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2014年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列代数式中，属于单项式的是（ ）
A．a+1 B． C． D．
2．（4分）数据1，3，7，1，3，3的平均数和标准差分别为（ ）
A．2，2 B．2，4 C．3，2 D．3，4
3．（4分）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x ，y ）和B（x ，y ），如果x ＜x ＜
1 1 2 2 1 2
﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．y ＜y ＜0 B．0＜y ＜y C．0＜y ＜y D．y ＜y ＜0
1 2 1 2 2 1 2 1
4．（4分）某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增
加了10%，那么2012年大米生产总量为（ ）
A．a（1+10%）万吨 B． 万吨
C．a（1﹣10%）万吨 D． 万吨
5．（4分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB＝∠CBD，添加
下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠CDBB．∠DAB＝∠BCD C．∠ABC＝∠CDAD．∠DAC＝
∠BCA
6．（4分）如果A、B分别是 O 、 O 上两个动点，当A、B两点之间距离最大时，
1 2
那么这个最大距离被称为 O 、 O 的“远距”．已知， O 的半径为1， O
⊙ 1⊙ 2 1 2
的半径为2，当两圆相交时， O 、 O 的“远距”可能是（ ）
⊙ ⊙1 2 ⊙ ⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
⊙ ⊙
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）|3﹣ |＝ ．
π
8．（4分）化简： ＝ ．
9．（4分）计算： ﹣ ＝ ．
第1页（共28页）10．（4分）正八边形的中心角等于 度．
11．（4分）如果关于x的方程3x2﹣mx+3＝0有两个相等的实数根，那么m的值为
．
12．（4分）请写出一个平面几何图形，使它满足“把一个图形沿某一条直线翻折
过来，直线两旁的部分能够相互重合”这一条件，这个图形可以是 ．
13．（4分）如果关于x的方程bx＝x+1有解，那么b的取值范围为 ．
14．（4分）在 ▱ABCD中，已知 ＝ ， ＝ ，则用向量 、 表示向量 为
．
15．（4分）把分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同
卡片，字面朝下随意放置在桌面上，从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率
是 ．
16．（4分）为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名
女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频
数分布直方图（如图），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是 ．
17．（4分）如图，已知点A在反比例函数y＝ 的图象上，点B在x轴的正半轴上，
且△OAB 是面积为 的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是
．
第2页（共28页）18．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ ，cosA＝ ，如果将△ABC绕着
点C旋转至△A′B′C的位置，使点B′落在∠ACB的角平分线上，A′B′与
AC相交于点H，那么线段CH的长等于 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ）2﹣5 +（ ）﹣1﹣ ．
20．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3cm，BC＝10cm，
以BC为直径作 O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
⊙
（2）线段EF的长．
22．（10分）甲、乙两车都从A地前往B地，如图分别表示甲、乙两车离A地的距
离S（千米）与时间（t 分钟）的函数关系．已知甲车出发10分钟后乙车才出发，
甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B地，最终甲、乙两车同时
到达B地，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？
（2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？
（3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？
第3页（共28页）23．（12分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点
A作AF⊥BE，分别交BE、CD于点H、F，联结BF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：∠AEB＝∠DEO．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交
于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA＝2OC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点D的坐标．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC比AB大3，sinB＝ ，点G是
第4页（共28页）△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点
