文档内容
2014年上海市长宁区中考数学二模试卷
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．2
2．（4分）计算（﹣x3）2的结果是（ ）
A．x5 B．x6 C．﹣x5 D．﹣x6
3．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）若△ABC∽△A B C（其中点A和A 、B和B 、C和C 分别对应），且AB
1 1 1 1 1 1
＝4，A B ＝6，则△ABC的周长和△A B C 的周长之比是（ ）
1 1 1 1 1
A．9：4 B．4：9 C．2：3 D．3：2
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．正五边形 C．圆 D．等边三角形
6．（4分）下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣ D．y＝ （x＞0）
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数 的定义域是 ．
8．（4分）分解因式：x2y2﹣9＝ ．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）用换元法解方程 ﹣ ＝2，若设y＝ ，则原方程可化为关
于y的整式方程是 ．
11．（4分）若抛物线y＝2x2﹣2ax+5的顶点在直线x＝1上，则实数a＝ ．
12．（4分）小红、小芳做游戏时约定用“石头、剪刀、布”的方式确定游戏的先后
顺序，问两个人都出“石头”的概率是 ．
13．（4分）如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A地测得塔顶B的
仰角是30°，则塔高BC≈ 米．（ ≈1.732，精确到0.1米）
第1页（共25页）14．（4分）已知非零向量 与向量 的长度相等且方向相反，若 ＝k ，则k＝
．
15．（4 分）在 O 中，弦 AB＝8cm，弦心距 OC＝3cm，则该圆的半径为
cm．
⊙
16．（4分）质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10个，检测它们的直
径（单位：mm），并将有关数据绘制成下图，若所测两组数据的方差分别是 、
，则 ．（填“＞、＜或＝”）
17．（4分）如图，点D是等腰△ABC的底边AB上的点，若AC＝BC且∠ACB＝
100°，将△ACD绕点C逆时针旋转，使它与△BCD′重合，则∠D′BA＝
度．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，若AD∥BC，BC＝CD＝AC＝6，AB＝3 ，则
BD长为 ．
第2页（共25页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：2sin45°+|1﹣ |﹣ ﹣（﹣1）2014．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的图象与反比例函数y＝ （ k≠0）
的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（ 2，1），点B的坐标（﹣1，n）．
（1）分别求两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
22．（10分）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60
米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴
影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，点D、E、F分别在边BC、
AB、AC上，联结DE、EF、FD，若BE＝ ED，且FD⊥BC．
第3页（共25页）（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）若AC＝3AE，求证：四边形AEDF是菱形．
24．（12分）如图，在直角坐标平面内，四边形OABC是等腰梯形，其中OA＝AB＝
BC＝4，tan∠BCO＝ ．
（1）求经过O、B、C三点的二次函数解析式；
（2）若点P在第四象限，且△POC∽△AOB相似，求满足条件的所有点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若 P与以OC为直径的 D相切，请直接写出 P的半径．
⊙ ⊙ ⊙
25．（14分）在△ABC中，已知BA＝BC，点P在边AB上，联结CP，以PA、PC为邻
边作平行四边形 APCD，AC与PD交于点E，∠ABC＝∠AEP＝ （0°＜ ＜
90°）．
α α
（1）如图（1），求证：∠EAP＝∠EPA；
（2）如图（2），若点F是BC中点，点M、N分别在PA、FP延长线上，且∠MEN＝
∠AEP，判断EM和EN之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），若DC＝1，CP＝3，在线段CP上任取一点Q，联结DQ，将△DCQ
沿直线DQ翻折，点C落在四边形APCD外的点C′处，设CQ＝x，△DC′Q
与四边形APCD重合部分的面积为y，写出y与x的函数关系式及定义域．
第4页（共25页）第5页（共25页）2014 年上海市长宁区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，
∴sinB＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了在三角形中角的正弦值等于对边比斜边的概念．
2．（4分）计算（﹣x3）2的结果是（ ）
A．x5 B．x6 C．﹣x5 D．﹣x6
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂
的乘方，底数不变指数相乘计算后选取答案．
【解答】解：（﹣x3）2＝（﹣1）2•（x3）2＝x6．
