文档内容
2014年上海市宝山区中考数学一模试卷
一、选择题：（共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a4•a2＝a6 C．a4•a2＝a16 D．a4•a2＝a2
2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，那么cosA表示（ ）的值．
A． B． C． D．
3．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，如果 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）已知D、E、F分别为等腰△ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB＝AC，
BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝ ，∠FDE＝∠B，那么AF的长为（ ）
A．5.5 B．4.5 C．4 D．3.5
6．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BF⊥AD，CE⊥AD，且AF＝EF＝ED＝
5，BF＝12，动点G从点A出发，沿折线AB﹣BC﹣CD以每秒1个单位长的速
度运动到点D停止．设运动时间为t秒，△EFG的面积为y，则y关于t的函数
第1页（共29页）图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算（a+1）（a﹣1）的结果是 ．
8．（4分）不等式组 的解集是 ．
9．（4分）关于x的方程x2+px+q＝0的根的判别式是 ．
10．（4分）二次函数y＝2x2+3的图象开口方向 ．
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图
象经过（3，0），则a﹣b+c的值是 ．
12．（4分）抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2﹣3向 （平移）得到．
13．（4分）若 与 的方向相反，且| |＞| |，则 的方向与 的方向 ．
14．（4分）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，
第2页（共29页）AC＝8，AD＝6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
15．（4分）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝ ，cosB＝ ，则△ABC的
形状为 三角形．
16．（4分）某坡面的坡度为1： ，某车沿该坡面爬坡行进了 米后，该车
起始位置和终止位置两地所处的海拔高度上升了5米．
17．（4分）在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图
所示），已知立杆AB的高度是6米，从侧面D测到路况警示牌顶端C点和低端
B点的仰角分别是60°和45°，则路况警示牌宽BC的值为 ．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），
tan∠BOA＝ ，点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则
PA+PC的最小值为 ．
三、（共8题，第19-22题每题8分；第23、24题每题10分；第25题12分；第26
题14分，共78分）
第3页（共29页）19．（8分）化简并求值： ，其中x＝2cos45°﹣tan45°．
20．（8分）已知一个二次函数的顶点A的坐标为（1，0），且图象经过点B（2，3）．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）设图象与y轴的交点为C，记 ＝ ，试用 表示 （直接写出答案）
21．（8分）已知抛物线l ：y＝﹣x2+2x+3和抛物线l ：y＝x2+2x﹣3相交于A、B，其
1 2
中A点的横坐标比B点的横坐标大．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）射线OA与x轴正方向所相交成的角的正弦值．
22．（8分）如图已知： ，求证：∠ABC＝∠ADE．
23．（10分）通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的
大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互
转化．类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰
三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图在△ABC中，AB＝AC，
顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝ ．我们容易知道一个角的大小与
这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ ；sad90°＝ ．
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）试求sad36°的值．
24．（10分）如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，AE交DC于F，
第4页（共29页）FG∥BE交DE于G
（1）求证：FG＝FC；
（2）若FG＝1，AD＝3，求tan∠GFE的值．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣ +bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相
交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN
的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出
符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
26．（14分）如图△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm；△DEF中，∠D＝
90°，∠E＝45°，DE＝3cm．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合
在一起，并将△DEF沿AB方向移动（如图）．在移动过程中，D、F两点始终在
AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）．
