文档内容
2014年上海市松江区中考数学一模试卷
一、选择题
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝ ，BC＝a，那么AC等于（ ）
A．a•tan B．a•cot C． α D．
2．（3分）如果α 抛物线y＝mx2+（m α﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（3分）如图，已知平行四边形ABCD中，向量 在 ， 方向上的分量分别是
（ ）
A． B． C． 、 D． 、
4．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2重合，那
么平移的方法可以是（ ）
A．向左平移3个单位再向下平移3个单位
B．向左平移3个单位再向上平移3个单位
C．向右平移3个单位再向下平移3个单位
D．向右平移3个单位再向上平移3个单位
5．（3分）在△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝1，BD＝2，那么由下
列条件能够判定DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，已知AB、CD分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点
B处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼
AB的顶部点A的像，那么大楼AB的高度为（ ）
第1页（共27页）A． B．20 米 C．30 D．60米
二、填空题
7．（4分）函数y＝（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是 ．
8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝45°，AB＝12，那么BC＝ ．
9．（4分）已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于 cm．
10．（4分）如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们面积的比是 ．
11．（4分）如图，在△ABC与△ADE中， ，要使△ABC于△ADE相似，还需
要添加一个条件，这个条件是 ．
12．（4分）已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝ ．
13．（4分）已知向量 与单位向量 方向相反，且 ，那么 ＝ （用向量
的式子表示）
14．（4分）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x的
正半轴所夹的角为 ，那么 的余弦值等于 ．
15．（4分）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为
α α
（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）
16．（4分）如果二次函数 y＝x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为 x＝3，那么k＝
．
17．（4分）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离
x（米）的函数解析式 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距
离为 米．
第2页（共27页）18．（4分）如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一
边重叠，再将旋转后的三角形相似缩放，使重叠的两边互相重合，我们称这样
的图形为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角
形的转似三角形．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝5，△A B C是△ABC
1 1
以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点 C为转似中心的另一个
转似三角形△A B C（点A ，B 分别与A、B对应）的边A B 的长为 ．
2 2 2 2 2 2
三、解答题
19．（8分）如图，已知在直角坐标系中，点A在第二象限内，点B和点C在x轴上，
原点O为边BC的中点，BC＝4，AO＝AB，tan∠AOB＝3，求图象经过A、B、C
三点的二次函数解析式．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，
，如果 ， ．
（1）求 （用向量 的式子表示）
第3页（共27页）（2）求作向量 （不要求写作法，但要指出所作图表中表示结论的向量）
21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且
EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD＝12，EF＝8．求：
（1） 的值；
（2）线段GH的长．
22．（10分）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东
60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知
岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请
说明你的理由．
23．（18分）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD
相交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2＝BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证：
．
第4页（共27页）24．（15分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过
点A（﹣3，0）和点B（0，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相
交于点D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明
理由．
25．（15分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝ ，点D是斜
边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E，设AD＝x．
（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；
（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果y＝ ，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
第5页（共27页）2014 年上海市松江区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝ ，BC＝a，那么AC等于（ ）
A．a•tan B．a•cot C． α D．
【考点】T1 α：锐角三角函数的定α义．
