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2014年上海市松江区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下面计算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．x3﹣x2＝x D．x3÷x2＝x
3．（4分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）已知一组数据x ，x ，x 的平均数和方差分别为6和2，则数据x +1，
1 2 3 1
x +1，x +1的平均数和方差分别是（ ）
2 3
A．6和2 B．6和3 C．7和2 D．7和3．
5．（4分）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，如果以A为圆心r为半径的
A和以BC为直径的 D相交，那么r的取值范围（ ）
A．3＜r＜13 B．5＜r＜17 C．7＜r＜13 D．7＜r＜17
⊙ ⊙
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）分解因式：a2﹣4＝ ．
8．（4分）方程 ＝1的解为 ．
9．（4分）如果一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不等实根，则实数a的取值范围
是 ．
10．（4分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 ．
第1页（共26页）11．（4分）将抛物线y＝2x2﹣1向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得抛物
线的表达式是 ．
12．（4分）如果反比例函数y＝ 的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
那么k的取值范围是 ．
13．（4分）在等腰梯形、正五边形、平行四边形、矩形这4种图形中，任取一种图
形，这个图形是中心对称图形的概率是 ．
14．（4分）为了解某区初三学生的课余生活情况，调查小组在全区范围内随机抽
取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只
选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成
扇形统计图（如图）．如果该区有6000名初三学生，请你估计该区最喜欢体育
运动的初三学生约有 名．
15．（4分）已知在△ABC中， ＝ ， ＝ ，M是边BC上的一点，BM：CM＝1：
2，用向量 、 表示 ＝ ．
16．（4分）一公路大桥引桥长100米，已知引桥的坡度i＝1：3，那么引桥的铅直高
度为 米（结果保留根号）．
17．（4分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形
为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B＝
90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个
三角形“有趣中线”长等于 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为AB的中点，
将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点
D′处，则D′B长为 ．
第2页（共26页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣（ ）﹣1﹣ +| ﹣2|
20．（10分）解方程： ﹣ ＝2．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan∠ABC＝3，AD⊥BC于
D，O是AD上一点，OD＝3，以OB为半径的 O分别交AB、AC于E、F．求：
（1） O的半径；
⊙
（2）BE的长．
⊙
22．（10分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售
票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图，线段OA和OB分别表
示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数w（张）和每
1
个无人售票窗口售出的车票数w （张）关于售票时间t（小时）的函数图象．
2
（1）求w （张）与t（小时）的函数解析式；
1
（2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上
午11点，两种窗口共售出的车票数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个
数？
第3页（共26页）23．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥AE交CB的延长
线于点F，联结DF，分别交AE、AB于点G、P．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠BAF＝∠BFD，求证：四边形APED是矩形．
24．（12分）如图，在直角坐标平面内，直线y＝﹣x+5与x轴和y轴分别交于A、B
两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求
点P的坐标．
25．（14分）在△ABC中，AC＝25，AB＝35， ，点D为边AC上一点，且AD
＝5，点E、F分别为边AB上的动点（点F在点E的左边），且∠EDF＝∠A．设
AE＝x，AF＝y．
第4页（共26页）（1）如图1，当DF⊥AB时，求AE的长；
（2）如图2，当点E、F在边AB上时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定
义域；
（3）联结CE，当△DEC和△ADF相似时，求x的值．
第5页（共26页）2014 年上海市松江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】把B、C、D选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断即
可．
【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，故本选项错误；
B、 ＝3与 不是同类二次根式，故本选项错误；
C、 ＝3 与 不是同类二次根式，故本选项错误；
D、 ＝ 与 是同类二次根式，故本选项准确．
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，
这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．（4分）下面计算正确的是（ ）
A．x3+x2＝x5 B．x3•x2＝x6 C．x3﹣x2＝x D．x3÷x2＝x