P、交射线AC于点Q．
（1）求AG的长；
（2）当∠APQ＝90°时，直线PG与边BC相交于点M．求 的值；
（3）当点Q在边AC上时，设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它
的定义域．
第5页（共28页）2014 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列代数式中，属于单项式的是（ ）
A．a+1 B． C． D．
【考点】42：单项式．
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【分析】根据单项式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是单项式，故本选项错误；
B、不是单项式，故本选项错误；
C、不是单项式，故本选项错误；
D、是单项式，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了对单项式定义的理解和运用，注意：单项式表示数与字母的积，
单独一个数或字母也是单项式．
2．（4分）数据1，3，7，1，3，3的平均数和标准差分别为（ ）
A．2，2 B．2，4 C．3，2 D．3，4
【考点】W2：加权平均数；W8：标准差．
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【分析】根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方
差，从而得出标准差．
【解答】解：这组数据1，3，7，1，3，3的平均数是：
（1+3+7+1+3+3）＝3；
方差S2＝ [（1﹣3）2+（3﹣3）2+（7﹣3）2+（1﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2]＝4，
则标准差是2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平均数，方差和标准差，用到的知识点是平均数、方差和
标准差的计算公式，关键是根据题意和公式列出算式．
第6页（共28页）3．（4分）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（x ，y ）和B（x ，y ），如果x ＜x ＜
1 1 2 2 1 2
﹣1，那么下列结论一定成立的是（ ）
A．y ＜y ＜0 B．0＜y ＜y C．0＜y ＜y D．y ＜y ＜0
1 2 1 2 2 1 2 1
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣（x+1）2的开口向下，有最大值为
0，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x ＜x ＜
1 2
﹣1时，y ＜y ＜0．
1 2
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2，
∴a＝﹣1＜0，有最大值为0，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线y＝﹣（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
而x ＜x ＜﹣1，
1 2
∴y ＜y ＜0．
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a＜0，抛物线开口
向下；对称轴为直线x＝﹣ ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴
右侧，y随x的增大而减小．
4．（4分）某粮食公司2013年生产大米总量为a万吨，比2012年大米生产总量增
加了10%，那么2012年大米生产总量为（ ）
A．a（1+10%）万吨 B． 万吨
C．a（1﹣10%）万吨 D． 万吨
【考点】32：列代数式．
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【分析】根据2013年生产大米比2012年大米生产总量增加了10%，可知2012年
大米生产总量×（1+10%）＝2013年大米生产总量，由此列式即可．
【解答】解：a÷（1+10%）＝ （万吨）．
故选：B．
第7页（共28页）【点评】此题考查列代数式，关键是找出题目蕴含的数量关系：2012年大米生产总
量×（1+10%）＝2013年大米生产总量．
5．（4分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB＝∠CBD，添加
下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD＝∠CDBB．∠DAB＝∠BCD C．∠ABC＝∠CDAD．∠DAC＝
∠BCA
【考点】L6：平行四边形的判定．
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【分析】利用平行四边形的判定定理逐步判定后即可确定答案．
【解答】解：由∠ADB＝∠CBD可以得到AD∥BC，
∴A、∠ABD＝∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；
B、利用三角形的内角和定理能进一步得到∠ABD＝∠CDB，从而能得到
AB∥CD，所以能判定四边形ABCD是平行四边形；
C、能进一步得到∠CDB＝∠ABD，从而能得到 AB∥CD，所以能判定四边形
ABCD是平行四边形；
D、不能进一步得到AB∥CD，所以不能判定四边形ABCD是平行四边形，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定．
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．（4分）如果A、B分别是 O 、 O 上两个动点，当A、B两点之间距离最大时，
1 2
那么这个最大距离被称为 O 、 O 的“远距”．已知， O 的半径为1， O
⊙ 1⊙ 2 1 2
的半径为2，当两圆相交时， O 、 O 的“远距”可能是（ ）
⊙ ⊙1 2 ⊙ ⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