（1）在△DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变
化而变化，现设AD＝x，BE＝y，请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域．
（2）请你进一步研究如下问题：
第5页（共29页）问题 ：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行
问题 ：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD＝22.5°？如果
①
存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
②
问题 ：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的
长度为三边长的三角形是直角三角形？
③
第6页（共29页）2014 年上海市宝山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．a4•a2＝a8 B．a4•a2＝a6 C．a4•a2＝a16 D．a4•a2＝a2
【考点】46：同底数幂的乘法．
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【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：a4•a2＝a4+2＝a6，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，底数不变指数相加．
2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，那么cosA表示（ ）的值．
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据余弦函数的定义即可判断．
【解答】解：cosA＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】16：压轴题．
【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
第7页（共29页）故选：B．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，如果 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】16：压轴题．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AD∥BC，则可得 ，然
后由三角形法则，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ＝ + ＝ ．
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌
握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．
5．（4分）已知D、E、F分别为等腰△ABC边BC、CA、AB上的点，如果AB＝AC，
BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝ ，∠FDE＝∠B，那么AF的长为（ ）
A．5.5 B．4.5 C．4 D．3.5
【考点】KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由AE和CE的长可求出AC的长，因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝
第8页（共29页）AC，若要求AF 的长，可求出BF的长即可．而通过证明△DBF∽△DCE即可
求出BF的长，问题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠FDB，∠EDC＝180°﹣∠FDE﹣∠FDB，
又∵∠FDE＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
∴△DBF∽△DCE，
∴BD：CE＝BF：CD，
∵BD＝2，CD＝3，CE＝4，
∴2：4＝BF：3，
∴BF＝1.5，
∵AC＝AE+CE＝ +4＝5.5，
∴AB＝5.5，
∴AF＝AB﹣BF＝5.5﹣1.5＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形内
角和定理，解题的关键是求AF的长，转化为求BF的长．
6．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BF⊥AD，CE⊥AD，且AF＝EF＝ED＝
5，BF＝12，动点G从点A出发，沿折线AB﹣BC﹣CD以每秒1个单位长的速
度运动到点D停止．设运动时间为t秒，△EFG的面积为y，则y关于t的函数
图象大致是（ ）
第9页（共29页）A． B．
C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
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【分析】分三段考虑， 点G在AB上运动， 点G在BC上运动， 点G在CD
上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．
① ② ③
【解答】解：在 Rt△ABF 中，AB＝ ＝13，在 Rt△CED 中，CD＝
＝13，
点G在AB上运动：
①过点G作GM⊥AB于点M，则GM＝AGsin∠A＝ t，
此时y＝ EF×GM＝ t，为一次函数；
点G在BC上运动，y＝ BF×EF＝30；
②
点 G 在 BC 上运动，过点 G 作 GN⊥AD 于点 N，则 GN＝DGsin∠D＝
③
（AB+BC+CD﹣t）＝ ，
第10页（共29页）则y＝ EF×PN＝ ，为一次函数．
综上可得选项A的图象符合．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函
数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数
不需要按部就班的解出解析式．
二、填空题：（共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算（a+1）（a﹣1）的结果是 a 2 ﹣ 1 ．
【考点】4F：平方差公式．
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【分析】利用平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，直接计算即可．
