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2014年上海市闸北区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．）
1．（4分）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
2．（4分）已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2＝BC•AB，则下列式子成立
的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列关于抛物线 和 的关系说法中，正确的是 （ ）
A．它们的形状相同，开口也相同
B．它们都关于y轴对称
C．它们的顶点不相同
D．点（﹣3，3）既在抛物线 上也在 上
4．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 或 D．
5．（4分）已知 、 都是锐角，如果sin ＝cos ，那么 与 之间满足的关系是（
）
α β α β α β
A． ＝ B． + ＝90° C． ﹣ ＝90° D． ﹣ ＝90°
6．（4分）如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，
α β α β α β β α
则图中的相似三角形对数共有（ ）
第1页（共31页）A．8对 B．6对 C．4对 D．2对
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知a：b＝3：2，则（a﹣b）：a＝ ．
8．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、
1 2
F，如果DE：EF＝3：5，AC＝24，则BC＝ ．
9．（4分）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，当AC＝3，AB＝5，DE＝
10，EF＝8时，Rt△ABC和Rt△DEF是 的．（填“相似”或者“不相
似”）
10．（4分）两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为 ．
11．（4分）化简： ＝ ．
12．（4分）如图，某人在塔顶的P处观测地平面上点C处，经测量∠P＝35°，则他
从P处观察C处的俯角是 度．
13．（4分）将二次函数y＝x2﹣2x+m的图象向下平移1个单位后，它的顶点恰好
落在x轴上，则m＝ ．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝9，BD＝4，则AC
＝ ．
15．（4分）一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y
平方厘米，则y关于x的函数解析式是 ．（不写定义域）
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，AD＝18，∠BAD的平分线交
BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝ ，则△CEF
的周长是 ．
第2页（共31页）17．（4分）如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE＝1：2
时，则∠B的正切值为 ．
18．（4分）如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC＝1：3，将
△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线
AB重合，设AC与DF相交于点O，则S ：S ＝ ．
△AOF △DOC
三、解答题
19．（10分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．
求：
（1）求b，c的值；
（2）求△ABP的面积；
（3）若点C（x ，y ）和点D（x ，y ）在该抛物线上，则当0＜x ＜x ＜1时，请写出y
1 1 2 2 1 2 1
与y 的大小关系．
2
20．（10分）已知：如图，EF是△ABC的中位线，设 ， ．
（1）求向量 、 （用向量 、 表示）；
（2）在图中求作向量 在 、 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
第3页（共31页）21．（10分）如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，
铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底
部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜
坡的坡度i＝1：1.875，同时他测得自己的影长NH＝336cm，而他的身长MN为
168cm，求铁塔的高度．
22．（10分）已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD＝
∠B，DC＝3且S ：S ＝1：2．
△ACD △ADB
（1）求AC的值；
（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且
AB∥DE，求 的值．
23．（12分）小华同学学习了第二十五章《锐角三角比》后，对求三角形的面积方
法进行了研究，得到了新的结论：
（1）如图1，已知锐角△ABC．求证： ；
第4页（共31页）（2）根据题（1）得到的信息，请完成下题：如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC＝12
厘米，点P从A点出发，沿着边AB移动，点Q从C点出发沿着边CA移动，点
Q的速度是1厘米/秒，点P的速度是点Q速度的2倍，若它们同时出发，设移
动时间为t秒，
问：当t为何值时， ？
24．（12分）已知：如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于点A、
B，（点A在点B的左侧）且满足OC＝4OA．设抛物线的对称轴与x轴交于点
M：
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）联接CM，点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求直
线AQ的解析式．
25．（14分）已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，斜边AB的长为4，过点
C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且
∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
第5页（共31页）（2）设CD＝x，tan∠BAE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．
第6页（共31页）2014 年上海市闸北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．）
1．（4分）对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ）
A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变
B．图形中线段的长度与角的大小都会改变
C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变
D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变
【考点】S5：相似图形．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得
出答案．
【解答】解：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，
∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，
故选：D．
【点评】本题主要考查对相似图形的性质的理解和掌握，能熟练地根据相似图形
的性质进行说理是解此题的关键．
2．（4分）已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2＝BC•AB，则下列式子成立
的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断
即可．
【解答】解：AC2＝BC•AB，
AC2﹣BC•AB＝0，
AC2﹣（AB﹣AC）AB＝0，
AC2+AB•AC﹣AB2＝0，
第7页（共31页）AC＝ ，
∵边长为正值，
∴AC＝ AB，BC＝AB﹣AC＝ ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
即选项A、C、D错误，只有选项B正确；
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，主要考查学生的计算能
力．
3．（4分）下列关于抛物线 和 的关系说法中，正确的是 （ ）
A．它们的形状相同，开口也相同
B．它们都关于y轴对称
C．它们的顶点不相同
D．点（﹣3，3）既在抛物线 上也在 上
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据抛物线y＝ax2的性质直接回答即可．
【解答】解：根据两个函数知道其二次项系数a的绝对值相等，
所以开口方向相反，都关于y轴对称，顶点都为原点，
点D在抛物线 上，不在 上，
故A、C、D错误，B正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如y＝ax2的抛物线的
性质．
4．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A． B．
第8页（共31页）C．若 ，则 或 D．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由平面向量的定义与运算，可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应
用．
【解答】解：A、 ，故本选项正确；
B、 ，故本选项正确；
C、若 ，无法判定 与 的关系，因为向量有方向性；故本选项错误；
D、 ，故本选项正确．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的定义与运算．此题比较简单，注意理解平面向量的
定义是解此题的关键．
5．（4分）已知 、 都是锐角，如果sin ＝cos ，那么 与 之间满足的关系是（
）
α β α β α β
A． ＝ B． + ＝90° C． ﹣ ＝90° D． ﹣ ＝90°
【考点】T4：互余两角三角函数的关系．
α β α β α β β α
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【分析】根据 、 都是锐角，sin ＝cos ，可得 、 互为余角．
【解答】解：∵ 、 都是锐角，如果sin ＝cos ，
α β α β α β
sin ＝cos（90°﹣ ）＝cos ，
α β α β
∴ + ＝90°，
α α β
故选：B．
α β
【点评】本题考查了互为余角两三角函数的关系，两角都是锐角，一角的正弦等于
另一角的余弦，这两个锐角互余．
6．（4分）如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，
则图中的相似三角形对数共有（ ）
A．8对 B．6对 C．4对 D．2对
【考点】L5：平行四边形的性质；S8：相似三角形的判定．
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第9页（共31页）【分析】根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD∥BC，
AB∥CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形
另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，
∴△GAB∽△BCF，
还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），
∴共有6对．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定方法（平行于三角形一边的直线与三角形
另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似）与平行四边形的性质（平行四
边形的对边平行）．解题的关键是要注意数形结合思想的应用，注意做到不重
不漏．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知a：b＝3：2，则（a﹣b）：a＝ 1 ： 3 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据两內项之积等于两外项之积用a表示出b，然后代入比例式进行计算
即可得解．
【解答】解：∵a：b＝3：2，
∴b＝ a，
∴（a﹣b）：a＝（a﹣ a）：a＝1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．