⊙ ⊙
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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第8页（共28页）【专题】23：新定义．
【分析】首先弄清远距的定义，然后结合两圆的圆心距的取值范围求解．
【解答】解：∵ O 的半径为1， O 的半径为2，
1 2
∴圆心距d的取值范围为：1＜d＜3，
⊙ ⊙
∴ O 、 O 的“远距”的取值范围为：4＜远距＜6，
1 2
故选：C．
⊙ ⊙
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是弄清“远距的定义”．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）|3﹣ |＝ ﹣ 3 ．
【考点】28：实数的性质．
π π
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【分析】由于一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的
绝对值是0，由此即可求解．
【解答】解：∵ ＞3，∴3﹣ ＜0，
∴|3﹣ |＝ ﹣3．
π π
【点评】本题考查绝对值的化简，要能够正确估算无理数的大小，得到化简式子的
π π
符号．
8．（4分）化简： ＝ ．
【考点】66：约分．
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【专题】11：计算题．
【分析】找出分式分子分母的公因式，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了约分，找出分子分母的公因式是约分的关键．
9．（4分）计算： ﹣ ＝ ．
【考点】6B：分式的加减法．
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第9页（共28页）【专题】11：计算题．
【分析】原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（4分）正八边形的中心角等于 4 5 度．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求
法．
11．（4分）如果关于x的方程3x2﹣mx+3＝0有两个相等的实数根，那么m的值为
±6 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于m的
方程，求出m的取值．
【解答】解：∵方程3x2﹣mx+3＝0有两个相等的实数根，
∴△＝m2﹣4×3×3＝0，
解得m＝±6，
故答案为±6．
【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
12．（4分）请写出一个平面几何图形，使它满足“把一个图形沿某一条直线翻折
⇔
第10页（共28页）过来，直线两旁的部分能够相互重合”这一条件，这个图形可以是 圆 ．
【考点】P3：轴对称图形．
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【专题】26：开放型．
【分析】把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这样
的图形为轴对称图形，写出一个轴对称图形即可．
【解答】解：这个图形可以是圆．
故答案为：圆．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁
的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
13．（4分）如果关于x的方程bx＝x+1有解，那么b的取值范围为 b ≠ 1 ．
【考点】85：一元一次方程的解．
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【分析】移项，合并同类项，当x的系数不等于0时，方程有解，据此即可求解．
【解答】解：移项，得：bx﹣x＝1，
即（b﹣1）x＝1，
当b﹣1≠0时，即b≠1时，方程有解．
故答案是：b≠1．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，理解方程有解的条件是关键．
14．（4分）在 ▱ABCD中，已知 ＝ ， ＝ ，则用向量 、 表示向量 为 +
．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平行四边形的对角线互相平分的性质，可得出 ＝ ＝ ， ＝
＝ ，从而可表示出向量 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ．
第11页（共28页）故答案为： + ．
【点评】本题考查了平面向量的知识，注意掌握向量的加减，平行四边形对角线互
相平分的性质．
15．（4分）把分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同
卡片，字面朝下随意放置在桌面上，从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率
是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，卡片
数字是素数的有：2，3，5；直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的6张相同卡片，
卡片数字是素数的有：2，3，5；
∴从中任意摸出一张卡片数字是素数的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
16．（4分）为了解某校九年级女生1分钟仰卧起坐的次数，从中随机抽查了50名
女生参加测试，被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，并绘制成频
数分布直方图（如图），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是 0.6 2 ．
