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2014年上海市金山区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸相应位置上】
1．（4分）下列各数中是有理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．（4分）将直线y＝x+2向下平移2个单位后，所得直线的解析式为（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x﹣2 C．y＝x D．y＝x﹣4
3．（4分）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
4．（4分）在本学期的“献爱心”的捐款活动中，九（1）班学生捐款情况如图，那
么捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A．15和13.5 B．8元和6.5元 C．15和8元 D．8元和8元
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．正多边形是中心对称图形
C．正多边形都是轴对称图形
D．是轴对称图形的四边形都是中心对称图形
6．（4分）在同一平面内，已知线段AO＝2， A的半径为r，将 A绕点O按逆时
针方向旋转 90°，得到的圆记作 B，如果 A 与 B 外切，那么 r 的值为
⊙ ⊙
（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．1 B．2 C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（a3）2＝ ．
8．（4分）计算：（a+2）（a﹣2）＝ ．
第1页（共27页）9．（4分）方程 ＝ 的解是 ．
10．（4分）计算： +2（ + ）＝ ．
11．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（ ）＝ ．
12．（4分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么该反比例函数的图象的
两个分支在第 象限．
13．（4分）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ．
14．（4分）某班共有学生36人，在迎新年庆祝会上，随机抽取1名一等奖，3名二
等奖，5名三等奖，以上统称为等第奖，该班每一名学生获得等第奖的概率是
．
15．（4分）为了了解学生课外阅读的喜好，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，
调查时要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍或者喜欢其他
类型的书籍，则都选“其他”，图2是整理数据后绘制的不完整的统计图，如
果还知道喜欢漫画的有60人，选“其他”的有30人，那么喜欢小说的人数为
．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是∠ABC的角平分线，
DE∥BC．DE交AB于点E，那么DE的长为 ．
17．（4分）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形
成为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角
形的较小的锐角的正切值为 ．
第2页（共27页）18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上一点，
联结 CD，把△ACD 沿 CD 所在的直线翻折，点 A 落在点 E 的位置，如果
DE∥BC，那么AD的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）第15题
19．（10分）计算： ﹣cos30°﹣2﹣1+（ ﹣ ）0．
π
20．（10分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）某市为鼓励居民节约用水，制定了分阶梯收费制度，按每年用水量分
成两个阶梯，即年用水量不超过200立方米的部分和200立方米以上的部分按
不同的价格收取水费，每户居民每年的水费y（元）和用水量x（立方米）的如图
1和图2，
（1）如果小张家年用水量为160立方米，那么小王家的年水费是多少？
（2）如果小王家年用水量为1500元，那么小王家的年用水量是多少？
22．（10分）已知：如图，C是线段BD上一点，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE＝90°，
tan∠ACB＝2，AB＝4，ED＝3．求：
（1）线段BD的长；
（2）∠AEC的正切值．
第3页（共27页）23．（12分）已知：如图，线段AB∥CD，AC⊥CD，AC、BD相交于点P，E、F分别是
线段BP和DP的中点．
（1）求证：AE∥CF；
（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求
证：MN＝CE．
24．（12分）如图，在直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，B是这条直线在
第一象限上的一点，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，已知△ABD的面积为
18．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线 的图象经过点A和点B，求抛物线的解析式；
（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P
是抛物线对称轴上一点，过点P作PQ∥AC交x轴交于点Q，如果点Q在线段
AH上，并且AQ＝CP，求点P的坐标．
25．（14分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4，AD＝3，
第4页（共27页）sin∠DCB＝ ，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的
P与边BC相交于点C和点Q．
⊙
（1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）如果PA＝PB，试判断以AB为直径的 O与 P的位置关系；
（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．
⊙ ⊙
第5页（共27页）2014 年上海市金山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸相应位置上】
1．（4分）下列各数中是有理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【考点】27：实数．
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【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．
【解答】解：A、是有限小数，故A是有理数；