【解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1．
故答案为：a2﹣1．
【点评】此题考查平方差公式的实际运用，注意抓住式子的特点．
8．（4分）不等式组 的解集是 1 ＜ x ＜ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，
由 得，x＞1，
由 得，x＜2，
①
所以，不等式组的解集为：1＜x＜2．
②
故答案为：1＜x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
第11页（共29页）大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（4分）关于x的方程x2+px+q＝0的根的判别式是 p 2 ﹣ 4 q ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据根的判别式公式△＝b2﹣4ac解答．
【解答】解：∵方程x2+px+q＝0的二次项系数a＝1，一次项系数b＝p，常数项c＝
q，
∴△＝b2﹣4ac＝p2﹣4q．
故答案是：p2﹣4q．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式公式△＝b2﹣4ac．在利用该
公式解题的时，一定要弄清楚a、b、c的含义．
10．（4分）二次函数y＝2x2+3的图象开口方向 向上 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由抛物线解析式可知，二次项系数a＝2＞0，可知抛物线开口向上．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2+3的二次项系数a＝2＞0，
∴抛物线开口向上．
故答案为：向上．
【点评】本题考查了抛物线的开口方向与二次项系数符号的关系．当a＞0时，抛
物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
11．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图
象经过（3，0），则a﹣b+c的值是 0 ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】根据已知对称轴为直线x＝1，图象经过（3，0），得出图象与x轴的另一交
点，进而得出a﹣b+c的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象
经过（3，0），
第12页（共29页）∴图象还经过（﹣1，0），
则a﹣b+c的值是：x＝﹣1时，对应y的值为0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点性质，得出图象与x轴的另一个坐标是
解题关键．
12．（4分）抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2﹣3向 左平移 2 个单位
（平移）得到．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），
抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标为（0，﹣3），
∴抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位得到．
故答案为：左平移2个单位．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移解答更
简便．
13．（4分）若 与 的方向相反，且| |＞| |，则 的方向与 的方向 相同 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据 与 的方向相反，且| |＞| |和向量的定义即可求得答案．
【解答】解：∵ 与 的方向相反，且| |＞| |，
∴ 的方向与 的方向相同；
故答案为：相同．
【点评】此题考查了平面向量，解题的关键是掌握相反向量的定义．
14．（4分）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，
AC＝8，AD＝6，当AP的长度为 4 或 9 时，△ADP和△ABC相似．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．
第13页（共29页）【解答】解：当△ADP∽△ACB时，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：AP＝9，
当△ADP∽△ABC时，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：AP＝4，
∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．
故答案为：4或9．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得
出是解题关键．
15．（4分）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝ ，cosB＝ ，则△ABC的
形状为 等边 三角形．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据∠A、∠B都是锐角，sinA＝ ，cosB＝ ，求出∠A、∠B的度数，根据
三角形的内角和定理求出∠C的度数，可得出△ABC的形状．
【解答】解：∵∠A、∠B都是锐角，sinA＝ ，cosB＝ ，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
故答案为：等边．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值，求得∠A、∠B的度数．
16．（4分）某坡面的坡度为1： ，某车沿该坡面爬坡行进了 1 3 米后，该车起
第14页（共29页）始位置和终止位置两地所处的海拔高度上升了5米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】已知坡面的坡度为1： ，AB＝5米，可求得BC的长度，然后可用勾股定
理求出坡面距离．
【解答】解：∵AB：BC＝1： ，AB＝5米，
∴BC＝12米，
在Rt△ABC中，
AC＝ ＝ ＝13（米）．
故答案为：13．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握坡度的定义，本
题需注意的是坡角的正切等于坡度，不要混淆概念．
17．（4分）在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图