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法．
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【分析】结合选项分别进行合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法的运算，
选出正确答案．
【解答】解：A、x3和x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、x3•x2＝x5，原式计算错误，故本选项错误；
C、x3和x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、x3÷x2＝x，原式计算正确，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、同底数幂的乘法，掌握运算法
第6页（共26页）则是解题的关键．
3．（4分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围，
它们相交的地方就是不等式组的解集．
【解答】解：原不等式可化为：
∴在数轴上可表示为：
故选：A．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心
的．
4．（4分）已知一组数据x ，x ，x 的平均数和方差分别为6和2，则数据x +1，
1 2 3 1
x +1，x +1的平均数和方差分别是（ ）
2 3
A．6和2 B．6和3 C．7和2 D．7和3．
【考点】W1：算术平均数；W7：方差．
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【分析】根据数据x ，x ，x 的平均数和数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均
1 2 3
数也加或减这个数即可求出平均数；
根据数据x ，x ，x 的方差和数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即
1 2 3
可求出数据x +1，x +1，x +1的方差．
1 2 3
【解答】解：∵数据x ，x ，x 的平均数是6，
1 2 3
∴数据x +1，x +1，x +1的平均数是6+1＝7；
1 2 3
第7页（共26页）∵数据x ，x ，x 的方差是2，
1 2 3
∴数据x +1，x +1，x +1的方差是2；
1 2 3
故选：C．
【点评】此题考查了方差，掌握数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，
即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成
这个数的平方倍，平均数也乘以这个数是本题的关键．
5．（4分）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【考点】KX：三角形中位线定理；L9：菱形的判定；LJ：等腰梯形的性质．
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【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，EH是中位线，再
得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．
【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF∥AC且EF＝ AC，EH∥BD且EH＝ BD，
∵AC＝BD，
∴EF＝EH，
同理可得GF＝HG＝EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形，
故选：C．
【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
定义；
四边相等；
①
对角线互相垂直平分．
②
6．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，如果以A为圆心r为半径的
③
A和以BC为直径的 D相交，那么r的取值范围（ ）
⊙ ⊙
第8页（共26页）A．3＜r＜13 B．5＜r＜17 C．7＜r＜13 D．7＜r＜17
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】首先利用勾股定理求得两圆的圆心距，然后利用两圆相交时两圆的圆心
距和两圆的半径之间的关系求解．
【解答】解：由题意得：BD＝DC＝5，
AB＝AC＝13，
由勾股定理得：AD＝12，
设 A的半径为r，
根据两圆相交得：
⊙
r﹣5＜12＜r+5，
解答：7＜r＜17，
故选：D．
【点评】本题考查了两圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度不算很
大．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）分解因式：a2﹣4＝ （ a + 2 ）（ a ﹣ 2 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展
开．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
8．（4分）方程 ＝1的解为 x ＝ 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代
第9页（共26页）入进行检验即可．
【解答】解：方程两边平方，得：2﹣x＝1，
解得：x＝1．
经检验：x＝1是方程的解．
故答案是：x＝1．
【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方
法及换元法，本题用了平方法．
9．（4分）如果一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不等实根，则实数a的取值范围
是 a ＜ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac意义，
由题意得△＞0，可得关于a的不等式22﹣4a＞0，解不等式可得答案．
【解答】解：∵方程x2+2x+a＝0有两个不等实根，
∴△＝22﹣4a＞0，
解得：a＜1，
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．
10．（4分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 x ≠ 3 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分式的意义的条件，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：3﹣x≠0，
解得：x≠3．
故答案是：x≠3．
【点评】本题考查了求函数自变量取值范围，求函数自变量的范围一般从三个方