B、C、D是无限不循环小数，故B、C、D是无理数；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数．
2．（4分）将直线y＝x+2向下平移2个单位后，所得直线的解析式为（ ）
A．y＝x+4 B．y＝x﹣2 C．y＝x D．y＝x﹣4
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
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【分析】根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．
【解答】解：根据题意知，平移后的直线解析式为：y＝x+2﹣2＝x，即y＝x．
故选：C．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系
中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左
移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右
减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．
3．（4分）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2+2x+4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义进行判断．
【解答】解：A、△＝22﹣4×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选
第6页（共27页）项错误；
B、△＝22﹣4×1＝0，方程有两个相等的实数根，所以B选项正确；
C、△＝22﹣4×4＝﹣12＜0，方程没有实数根，所以C选项错误；
D、△＝22﹣4×（﹣4）＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．
4．（4分）在本学期的“献爱心”的捐款活动中，九（1）班学生捐款情况如图，那
么捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A．15和13.5 B．8元和6.5元 C．15和8元 D．8元和8元
【考点】VC：条形统计图；W4：中位数；W5：众数．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据条形统计图中的数据求出众数与中位数即可．
【解答】解：根据条形统计图得到捐8元的学生数最多，为15个，故捐款金额的众
数为8元，
将捐款数按照从小到大顺序排列得到3，3，3，3，3，3，3，3，5，5，5，5，5，5，5，5，
5，5，5，5，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，其中最中
间的两个数为5和8，平均数为6.5，即中位数为6.5，
故选：B．
【点评】此题考查了条形统计图，众数，以及中位数，弄清题中的数据是解本题的
关键．
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．正多边形是中心对称图形
C．正多边形都是轴对称图形
第7页（共27页）D．是轴对称图形的四边形都是中心对称图形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及平行四边形、正多边形和等
腰梯形的性质分别进行判断．
【解答】解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，所以A选项错误；
B、当正多边形的边数为偶数时，它是中心对称图形，所以B选项错误；
C、正多边形都是轴对称图形，所以C选项正确；
D、等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，
错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
6．（4分）在同一平面内，已知线段AO＝2， A的半径为r，将 A绕点O按逆时
针方向旋转 90°，得到的圆记作 B，如果 A 与 B 外切，那么 r 的值为
⊙ ⊙
（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．1 B．2 C． D．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据旋转的性质得到△OAB为等腰直角三角形，则AB＝OA＝2，从而求
得线段AB的长，然后利用两圆外切两圆的圆心距等于两圆的半径之和直接求
解．
【解答】解：∵ A绕点O按逆时针方向旋转90°得到的 B，
∴△OAB为等腰直角三角形，
⊙ ⊙
∵AO＝2，
∴OB＝OA＝2，AB＝2 ，
∵ A、 B外切，
∴AB等于两圆半径之和，
⊙ ⊙
∴r＝ ．
故选：C．
第8页（共27页）【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的半径分别为R、r，两圆的圆心距为
d，若d＝R+r，则两圆外切．也考查了旋转的性质．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：（a3）2＝ a 6 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】按照幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算．即（am）n＝am（n m，n是正整
数）
【解答】解：（a3）2＝a6．
故答案为：a6．
【点评】本题考查了幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am（n m，n是正整
数），牢记法则是关键．
8．（4分）计算：（a+2）（a﹣2）＝ a 2 ﹣ 4 ．
【考点】4F：平方差公式．
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【分析】利用平方差公式直接求解即可求得答案．
【解答】解：（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4．
故答案为：a2﹣4．
【点评】本题考查了平方差公式．注意运用平方差公式计算时，关键要找相同项和
相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
9．（4分）方程 ＝ 的解是 x ＝﹣ 1 ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
第9页（共27页）【解答】解：去分母得：x2＝1，
解得：x＝1或x＝﹣1，
经检验x＝1是增根，分式方程的解为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
10．（4分）计算： +2（ + ）＝ 3 +2 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】先去掉括号，然后进行加法运算即可．
【解答】解： +2（ + ）
＝ +2 +2
＝3 +2 ．
故答案为：3 +2 ．
【点评】本题考查了平面向量，主要是向量的加法运算，是基础题．
11．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（ ）＝ ．