所示），已知立杆AB的高度是6米，从侧面D测到路况警示牌顶端C点和低端
B点的仰角分别是60°和45°，则路况警示牌宽BC的值为 6（ ﹣ 1 ）米 ．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】在直角△ABD中，利用三角函数求得AD的长度，然后再在直角△ADC中
利用三角函数求得AC的长，根据BC＝AC﹣AB即可求解．
【解答】解：∵在直角△ABD中，∠BDA＝45°，
∴AD＝AB＝6（米），
第15页（共29页）在直角△ADC中，tan∠CDA＝ ，
∴AC＝AD•tan∠CDA＝6×tan60°＝6 （米），
则BC＝AC﹣AB＝6（ ﹣1）米．
故答案是6（ ﹣1）米．
【点评】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确理解仰角的定义，理解图中
角的度数是关键．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），
tan∠BOA＝ ，点C的坐标为（2，0），点P为斜边OB上的一个动点，则
PA+PC的最小值为 ．
【考点】D5：坐标与图形性质；PA：轴对称﹣最短路线问题；T7：解直角三角形．
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【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA
于N，则此时PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定
理求出CD，即可得出答案．
【解答】解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作
DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（9，0），
∴OA＝9，
∵tan∠BOA＝ ，
∴AB＝3 ，∠B＝60°，
∴∠AOB＝30°，
∴OB＝2AB＝6 ，
由三角形面积公式得：S ＝ ×OA×AB＝ ×OB×AM，即9×3 ＝6 AM，
△OAB
第16页（共29页）∴AM＝ ，
∴AD＝2× ＝9，
∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∵∠BAO＝90°，
∴∠OAM＝60°，
∵DN⊥OA，
∴∠NDA＝30°，
∴AN＝ AD＝ ，由勾股定理得：DN＝ ＝ ＝ ，
∵C（2，0），
∴CN＝9﹣ ﹣2＝ ，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝ ＝ ＝
即PA+PC的最小值是 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含
30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度
适中．
三、（共8题，第19-22题每题8分；第23、24题每题10分；第25题12分；第26
题14分，共78分）
第17页（共29页）19．（8分）化简并求值： ，其中x＝2cos45°﹣tan45°．
【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x＝2cos45°﹣tan45°
求出x的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
∴x＝2cos45°﹣tan45°
＝2× ﹣1
＝ ﹣1，
∴原式＝ ＝ ＝3+2 ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．（8分）已知一个二次函数的顶点A的坐标为（1，0），且图象经过点B（2，3）．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）设图象与y轴的交点为C，记 ＝ ，试用 表示 （直接写出答案）
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；LM：*平面向量．
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【分析】（1）由一个二次函数的顶点A的坐标为（1，0），且图象经过点B（2，3），
利用顶点式求解即可求得答案；
（2）由点B与C关于对称轴x＝1对称，可求得 ，继而求得答案．
【解答】解：（1）设这个二次函数的解析式为：y＝a（x﹣1）2，
∵图象经过点B（2，3），
∴3＝a（2﹣1）2，
解得：a＝3，
∴这个二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2．
第18页（共29页）（2）当x＝0时，y＝3，
∴C的坐标为：（0，3），
∴点B与C关于对称轴x＝1对称，
∴ ＝2 ＝﹣2 ，
∴ ＝ ＝﹣2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及二次函数的性质．此题比较适中，注意掌
握三角形法则的应用．
21．（8分）已知抛物线l ：y＝﹣x2+2x+3和抛物线l ：y＝x2+2x﹣3相交于A、B，其
1 2
中A点的横坐标比B点的横坐标大．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）射线OA与x轴正方向所相交成的角的正弦值．
【考点】H3：二次函数的性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）根据两函数图象的交点问题，得到方程组 ，再解方程组
即可得到A点坐标为（ ，2 ），B点坐标为（﹣ ，﹣2 ）；
（2）作AH⊥x轴于H，根据A点坐标得到OH＝ ，AH＝2 ，然后根据三角形函
数的定义求解．
【解答】解：（1）解方程组 得 或 ，
所以A点坐标为（ ，2 ），B点坐标为（﹣ ，﹣2 ）；
（2）作AH⊥x轴于H，如图，
∵A（ ，2 ），
∴AH＝2 ，OH＝ ，
AO＝ ＝ ＝ ，
∴sin∠AOH＝ ＝ ＝ ，
第19页（共29页）即射线OA与x轴正方向所相交成的角的正弦值等于 ．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物
线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣ ；抛物线与y轴的交点坐
标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线
与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．也考查了锐角三角
函数的定义．
22．（8分）如图已知： ，求证：∠ABC＝∠ADE．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】由 ，可证得△ABD∽△ACE，继而可得∠DAE＝∠BAC，即可