面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第10页（共26页）（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
11．（4分）将抛物线y＝2x2﹣1向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得抛物
线的表达式是 y ＝ 2 （ x ﹣ 2 ） 2 + 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论．
【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y＝2x2﹣1向右平
移2个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是y＝2（x﹣2）2﹣1+2，
即y＝2（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝2（x﹣2）2+1．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”
的法则是解答此题的关键．
12．（4分）如果反比例函数y＝ 的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
那么k的取值范围是 k ＞ ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】先根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
∴2k﹣1＞0，解得k＞ ．
故答案为：k＞ ．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝ （k≠0）的图象是
双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x
的增大而减小是解答此题的关键．
13．（4分）在等腰梯形、正五边形、平行四边形、矩形这4种图形中，任取一种图
形，这个图形是中心对称图形的概率是 ．
【考点】R5：中心对称图形；X4：概率公式．
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【分析】首先找到其中的中心对称图形的个数，再进一步根据概率的求法进行求
第11页（共26页）解即可．
【解答】解：根据中心对称图形的概念，知平行四边形、矩形是中心对称图形；
所以现从中随机抽取一张，卡片上画的是中心对称图形的概率为 ＝ ．
故答案为： ；
【点评】综合考查了中心对称图形的概念和概率的求法．如果一个事件有n种可
能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概
率P（A）＝ ．
14．（4分）为了解某区初三学生的课余生活情况，调查小组在全区范围内随机抽
取部分学生进行问卷调查．问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只
选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成
扇形统计图（如图）．如果该区有6000名初三学生，请你估计该区最喜欢体育
运动的初三学生约有 240 0 名．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．
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【分析】利用总人数6000乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：最喜欢体育运动的初三学生是6000×（1﹣32%﹣16%﹣12%）＝2400
（名）．
故答案是：2400．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
15．（4分）已知在△ABC中， ＝ ， ＝ ，M是边BC上的一点，BM：CM＝1：
第12页（共26页）2，用向量 、 表示 ＝ + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据三角形法则表示出 ，再表示出 ，然后根据三角形法则表示出
即可．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵BM：CM＝1：2，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ），
∴ ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ + ﹣ ＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟记平行四边形法则和三角形法
则是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．（4分）一公路大桥引桥长100米，已知引桥的坡度i＝1：3，那么引桥的铅直高
度为 1 0 米（结果保留根号）．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡
比，求解即可．
【解答】解：由题意得，桥长AB＝10米，
∵BC：AC＝1：3，
∴设BC＝x，AC＝3x，
则AB＝ ＝ ，
解得：x＝ ，
即引桥的铅直高度为10 米．
第13页（共26页）故答案为：10 ．
【点评】本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是掌握坡度的定义：坡度
是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比．
17．（4分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形
为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B＝
90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个
三角形“有趣中线”长等于 ．
【考点】KQ：勾股定理．
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【专题】23：新定义．
【分析】“有趣中线”分别三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边
的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为1．但
是不符合较短的一条直角边边长为1，只能为另一条直角边上的中线，利用勾
股定理求出即可．
【解答】解：“有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边AC上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相
等，不合题意；
若“有趣中线”为AB边上的中线，则“有趣中线”为1，不符合题意；
若“有趣中线”为另一直角边BC上的中线，如图所示，AB＝1，