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【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：cot∠A＝ ，
∴AC＝BC•cotA＝a•cotA，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计
算能力．
2．（3分）如果抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，那么m的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】把原点坐标代入函数解析式，计算即可求出m的值．
【解答】解：∵抛物线y＝mx2+（m﹣3）x﹣m+2经过原点，
∴﹣m+2＝0，
解得m＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，理解函数图象上的
点的坐标满足函数关系式是解题的关键．
3．（3分）如图，已知平行四边形ABCD中，向量 在 ， 方向上的分量分别是
（ ）
第6页（共27页）A． B． C． 、 D． 、
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形法则求解即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴向量 在 ， 方向上的分量分别是：﹣ ， ．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握平行四边形法则的
应用，注意掌握数形结合思想的应用．
4．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1经过平移后与抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2重合，那
么平移的方法可以是（ ）
A．向左平移3个单位再向下平移3个单位
B．向左平移3个单位再向上平移3个单位
C．向右平移3个单位再向下平移3个单位
D．向右平移3个单位再向上平移3个单位
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），抛物线y＝﹣（x+1）2
﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴顶点由（2，1）到（﹣1，﹣2）需要向左平移3个单位再向下平移3个单位．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛
物线解析式更简便．
5．（3分）在△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝1，BD＝2，那么由下
列条件能够判定DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
第7页（共27页）【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC即可推出∠ADE＝∠B，根据
平行线的判定推出即可．
【解答】解：
∵AD＝1，BD＝2，
∴ ＝ ，
只有当 ＝ 时，DE∥BC，
理由是：∵ ＝ ＝ ，∠A＝∠A，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
而其它选项都不能推出△ADE∽△ABC，即不能推出∠ADE＝∠B或∠AED＝
∠C，即不能推出DE∥BC，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学
生的推理能力．
6．（3分）如图，已知AB、CD分别表示两幢相距30米的大楼，小明在大楼底部点
B处观察，当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼
AB的顶部点A的像，那么大楼AB的高度为（ ）
第8页（共27页）A． B．20 米 C．30 D．60米
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据仰角为30°，BD＝30米，在Rt△BDE中，可求得ED的长度，根据题
意恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点A的像，可得AB＝
2ED．
【解答】解：在Rt△BDE中，
∵∠EBD＝30°，BD＝30米，
∴ ＝tan30°，
解得：ED＝10 （米），
∵当仰角增大到30度时，恰好能通过大楼CD的玻璃幕墙看到大楼AB的顶部点
A的像，
∴AB＝2DE＝20 （米）．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角
三角形，利用三角函数的知识解直角三角形．
二、填空题
7．（4分）函数y＝（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是 向下 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】首先将二次函数化为一般形式，然后根据二次项系数的符号确定开口方
向．
【解答】解：y＝（x+5）（2﹣x）＝﹣x2+3x+10，
∵a＝﹣1＜0，
∴开口向下，
故答案为：向下．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是正确的化为一般形式．
8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝45°，AB＝12，那么BC＝ 6 ．
【考点】KW：等腰直角三角形．
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【分析】由题意可知，此三角形是等腰直角三角形，已知斜边的长，求直角边，可以
根据勾股定理求得．
第9页（共27页）【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴Rt△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，
设BC＝x，根据勾股定理可得
x2+x2＝122
解得，x＝6 ．
故答案为：
【点评】此题考查等腰直角三角形的判定．在等腰直角三角形中，已知任何一边，
根据等腰三角形的性质和勾股定理都可以求出另外两边．
9．（4分）已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于 2 cm．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵线段a＝3cm，b＝4cm，
∴线段a、b的比例中项＝ ＝2 cm．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注
意线段的比例中项是正数．
10．（4分）如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们面积的比是 4 ： 9 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】相似三角形的周长比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，由此得解．
【解答】解：∵两个相似三角形周长的比是2：3，
∴它们的相似比是2：3；
∴它们的面积比为4：9．