故选：B．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次
根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、 ＝ ＝3 ，可化简；
第6页（共25页）C、 ＝ ＝ ，可化简；
D、 ＝|a| ，可化简；
因此只有B是最简二次根式．
故选：B．
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于
2，也不是最简二次根式．
4．（4分）若△ABC∽△A B C（其中点A和A 、B和B 、C和C 分别对应），且AB
1 1 1 1 1 1
＝4，A B ＝6，则△ABC的周长和△A B C 的周长之比是（ ）
1 1 1 1 1
A．9：4 B．4：9 C．2：3 D．3：2
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC∽△A B C ，
1 1 1
∴△ABC的周长和△A B C 的周长之比＝AB：A B ＝4：6＝2：3．
1 1 1 1 1
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．正五边形 C．圆 D．等边三角形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形：如果一个图
形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对
第7页（共25页）称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能
和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
6．（4分）下列函数中，y的值随着x逐渐增大而减小的是（ ）
A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣ D．y＝ （x＞0）
【考点】F6：正比例函数的性质；G4：反比例函数的性质；H3：二次函数的性质．
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【分析】反比例函数、二次函数的增减性都有限制条件（即范围），一次函数当一次
项系数为负数时，y随着x增大而减小．
【解答】解：A、函数y＝2x的图象是y随着x增大而增大，故本选项错误；
B、函数函数y＝x2的对称轴为x＝0，当x≤0时y随着x增大而减小，故本选项错
误；
C、函数y＝﹣ ，当x＜0或x＞0时，y随着x增大而增大，故本选项错误；
D、函数y＝ ，当x＞0时，y随着x增大而减小，故本选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性．关键是明确各函
数的增减性的限制条件．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数 的定义域是 x ≥ 3 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为x≥3．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个
方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
第8页（共25页）8．（4分）分解因式：x2y2﹣9＝ （ x y + 3 ）（ x y ﹣ 3 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x2y2﹣9＝（xy+3）（xy﹣3）．
故答案为：（xy+3）（xy﹣3）．
【点评】此题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的形式
是解题关键．
9．（4分）不等式组 的解集是 x ≤ 0 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可确定出
不等式组的解集．
【解答】解： ，
由 得：x＜1，
由 得：x≤0，
①
则不等式组的解集为x≤0．
②
故答案为：x≤0
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解
本题的关键．
10．（4分）用换元法解方程 ﹣ ＝2，若设y＝ ，则原方程可化为关
于y的整式方程是 y 2 ﹣ 2 y ﹣ 3 ＝ 0 ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【分析】可根据方程特点设y＝ ，则原方程可化为y+ ＝2．
【解答】解：设y＝ ，则原方程化为y﹣ ＝2．
∴y2﹣2y﹣3＝0．
故答案为：y2﹣2y﹣3＝0．
【点评】本题考查用换元法解分式方程的能力．用换元法解一些复杂的分式方程
第9页（共25页）是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，将分式方程能够转化
为整式方程．
11．（4分）若抛物线y＝2x2﹣2ax+5的顶点在直线x＝1上，则实数a＝ 2 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据抛物线的顶点在直线x＝1上可以得到该顶点坐标的横坐标为1，从
而得到有关a的方程求得a值即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣2ax+5的顶点在直线x＝1上，
∴ ＝1，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的顶点在直线x＝
1上就是该顶点坐标的横坐标为1．
12．（4分）小红、小芳做游戏时约定用“石头、剪刀、布”的方式确定游戏的先后
顺序，问两个人都出“石头”的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个
人都出“石头”的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∴一共有9种情况，两个人都出“石头”的有一种，