第12页（共28页）【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】根据被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，抽查了50名女生，
求出次数不小于30次的人数，再根据直方图求出在40～45次之间的频数，然
后根据频率公式：频率＝频数÷总数，即可求解．
【解答】解：∵被抽查的女生中有90%的女生次数不小于30次，抽查了50名女生
∴次数不小于30次的人数是50×90%＝45（人），
∴在40～45次之间的频数是：45﹣3﹣5﹣6＝31，
∴仰卧起坐的次数在40～45的频率是 ＝0.62；
故答案是：0.62．
【点评】本题考查了频数分布直方图，关键是读懂统计图，从图中获得必要的信息，
用到的知识点是频率公式：频率＝频数÷总数．
17．（4分）如图，已知点A在反比例函数y＝ 的图象上，点B在x轴的正半轴上，
且△OAB是面积为 的等边三角形，那么这个反比例函数的解析式是 y ＝﹣
．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KK：等边三角形的性质．
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第13页（共28页）【分析】首先根据题意得出 ×|2x•y|＝ ，进而得出xy＝﹣ ，即可得出k的值．
【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，
设A（x，y），
∵△OAB是面积为 的等边三角形，
∴ ×|2x•y|＝ ，
∴|xy|＝ ，
∴xy＝﹣ ，
∴这个反比例函数的解析式是：y＝﹣ ．
故答案为：y＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法和反比例函数图
象上点的坐标特征，得出xy＝﹣ 是解题关键．
18．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝ ，cosA＝ ，如果将△ABC绕着
点C旋转至△A′B′C的位置，使点B′落在∠ACB的角平分线上，A′B′与
AC相交于点H，那么线段CH的长等于 ﹣ 1 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】根据题意画出图形，进而利用旋转的性质以及锐角三角函数关系和等腰
直角三角形求出三角形各边长，再利用三角形面积求出即可．
【解答】解：过点B′作B′F⊥AC于点F，A′D⊥AC于点D，
∵∠ACB＝90°，点B′落在∠ACB的角平分线上，
∴∠BCB′＝∠B′CA＝ACA′＝45°，
∴△CB′F，△CDA′都是等腰直角三角形，
第14页（共28页）∵AC＝ ，cosA＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
解得：AB＝ ，
∴BC＝ ，
∴B′C＝ ，
∴B′F＝ × ＝ ，
A′D＝ ×CA′＝1，
∴S ＝S +S ＝ × × ＝ × ×CH+ ×1×CH，
△A′CB′ △CHB′ △CHA′
解得：CH＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及锐角三角函数关系和三角形面积求法等
知识，利用S ＝S +S 求出是解题关键．
△A′CB′ △CHB′ △CHA′
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ）2﹣5 +（ ）﹣1﹣ ．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用指数幂法则变形，第三项利
用负指数幂法则计算，最后一项分母有理化，计算即可得到结果．
第15页（共28页）【解答】解：原式＝5﹣ + ﹣
＝6﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出每个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：
由 得2x﹣7＜3﹣3x，
化简得5x＜10，
①
解得：x＜2．
由 得4x+9≥3﹣2x，
化简得6x≥﹣6，
②
解得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
在数轴上表示出来为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，求不等
式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大
大小小解不了．
21．（10分）已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3cm，BC＝10cm，
以BC为直径作 O交射线AQ于E、F两点，求：
（1）圆心O到AQ的距离；
⊙
（2）线段EF的长．
第16页（共28页）【考点】KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，求出AO，根据含30度角的直角三
角形性质求出即可；
（2）连接OE，根据勾股定理求出EH，根据垂径定理得出即可．
【解答】解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，
∵OH⊥EF，
∴∠AHO＝90°，
在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，∠PAQ＝30°，
∴OH＝ AO，
∵BC＝10cm，
∴BO＝5cm．
∵AO＝AB+BO，AB＝3cm，
∴AO＝3+5＝8cm，
∴OH＝4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．
（2）连接OE，
在Rt△EOH中，
∵∠EHO＝90°，∴EH2+HO2＝EO2，
∵EO＝5cm，OH＝4cm，
第17页（共28页）∴EH＝ ＝ ＝3cm，
∵OH过圆心O，OH⊥EF，
∴EF＝2EH＝6cm．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，题
目是一道比较典型的题目，难度适中．
22．（10分）甲、乙两车都从A地前往B地，如图分别表示甲、乙两车离A地的距
离S（千米）与时间（t 分钟）的函数关系．已知甲车出发10分钟后乙车才出发，
甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B地，最终甲、乙两车同时
到达B地，根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？
（2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？
（3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）分别根据速度＝路程÷时间列式计算即可得解；
（2）方法一：观察图形可知，第一次相遇时，甲车停止，然后时间＝路程÷速度列式
计算即可得解；
方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为s＝kt+b（k≠0），利用待
定系数法求出乙函数解析式，再令s＝20求出相应的t的值，然后求解即可；
（3）求出甲继续行驶的时间，然后用总时间减去停止前后的时间，列式计算即可
得解．
【解答】解：（1）v ＝ ＝ （千米/分钟），
甲
所以，甲车的速度是 千米/每分钟；
第18页（共28页）v ＝ ＝1（千米/分钟），
乙
所以，乙车的速度是1千米/每分钟；
（2）方法一：∵t ＝ ＝20（分钟），
乙
∴乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；
方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为：s＝kt+b（k≠0），
将点（10，0）（70，60）代入得： ，
解得， ，
所以，s＝t﹣10，
当s＝20时，解得t＝30，
∵甲车出发10分钟后乙车才出发，
∴30﹣10＝20分钟，乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；
（3）∵t＝（60﹣20）÷ ＝30（分钟），
∵70﹣30﹣15＝25（分钟），
∴甲车中途因故障停止行驶的时间为25分钟．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关
系，待定系数法求一次函数解析式，读懂题目信息理解甲、乙两车的运动过程
是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，联结BE，过点
A作AF⊥BE，分别交BE、CD于点H、F，联结BF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）联结BD，交AF于点O，联结OE．求证：∠AEB＝∠DEO．
第19页（共28页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判
定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据正方形性质得出AB＝DA＝BC＝CD，∠BAD＝∠ADF＝∠BCF
＝90°，求出∠ABH＝∠HAE，证△ABE∽△DAF，得出比例式，求出AE＝DF，
CF＝AE，证出Rt△ABE≌Rt△CBF即可；
（2）根据正方形性质求出∠ADB＝∠CDB，证△DEO≌△DFO，推出∠DEO＝
∠DFO，根据△ABE∽△DAF推出∠AEB＝∠DFA，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA＝BC＝CD，∠BAD＝∠ADF＝∠BCF＝90°，
∴∠BAH+∠HAE＝90°，
∵AF⊥BE，
∴∠AHB＝90°，
即∠BAH+∠ABH＝90°，
∴∠ABH＝∠HAE，
又∵∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴ ＝ ，
∴AE＝DF，
∵点E是边AD的中点，
∴点F是边DC的中点，
∴CF＝AE，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，
第20页（共28页）∴Rt△ABE≌Rt△CBF（SAS），
∴BE＝BF．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
在△DEO与△DFO中，
∴△DEO≌△DFO（SAS），
∴∠DEO＝∠DFO，
∵△ABE∽△DAF，
∴∠AEB＝∠DFA，
∴∠AEB＝∠DEO．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质
和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ x2+bx+c与x轴交
于点A、B（点A在点B右侧），与y轴交于点C（0，﹣3），且OA＝2OC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求tan∠MAC的值；
（3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD＝45°，求点D的坐标．
第21页（共28页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据与y轴的交点C的坐标（0，﹣3）就可以求出OC的值及c的值，
进而求出OA的值及A的坐标，由待定系数法就可以求出b的值而求出解析式
及定点坐标；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM
于点E，垂足为点E．在Rt△AHM中，HM＝AH＝4，就可以求出AM的值，再由
待定系数法求出直线AC的解析式，就可以求出点N的坐标，进而求出MN的
值，由勾股定理就可以求出ME及NE的值，从而求出AE的值就可以得出结论；
（3）如图2，分类讨论，当D点在AC上方时，根据角之间的关系就可以求出
∠D AH＝∠CAM，当D点在AC下方时，∠MAC＝∠AD M就可以求出点D的
1 2
坐标．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），
∴OC＝3．y＝ x2+bx﹣3．
∵OA＝2OC，
∴OA＝6．
∵a＝ ＞0，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C（0，﹣3）．
∴A（6，0）．
∴0＝ 36+6b﹣3，