【点评】本题重点考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方．
11．（4分）如图，在△ABC与△ADE中， ，要使△ABC于△ADE相似，还需
要添加一个条件，这个条件是 ∠ B ＝∠ E ．
第10页（共27页）【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】26：开放型．
【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角
形相似可得添加条件：∠B＝∠E．
【解答】解：添加条件：∠B＝∠E；
∵ ，∠B＝∠E，
∴△ABC∽△AED，
故答案为：∠B＝∠E．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理．
12．（4分）已知点G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，那么AG＝ 2 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】根据题意画出图形，连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质
可得出AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，由三角形重心的性质即可得
出AG的长．
【解答】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，
∵G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴AD⊥BC，BD＝ BC＝ ×8＝4，
∴AD＝ ＝ ＝3，
∴AG＝ AD＝ ×3＝2．
故答案为：2．
第11页（共27页）【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点
的距离之比为2：1是解答此题的关键．
13．（4分）已知向量 与单位向量 方向相反，且 ，那么 ＝ （用向
量 的式子表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由向量 与单位向量 方向相反，且 ，根据单位向量与相反向量的知
识，即可求得答案．
【解答】解：∵向量 与单位向量 方向相反，且 ，
∴ ＝﹣3 ．
故答案为：﹣3 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握单位向量与相反向
量的定义．
14．（4分）如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与x的
正半轴所夹的角为 ，那么 的余弦值等于 ．
【考点】D5：坐标与图α 形性质α；KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【解答】
解：过P作PA⊥x轴于A，
∵P（3，4），
∴PA＝4，OA＝3，
由勾股定理得：OP＝5，
∴ 的余弦值是 ＝ ，
α 第12页（共27页）过答案为： ．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计
算能力．
15．（4分）已知一条斜坡的长度为10米，高为6米，那么坡角的度数约为 37 °
（备用数据：tan31°＝cot59°≈0.6，sin37°＝cos53°≈0.6）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】做出图形，设坡角为 ，根据 ＝sin ，可求得 的度数．
α α α
【解答】解：由题意得， ＝sin ，
即sin ＝0.6， α
则 ＝37°．
α
故答案为：37°．
α
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解
直角三角形．
16．（4分）如果二次函数y＝x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x＝3，那么k＝ ﹣ 3
．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】直接利用对称轴公式求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x＝3，
∴对称轴为：x＝﹣ ＝3，
解得：k＝﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理
解和掌握，知对称轴．
17．（4分）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离
第13页（共27页）x（米）的函数解析式 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距
离为 2 米．
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．
【解答】解：∵函数解析式为： ，
∴y ＝ ＝ ＝2．
最值
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．
18．（4分）如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一
边重叠，再将旋转后的三角形相似缩放，使重叠的两边互相重合，我们称这样
的图形为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角
形的转似三角形．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝5，△A B C是△ABC
1 1
以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点 C为转似中心的另一个
转似三角形△A B C（点A ，B 分别与A、B对应）的边A B 的长为 ．
2 2 2 2 2 2
【考点】R2：旋转的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】23：新定义．
第14页（共27页）【分析】先根据条件证明△ABC∽△A B C就可以求出结论．
2 2
【解答】解：∵△ABC∽△A B C，
2 2
∴ ，
∴ ，
∴A B ＝ ．
2 2
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时
证明三角形相似，运用相似三角形的对应边成比例求解是关键．
三、解答题
19．（8分）如图，已知在直角坐标系中，点A在第二象限内，点B和点C在x轴上，
原点O为边BC的中点，BC＝4，AO＝AB，tan∠AOB＝3，求图象经过A、B、C
三点的二次函数解析式．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；T7：解直角三角形．
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第15页（共27页）【专题】11：计算题．
【分析】先确定B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（2，0），作AH⊥OB于H，根据等
腰三角形的性质得到OH＝BH＝1，再利用三角形函数得到 tan∠AOB＝ ＝
3，则AH＝3，所以A点坐标为（﹣1，3），设抛物线的交点式y＝a（x+2）（x﹣
2），然后把A点坐标代入求出a即可．
