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2014年上海市长宁区中考数学一模试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
2．（4分）已知非零向量， ，下列条件中，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（1，3）
4．（4分）抛物线y＝x2+4x+1可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确
的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表
示sinB的（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意
直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是（ ）
第1页（共26页）A．BM＞DN B．BM＜DN C．BM＝DN D．无法确定
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知两个相似三角形的面积比是4：1，则这两个三角形的周长比是
．
8．（4分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已
知AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF等于 ．
9．（4分）将二次函数y＝2x2﹣4x配方成y＝a（x+m）2+k的形式，配方后的解析式
为 ．
10．（4分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC
为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊
吃到菜，拴羊的绳长应不超过 米．
11．（4分）已知抛物线y＝mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，则实数m的值是
．
12．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3），则此抛物线的对称
轴是 ．
13．（4分）已知 A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与 A的位置关系是
．
⊙ ⊙
14．（4分）印刷厂10月份印刷一畅销小说5万册，因购买此书人数激增，印刷厂
第2页（共26页）需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书数量y万册，写出y关于x的
函数解析式 ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线AF和中线BE交于点G，若AB＝3，则
CG＝ ．
16．（4分）某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝
．
17．（4分）已知点A（0，y ）、B（1，y ）、C（3，y ）在抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）上，
1 2 3
则y 、y 、y 的大小关系是 （用“＜”联结）．
1 2 3
18．（4分）如图，已知△ABC是面积为 的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝
2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果
保留根号）．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（tan45°）2013﹣cos60°+|cot30°﹣1|
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，EF是梯形的中位线，
EF与BD交于点M，设 ，试用 表示向量 和 ．
21．（10分）已知 O的半径为12cm，弦AB＝12 cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离．
⊙
（2）若弦AB恰好是△OCD的中位线，以CD中点E为圆点，R为半径作 E，当
O和 E相切时，求R的值．
⊙
⊙ ⊙
第3页（共26页）22．（10分）为了开发利用海洋资源，需要测量某岛屿的两端A、B的距离，如图，
勘测飞机在距海平面垂直距离为100米的点C处测得点A的俯角为60°，然后
沿着平行于AB的方向飞行了500米至D处，在D处测得点B的俯角为45°，
求岛屿两端A、B的距离．（结果精确到0.1米）说明： A、B、C、D在与海平面
垂直的同一平面上； 参考数据： ≈1.732， ＝1.414．
①
②
23．（12分）如图，△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点， ＝ （m，n＞0），D
是CF中点，联结AD并延长交BC于E．
（1）求 的值；
（2）若BE＝2EC，求证：CF⊥AB．
24．（12分）如图，在直角坐标平面上，点A、B在x轴上（A点在B点左侧），点C
在y轴正半轴上，若A（﹣1，0），OB＝3OA，且tan∠CAO＝2．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（3）P是（2）中所求抛物线的顶点，设Q是此抛物线上一点，若△ABQ与△ABP的
面积相等，求Q点的坐标．
第4页（共26页）25．（14分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交
AC于点N，动点P从点B出发，沿射线BA以每秒 个长度单位运动，联结
MP，同时 Q 从点 N 出发，沿射线 NC 以一定的速度运动，且始终保持
MQ⊥MP，设运动时间为x秒（x＞0）．
（1）求证：△BMP∽△NMQ；
（2）若∠B＝60°，AB＝4 ，设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式．
（3）判断BP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由．
第5页（共26页）2014 年上海市长宁区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径
D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
【考点】M1：圆的认识．
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【分析】利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；
【解答】解：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；
B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误
的，符合题意；
C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；
D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．