【考点】E5：函数值．
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【分析】把x＝ 代入函数解析式进行计算即可得解．
【解答】解：f（ ）＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了函数值求解，把自变量的值代入函数关系式计算即可，比较简
单．
12．（4分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么该反比例函数的图象的
两个分支在第 二、四 象限．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】根据反比例函数图象在一、三象限或在二、四象限，根据（﹣1，2）所在象
限即可作出判断．
【解答】解：点（﹣1，2）在第二象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、
四象限．
故答案是：二、四．
第10页（共27页）【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数 （k≠0），（1）k＞0，反
比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
13．（4分）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 2 0 ．
【考点】KQ：勾股定理；L8：菱形的性质．
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【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定
理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【解答】解：如图所示，
根据题意得AO＝ ×8＝4，BO＝ ×6＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝ ＝ ＝5，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关
键，同学们也要熟练掌握菱形的性质： 菱形的四条边都相等； 菱形的两条
对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
① ②
14．（4分）某班共有学生36人，在迎新年庆祝会上，随机抽取1名一等奖，3名二
等奖，5名三等奖，以上统称为等第奖，该班每一名学生获得等第奖的概率是
．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】共36人，其中有1+3+5＝9个等第奖，利用概率公式直接求解即可．
【解答】解：∵共36人，其中有1+3+5＝9个等第奖，
第11页（共27页）∴该班每一名学生获得等第奖的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】综合考查了概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能
性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
15．（4分）为了了解学生课外阅读的喜好，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，
调查时要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍或者喜欢其他
类型的书籍，则都选“其他”，图2是整理数据后绘制的不完整的统计图，如
果还知道喜欢漫画的有60人，选“其他”的有30人，那么喜欢小说的人数为
120 ．
【考点】VB：扇形统计图．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据扇形统计图，列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：（30÷10%）﹣60﹣30﹣（30÷10%）×30%＝300﹣60﹣30﹣
90＝120（人），
则喜欢小说的人数为120人．
故答案为：120．
【点评】此题考查了扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，BD是∠ABC的角平分线，
DE∥BC．DE交AB于点E，那么DE的长为 2. 4 ．
第12页（共27页）【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EDB＝∠EBD，推出DE＝BE，
设DE＝BE＝x，证相似，得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴DE＝BE，
设DE＝BE＝x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝2.4，
∴DE＝2.4，
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质
和判定的应用，解此题的关键是求出BE＝DE和求出△AED∽△ABC．
17．（4分）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形
成为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角
形的较小的锐角的正切值为 或 ．
【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．
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第13页（共27页）【专题】32：分类讨论．
【分析】分两种情况考虑，当斜边为直角边2倍时，当直角边为直角边2倍时，求
出最小角的正切值即可．
【解答】解：如图1所示，AC＝2AB，
∴最小角为∠C，根据勾股定理得：BC＝ ＝ AB，
则tanC＝ ＝ ＝ ；
如图2所示，BC＝2AB，
∴tanC＝ ＝ ，
综上，这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解本题的
关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上一点，
联结 CD，把△ACD 沿 CD 所在的直线翻折，点 A 落在点 E 的位置，如果
DE∥BC，那么AD的长为 2 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】11：计算题．
【分析】连结CE交AB于F点，根据勾股定理得AB＝5，再根据折叠的性质得CE
＝CA＝4，DE＝AD，∠E＝∠A，有DE∥BC得到∠1＝∠B，则∠1+∠E＝90°，
第14页（共27页）得到CE⊥AB，于是可根据面积法计算出CF＝ ，所以EF＝CE﹣CF＝ ，然
后证明△DEF∽△BCF，利用相似比可计算出DE＝2，于是得到AD＝2．
【解答】解：连结CE交AB于F点，如图，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵△ACD沿CD所在的直线翻折，点A落在点E的位置，
∴CE＝CA＝4，DE＝AD，∠E＝∠A，
∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，
