文档内容
2014年上海市嘉定区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每小题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）已知 ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）
A．x+y＝5 B．2x＝3y C． D．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，如果 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
B．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
C．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似
D．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
6．（4分）已知 O的半径长为2cm，如果直线l上有一点P满足PO＝2cm，那么
直线l与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交
⊙
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）如果二次函数y＝（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值
范围是 ．
8．（4分）如果将抛物线y＝3（x+1）2向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那
么所得到的抛物线的表达式是 ．
第1页（共26页）9．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1在对称轴的右侧的部分是 的．（从“上
升”或“下降”中选择）
10．（4分）甲乙两地的实际距离为250km，如果画在比例尺为1：5000000的地图
上，那么甲、乙两地的图上距离是 cm．
11．（4分）如果在观察点A测得点B的仰角是32°，那么在点B观测点A，所测得
旳俯角的度数是 ．
12．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，点D在边AC上，
DE⊥AB，垂足为E，则cot∠ADE的值是 ．
13．（4分）已知AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心， ＝ ，那么用向量
表示向量 为 ．
14．（4分）正五边形的中心角的度数是 ．
15．（4分）将一副三角尺按照如图所示的方式叠放在一起（∠B＝45°，∠D＝
30°），点E是BC与AD的交点，则 的值为 ．
16．（4分）已知 O的半径是5cm，点P是 O外一点，OP＝8cm，以P为圆心作
一个圆与 O相切，这个圆的半径是 cm．
⊙ ⊙
17．（4分）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三
⊙
角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为2cm，且这条弦将等边三角形
分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 cm．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，如果将矩形沿直线l翻
第2页（共26页）折后，点A落在边CD的中点E处，直线l与分别边AB、AD交于点M、N，那么
MN的长为 ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知：点A（3，0）、B（﹣2，5）、C（0，
﹣3）．
（1）求经过点A、B、C的抛物线的表达式；
（2）若点D是（1）中求出的抛物线的顶点，求tan∠CAD的值．
21．（10分）如图，点A、B、C在 O上，且∠COB＝53°，CD⊥OB，垂足为D，当
⊙
OD＝ AB时，求∠OBA的度数．
第3页（共26页）22．（10分）如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2
米，背水坡AB的坡度＝1：1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°．求坝底AD的长
度．
23．（12分）四边形ABCD是平行四边形，E是对角线AC上一点，射线DE分别交
射线CB、AB于点F、G．
（1）如图，如果点F在CB边上，点G在AB边的延长线上，求证： ；
（2）如果点F在CB边的延长线上，点G在AB边上，试写出 与 之间的一种
等量关系，并给出证明．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（﹣1，3），B（2，n）两点在二
次函数y＝﹣ x2+bx+4的图象上．
（1）求b与n的值
（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；
（3）若点P（不与点A重合）在题目中给出的二次函数的图象上，且∠POB＝45°，
求点P的坐标．
25．（14分）已知： O的半径长为5，点A、B、C在 O上，AB＝BC＝6，点E在射
⊙ ⊙
第4页（共26页）线BO上．
（1）如图1，联结AE、CE，求证：AE＝CE；
（2）如图2，以点C为圆心，CO为半径画弧交半径OB于D，求BD的长．
（3）当OE＝ 时，求线段AE的长．
第5页（共26页）2014 年上海市嘉定区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每小题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）已知 ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）
A．x+y＝5 B．2x＝3y C． D．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据比例的性质，设x＝3k，y＝2k，然后对各选项分析判断利用排除法求
解．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴设x＝3k，y＝2k，
A、x+y＝5k，k不一定等于1，则x+y＝5不一定正确，故本选项符合题意；
B、2x＝3y＝6k，一定成立，故本选项不符合题意；
C、 ＝ ＝ ，一定成立，故本选项不符合题意；
D、 ＝ ＝ ，一定成立，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y可以使求解更加简便．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，正切＝对边÷邻边，即tanA＝
．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
第6页（共26页）∴tanA＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，用到的知识点有正切＝对边÷邻边．
3．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴其顶点坐标为（2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关
键．
4．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，如果 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】16：压轴题．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD＝BC，AD∥BC，则可得 ，然