2．（4分）已知非零向量， ，下列条件中，不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、| |＝| |，两个向量的模相等，方向不一定相同，故不一定平行，故本
选项正确；
B、 ＝﹣ ，两个向量模相等，方向相反，互相平行，故本选项错误；
C、 ∥ ， ∥ ，则 与 都与 平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；
D、 ＝2 ， ＝4 ，则 与 都与 平行，三个向量都互相平行，故本选项错误．
故选：A．
第6页（共26页）【点评】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题．
3．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（1，3）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝﹣（x+1）2+3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，
3），
故选：C．
【点评】考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标
是（h，k），对称轴是x＝h．
4．（4分）抛物线y＝x2+4x+1可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确
的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先将抛物线y＝x2+4x+1化为y＝（x+2）2﹣3的形式，再根据函数图象平移
的法则进行解答．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+1可化为y＝（x+2）2﹣3，
∴把抛物线y＝x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝
（x+2）2﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”
的法则是解答此题的关键．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表
示sinB的（ ）
第7页（共26页）A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】利用两角互余关系得出∠B＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即
可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴sinB＝ ＝ ＝ ，
故不能表示sinB的是 ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解
题关键．
6．（4分）如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意
直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是（ ）
A．BM＞DN B．BM＜DN C．BM＝DN D．无法确定
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．
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【分析】根据P为平行四边形ABCD的对称中心，可推出△DNP≌△BMP，从而可
得到BM＝DN．
【解答】解：如图，连接BD，
∵P是 ▱ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点
P，
第8页（共26页）∴DP＝BP，圆的半径PN＝PM，由对顶角相等∠DPN＝∠BPM，
∵PM＝PN，PD＝PB
∴△DNP≌△BMP，
∴BM＝DN．
故选：C．
【点评】平行四边形的对称中心是两条对角线的交点，考查了学生对平行四边形
性质的掌握及全等三角形的判定定理．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
7．（4分）已知两个相似三角形的面积比是4：1，则这两个三角形的周长比是 2 ：
1 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三
角形周长的比等于相似比解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是4：1，
∴它们的相似比为2：1，
∴这两个三角形的周长比是2：1．
故答案为：2：1．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
8．（4分）如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已
知AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF等于 7. 5 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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第9页（共26页）【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得 ，又由AC
＝4，CE＝6，BD＝3，即可求得DF的长，则可求得答案．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴ ，
解得：DF＝ ，
∴BF＝BD+DF＝3+ ＝7.5．
故答案是：7.5．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．题目比较简单，解题的关键是注意
数形结合思想的应用．
9．（4分）将二次函数y＝2x2﹣4x配方成y＝a（x+m）2+k的形式，配方后的解析式
为 y ＝ 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ﹣ 2 ．
【考点】H9：二次函数的三种形式．
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【分析】根据配方法的操作方法进行整理即可得解．
【解答】解：y＝2x2﹣4x，
＝2（x2﹣2x+1）﹣2，
＝2（x﹣1）2﹣2，
所以，y＝2（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．
10．（4分）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC
为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊
吃到菜，拴羊的绳长应不超过 4 米．
第10页（共26页）【考点】MK：相切两圆的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】为了不让羊吃到菜，必须＜等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，