证得△ABC∽△ADE，继而证得结论．
【解答】证明：∵ ，
∴△ABD∽△ACE，
第20页（共29页）∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∵ ，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合
思想的应用．
23．（10分）通过锐角三角比的学习，我们已经知道在直角三角形中，一个锐角的
大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长比与角的大小之间可以相互
转化．类似的我们可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰
三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图在△ABC中，AB＝AC，
顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝ ．我们容易知道一个角的大小与
这个角的正对值也是互相唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ 1 ；sad90°＝ ．
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 0 ＜ sadA ＜ 2 ．
（3）试求sad36°的值．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】21：阅读型；23：新定义．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角
形，再根据正对的定义解答进而得出sad90°的值；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出等腰△ABC，构造等腰三角形BCD，根据正对的定义解答．
【解答】解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
第21页（共29页）则三角形为等边三角形，
则sad60°＝ ＝1．
根据正对定义，
当顶角为90°时，等腰三角形底角为45°，
则三角形为等腰直角三角形，
则sad90°＝ ＝
故答案为：1， ．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为：0＜sadA＜2．
（3）如图所示：已知：∠A＝36°，AB＝AC，BC＝BD，
∴∠A＝∠CBD＝36°，∠ABC＝∠C＝72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：BC＝ CD，
∴sad36°＝ ＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形：利用三角函数的定义和相似三角形的判定与
第22页（共29页）性质，根据题意得出BC与CD的关系是解题关键．
24．（10分）如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，AE交DC于F，
FG∥BE交DE于G
（1）求证：FG＝FC；
（2）若FG＝1，AD＝3，求tan∠GFE的值．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得AB∥CD，AD∥BC，AB＝AD，即可证
得△CEF∽△BEA，△EFG∽△EAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得
结论．
（2）由FG∥BE，可得∠DAF＝∠GFE，即可得tan∠GFE＝tan∠DAF＝ ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝AD，
∴△CEF∽△BEA，△EFG∽△EAD，
∴ ． ＝ ．
∴ ．
∴CF＝FG．
（2）解：∵FG∥BE，
∴∠DAF＝∠GFE，
∵FC＝FG＝1，CD＝AD＝3，
∴DF＝CD﹣FC＝2，
∴tan∠GFE＝tan∠DAF＝ ＝ ．
第23页（共29页）【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度适中，
注意掌握数形结合思想的应用．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣ +bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相
交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN
的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出
符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析
式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；
（2）令y＝0，解方程求出点A的坐标，令x＝0求出y的值得到点C的坐标，再求
出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，
然后根据二次函数的最值问题解答；
（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分 AC＝CQ
时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点
①
Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可； 点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ
＝CQ，再写出点Q的坐标即可．
②
第24页（共29页）【解答】解：（1）∵点B（8，0）在抛物线y＝﹣ +bx+4上，
∴﹣ ×64+8b+4＝0，
解得b＝ ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+4，
对称轴为直线x＝﹣ ＝3；
（2）△AOC∽△COB．
理由如下：令y＝0，则﹣ x2+ x+4＝0，
即x2﹣6x﹣16＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝8，
1 2
∴点A的坐标为（﹣2，0），
令x＝0，则y＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，
∵ ＝ ＝2，∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+4，