后由三角形法则，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ＝ + ＝ ．
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌
第7页（共26页）握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．
5．（4分）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似
B．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
C．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似
D．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【考点】O1：命题与定理；S8：相似三角形的判定．
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【分析】根据相似三角形的各种判定方法逐项分析即可．
【解答】解：A、有一个锐角相等的两个等腰三角形不一定相似，故该选项错误，是
假命题；
B、有一个锐角相等的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，是真命题；
C、有底边和腰对应成比例的两个等腰三角形是相似的，故该选项正确，是真命题；
D、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，是真命
题；
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还
要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提
供的数据计算对应角的度数、对应边的比．
6．（4分）已知 O的半径长为2cm，如果直线l上有一点P满足PO＝2cm，那么
直线l与 O的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交
⊙
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系： 直线l和
O相交 d＜r； 直线l和 O相切 d＝r； 直线l和 O相离 d＞r．分
①
OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
⊙ ⇔ ② ⊙ ⇔ ③ ⊙ ⇔
【解答】解：当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r， O与l相
切；
⊙
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2＝r， O与直线l相交．
故直线l与 O的位置关系是相切或相交．
⊙
故选：D．
⊙
第8页（共26页）【点评】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距
离d与圆半径大小关系完成判定．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）如果二次函数y＝（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值
范围是 k ＞ ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的开口向上列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，
∴2k﹣1＞0，
解得k＞ ．
故答案为：k＞ ．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当a＞
0时，抛物线的开口向上是解答此题的关键．
8．（4分）如果将抛物线y＝3（x+1）2向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那
么所得到的抛物线的表达式是 y ＝ 3 （ x + 3 ） 2 + 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】46：几何变换．
【分析】先得到抛物线y＝3（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根据题意把点（﹣1，
0）向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点（﹣3，1），则可根据顶点式
写出平移后的抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝3（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）向上平移1
个单位，再向右平移2个单位得到点（﹣3，1），所以所得到的抛物线的表达式
为y＝3（x+3）2+1．
故答案为y＝3（x+3）2+1．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不
变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上
任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶
点坐标，即可求出解析式．
第9页（共26页）9．（4分）抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1在对称轴的右侧的部分是 下降 的．（从“上
升”或“下降”中选择）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．
故答案为：下降．
【点评】考查了二次函数的性质，能够根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两
侧的变化规律．
10．（4分）甲乙两地的实际距离为250km，如果画在比例尺为1：5000000的地图
上，那么甲、乙两地的图上距离是 5 cm．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】由比例尺定义可知，图上距离＝实际距离×比例尺，依题意列式即可得出
图上距离．
【解答】解：根据图上距离＝实际距离×比例尺，得图上距离＝250÷50000000＝
0.00005（km），
0.00005km＝5cm．
故答案为：5．
【点评】考查了比例线段，熟练运用比例尺进行有关计算，注意单位的转换．
11．（4分）如果在观察点A测得点B的仰角是32°，那么在点B观测点A，所测得
旳俯角的度数是 32 ° ．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】据仰角，俯角的概念，平行线的性质可求俯角．
【解答】解：如图，A、B两点的水平线分别为AM、BN，
依题意，得AM∥BN，∠BAM＝32°，
由平行线的性质可知，∠ABN＝∠BAM＝32°，
即俯角为32°．
故答案为32°．
第10页（共26页）【点评】本题考查了仰角、俯角的概念，平行线的性质，属于基础题．
12．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，点D在边AC上，
DE⊥AB，垂足为E，则cot∠ADE的值是 ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据∠ADE＝90°﹣∠A，∠B＝90°﹣∠A判断出∠ADE＝∠B，再根据三
角函数的定义求出cot∠ADE的值．