∴两个人都出“石头”的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图
第10页（共25页）法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
13．（4分）如图，若某人在距离大厦BC底端C处200米远的A地测得塔顶B的
仰角是30°，则塔高BC≈ 115. 5 米．（ ≈1.732，精确到0.1米）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据正切函数的定义tan∠A＝ ，可得BC＝AC•tan∠A，将数值代入计
算即可求解．
【解答】解：由题意，可知AC＝200米，∠A＝30°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴tan∠A＝ ，
∴BC＝AC•tan∠A＝200× ≈115.5（米）．
即塔高BC≈115.5米．
故答案为115.5．
【点评】本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角
三角形．
14．（4分）已知非零向量 与向量 的长度相等且方向相反，若 ＝k ，则k＝ ﹣
1 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由非零向量 与向量 的长度相等且方向相反，可得 ＝﹣ ，又由 ＝k ，
即可求得答案．
【解答】解：∵非零向量 与向量 的长度相等且方向相反，
∴ ＝﹣ ，
∵ ＝k ，
∴k＝﹣1．
第11页（共25页）故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意由非零向量 与向量 的
长度相等且方向相反，可得 ＝﹣ 是解此题的关键．
15．（4分）在 O中，弦AB＝8cm，弦心距OC＝3cm，则该圆的半径为 5 cm．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
⊙
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【分析】首先根据题意画出图形，然后根据垂径定理的性质，即可求得AC的长，再
利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图：连接OA，
∵OC是弦心距，
∴OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×8＝4（cm），
∴OA＝ ＝5（cm）．
∴该圆的半径为5cm．
故答案为：5．
【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题比较简单，解题的关键是注
意数形结合思想的应用．
16．（4分）质检部门从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10个，检测它们的直
径（单位：mm），并将有关数据绘制成下图，若所测两组数据的方差分别是 、
，则 ＜ ．（填“＞、＜或＝”）
第12页（共25页）【考点】W7：方差．
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【分析】方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式先算出平
均数，然后再利用方差公式计算即可．
【解答】解：由题意得： ＝（40.2+40.1+40×3+39.9×3+39.8×2）÷10＝39.96，
A
S2 ＝（[ 40.2﹣39.96）2+（40.1﹣39.96）2+（40﹣39.96）2×3+（39.9﹣39.96）2×3+（39.8
A
﹣39.96）2×2]÷10＝0.0144，
＝（40.2×4+40.1+39.9+39.8×4）÷10＝40，
B
S2 ＝[（40.2﹣40）2×4+（40.1﹣40）2+（39.9﹣40）2+（39.8﹣40）2×4]÷10＝0.034，
B
∵S2 ＜S2 ，
A B
故答案为：＜．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，
1 2 n
则方差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大
1 2 n
小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
17．（4分）如图，点D是等腰△ABC的底边AB上的点，若AC＝BC且∠ACB＝
100°，将△ACD绕点C逆时针旋转，使它与△BCD′重合，则∠D′BA＝ 8 0
度．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】首先根据旋转的性质得：△ACD≌△BCD′，则可得∠A＝∠CBD′，又由
AC＝BC且∠ACB＝100°，即可求得∠A与∠ABC的度数，继而求得∠D′BA．
【解答】解：根据旋转的性质得：△ACD≌△BCD′，
第13页（共25页）∴∠A＝∠CBD′，
∵AC＝BC且∠ACB＝100°，
∴∠A＝∠ABC＝ ＝40°，
∴∠CBD′＝∠A＝40°，
∴∠D′BA＝∠D′BC+∠ABC＝80°．
故答案为：80．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握
旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
18．（4分）如图，在四边形ABCD中，若AD∥BC，BC＝CD＝AC＝6，AB＝3 ，则
BD长为 3 ．
【考点】JC：平行线之间的距离；KQ：勾股定理．
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【分析】以C为圆心BC为半径，作 C，延长BC交 C与点B′，连接DB′．根
据直径所对的圆周角是直角得出∠BDB＝90°．由平行线所夹的弧相等，相等
⊙ ⊙
的弧所对的弦相等得出DB′＝AB，从而由勾股定理求得BD的长．