连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB＝
6，BA＝8，所以根据勾股定理得OA＝10．那么AE的长即可解答．
【解答】解：连接OA，交 O于E点，
在Rt△OAB中，OB＝6，AB＝8，
⊙
所以OA＝ ＝10；
又OE＝OB＝6，
所以AE＝OA﹣OE＝4．
因此选用的绳子应该不大于4，
故答案为4．
【点评】本题考查了相切两圆的性质，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用
勾股定理．
11．（4分）已知抛物线y＝mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，则实数m的值是 2
．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】把原点坐标代入函数解析式进行计算即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，
∴m（m﹣2）＝0，
解得m ＝0，m ＝2，
1 2
第11页（共26页）当m＝0时，函数为一次函数，不是抛物线，
所以，m≠0，
因此，实数m的值是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要注意二次项系数不等于0．
12．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx+c经过点A（0，3）、B（4，3），则此抛物线的对称
轴是 x ＝ 2 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】先根据抛物线上两点的纵坐标相等可知此两点关于对称轴对称，再根据
中点坐标公式求出这两点横坐标的中点坐标即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2+bx+c经过点（0，3）和（4，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴x＝ ＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意判断出抛物线上两点坐标的关
系是解答此题的关键．
13．（4分）已知 A的半径为5，圆心A（3，4），坐标原点O与 A的位置关系是
在 A 上 ．
⊙ ⊙
【考点】D5：坐标与图形性质；M8：点与圆的位置关系．
⊙
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【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定
方法判断点O与 A的位置关系．
【解答】解：∵点A的坐标为（4，3），
⊙
∴OA＝ ＝5，
∵半径为5，
而5＝5，
∴点O在 A上．
故答案为：在 A上．
⊙
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设 O的半径
⊙
为r，点P到圆心的距离OP＝d，当点P在圆外 d＞r；当点P在圆上 d＝r；
⊙
第12页（共26页）
⇔ ⇔当点P在圆内 d＜r．
14．（4分）印刷厂10月份印刷一畅销小说5万册，因购买此书人数激增，印刷厂
⇔
需加印，若设印书量每月的增长率为x，12月印书数量y万册，写出y关于x的
函数解析式 y ＝ 5 （ 1+ x ） 2 ．
【考点】E3：函数关系式．
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【分析】由10月份印数5万册，根据题意可以得到11月份印书量为5（1+x），而12
月份在11月份的基础上又增长了x，那么12月份的印书量也可以用x表示出
来，由此即可确定函数关系式．
【解答】解：∵10月份印数5万册，
11月份起，每月印书量的增长率都为x，
∴11月份印书量为5（1+x），
∴12月份的印书量为y＝5（1+x）×（1+x）＝5（1+x）2．
故填空答案：y＝5（1+x）2．
【点评】本题考查了函数关系式．需注意第3个月的印数量是在第2个月的印数量
的基础上增加的，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2＝b来解题．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线AF和中线BE交于点G，若AB＝3，则
CG＝ 1 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】连接CG并延长交AB于点D，由直角三角形的性质可知CD＝ AB，再根
据三角形重心的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
连接CG并延长交AB于点D，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线AF和中线BE交于点G，
∴点G是△ABC的重心，CD是AB边的中线，
∴CD＝ AB＝ ，
∴CG＝ CD＝ × ＝1．
故答案为：1．
第13页（共26页）【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点
的距离之比为2：1是解答此题的关键．
16．（4分）某小山坡的坡长为200米，山坡的高度为100米，则该山坡的坡度i＝
1 ： ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据坡度的定义，竖直距离与水平距离的比．
【解答】解：由勾股定理得： ＝100 米，
∴坡度i＝ ＝1： ．
故答案为：1： ．
【点评】本题是基础题，考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理．
17．（4分）已知点A（0，y ）、B（1，y ）、C（3，y ）在抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）上，
1 2 3
则y 、y 、y 的大小关系是 y ＜ y ＜ y （用“＜”联结）．
1 2 3 3 1 2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的增减性解答．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∵a＜0，
∴抛物线开口方向向下，
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故答案为：y ＜y ＜y ．
3 1 2
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减
性，求出抛物线的对称轴解析式是解题的关键．
18．（4分）如图，已知△ABC是面积为 的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝
第14页（共26页）2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结
果保留根号）．
【考点】KK：等边三角形的性质；S7：相似三角形的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形ADE的面积，再根