【解答】解：∵∠ADE＝90°﹣∠A，∠B＝90°﹣∠A，
∴∠ADE＝∠B，
在Rt△ABC中，cot∠ADE＝ ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了三角函数的定义，根据定义找到对应边即可解答．
13．（4分）已知AD是△ABC的中线，点G是△ABC的重心， ＝ ，那么用向量
表示向量 为 ﹣ ．
【考点】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．
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【分析】根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，直接求
得向量的值．
【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍
第11页（共26页）∴ ＝﹣ ．
∴用向量 表示向量 为﹣ ．
【点评】考查了三角形的重心的性质．注意要求的向量和已知的向量方向相反．
14．（4分）正五边形的中心角的度数是 72 ° ．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为 ，则代入
求解即可．
【解答】解：正五边形的中心角为： ＝72°．
故答案为：72°．
【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
15．（4分）将一副三角尺按照如图所示的方式叠放在一起（∠B＝45°，∠D＝
30°），点E是BC与AD的交点，则 的值为 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由∠BAC＝∠ACD＝90°，可得AB∥CD，即可证得△ABE∽△DCE，然后
由相似三角形的对应边成比例，可得； ，然后利用三角函数，用AC表示
出AB与CD，即可求得答案．
【解答】解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
第12页（共26页）∵在Rt△ACB中∠B＝45°，
∴AB＝AC，
∵在Rt△ACD中，∠D＝30°，
∴CD＝ ＝ AC，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质．此题难度不大，
注意掌握数形结合思想的应用．
16．（4分）已知 O的半径是5cm，点P是 O外一点，OP＝8cm，以P为圆心作
一个圆与 O相切，这个圆的半径是 3 或 1 3 cm．
⊙ ⊙
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
⊙
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【分析】由以P为圆心作一个圆与 O相切，可分别从内切与外切去分析，又由
O的半径是5cm，点P是 O外一点，OP＝8cm，根据两圆位置关系与圆心距
⊙
d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可求得这个圆的半径．
⊙ ⊙
【解答】解：∵ O的半径是5cm，点P是 O外一点，OP＝8cm，
若以P为圆心作一个圆与 O相外切，则这个圆的半径是：8﹣5＝3（cm），
⊙ ⊙
若以P为圆心作一个圆与 O相内切，则这个圆的半径是：8+5＝13（cm）．
⊙
∴这个圆的半径是3或13cm．
⊙
故答案为：3或13．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．此题难度不大，注意掌握两圆位置关系与
圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
17．（4分）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三
角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为2cm，且这条弦将等边三角形
分成面积相等的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 2 cm．
【考点】KK：等边三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】23：新定义．
【分析】首先根据题意画出图形，由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三
角形面积比等于相似比的平方，求得答案．
【解答】解：如图，根据题意得：DE∥BC，且S ＝S ，
△ADE 四边形BCED
第13页（共26页）∴△ADE∽△ABC，S ：S ＝1：2，
△ADE △ABC
∴DE：BC＝1： ，
∵DE＝2cm，
∴BC＝2 cm，
即这个等边三角形的边长为：2 cm．
故答案为：2 ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，属于新定义题，解
题的关键是理解三角形的弦的定义．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，如果将矩形沿直线l翻
折后，点A落在边CD的中点E处，直线l与分别边AB、AD交于点M、N，那么
MN的长为 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】11：计算题．
【分析】连结NE，根据矩形的性质得CD＝AB＝12，则DE＝ CD＝6，根据勾股定
理可计算出AE＝10，再利用折叠的性质得到NE＝NA，设AN＝x，则NE＝x，
DN＝8﹣x，在Rt△DNE中利用勾股定理得到（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝ ，然
后证明Rt△AMN∽Rt△DAE，则利用相似可计算出MN．
【解答】解：如图，连结NE，
∵四边形ABCD为矩形，
第14页（共26页）∴CD＝AB＝12，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ CD＝6，
在Rt△ADE中，AD＝8，
∴AE＝ ＝10，
∵矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，直线l与分别边AB、AD交
于点M、N，
∴MN⊥AE，NA＝NE，
设AN＝x，则NE＝x，DN＝8﹣x，
在Rt△DNE中，
∵DN2+DE2＝NE2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝ ，
∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴Rt△AMN∽Rt△DAE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴MN＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理
第15页（共26页）和三角形相似的判定与性质．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝3+2 ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
20．（10分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知：点A（3，0）、B（﹣2，5）、C（0，
﹣3）．
（1）求经过点A、B、C的抛物线的表达式；
（2）若点D是（1）中求出的抛物线的顶点，求tan∠CAD的值．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题．