【解答】解：以C为圆心BC为半径，作 C，延长BC交 C与点B′，连接DB′，
则∠BDB′＝90°．
⊙ ⊙
∵AD∥BC，
∴DB′＝AB＝3 ，
又∵BB′＝2BC＝12，
∴BD＝ ＝3 ．
故答案为3 ．
第14页（共25页）【点评】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，难度适中．准确作出辅助线是解
题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：2sin45°+|1﹣ |﹣ ﹣（﹣1）2014．
【考点】2C：实数的运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】分别进行特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式的化简等运算，
然后合并．
【解答】解：原式＝2× + ﹣1﹣2 ﹣1
＝﹣2．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二
次根式的化简等知识，属于基础题．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】先由 得：（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，求出x＝2y或x＝3y，再分别代入 ，求
出x，y的值即可．
① ②
【解答】解： ，
由 得：（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，
则x＝2y或x＝3y，
①
将x＝2y代入 得y＝ ，x＝ ，
②
将x＝3y代入 得y＝ ，x＝ ，
②
则方程组的解是： ， ．
【点评】此题考查了高次方程，关键是把高次方程转化成两个低次方程，用到的知
识点是代入法，注意结果有两组．
第15页（共25页）21．（10分）如图，一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的图象与反比例函数y＝ （ k≠0）
的图象相交于A、B两点且点A的坐标为（ 2，1），点B的坐标（﹣1，n）．
（1）分别求两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标代入解析式，可得答案；
（2）根据面积的和差，可得答案．
【解答】解：（1）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的图象与反比例函数y＝ （ k≠0）的
图象相交于A、B两点且点A的坐标为（ 2，1），
，
解得
一次函数的解析式是y＝x﹣1，
反比例函数的解析式是y＝ ；
（2）当x＝0时，y＝﹣1，
S ＝ |﹣1|×2+ |﹣1|×|﹣1|
三角形AOB
＝1+
＝ ．
第16页（共25页）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，（1）待定系数法解题是解
题的关键，（2）转化的思想是解题关键，将大三角形的面积转化成两个小三角
形的面积．
22．（10分）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60
米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴
影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】分别表示出阴影部分的矩形的长和宽，然后利用矩形的面积公式列出方
程求解．
【解答】解：设小路的宽为x米，根据题意得：（40﹣2x）（60﹣2x）＝800，
解得：x＝10或x＝40（舍去）
答：小路的宽为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出阴影部分的
长和宽．
23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，点D、E、F分别在边BC、
AB、AC上，联结DE、EF、FD，若BE＝ ED，且FD⊥BC．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）若AC＝3AE，求证：四边形AEDF是菱形．
【考点】L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定．
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第17页（共25页）【分析】（1）分别证明AB∥FD，ED∥AC可证明四边形AEDF是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质可得AE＝FD，再根据直角三角形的性质可得AC＝
3AE，然后证明AF＝FD，可得四边形AEDF是菱形．
【解答】证明：（1）∵FD⊥BC，
∴∠FDC＝90°，
∵∠B＝90°，
∴AB∥FD，
∵BE＝ ED，
∴sin∠EDB＝ ，
∴∠EDB＝30°，
∵∠C＝30°，
∴ED∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形；
（2）∵四边形AEDF是平行四边形，
∴AE＝FD，
∵∠C＝30°，
∴FD＝ FC，
∵AC＝3AE，
∴AE＝ AC，
∴ FC＝ AC，
∴3FC＝2AC，
3FC＝2（AF+FC），
3FC＝2AF+2FC，
CF＝2AF，
∴AF＝FD，
∴四边形AEDF是菱形．
第18页（共25页）【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及菱形的判定，关键是掌握
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．
24．（12分）如图，在直角坐标平面内，四边形OABC是等腰梯形，其中OA＝AB＝
BC＝4，tan∠BCO＝ ．
（1）求经过O、B、C三点的二次函数解析式；