8．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、
1 2
F，如果DE：EF＝3：5，AC＝24，则BC＝ 1 5 ．
第10页（共31页）【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ＝ ＝ ，再根据BC＝AC× 代入
计算即可．
【解答】解；∵AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ＝ ，
∵AC＝24，
∴BC＝24× ＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比
例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．
9．（4分）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，当AC＝3，AB＝5，DE＝
10，EF＝8时，Rt△ABC和Rt△DEF是 相似 的．（填“相似”或者“不相
似”）
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】首先利用勾股定理得出BC，DF的长，进而利用相似三角形的判定得出即
可．
【解答】解：如图所示：∵AC＝3，AB＝5，DE＝10，EF＝8，
∴BC＝ ＝4，DF＝ ＝6，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠C＝∠F＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF．
故答案为：相似．
第11页（共31页）【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定，根据已知得出 ＝
＝ 是解题关键．
10．（4分）两个相似三角形对应边的比为2：3，则它们的周长比为 2 ： 3 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们对应周长的比为2：3．
故答案为：2：3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
11．（4分）化简： ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用三角形法则求解，即可求得答案．
【解答】解： ＝ + ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则的应用．
12．（4分）如图，某人在塔顶的P处观测地平面上点C处，经测量∠P＝35°，则他
从P处观察C处的俯角是 5 5 度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过P作平行于地平面的直线PO，根据∠P＝35°，可得∠CPO＝90°﹣∠P
第12页（共31页）＝55°，继而可得从P处观察C处的俯角为55°．
【解答】解：过P作平行于地平面的直线PO，
∵∠P＝35°，
∴∠CPO＝90°﹣∠P＝55°，
∵从P处观察C处的俯角即为∠CPO，
∴从P处观察C处的俯角为55°．
故答案为：55．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握俯角是向下看的
视线与水平线的夹角．
13．（4分）将二次函数y＝x2﹣2x+m的图象向下平移1个单位后，它的顶点恰好
落在x轴上，则m＝ 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据向下平移横坐标不变，纵坐
标减写出平移后的解析式，然后根据顶点在x轴上，纵坐标为0列式计算即可
得解．
【解答】解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，
∵图象向下平移1个单位，
∴平移后的二次函数解析式为y＝（x﹣1）2+m﹣2，
∵顶点恰好落在x轴上，
∴m﹣2＝0，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右
减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝9，BD＝4，则AC
＝ ．
第13页（共31页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；SE：射影定理．
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【分析】根据题意画出图形，先根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△CBD，
再由相似三角形的对应边成比例求出CD的长，根据勾股定理即可得出AC的
长．
【解答】解：如图所示：
∵Rt△ABC中∠C＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ，即CD2＝AD•BD＝9×4＝36，解得CD＝6，
在Rt△ACD中，
∵AD＝9，CD＝6，
∴AC＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比
例是解答此题的关键．
15．（4分）一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y
平方厘米，则y关于x的函数解析式是 y ＝ x 2 + 6 x ．（不写定义域）
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】首先表示出原边长为3厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正
方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．
【解答】解：原边长为3厘米的正方形面积为：3×3＝9（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：x+3，
则面积为：（x+3）2平方厘米，
∴y＝（x+3）2﹣9＝x2+6x．
第14页（共31页）故答案为：y＝x2+6x．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正
方形的面积．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，AD＝18，∠BAD的平分线交
BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝ ，则△CEF
的周长是 1 6 ．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；