而∠A+∠B＝90°，
∴∠1+∠E＝90°，
∴∠DFE＝90°，
∴CE⊥AB，
∵ CF•AB＝ AC•BC，
∴CF＝ ＝ ，
∴EF＝CE﹣CF＝4﹣ ＝ ，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DE：BC＝EF：CF，即DE：3＝ ： ，
∴DE＝2，
∴AD＝2．
故答案为2．
第15页（共27页）【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、
相似三角形的判定与性质．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）第15题
19．（10分）计算： ﹣cos30°﹣2﹣1+（ ﹣ ）0．
【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；79：二π 次根式的混合运算；T5：特殊角的
三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式＝ ﹣
﹣ +1，然后合并即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ ﹣ +1
＝0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再
进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整
数指数幂和特殊角的三角函数值．
20．（10分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵解不等式x﹣2＞﹣3得：x＞﹣1，
第16页（共27页）解不等式3﹣x≥ 得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
在数轴上表示为： ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集的应用，关
键是能求出不等式组的解集．
21．（10分）某市为鼓励居民节约用水，制定了分阶梯收费制度，按每年用水量分
成两个阶梯，即年用水量不超过200立方米的部分和200立方米以上的部分按
不同的价格收取水费，每户居民每年的水费y（元）和用水量x（立方米）的如图
1和图2，
（1）如果小张家年用水量为160立方米，那么小王家的年水费是多少？
（2）如果小王家年用水量为1500元，那么小王家的年用水量是多少？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据图象可得当x≤200时，水价与水费成正比例函数关系，设y＝
kx，再把（200，700）代入可得k的值，进而得到函数解析式，然后再代入x＝
160，算出y即可；
（2）根据函数图象可得x≥200时，水价与水费成一次函数关系，设y＝ax+b，再把
（200，700），（300，1200），代入算出a、b的值，进而得到函数解析式，然后再把
y＝1500代入算出x即可．
【解答】解：（1）当x≤200时，水价与水费成正比例函数关系，
设y＝kx，
∵图象经过（200，700），
∴700＝200k，
解得：k＝3.5，
第17页（共27页）∴y＝3.5x，
把x＝160代入：y＝160×3.5＝560（元），
答：小王家的年水费是560元；
（2）当x≥200时，水价与水费成一次函数关系，
设y＝ax+b，
∵图象经过（200，700），（300，1200），
∴ ，
解得： ，
∴y＝5x﹣300，
把y＝1500代入：1500＝5x﹣300，
解得：x＝360，
答：小王家的年用水量是360立方米．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确掌握待定系数法求一次函
数解析式．
22．（10分）已知：如图，C是线段BD上一点，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE＝90°，
tan∠ACB＝2，AB＝4，ED＝3．求：
（1）线段BD的长；
（2）∠AEC的正切值．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角
形 ABC 与三角形 DCE 相似，由相似得比例，根据锐角三角函数定义及
tan∠ACB的值，求出BC与CD的值，根据BC+CD求出BD的值即可；
（2）由三角形ABC与三角形DCE相似，根据AB与CD长求出相似比，进而求出
第18页（共27页）AC与CE的比值，即为∠AEC的正切值．
【解答】解：（1）∵∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ACB+∠BAC＝90°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，
∴ ＝ ，
∵tan∠ACB＝ ＝2，AB＝4，ED＝3，
∴ ＝2，即BC＝2，CD＝6，
则BD＝BC+CD＝2+6＝8；
（2）∵△ABC∽△CDE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
则tan∠AEC＝ ＝ ．
【点评】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，相似三
角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．（12分）已知：如图，线段AB∥CD，AC⊥CD，AC、BD相交于点P，E、F分别是
线段BP和DP的中点．
（1）求证：AE∥CF；
（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求
证：MN＝CE．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出AE＝BE＝PE，CF＝PF，推出
第19页（共27页）∠EAP＝∠EPA，∠CPF＝∠FCP，求出∠EAP＝∠FCP，根据平行线的判定推
出即可；
（2）求出ME∥CN，EN∥CM，得出矩形MCNE，根据矩形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AC⊥CD，
∴∠BAP＝∠DCP＝90°，
∵E、F分别是线段BP和DP的中点，
∴AE＝PE＝BE，CF＝PF，
∴∠EAP＝∠EPA，∠CPF＝∠FCP，
∵∠EPA＝∠CPF，
∴∠EAP＝∠FCP，
∴AE∥CF；
（2）证明：连接EM、EN，
∵M、E分别为AP、BP的中点，
∴EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴ME∥DC，即EM∥CN，
∵AB∥CD，
∴△AEB∽△QED，
∴ ＝ ，
∵AE＝BE，
∴DE＝EQ，
∵N为DQ的中点，
∴EN⊥AQ，
第20页（共27页）∵∠ACD＝90°，
∴EN∥MC，
∴四边形MCNE是矩形，
∴MN＝CE．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，矩形的性质和判定，相似三角形
的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较
好，难度适中．
24．（12分）如图，在直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，B是这条直线在