∴b＝﹣1．
∴y＝ x2﹣x﹣3，
第22页（共28页）∴y＝ （x﹣2）2﹣4，
∴M（2，﹣4）．
答：抛物线的解析式为y＝ x2﹣x﹣3，M的坐标为（2，﹣4）；
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM
于点E，垂足为点E．
∴∠AHM＝∠NEM＝90°．
在Rt△AHM中，HM＝AH＝4，由勾股定理，得
AM＝4 ，
∴∠AMH＝∠HAM＝45°．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得： ，
∴直线AC的表达式为y＝ x﹣3．
当x＝2时，y＝﹣2，
∴N（2，﹣2）．
∴MN＝2．
∵∠NEM＝90°，∠NME＝45°，
∴∠MNE＝∠NME＝45°，
∴NE＝ME．
在Rt△MNE中，
∴NE2+ME2＝NM2，
∴ME＝NE＝ ．
∴AE＝AM﹣ME＝3
在Rt△AEN中，tan∠MAC＝ ．
答：tan∠MAC＝ ；
第23页（共28页）（3）如图2， 当D点在AC上方时，
∵∠CAD ＝∠D AH+∠HAC＝45°，且∠HAM＝∠HAC+∠CAM＝45°，
1 ①1
∴∠D AH＝∠CAM，
1
∴tan∠D AH＝tan∠MAC＝ ．
1
∵点D 在抛物线的对称轴直线x＝2上，
1
∴D H⊥AH，
1
∴AH＝4．
在Rt△AHD 中，
1
D H＝AH•tan∠D AH＝4× ＝ ．
1 1
∴D （2， ）；
1
当D点在AC下方时，
∵∠D AC＝∠D AM+∠MAC＝45°，且∠AMH＝∠D AM+∠AD M＝45°，
② 2 2 2 2
∴∠MAC＝∠AD M．
2
∴tan∠AD H＝tan∠MAC＝ ．
2
在Rt△D AH中，D H＝ ．
2 2
∴D （2，﹣12）．
2
综上所述：D （2， ）；D （2，﹣12）．
1 2
第24页（共28页）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式
的运用，二次函数的顶点式的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角函数
值的运用，解答时求出函数的解析式是关键，灵活运用等腰直角三角形的性质
求解是难点．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC比AB大3，sinB＝ ，点G是
△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D．过点G的直线分别交边AB于点
P、交射线AC于点Q．
（1）求AG的长；
（2）当∠APQ＝90°时，直线PG与边BC相交于点M．求 的值；
（3）当点Q在边AC上时，设BP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它
的定义域．
第25页（共28页）【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）根据已知条件和重心的性质得出BD＝DC＝ BC，AD⊥BC，再根据
sinB＝ ＝ ，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；
（2）根据∠GMD+∠MGD＝90°和∠GMD+∠B＝90°，得出∠MGD＝∠B，再根据
特殊角的三角函数值求出DM、CM＝CD﹣DM的值，在△ABC中，根据AA求
出△QCM∽△QGA，即可求出 的值；
（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则
BE∥AD∥CF，得出 ＝ ，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据
BD＝CD，求出EG＝FG，即可得出CE+BE＝2GD，从而得出求y关于x的函数
解析式并得出它的定义域．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵AB＝AC，点G是△ABC的重心，
∴BD＝DC＝ BC，
∴AD⊥BC．
在Rt△ADB中，
∵sinB＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
∵BC﹣AB＝3，
∴AB＝15，BC＝18．
第26页（共28页）∴AD＝12．
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝ AD＝8．
（2）在Rt△MDG，
∵∠GMD+∠MGD＝90°，
同理：在Rt△MPB中，∠GMD+∠B＝90°，
∴∠MGD＝∠B．
∴sin∠MGD＝sinB＝ ，
在Rt△MDG中，∵DG＝ AD＝4，
∴DM＝ ，
∴CM＝CD﹣DM＝ ，
在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD．
∵∠QCM＝∠CDA+∠DAC＝90°+∠DAC，
又∵∠QGA＝∠APQ+∠BAD＝90°+∠BAD，
∴∠QCM＝∠QGA，
又∵∠CQM＝∠GQA，
∴△QCM∽△QGA．
∴ ＝ ＝ ．
（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则
BE∥AD∥CF．
∵BE∥AD，∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BE＝ ．
同理可得： ＝ ，即 ＝ ，
第27页（共28页）∴CF＝ ．
∵BE∥AD∥CF，BD＝CD，
∴EG＝FG．
∴CF+BE＝2GD，即 + ＝8，
∴y＝ ，（0≤x≤ ）．
【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是重心、特殊角的三角函数值、
相似三角形的判定与性质、平行线的性质等，关键是根据题意，画出图形，做出
辅助线，构造直角三角形是本题的关键．
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日期：2018/12/26 20:19:46；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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