S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解答】解：∵在 ▱ABCD中，AB＝CD＝12，AD＝BC＝18，∠BAD的平分线交BC
于点E，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝18；
∵AB＝BE＝12，
∴CF＝6；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝12，BG＝8 ，
可得：AG＝4，
又∵BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝8，
∴△ABE的周长等于32，
又∵ ▱ABCD，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为16．
故答案为16．
【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程
度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角
第15页（共31页）形的周长比等于相似比，难度较大．
17．（4分）如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE＝1：2
时，则∠B的正切值为 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】连接AG并延长交BC于点H，因为点G是Rt△ABC的重心，所以BH＝
CH， ＝ ，再由相似三角形的判定定理可知△AGE∽△AHC，故可得出
＝ ＝ ，设GE＝2x，则CH＝3x，再根据GF：GE＝1：2可知，GF＝HF＝x，由
于四边形GECF是矩形，故CE＝GF＝x，所以AC＝2CE＝3x，根据tan∠B＝
即可得出结论．
【解答】解：连接AG并延长交BC于点H，
∵点G是Rt△ABC的重心，
∴BH＝CH， ＝ ，
∵GE∥BC，
∴△AGE∽△AHC，
∴ ＝ ＝ ，
设GE＝2x，则CH＝3x，BC＝6x，
∵GF：GE＝1：2，
∴GF＝HF＝x，
∵四边形GECF是矩形，
∴CE＝GF＝x，
∴AC＝3CE＝3x，
第16页（共31页）∴tan∠B＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点
的距离之比为2：1是解答此题的关键．
18．（4分）如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC＝1：3，将
△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线
AB重合，设AC与DF相交于点O，则S ：S ＝ ．
△AOF △DOC
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】如图，作DG⊥AB于G，设AD＝x，则BD＝3x，由勾股定理就可以求出AB
＝ x，由三角形的面积公式求出DG的值，由三角函数值求出AG，就可以表
示出AE，从而求出AF，再由△AFO∽△DCO就可以求出结论．
【解答】解：作DG⊥AB于G，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C．
设AD＝x，则BD＝3x，由勾股定理，得
AB＝ x，
∴AC＝ x．
∴ ，
∴ ，
∴GD＝ ．
第17页（共31页）∵ ＝ ＝tan∠C．
∴tan∠B＝ ．
∵∠ADG+∠GAD＝90°，∠B+∠GAD＝90°，
∴∠ADG＝∠B．
∴tan∠ADG＝ ，
∴ ，
∴AG＝ ．
∵△FDE是由△CDA旋转得来的，
∴△FDE≌△CDA，
∴DE＝DA．∠F＝∠C．
∵DG⊥AB，
∴AG＝EG．
∴AE＝2AG，
∴AE＝ ．
∴AF＝ ＝ ．
∵∠AOF＝∠DOC，∠F＝∠C，
∴△AFO∽△DCO，
∴S ：S ＝ ＝（ ）2．
△AOF △DOC
＝ ．
故答案为： ．
第18页（共31页）【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，旋转的性质的运
用，三角函数值的运用，相似三角形的判定与性质的运用，三角形面积公式的
运用，解答时证明三角形相似是关键．
三、解答题
19．（10分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（5，0）两点，顶点为P．
求：
（1）求b，c的值；
（2）求△ABP的面积；
（3）若点C（x ，y ）和点D（x ，y ）在该抛物线上，则当0＜x ＜x ＜1时，请写出y
1 1 2 2 1 2 1
与y 的大小关系．
2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）利用交点式得到y＝﹣（x+1）（x﹣5），然后展开即可得到b和c的值；
（2）先把抛物线的解析式配成顶点式得到P点坐标为（2，9），然后根据三角形面
积公式计算即可；
（3）由于抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，则根据二次函数的性质可确定
y 与y 的大小关系．
1 2
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣5），
所以y＝﹣x2+4x+5，
所以b＝4，c＝5；
（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
P点坐标为（2，9），
所以△ABP的面积＝ ×6×9＝27；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，
所以当0＜x ＜x ＜1时，y ＜y ．
1 2 1 2
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数关系式：要根据题目给定的条件，选择
第19页（共31页）恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，
常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点
或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点
时，可选择设其解析式为交点式来求解．
20．（10分）已知：如图，EF是△ABC的中位线，设 ， ．
（1）求向量 、 （用向量 、 表示）；
（2）在图中求作向量 在 、 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）由EF是△ABC的中位线，设 ， ，利用三角形的中位线的性
质，即可求得 ，然后由三角形法则，求得 ；
（2）利用平行四边形法则，即可求得向量 在 、 方向上的分向量．