第25页（共29页）∵MN∥y轴，
∴MN＝﹣ x2+ x+4﹣（﹣ x+4），
＝﹣ x2+ x+4+ x﹣4，
＝﹣ x2+2x，
＝﹣ （x﹣4）2+4，
∴当x＝4时，MN的值最大，最大值为4；
（4）由勾股定理得，AC＝ ＝2 ，
过点C作CD⊥对称轴于D，则CD＝3，
AC＝CQ时，DQ＝ ＝ ＝ ，
①点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+ ，
此时点Q （3，4+ ），
1
点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4﹣ ，
此时点Q （3，4﹣ ），
2
点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ＝5，
② CQ＝ ＝5，
∴AQ＝CQ，
此时，点Q （3，0），
3
当AC＝AQ时，∵AC＝2 ，点A到对称轴的距离为5，2 ＜5，∴这种情形不
存在．
③
综上所述，点Q的坐标为（3，4+ ）或（3，4﹣ ）或（3，0）时，△ACQ为等腰
三角形时．
第26页（共29页）【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待
定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定，二次函数的最值问题，勾股
定理的应用，等腰三角形的性质，难点在于（4）要分情况讨论．
26．（14分）如图△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm；△DEF中，∠D＝
90°，∠E＝45°，DE＝3cm．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合
在一起，并将△DEF沿AB方向移动（如图）．在移动过程中，D、F两点始终在
AB边上（移动开始时点D与点A重合，一直移动至点F与点B重合为止）．
（1）在△DEF沿AB方向移动的过程中，有人发现：E、B两点间的距离随AD的变
化而变化，现设AD＝x，BE＝y，请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域．
（2）请你进一步研究如下问题：
问题 ：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行
问题 ：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD＝22.5°？如果
①
存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
②
问题 ：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的
长度为三边长的三角形是直角三角形？
③
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】（1）在直角△ABC中，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AB
＝10cm；在直角△EBD中，利用勾股定理列出y与x的函数关系，由线段AB、
DF的长度来确定x的取值范围；
第27页（共29页）（2）问题 ：因为∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm，所以AB＝10cm，又因为∠FDE
＝90°，∠DEF＝45°，DE＝3cm，所以DE＝4cm，连接EB，设BE∥AC，则可求
①
证∠EBD＝∠A＝30°，故AD的长度可求；
问题 ：当∠EBD＝22.5°时，利用三角形外角的性质求得∠BEF＝22.5°，则
∠EBD＝∠BEF，故BF＝EF＝3 ，AD＝BD﹣BF﹣DF＝7﹣3 （cm）；
②
问题 ：分情况讨论：EB为斜边；AD为斜边；BC为斜边．综合分析即可求得AD
的长．
③
【解答】解：（1）如图，连接EB．
∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm，
∴AB＝2BC＝10cm．
又∵在△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°，DE＝3cm，
∴DF＝DE＝3cm．
∴在直角△BED中，BE2＝ED2+BD2＝ED2+（10﹣AD）2，
即y2＝32+（10﹣x）2，
∴y＝ ．
∵AB＝10cm，DF＝3cm．
∴0≤AD≤7，即0≤x≤7．
综上所述，y 与 x 之间的函数关系式及其定义域分别是：y＝
（0≤x≤7）；
（2）问题 ：AD＝（10﹣3 ）cm时，BE∥AC．理由如下：
设EB∥AC，则∠EBD＝∠A＝30°，
①
∴在Rt△EBD中，DB＝3 cm
∴AD＝AB﹣BD＝（10﹣3 ）cm
∴AD＝（10﹣3 ）cm时，BE∥AC；
问题 ：在△DEF的移动过程中，当AD＝（7﹣3 ）cm时，使得∠EBD＝22.5°．
理由如下：
②
假设∠EBD＝22.5°．
∵在△DEF中，∠D＝90°，∠DEF＝45°，DE＝3cm，
第28页（共29页）∴EF＝3 cm，∠DEF＝∠DFE＝45°，DE＝DF＝3cm．
又∵∠DFE＝∠FEB+∠FBE＝45°，
∴∠EBD＝∠BEF，
∴BF＝EF＝3 ，
∴AD＝AB﹣BF﹣DF＝7﹣3 （cm）．
∴在△DEF的移动过程中，当AD＝（7﹣3 ）cm时，使得∠EBD＝22.5°；
问题 ：i）当EB为斜边时．
由AD2+BC2＝EB2得，x2+52＝（10﹣x）2+9，
③
解得，x＝4.2，即AD＝4.2cm．
∵由（1）知，0≤x≤7，
∴AD＝4.2cm符合题意；
ii）当AD为斜边时．
由EB2+BC2＝AD2得，（10﹣x）2+9+52＝x2，
解得，x＝6.7，即AD＝6.7cm．
∵由（1）知，0≤x≤7，
∴AD＝6.7cm符合题意；
iii）当BC为斜边时，
由AD2+EB2＝BC2得，x2+（10﹣x）2+9＝25，即x2﹣10x+42＝0，该方程无解．
综合i）、ii）、iii）得，当AD的长为4.2cm或6.7cm时，以线段AD、EB、BC的长度
为三边长的三角形是直角三角形．
【点评】本题把等腰三角形的判定、勾股定理和勾股定理的逆定理结合求解．综合
性强，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．注意解题的方法不惟一，可
让学生采用不同方法求解，培养学生的思维能力．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:14:58；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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