α
∴∠BAC＝60°，∠BCA＝30°．
∴AC＝2 AB．
∵AB＝1，
∴AC＝2．
当∠BCA＝90° 时，
∵∠BAC＝2 ，∠E＝ ；
②
∴只能∠E＝∠ABC，可得∠BAC＝2∠ABC．
α α
∴∠BAC＝60°，∠ABC＝30°．
∴AB＝2 AC．
∵AB＝1，
∴AC＝ ．
当∠BAC＝90° 时，∵∠BAC＝2 ，∠E＝ ；
∴∠E＝∠BAI＝∠CAI＝45°．
③ α α
∴△ABC是等腰直角三角形．即 AC＝AB．
∵AB＝1，
∴AC＝1．
∴综上所述，当△ABC∽△ICE时，线段AC的长为1或2或 ．
（3）∵∠E＝∠CAI，由三角形内角和可得∠AIE＝∠ACE．
∴∠AIB＝∠ACF．
又∵∠BAI＝∠CAI，
∴∠ABI＝∠F．
又∵BI平分∠ABC，
第24页（共25页）∴∠ABI＝∠F＝∠EBC．
又∵∠E是公共角，
∴△EBC∽△EFI．
在Rt△ICF中，sin∠F＝ ，设IC＝3k，那么CF＝4k，IF＝5k．
在Rt△ICE中，∠E＝30°，设IC＝3k，那么CE＝3 k，IE＝6k．
∵△EBC∽△EFI．
∴ ＝ ＝ ．
又∵BC＝m，
∴BE＝ m．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，以及三角形内角与外角的关系．两三
角形相似，注意根据对应边的不同，分情况讨论是解决本题的关键．
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日期：2018/12/26 20:19:06；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第25页（共25页）