【解答】解：（1）∵EF是△ABC的中位线， ．
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ；
（2）如图，过点E作EM∥AC，
则 与 即为向量 在 、 方向上的分向量．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握三角形法则与平行
四边形法则的应用．
第20页（共31页）21．（10分）如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，
铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底
部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜
坡的坡度i＝1：1.875，同时他测得自己的影长NH＝336cm，而他的身长MN为
168cm，求铁塔的高度．
【考点】SA：相似三角形的应用；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．利用勾股定
理和相似三角形的性质求出DF，FE，从而得到BE的长，再用相似三角形的性
质求出AB即可．
【解答】解：作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．
在Rt△CFD中，
i＝1：1.875，
即CF：DF＝1：1.875＝8：15；
设CF＝8x米，则DF＝15x米，
由勾股定理可得，
（8x）2+（15x）2＝CD2，
∴CD＝17x＝3.4，
∴x＝0.2，
∴DF＝15×0.2＝3米，CF＝8×0.2＝1.6米．
第21页（共31页）∵FE：CF＝NH：NM，
∴FE：1.6＝336：168，
∴FE＝3.2，
∴BE＝BD+DF+FE＝2+3+3.2＝8.2米．
∴AB：BE＝MN：NH，
∴AB：8.2＝168：336，
∴AB＝4.1米．
答：铁塔高度为4.1米．
【点评】本题考查了坡度与坡角及相似三角形的应用，构造直角三角形是解题的
关键．
22．（10分）已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD＝
∠B，DC＝3且S ：S ＝1：2．
△ACD △ADB
（1）求AC的值；
（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且
AB∥DE，求 的值．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出BD＝2CD，然后求
出BC，再根据两组角对应相等两三角形相似求出△ABC和△DAC相似，然后
根据相似三角形对应边成比例可得 ＝ ，代入数据计算即可得解；
（2）根据翻折的性质可得∠E＝∠C，DE＝CD，再根据两直线平行，内错角相等可
得∠B＝∠EDF，然后求出∠EDF＝∠CAD，再根据两组角对应相等两三角形
相似求出△EFD和△ADC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方
第22页（共31页）求解即可．
【解答】解：（1）∵S ：S ＝1：2，
△ACD △ADB
∴BD＝2CD，
∵DC＝3，
∴BD＝2×3＝6，
∴BC＝BD+DC＝6+3＝9，
∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得AC＝3 ；
（2）由翻折的性质得，∠E＝∠C，DE＝CD＝3，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠EDF，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠EDF＝∠CAD，
∴△EFD∽△ADC，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换的性质，以及平行线的性
质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，难点在于利用两组角对应相等，
两三角形相似确定出相似的三角形．
23．（12分）小华同学学习了第二十五章《锐角三角比》后，对求三角形的面积方
法进行了研究，得到了新的结论：
（1）如图1，已知锐角△ABC．求证： ；
（2）根据题（1）得到的信息，请完成下题：如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC＝12
厘米，点P从A点出发，沿着边AB移动，点Q从C点出发沿着边CA移动，点
第23页（共31页）Q的速度是1厘米/秒，点P的速度是点Q速度的2倍，若它们同时出发，设移
动时间为t秒，
问：当t为何值时， ？
【考点】AD：一元二次方程的应用；T7：解直角三角形．
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【专题】25：动点型．
【分析】（1）首先过点C作CE⊥AB于点E，则sinA＝ ，进而得出EC的长，即
可得出答案；
（2）首先表示出△APQ的面积，进而得出△ABC的面积，进而利用 求出
t的值即可．
【解答】解：（1）如图1，
过点C作CE⊥AB于点E，
sinA＝ ，
∴EC＝ACsinA，
S ＝ EC×AB＝ AB×ACsinA；
△ABC
（2）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
设移动时间为t秒，则AP＝2t，CQ＝t，
∴PE＝APsinA，BF＝12sinA，
S ＝ AQ×PE＝ ×（12﹣t）×APsinA＝ ×（12﹣t）×2t×sinA＝t（12﹣t）sinA，
△APQ
第24页（共31页）S ＝ BF×AC＝ ×12×12sinA＝72sinA，
△ABC
当 ，
∴ ＝ ，
∴整理得出：t2﹣12t+27＝0，
解得：t ＝3，t ＝9（不合题意舍去），
1 2
∴当t＝3秒时， ．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用和一元二次方程的解法，根据已知
表示出△APQ的面积是解题关键．
24．（12分）已知：如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于点A、
B，（点A在点B的左侧）且满足OC＝4OA．设抛物线的对称轴与x轴交于点
M：
（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；
（2）联接CM，点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求直
线AQ的解析式．
第25页（共31页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）令x＝0求出点C的坐标，再求出OA的长度，然后写出点A的坐标，