据求出其边长，可根据三角函数得出三角形面积．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，AB＝2AD，
∴ ＝ ，
∵AB＝2AD，S ＝ ，
△ABC
∴S ＝ ，
△ADE
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF＝∠BAD＝45°，∠AEF＝60°，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝ x．
又∵S ＝ ，
△ADE
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为 的等边三角形，
∴ ×AB×CM＝ ，
∠BCM＝30°，
第15页（共26页）设AB＝2k，BM＝k，CM＝ k，
∴k＝1，AB＝2，
∴AE＝ AB＝1，
∴x+ x＝1，
解得x＝ ＝ ．
∴S ＝ ×1× ＝ ．
△AEF
故答案为： ．
【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识点，
解得此题的关键是根据相似三角形面积比等于相似比的平方求得三角形 ADE
的面积，然后问题可解．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（tan45°）2013﹣cos60°+|cot30°﹣1|
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式＝1﹣ + ﹣1
＝ ﹣ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
20．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，EF是梯形的中位线，
EF与BD交于点M，设 ，试用 表示向量 和 ．
第16页（共26页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，即可用 表示向量 ，又由
EF是梯形的中位线，即可得FM是△ABC的中位线，继而求得 ．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，设 ，
∴ ＝ ；
∵EF是梯形的中位线，
∴FM是△DBC的中位线，
∴ ＝﹣ ＝﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识与梯形中位线的性质．此题难度不大，注意掌
握数形结合思想的应用．
21．（10分）已知 O的半径为12cm，弦AB＝12 cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离．
⊙
（2）若弦AB恰好是△OCD的中位线，以CD中点E为圆点，R为半径作 E，当
O和 E相切时，求R的值．
⊙
⊙ ⊙
【考点】KX：三角形中位线定理；MC：切线的性质．
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【分析】（1）过O作OF⊥AB于F，交CD于E，根据等腰三角形性质求出AF，根
据勾股定理求出OF即可；
（2）求出OE，求出EM和EN，即可得出答案．
【解答】解：（1）过O作OF⊥AB于F，交CD于E，
∵OA＝OB，
第17页（共26页）∴AF＝BF＝ AB＝ ×12 cm＝6 cm，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：OF＝ ＝6 （cm），
即圆心O到弦AB的距离是6 cm；
（2）∵OF＝AF＝6 cm，
∴∠OAB＝45°，
∵AB是△OCD的中位线，
∴CD＝2AB＝24 cm，
∴OF＝EF＝6 cm，
即ME＝OE﹣0M＝6 +6 ﹣12＝（12 ﹣12）cm，
分为两种情况：当两圆外切时，半径R＝ME＝（12 ﹣12）cm，当两圆内切时，半
径R＝EN＝（12 +12）cm．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，三角形的中位线，圆与圆的位置关系的应用，
题目比较典型，是一道比较好的题目．
22．（10分）为了开发利用海洋资源，需要测量某岛屿的两端A、B的距离，如图，
勘测飞机在距海平面垂直距离为100米的点C处测得点A的俯角为60°，然后
沿着平行于AB的方向飞行了500米至D处，在D处测得点B的俯角为45°，
求岛屿两端A、B的距离．（结果精确到0.1米）说明： A、B、C、D在与海平面
垂直的同一平面上； 参考数据： ≈1.732， ＝1.414．
①
②
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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第18页（共26页）【分析】首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形
ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB＝EF，AE＝BF．由题意可知：AE＝BF
＝100米，CD＝500米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即
可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFB＝∠ABF＝90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB＝EF，AE＝BF．
由题意可知：AE＝BF＝100米，CD＝500米．
在Rt△AEC中，∠C＝60°，AE＝100米．
∴CE＝ ＝ ＝ （米）．
在Rt△BFD中，∠BDF＝45°，BF＝100米．
∴DF＝ ＝ ＝100（米）．
∴ AB ＝ EF ＝ CD+DF﹣ CE ＝ 500+100﹣ ≈ 600﹣ ×1.73≈ 600﹣
57.67≈542.3（米）．
答：岛屿两端A、B的距离为542.3米．
【点评】此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构
造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
23．（12分）如图，△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点， ＝ （m，n＞0），D
是CF中点，联结AD并延长交BC于E．
（1）求 的值；
（2）若BE＝2EC，求证：CF⊥AB．
第19页（共26页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）过点F作FG∥BC交AE于G，根据两直线平行，内错角相等可得
∠DFG＝∠DCE，∠DGF＝∠DEC，再根据中点定义可得CD＝DF，然后利用
“角角边”证明△DCE和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等可得 EC
＝GF，然后求出 ，再求出△AFG和△ABE相似，根据相似三角形对应边成
比例列式求解即可得到 ，从而得到BE：EC；
（2）求出BE：EC，然后代入（1）的关系式计算即可求出m＝n，从而得到点F是
AB的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质解答．
【解答】（1）解：如图，过点F作FG∥BC交AE于G，