设AD＝2x，则BD＝x，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD2＝AB2+BD2，即（2x）2＝12+x2，
解得：x＝ ，
则这个三角形“有趣中线”长等于 ．
故答案为： ．
第14页（共26页）【点评】此题考查了勾股定理，以及新定义，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为AB的中点，
将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点
D′处，则D′B长为 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】由题意画出图形，过D′作D′E⊥BC，根据勾股定理可求出D′E的长，
根据BC的长＝3，可求出BE的长，再利用勾股定理即可求出D′B的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AD＝BD＝ AB＝2.5，
过D′作D′E⊥BC，
∵将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点
D′处，
∴CD′＝AD＝A′D′，
∴D′E＝ ＝1.5，
∵A′E＝CE＝2，BC＝3，
∴BE＝1，
∴BD′＝ ＝ ，
故答案为： ．
第15页（共26页）【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形斜边上的中线的性质、旋转的性
质、等腰三角形的性质，题目的综合性较强，正确的画出旋转后的图形是解题
的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣（ ）﹣1﹣ +| ﹣2|
【考点】6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义得到原式＝2 ﹣4﹣ +2﹣
，然后合并即可．
【解答】解：原式＝2 ﹣4﹣ +2﹣
＝﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再
进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．
20．（10分）解方程： ﹣ ＝2．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】设 ＝y，得到关于y的方程，求出方程的解得到y的值，确定出x的值
经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：设 ＝y，
原方程化为y2﹣ ＝2，即y2﹣2y﹣3＝0，
解得y ＝3，y ＝﹣1，
1 2
第16页（共26页）当 ＝3时，解得：x＝1；
当 ＝﹣1时，解得：x＝﹣ ，
经检验x＝1，x＝﹣ 都是原方程的根，
则原方程的根为x＝1，x＝﹣ ．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan∠ABC＝3，AD⊥BC于
D，O是AD上一点，OD＝3，以OB为半径的 O分别交AB、AC于E、F．求：
（1） O的半径；
⊙
（2）BE的长．
⊙
【考点】KH：等腰三角形的性质；M2：垂径定理；S9：相似三角形的判定与性质；
T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据等腰三角形性质求出BD，根据勾股定理求出OB即可；
（2）根据垂径定理得出BH＝HE，证三角形AHO和三角形ADB相似，得出比例式，
求出AH，求出AB，求出BH即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝CD＝4，
在RT△BOD中∵OD＝3，
∴由勾股定理得：OB＝5；
（2）过O点作OH⊥AB，交AB于H，
又∵OH过圆心O，
第17页（共26页）∴BH＝EH，
∵在RT△ABD中， ，
∴AD＝12，由勾股定理得：AB＝ ，
∵OD＝3，
∴AO＝9，
∵∠OAH＝∠BAD，∠OHA＝∠ADB，
∵△AOH∽△ABD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性质和判
定的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目是一道比较好的题目
难度适中．
22．（10分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售
票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图，线段OA和OB分别表
示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数w（张）和每
1
个无人售票窗口售出的车票数w （张）关于售票时间t（小时）的函数图象．
2
（1）求w （张）与t（小时）的函数解析式；
1
第18页（共26页）（2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上
午11点，两种窗口共售出的车票数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个
数？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；
（2）利用设当天开放无人售票窗口x个，普通售票窗口 个，两种窗口共售出的
车票数为2400张得出等式求出即可．
【解答】解：（1）设w ＝kt（k≠0），
1
把t＝3，w＝240代入解得：k＝80，
所以w ＝80t；
1
（2）设当天开放无人售票窗口x个，普通售票窗口 个，
由题意得 ，
解得x＝8．
答：当天开放无人售票窗口8个．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用等知识，表示
出两种窗口共售出的车票数进而得出正确等量关系是解题关键．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥AE交CB的延长
线于点F，联结DF，分别交AE、AB于点G、P．
（1）求证：AE＝AF；
（2）若∠BAF＝∠BFD，求证：四边形APED是矩形．
第19页（共26页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LC：矩形的判定；LE：正方形的性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）若要证明AE＝AF，则可证明以上两条线段所在的三角形全等即可；
（2）利用正方形的性质以及垂直定义得出∠1＝∠3＝∠4＝∠5，进而利用全等三
角形的判定与性质得出AP＝DE，进而利用平行四边形的判定以及矩形的判定
得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，AD∥BC，AB∥CD，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠DAE＝∠BAF，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（ASA），