【解答】解：∵原点O为边BC的中点，BC＝4，
∴B点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（2，0），
作AH⊥OB于H，如图，
∵AO＝AB，
∴OH＝BH＝1，
∵tan∠AOB＝ ＝3，
∴AH＝3，
∴A点坐标为（﹣1，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣2），
把A（﹣1，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，
解得a＝﹣1，
∴经过A、B、C三点的二次函数解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣2）＝﹣x2+4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择
恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点
或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点
时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，
第16页（共27页），如果 ， ．
（1）求 （用向量 的式子表示）
（2）求作向量 （不要求写作法，但要指出所作图表中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）由DE∥BC， ，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE：AC
＝2：5，又由 ， ，利用三角形法则，即可求得 ，继而求得答案；
（2）取点AB的中点M，作 ＝ ，连接 ，则 即为所求．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∵ ， ，
∴ ＝ + ＝ + ，
∴ ＝﹣ ＝﹣ （ + ）＝﹣ ﹣ ；
（2）如图，取点AB的中点M，作 ＝ ，连接 ，则 即为所求．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
21．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，且
第17页（共27页）EF∥BD，AE、AF分别交BD与点G和点H，BD＝12，EF＝8．求：
（1） 的值；
（2）线段GH的长．
【考点】L5：平行四边形的性质；S4：平行线分线段成比例．
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【分析】（1）根据EF∥BD，则 ＝ ，再利用平行四边形的性质即可得出 的
值；
（2）利用DF∥AB，则 ＝ ＝ ，进而得出 ＝ ＝ ，求出GH即可．
【解答】解：（1）∵EF∥BD，
∴ ＝ ，
∵BD＝12，EF＝8，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，
∴ ＝ ；
（2）∵DF∥AB，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵EF∥BD，
∴ ＝ ＝ ，
第18页（共27页）∴ ＝ ，
∴GH＝6．
【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练
根据平行线分线段成比例定理得出GH的长是解题关键．
22．（10分）如图，已知某船向正东方向航行，在点A处测得某岛C在其北偏东
60°方向上，前进8海里处到达点B处，测得岛C在其北偏东30°方向上．已知
岛C周围6海里内有一暗礁，问：如果该船继续向东航行，有无触礁危险？请
说明你的理由．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】作CD⊥AB于点D，求出C到航线的最近的距离CD的长，与6海里比较
大小即可．
【解答】解：作CD⊥AB于点D，由题意可知，∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，
∴∠ACB＝30°，
在Rt△BCD中，
∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝∠BCD．
∴△CDB∽△ADC．
∴ ＝
∵AB＝CB＝8
∴BD＝4，AD＝12．
∴ ＝
∴CD＝4
≈6.928＞6．
第19页（共27页）∴船继续向东航行无触礁危险．
【点评】此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关
知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
23．（18分）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，对角线AC、BD
相交于点E，且AC⊥BD．
（1）求证：CD2＝BC•AD；
（2）点F是边BC上一点，联结AF，与BD相交于点G，如果∠BAF＝∠DBF，求证：
．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）首先根据已知得出∠ACD＝∠CBD，以及∠ADC＝∠BCD＝90°，进
而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；
（2）首先证明△ABG∽△DBA，进而得出 ＝ ，再利用△ABG∽△DBA，得出
＝ ，则AB2＝BG•BD，进而得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，
又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB＝∠CBD+∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBD，
第20页（共27页）∴△ACD∽△DBC，
∴ ＝ ，
即CD2＝BC×AD；
（2）方法一：
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，
∵∠ABG＝∠DBA，
∴△ABG∽△DBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵△ABG∽△DBA，
∴ ＝ ，
∴AB2＝BG•BD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，
∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，
∴ ＝（ ）2＝ ，
而 ＝ ，∴ ＝ ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出
△ABG∽△DBA是解题关键．
24．（15分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过
第21页（共27页）点A（﹣3，0）和点B（0，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相
交于点D，求∠ABD的正弦值；
（3）在第（2）小题的条件下，联结OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并说明