则∠DFG＝∠DCE，∠DGF＝∠DEC，
∵D是CF的中点，
∴CD＝DF，
在△DCE和△DFG中，
，
∴△DCE≌△DFG（ASA），
∴EC＝GF，
∵ ＝ ，
∴ ，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABE，
第20页（共26页）∴ ，
∴ ；
（2）证明：若BE＝2EC，则BE：EC＝2，
由（1）知， ＝2，
解得：m＝n，
∴点F是AB的中点，
∵AC＝BC，
∴CF⊥AB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三
角形三线合一的性质，作辅助线，构造出全等三角形和相似三角形是解题的关
键．
24．（12分）如图，在直角坐标平面上，点A、B在x轴上（A点在B点左侧），点C
在y轴正半轴上，若A（﹣1，0），OB＝3OA，且tan∠CAO＝2．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；
（3）P是（2）中所求抛物线的顶点，设Q是此抛物线上一点，若△ABQ与△ABP的
面积相等，求Q点的坐标．
第21页（共26页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据已知条件“A（﹣1，0），OB＝3OA，且tan∠CAO＝2”易求点B、
C的坐标；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）．然后把点C的坐标分别代入，
求得a的值；
（3）根据“同底等高的两个三角形的面积相等”可知，点Q是直线y＝与抛物线
的交点．
【解答】解：（1）如图，∵点A、B在x轴上（A点在B点左侧），A（﹣1，0），OB＝
3OA，
∴B（3，0）．
又∵tan∠CAO＝2，点C在y轴正半轴上，
∴ ＝2，则CO＝2OA＝2，
∴C（0，2）
综上所述，点B、C的坐标分别是：（3，0），（0，2）；
（2）∵该抛物线与x轴的两个交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0），
∴设过点A、B、C的抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）．
把点C的坐标代入，得
2＝a（0+1）（0﹣3），
解得，a＝﹣ ，
则该抛物线的解析式为：y＝﹣ （x+1）（x﹣3）（或y＝﹣ x2+ x+2）；
第22页（共26页）（3）由（2）中抛物线解析式得到：y＝﹣ （x﹣1）2+ ，则顶点P的坐标是（1， ）．
∵△ABQ与△ABP的面积相等，且点Q是抛物线上的一点
∴点Q与点P到x轴的距离相等，
∴点Q是直线y＝± 与抛物线的交点．
当y＝ 时，x＝1，此时，点Q与点P重合，即Q（1， ）；
①
当y＝﹣ 时，﹣ （x﹣1）2+ ＝﹣ ，
②
解得，x ＝1+2 ，x ＝1﹣2 ，此时，点Q的坐标是（1+2 ，﹣ ）或（1﹣2 ，
1 2
﹣ ）
综上所述，符合条件的点Q的坐标是：（1， ）、（1+2 ，﹣ ）或（1﹣2 ，﹣
）．
【点评】本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了坐标与图形的性质，锐角三角
函数的定义，待定系数法求二次函数的解析式，以及一次函数与抛物线的交点
问题．解答（2）题时，因为已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以设交点式关
系式，可以减少繁琐的计算过程．
25．（14分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交
AC于点N，动点P从点B出发，沿射线BA以每秒 个长度单位运动，联结
MP，同时 Q 从点 N 出发，沿射线 NC 以一定的速度运动，且始终保持
MQ⊥MP，设运动时间为x秒（x＞0）．
第23页（共26页）（1）求证：△BMP∽△NMQ；
（2）若∠B＝60°，AB＝4 ，设△APQ的面积为y，求y与x的函数关系式．
（3）判断BP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）根据MQ⊥MP，MN⊥BC和直角三角形中的两个锐角互余以及等量
代换，得出两个角对应相等，再根据AA，即可得出△BMP∽△NMQ；
（2）根据△PBM∽△QNM的对应边成比例可以求得NQ的长，求出点Q的速度，
再分别用时间x表示出AP，AQ的长，根据直角三角形的面积即可求得函数解
析式，再分类讨论：当0＜x＜4时，AP＝AB﹣BP＝4 ﹣ x，AQ＝AN+NQ＝
AC﹣NC+NQ＝12﹣8+x＝4+x，然后由三角形的面积公式可以求得该函数关系
式；当x≥4时，AP＝ x﹣4 ，AQ＝4+x，然后由三角形的面积公式可以求得
该函数关系式；
（3）先作辅助线延长QM至点D，使MD＝MQ．连接PD、BD构建平行四边形
BDCQ．根据平行四边形的对边平行且相等推知BD∥CQ，BD＝CQ；然后在直
角三角形BPD中利用勾股定理求得PD2＝BP2+BD2＝BP2+CQ2，最后利用线段
垂直平分线的性质得出BP、PQ、CQ之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC，
∴∠PMB+∠PMN＝90°，∠QMN+∠PMN＝90°，
∴∠PMB＝∠QMN．
∵∠PBM+∠C＝90°，∠QNM+∠C＝90°，
∴∠PBM＝∠QNM，
∴△PBM∽△QNM；
（2）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
第24页（共26页）∴BC＝2AB＝8 cm．
又∵MN垂直平分BC，
∴BM＝CM＝4 cm．
∵∠C＝30°，
∴MN＝ CM＝4cm；
设Q点的运动速度为vcm/s．
如图1，当0＜x＜4时，由（1）知△PBM∽△QNM．
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴v＝1；
如图2，当x≥4时，同理可得v＝1．
∵AN＝AC﹣NC＝12﹣8＝4cm，
∴如图1，当0＜x＜4时，AP＝AB﹣BP＝4 ﹣ x，AQ＝AN+NQ＝AC﹣NC+NQ
＝12﹣8+x＝4+x，
∴y＝ AP•AQ＝ （4 ﹣ x）（4+x）＝﹣ x2+8 ；
如图2，当x≥4时，AP＝ x﹣4 ，AQ＝4+x，
∴S＝ AP•AQ＝ （ x﹣4 ）（4+x）＝ x2﹣8 ；
综上所述，y＝ ；
（3）如图1，延长QM至点D，使MD＝MQ．连接PD、BD，BQ，CD，
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD＝CQ；
又∵∠BAC＝90°，
∴∠PBD＝90°，
第25页（共26页）∴PD2＝BP2+BD2＝BP2+CQ2，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ＝PD，
∴PQ2＝BP2+CQ2．
【点评】本题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、相
似三角形与函数的综合应用、勾股定理等，根据题意画出图形，利用时间x正
确表示出题目中线段的长度是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:15:18；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