∴AF＝AE；
（2）∵AF⊥AE，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵AD∥FC，
∴∠4＝∠5，
∵∠1＝∠5，
∴∠1＝∠3＝∠4＝∠5，
在△ADE和△DAP中，
第20页（共26页），
∴△ADE≌△DAP（ASA），
∴AP＝DE，
又∵AP∥DE，
∴四边形APED是平行四边形，
∵∠PAD＝90°，
∴平行四边形APED是矩形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和矩形的判定以及正方形的性质等知
识，根据已知得出∠1＝∠3＝∠4＝∠5是解题关键．
24．（12分）如图，在直角坐标平面内，直线y＝﹣x+5与x轴和y轴分别交于A、B
两点，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求sin∠OCA的值；
（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求
点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据直线方程求得点A、B的坐标；然后把点A、B的坐标代入二次函
第21页（共26页）数解析式，通过方程组来求系数b、c的值；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，构建等腰△AOC．则∠OAC＝
∠OCA，故sin∠OCA＝ ；
（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y＝﹣x+5于Q．设点P（m，m2﹣
6m+5），Q（m，﹣m+5），则PQ＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m．由S ＝
△ABP
S +S 得到： ，则易求m的值．注意点P位于第四象限
△PQB △PQA
【解答】解：（1）由直线y＝﹣x+5得点B（0，5），A（5，0），
将A、B两点的坐标代入y＝x2+bx+c，得
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H．
由（1）知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣6x+5，则配方 得y＝（x﹣3）2﹣4，
∴点C（3，﹣4），
∴CH＝4，AH＝2，AC＝ ，
∴OC＝5．
∵OA＝5，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴sin∠OCA＝ ；
（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y＝﹣x+5于Q．
设点P（m，m2﹣6m+5），Q（m，﹣m+5），则PQ＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣
m2+5m．
第22页（共26页）∵S ＝S +S ＝ PQ•OA，
△ABP △PQB △PQA
∴ ，
∴m ＝1，m ＝4，
1 2
∴P（1，0）（舍去），P（4，﹣3）．
【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线方程的三种形式，
以及三角形面积的求法．解答（3）题时，要注意点P的位置．需要舍去位于x轴
上的P（1，0）．
25．（14分）在△ABC中，AC＝25，AB＝35， ，点D为边AC上一点，且AD
＝5，点E、F分别为边AB上的动点（点F在点E的左边），且∠EDF＝∠A．设
AE＝x，AF＝y．
（1）如图1，当DF⊥AB时，求AE的长；
（2）如图2，当点E、F在边AB上时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定
义域；
（3）联结CE，当△DEC和△ADF相似时，求x的值．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）先根据DF⊥AB，∠EDF＝∠A，得出∠ADE＝90°，再根据AD＝5，
第23页（共26页）tanA＝ ，即可求出AE；
（2）过点D作DG⊥AB，交AB于G，先证出△EDF∽△EAD，得出ED2＝AE•EF，
再求出DG、AG，最后根据EG＝x﹣3，DE2＝42+（x﹣3）2得出42+（x﹣3）2＝x•
（x﹣y），
再进行整理即可；
（3）先证出∠AFD＝∠EDC，再分两种情况讨论： 当∠A＝∠CED时，得出
①
＝ ， ＝ ，再把y＝6﹣ 代入得出5（6﹣ ）＝x，再解方程即可；
当∠A＝∠DCE时，根据△ECD∽△DAF得出 ＝ ， ＝ ，再把y＝6﹣
②
代入得出5（6﹣ ）＝x，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°，
∴∠A+∠ADF＝90°
∵∠EDF＝∠A，
∴∠EDF+∠ADF＝90°，
即∠ADE＝90°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AD＝5，tanA＝ ，
∴DE＝ ，
∴AE＝ ，
（2）过点D作DG⊥AB，交AB于G，
∵∠EDF＝∠EAD，∠DEF＝∠AED，
∴△EDF∽△EAD，
∴ ，
∴ED2＝AE•EF，
第24页（共26页）∴RT△AGD中，∠AGD＝90°，AD＝5，tanA＝ ，
∴DG＝4，AG＝3，
∴EG＝x﹣3，
∴DE2＝42+（x﹣3）2，
∴42+（x﹣3）2＝x•（x﹣y），
∴y＝6﹣ （ ≤x≤35）；
（3）∵∠A+∠AFD＝∠EDF+∠EDC，且∠EDF＝∠A，
∴∠AFD＝∠EDC，
当∠A＝∠CED时，
∵∠EDF＝∠A，
①
又∵∠CED＝∠FDE，
∴DF∥CE
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵y＝6﹣ ，
∴5（6﹣ ）＝x，
x ＝25，x ＝5；
1 2
当∠A＝∠DCE时，
∵∠EDF＝∠A，
②
∴△ECD∽△DAF
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵y＝6﹣ ，
第25页（共26页）∴5（6﹣ ）＝x，
∴x＝ ，
∴当△DEC和△ADF相似时，x＝25或x＝5或x＝ ．
【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾
股定理、锐角三角函数，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．
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日期：2018/12/26 20:19:21；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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