代入抛物线求出m的值，即可得解，再利用对称轴解析式求出点 M的坐标即
可；
（2）求出OM的长，再利用勾股定理列式求出CM，令y＝0，解关于x的一元二次
方程求出点B的坐标，得到OB的长度，再求出BM，然后分 ∠BQM＝90°时，
△COM和△BQM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，过点Q
①
作QD⊥x轴于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，从而写出点Q的
坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答； ∠MBQ＝90°时，△COM
和△QBM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，再写出点Q的坐
②
标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴点C（0，4），
OC＝4，
∵OC＝4OA，
∴OA＝1，
∴点A（﹣1，0），
把点A坐标代入抛物线y＝﹣ x2+mx+4得，﹣ ×（﹣1）2+m×（﹣1）+4＝0，
解得m＝ ，
∴抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+4，
第26页（共31页）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
∴点M的坐标为（2，0）；
（2）∵OM＝2，OC＝4，
∴CM＝ ＝2 ，
令y＝0，则﹣ x2+ x+4＝0，
整理得x2﹣4x﹣5＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝5，
1 2
∴点B的坐标为（5，0），
∴OB＝5，
∴BM＝OB﹣OM＝5﹣2＝3，
如图， ∠BQM＝90°时，△COM和△BQM相似，
①
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得BQ＝ ，
过点Q作QD⊥x轴于D，
则BD＝BQ•cos∠QBM＝ × ＝ ，QD＝BQ•sin∠QBM＝ × ＝
，
∴OD＝OB﹣BD＝5﹣ ＝ ，
∴点Q的坐标为（ ，﹣ ），
设直线AQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），
第27页（共31页）则 ，
解得 ，
∴直线AQ的解析式为y＝﹣ x﹣ ；
∠MBQ＝90°时，△COM和△QBM相似，
②
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得BQ＝6，
∴点Q的坐标为（5，﹣6），
设直线AQ的解析式为y＝kx+b（k≠0），
则 ，
解得 ，
∴直线AQ的解析式为y＝﹣x﹣1；
综上所述，当△QMB与△COM相似时，直线AQ的解析式为y＝﹣ x﹣ 或y＝
﹣x﹣1．
第28页（共31页）【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点坐标的求
法，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，相似三角
形的性质，解直角三角形，难点在于（2）要分情况讨论．
25．（14分）已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，斜边AB的长为4，过点
C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且
∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）设CD＝x，tan∠BAE＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△COD与△BEA相似，求CD的值．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）首先利用两角对应相等，证明△ACD∽△ABE，进而证明
△ADE∽△ACB；
（2）如答图1所示，过点D作DF⊥AC于点F，则△DCF为等腰直角三角形；分别
求出CF、DF、AF的长度，然后利用tan∠BAE＝tan∠CAD求解；
（3）首先确定△COD∽△BEA，然后证明AE为角平分线；如答图3，作辅助线，利
第29页（共31页）用角平分线与等腰直角三角形的性质，求出CD的长度．
【解答】（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE＝∠CAE+∠BAE＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE；
∵CP∥AB，∴∠ACD＝∠CAE＝∠B＝45°．
∴△ACD∽△ABE，
∴ ，即 ，
又∵∠DAE＝∠CAB＝45°，
∴△ADE∽△ACB．
（2）解：∵等腰直角△ABC中，斜边AB的长为4，
∴AC＝BC＝ ．
如答图1，过点D作DF⊥AC于点F，则△DCF为等腰直角三角形，
∴DF＝CF＝ CD＝ x，
∴AF＝AC﹣CF＝ ﹣ x，
∴tan∠CAD＝ ＝ ＝ ．
由（1）知，∠BAE＝∠CAD，∴tan∠BAE＝tan∠CAD，
∴y＝ ，定义域0＜x＜2．
（3）解：在△COD与△BEA中，∠DCO＝∠B＝45°，∠DOC与∠AEB均为钝角，
∴如果△COD与△BEA相似，只能是△COD∽△BEA，∴∠1＝∠2．
第30页（共31页）∵∠AEC＝∠AED+∠3＝45°+∠3，∠AEC＝∠B+∠2＝45°+∠2，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3，∴CE＝CD．
∵CP∥AB，∴∠DCE+∠B＝180°，∴∠DCE＝180°﹣∠B＝135°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝ （180°﹣∠DCE）＝22.5°，
∴∠2＝ ∠CAB，即AE为角平分线．
如答图2，过点E作EG⊥AB于点G，则EG＝CE，且△BEG为等腰直角三角形．
∴EG＝BG＝CE＝CD，BE＝ EG＝ CD．
∴BC＝CE+BE＝CD+ CD＝2 ，
∴CD＝4﹣2 ．
【点评】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角
形等几何知识点．本题着重考查几何基础知识，难度不大．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:15:52；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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