理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式计算求出b、c的值，即可得解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出点C的坐标，设直
线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线BC的解析
式，再求出与x轴的交点D的坐标，过点A作AH⊥BD于H，先求出OD，再利
用勾股定理列式求出BD，然后求出△ADH和△BDO相似，利用相似三角形对
应边成比例列式求出AH，再利用勾股定理，然后根据锐角的正弦等于对边比
斜边列式计算即可得解；
（3）方法一：求出 ＝ ，然后根据平行线分线段成比例定理解答；
方法二：过点C作CP⊥x轴于P，分别求出∠BAO和∠COP的正切值，根据正切
值相等求出∠BAO＝∠COP，再根据同位角相等，两直线平行解答．
【解答】解：（1）由题意得， ，
解得 ，
所以，此二次函数的解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
（2）∵y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，
∴函数y＝2x2﹣4x+6的顶点坐标为（﹣1，8），
∴向右平移5个单位的后的顶点C（4，8），
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则 ，
第22页（共27页）解得 ，
所以，直线BC的解析式为y＝ x+6，
令y＝0，则 x+6＝0，
解得x＝﹣12，
∴点D的坐标为（﹣12，0），
过点A作AH⊥BD于H，
OD＝12，BD＝ ＝ ＝6 ，
AD＝﹣3﹣（﹣12）＝﹣3+12＝9，
∵∠ADH＝∠BDO，∠AHD＝∠BOD＝90°，
∴△ADH∽△BDO，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得AH＝ ，
∵AB＝ ＝ ＝3 ，
∴sin∠ABD＝ ＝ ＝ ；
（3）AB∥OC．
理由如下：方法一：∵BD＝6 ，BC＝ ＝2 ，AD＝9，AO＝3，
∴ ＝ ＝3，
∴AB∥OC；
方法二：过点C作CP⊥x轴于P，
第23页（共27页）由题意得，CP＝8，PO＝4，AO＝3，BO＝6，
∴tan∠COP＝ ＝ ＝2，
tan∠BAO＝ ＝ ＝2，
∴tan∠COP＝tan∠BAO，
∴∠BAO＝∠COP，
∴AB∥OC．
【点评】本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定
系数法求一次函数解析式，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，作辅助
线构造出相似三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．
25．（15分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝ ，点D是斜
边AB上的动点，联结CD，作DE⊥CD，交射线CB于点E，设AD＝x．
（1）当点D是边AB的中点时，求线段DE的长；
（2）当△BED是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果y＝ ，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
【考点】SO：相似形综合题．
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第24页（共27页）【专题】15：综合题．
【分析】（1）在直角三角形ABC中，由AB与tanA的值，利用锐角三角函数定义及
勾股定理求出BC与AC的长，由D为斜边上的中点，利用直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半得到CD＝AD＝BD＝5，可得出∠DCB＝∠DBC，再由
一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到△EDC与△ACB相似，
由相似得比例，即可求出DE的长；
（2）分两种情况考虑：
（i）当E在BC边上时，由△BDE为等腰三角形且∠BED为钝角，得到DE＝BE，
利用等边对等角得到∠EBD＝∠EDB，利用等角的余角相等得到∠CDA＝
∠A，利用等角对等边得到CD＝AC，作CH垂直于AB，利用三线合一得到AD
＝2AH，由cosA的值求出AH的长，进而求出AD的长，即为x的值；
（ii）当E为BC延长线上时，与∠DBE为钝角得到DB＝BE，同理求出x的值；
（3）作DM垂直于BC，得到DM与AC平行，由平行得比例，表示出DM与BM，
进而表示出CD与CM，由三角形DEM与三角形CDM相似得比例，表示出
DE，由BD＝AB﹣AD＝10﹣x，将DE与DB代入表示出y，化简得到结果，并求
出x的范围即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝ ，
∴BC＝8，AC＝6，
∵点D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝BD＝5，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵∠EDC＝∠ACB＝90°，
∴△EDC∽△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
则DE＝ ；
（2）分两种情况情况：
（i）当E在BC边上时，
∵△BED为等腰三角形，∠BED为钝角，
第25页（共27页）∴EB＝ED，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵∠EDC＝∠ACB＝90°，
∴∠CDA＝∠A，
∴CD＝AC，
作CH⊥AB，垂足为H，那么AD＝2AH，
∴ ＝ ，即AH＝ ，
∴AD＝ ，即x＝ ；
（ii）当E在CB延长线上时，
∵△BED为等腰三角形，∠DBE为钝角，
∴BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠EDC＝90°，
∴∠BED+∠BCD＝∠BDE+∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴BD＝BC＝8，
∴AD＝x＝AB﹣BD＝10﹣8＝2；
（3）作DM⊥BC，垂足为M，
∵DM∥AC，
∴ ＝ ＝ ，
∴DM＝ （10﹣x），BM＝ （10﹣x），
∴CM＝8﹣ （10﹣x）＝ x，CD＝ ，
∵△DEM∽△CDM，
∴ ＝ ，即DE＝ ＝ ，
第26页（共27页）∴y＝ ＝ ，
整理得：y＝ （0＜x＜10）．
【点评】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角
三角函数定义，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的判定
与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题
的关键．
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日期：2018/12/26 20:17:01；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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