第一象限上的一点，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，已知△ABD的面积为
18．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线 的图象经过点A和点B，求抛物线的解析式；
（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P
是抛物线对称轴上一点，过点P作PQ∥AC交x轴交于点Q，如果点Q在线段
AH上，并且AQ＝CP，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由直线y＝x+2可知斜率为1，则AD＝BD，然后根据三角形的面积求
得B点的纵坐标，因为直线与x轴交点是（2，0）求得OA的长，从而求得OD的
长，最后求得P点的坐标．
（2）用待定系数法把A、B的坐标代入即可．
（3）由A、C点的坐标可得AC的斜率为3，设PQ直线为y＝3x+b，可解出b值以
及Q点的x坐标，AQ可得，CP可用勾股定理获得，然后AQ＝CP，求出点P的
坐标．
第21页（共27页）【解答】解：（1）∵直线y＝x+2的斜率为1，
∴AD＝BD，
∴S ＝ AD•BD＝ BD2，
△ABC
∴18＝ BD2，
解得BD＝6，
∴AD＝BD＝6，
∵直线y＝x+2与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0），
∴OD＝4，
∴点B的坐标为（4，6）．
（2）把A、B点的坐标代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+2x+6．
（3）∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2+2x+6与y轴的交点C为（0，6），对称轴为x＝
2．
∴直线AC的斜率为3，
∵PQ∥AC，
∴直线PQ的斜率也为3，
设直线PQ的解析式为y＝3x+b，则Q（﹣ ，0），
∴AQ＝2﹣ ，
当x＝2时，y＝3x+b＝6+b，
第22页（共27页）∴P（2，6+b），
∴PC2＝22+【6﹣（6+b）】2＝4+b2，
当y＝0时，y＝3x+b
解得x＝﹣ ，
∴AQ＝2﹣ ，
∵AQ＝CP，
∴（2﹣ ）2＝4+b2，
解得：b＝﹣ 或b＝0，
∴P（2， ）或（2，6）．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，考查用待定系数法求二次函数解析式
以及勾股定理的应用；
25．（14分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4，AD＝3，
sin∠DCB＝ ，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的
P与边BC相交于点C和点Q．
⊙
（1）如果BP⊥CD，求CP的长；
（2）如果PA＝PB，试判断以AB为直径的 O与 P的位置关系；
（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．
⊙ ⊙
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）作DH⊥BC于H，如图1，利用矩形的性质得DH＝4，BH＝3，在
Rt△DHC中，利用正弦的定义可计算出DC＝5，再利用勾股定理计算出CH＝
第23页（共27页）3，则BC＝BH+CH＝6，然后证明Rt△DCH∽Rt△BCP，利用相似比可计算出
PC＝ ；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，由于PA＝PB，根据等腰三角形的性质得AE＝BE＝
AB＝2，也可判断PE为梯形ABCD的中位线，所以 PD＝PC＝ ，PE＝
（AD+BC）＝ ，于是得到EA+PC＝PE，根据两圆外切的判定方法得到以AB为
直径的 O与 P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，根据垂径定理得CF＝QF，设PC＝x，则DP＝5﹣x，
⊙ ⊙
先证明△CPF∽△CDH，利用相似比可计算出CF＝ ，则CQ＝2CF＝ ，
BQ＝BC﹣CQ＝6﹣ ，由PQ＝PC得∠PQC＝∠PCQ，而∠ADP+∠PCQ＝
180°，∠PQC+∠PQB＝180°，所以∠ADP＝∠PQB，然后讨论：当
△ADP∽△BQP，根据相似的性质得 ，解得x ＝ ，x ＝10（舍去），得
1 2
到PC＝ ；当△ADP∽△PQB，利用相似的性质得 ＝ ，解得x ＝ ，x
1 2
＝5（舍去），得到PC＝ ．
【解答】解：（1）作DH⊥BC于H，如图1，
∵AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4，AD＝3，
∴DH＝4，BH＝3，
在Rt△DHC中，sin∠DCH＝ ＝ ，
∴DC＝5，
第24页（共27页）∴CH＝ ＝3，
∴BC＝BH+CH＝6，
∵BP⊥CD，
∴∠BPC＝90°，
而∠DCH＝∠BCP，
∴Rt△DCH∽Rt△BCP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PC＝ ；
（2）作PE⊥AB于E，如图2，
∵PA＝PB，
∴AE＝BE＝ AB＝2，
∵PE∥AD∥BC，
∴PE为梯形ABCD的中位线，
∴PD＝PC，PE＝ （AD+BC）＝ （3+6）＝ ，
∴PC＝ DC＝ ，
∴EA+PC＝PE，
∴以AB为直径的 O与 P外切；
（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF＝QF，
⊙ ⊙
设PC＝x，则DP＝5﹣x，
∵PF∥DH，
∴△CPF∽△CDH，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得CF＝ ，
∴CQ＝2CF＝ ，
∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣ ，
第25页（共27页）∵PQ＝PC，
∴∠PQC＝∠PCQ，
∵AD∥BC，
∴∠ADP+∠PCQ＝180°，
而∠PQC+∠PQB＝180°，
∴∠ADP＝∠PQB，
当△ADP∽△BQP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
整理得2x2﹣25x+50＝0，解得x ＝ ，x ＝10（舍去），
1 2
经检验x＝ 是原分式方程的解．
∴PC＝ ；
当△ADP∽△PQB，
∴ ＝ ，即 ＝
整理得5x2﹣43x+90＝0，解得x ＝ ，x ＝5（舍去），
1 2
经检验x＝ 是原分式方程的解．
∴PC＝ ，
∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为 或 ．
第26页（共27页）【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆与圆的位置关系和梯形的
性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．
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日期：2018/12/26 20:20:03；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