（2）若点P在第四象限，且△POC∽△AOB相似，求满足条件的所有点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若 P与以OC为直径的 D相切，请直接写出 P的半径．
⊙ ⊙ ⊙
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先根据三角函数求得C点的坐标，然后应用待定系数法即可求得解
析式；
（2）有两种情况：当PO＝PC时，根据三角函数求得∠AOC＝∠BCO＝60°，根据
等腰梯形的性质求得∠AOB＝∠ABO＝30°，然后根据三角形相似，即可求得
∠POC＝∠PCO＝30°，因为OD＝4，根据三角函数即可求得PD的长，进而求
得P点坐标；当PC＝OC时，通过三角形相似求得∠OPC＝∠COP＝30°，因为
OC＝PC＝8，得出∠PCD＝60°，进而得出PD＝4 ，CD＝4，即可求得P的坐
标．
（3）如图 P的半径就是PD+OD的长，如图 根据P的坐标先求得OP的长，
再通过解三角函数求得OM、QM的值，然后根据勾股定理即可求得．
①⊙ ②
【解答】解：（1）∵四边形OABC是等腰梯形，其中OA＝AB＝BC＝4，tan∠BCO＝
，
∴O（0，0），B（6，2 ），C（8，0），
第19页（共25页）设经过O、B、C三点的二次函数解析式为：y＝ax2+bx+c，则 ，
解得 ．
∴过O、B、C三点的二次函数解析式为：y＝﹣ x2+ x；
（2）有两种情况，
如图1，当PO＝PC时，
∵tan∠BCO＝ ，
∴∠AOC＝∠BCO＝60°，
∠OAB＝120°，
∵OA＝AB＝4，
∴∠AOB＝∠ABO＝30°，
∵△POC∽△AOB，OA＝AB，PO＝PC，
∴∠POC＝∠PCO＝30°
∴P（4，﹣ ），
如图2，当PC＝OC时，
∵△POC∽△AOB，OA＝OB，CO＝PC，
∴∠OPC＝∠COP＝30°，
∵OC＝PC＝8，
∴∠PCD＝60°，
∴PD＝4 ，CD＝4，
∴P（12，﹣4 ）
第20页（共25页）（3） P的半径是4+ 或4 ﹣4；
⊙
如图 ，∵PD＝ ，
①
∴ P的半径为4+ 或4﹣ ．
如⊙图 ，作QM⊥OP，∵∠POC＝30°，
∴QM ②＝ OQ＝ OC＝2，OM＝2 ，
∵P（12，﹣4 ），
∴OP＝8 ，
∴PM＝OP﹣OM＝6 ，
∴PQ＝ ＝4 ，
∴ P的半径为4 ﹣4或4 +4．
综⊙上， P的半径为4+ 或4﹣ 或4 ﹣4或4 +4．
⊙
第21页（共25页）【点评】本题考查了解直角三角函数值，待定系数法求解析式，数形结合求点的坐
标以及圆的内切和外切的性质等．
25．（14分）在△ABC中，已知BA＝BC，点P在边AB上，联结CP，以PA、PC为邻
边作平行四边形 APCD，AC与PD交于点E，∠ABC＝∠AEP＝ （0°＜ ＜
90°）．
α α
（1）如图（1），求证：∠EAP＝∠EPA；
（2）如图（2），若点F是BC中点，点M、N分别在PA、FP延长线上，且∠MEN＝
∠AEP，判断EM和EN之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），若DC＝1，CP＝3，在线段CP上任取一点Q，联结DQ，将△DCQ
沿直线DQ翻折，点C落在四边形APCD外的点C′处，设CQ＝x，△DC′Q
与四边形APCD重合部分的面积为y，写出y与x的函数关系式及定义域．
【考点】LO：四边形综合题．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可知∠ACB＝∠CAB，再由三角形内角和定理
即可证出∠AEP＝∠EAP；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定，得出△EAM≌△EPN，
第22页（共25页）（3）利用△DC′Q≌△QFD，求出C′Q＝FD，DQ＝x﹣ ，再求出y＝（x﹣
）×1÷2．
【解答】（1）证明：在△ABC和△AEP中
∵∠ABC＝∠AEP，∠BAC＝∠EAP
∴∠ACB＝∠APE
∵在△ABC中，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，∠AEP+∠EAP+∠EPA＝180°，
∴∠EPA＝∠EAP．
（2）解：∵四边形APCD是平行四边形，
∴AC＝2EA，PD＝2EP，
∵由（1）知∠EPA＝∠EAP，
∴EA＝EP，
则AC＝PD，
∴ ▱APCD是矩形．
∵EA＝EP，
∴∠EPA＝ ＝ ＝90°﹣
α
∴∠EAM＝180°﹣∠EPA＝180°﹣（90°﹣ ）＝90°+
由（2）知∠CPB＝90°，F是BC的中点， α α
∴FP＝FB，
∴∠FPB＝∠ABC＝ ，
∴∠EPN＝∠EPA+∠α APN＝∠EPA+∠FPB＝90°﹣ + ＝90°+
∴∠EAM＝∠EPN， α α α
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，
∴∠AEP＝∠MEN，
第23页（共25页）∴∠AEP﹣∠AEN＝∠MEN﹣∠AEN，即∠MEA＝∠NEP，
在△EAM和△EPN中，
∴△EAM≌△EPN（ASA），
∴EM＝EN．
（3）解：过G点作GH⊥PC于H，
由△DCQ沿直线DQ翻折得到△DC′Q，C′D＝CD＝1，C′Q＝CQ＝x，
在△DC′G和△GQH中，
，
∴△DC′G≌△GQH，
设C′G＝a，DG＝CH＝CQ﹣HQ＝CQ﹣C′G＝x﹣a，在Rt△DC′G中，根据
勾股定理（x﹣a）2＝a2+12
∴a＝
DG＝x﹣
∴y＝ ×DG×1＝ ×（x﹣ ）×1＝ ，
∴y＝ （1＜x≤3）．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，三角形的内角和定理，等腰
第24页（共25页）三角形的性质和判定的综合运用．
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日期：2018/12/26 20:21:12；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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