第16页（共26页）【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，再把三个已知点的坐标代入得到
关于a、b、c的方程组，解方程组即可得到二次函数的解析式；
（2）把（1）中的解析式配方得到顶点式y＝（x﹣1）2﹣4，则D点坐标为（1，﹣4），
再利用两点间的距离公式分别计算出AC、CD、AD，然后根据勾股定理的逆定
理判断△ACD为直角三角形，再利用正切的定义求解．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
把点A（3，0）、B（﹣2，5）、C（0，﹣3）代入得 ，解得 ，
所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
所以D点坐标为（1，﹣4），
∵AD2＝（3﹣1）2+（0+4）2＝20，
CD2＝（﹣3+4）2+（0﹣1）2＝2，
AC2＝（3﹣0）2+（0+3）2＝18，
∴AD2＝CD2+AC2，
∴△ACD为直角三角形，
∴tan∠CAD＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二
次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而
代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法
第17页（共26页）列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为
顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点
式来求解．也考查了勾股定理及其逆定理．
21．（10分）如图，点A、B、C在 O上，且∠COB＝53°，CD⊥OB，垂足为D，当
⊙
OD＝ AB时，求∠OBA的度数．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；M2：垂径定理．
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【分析】过点O作OE⊥AB于点E，垂足为E，根据垂径定理可知BE＝ AB，再由
OD＝ AB可知BE＝OD，在Rt△OBE与Rt△OCD中，根据HL定理可得出
Rt△OBE≌Rt△OCD，再由全等三角形的对应角相等即可得出结论．．
【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，垂足为E，
∵O是圆心，点AB在 O上，OE⊥AB，
∴BE＝ AB， ⊙
∵OD＝ AB，
∴BE＝OD，
∵点B、C在 O上，
∴OB＝OC，
⊙
∵CD⊥OB，
∴∠ODC＝90°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEB＝90°，
在Rt△OBE与Rt△OCD中，
第18页（共26页），
∴Rt△OBE≌Rt△OCD（HL），
∴∠OBA＝∠COB，
∵∠COB＝53°，
∴∠OBA＝53°．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答
此题的关键．
22．（10分）如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝3米，坝高为2
米，背水坡AB的坡度＝1：1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°．求坝底AD的长
度．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡
AB的坡度＝1：1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解：
【解答】解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，
可得：BE∥CF，
又∵BC∥AD，
∴BC＝EF BE＝CF
由题意，得EF＝BC＝3，BF＝CF＝2，
∵背水坡AB的坡度＝1：1，
∴∠BAE＝45°，
∴AE＝BE×cot45°＝2×1＝2
第19页（共26页）DF＝ ＝ ＝2 ．，
∴AD＝AE+EF+DF＝2+3+2 ＝5+2 （米）
答：坝底AD的长度为（5+2 ）米．
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助
于解直角三角形的知识求解是关键．
23．（12分）四边形ABCD是平行四边形，E是对角线AC上一点，射线DE分别交
射线CB、AB于点F、G．
（1）如图，如果点F在CB边上，点G在AB边的延长线上，求证： ；
（2）如果点F在CB边的延长线上，点G在AB边上，试写出 与 之间的一种
等量关系，并给出证明．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）易证△ADE∽△CFE，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得
＝ ， ＝ ，然后根据线段的和差即可证得；
（2）思路与（1）相同．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADE∽△CFE，
∴ ＝ ， ＝ ，
第20页（共26页）∴ + ＝ + ＝ ＝ ＝ ＝1；
（2） 与 之间的等量关系是： ﹣ ＝1．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADE∽△CFE，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ＝ ＝1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质把两
线段的比转化为另外两线段的比是关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知A（﹣1，3），B（2，n）两点在二
次函数y＝﹣ x2+bx+4的图象上．
（1）求b与n的值
（2）联结OA、OB、AB，求△AOB的面积；
（3）若点P（不与点A重合）在题目中给出的二次函数的图象上，且∠POB＝45°，
求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据A、B两点在函数图象上，可将将两点坐标代入，即可求出b和n
的值；
（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，可求出梯形
ODEB的面积，然后求出△AEB和△ADO的面积，相减即可求出△AOB的面积；
第21页（共26页）（3）求证△AOB为直角三角形，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，根据∠POB＝45°，
求出∠OAD的度数，然后设P点坐标，将其代入到函数中，即可求出P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3）在二次函数y＝﹣ x2+bx+4的图象上，
∴3＝﹣ ﹣b+4，解得 ；
∴二次函数y＝
∵B（2，n）两点在二次函数y＝﹣ x2+ x+4的图象上
∴
即n＝4．
（2）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图 所示，
①
由题意可知OD＝1，AD＝3，BE＝1+2＝3，ED＝4，AE＝4﹣3＝1，
∴梯形ODEB的面积为
∵
∴S ＝S ﹣S ﹣S ＝8 ＝5．
△AOB 梯形ODEB △ADO △AEB
∴△AOB的面积为5．
第22页（共26页）（3）∵AO＝
OB＝
∴AO2+AB2＝10+10＝20＝OB2
∴△AOB为等腰直角三角形，且∠BAO＝90°，∠AOB＝∠ABO＝45°
∵点P不与点A重合，且∠POB＝45°
∴∠AOP＝∠AOB+∠POB＝90°
过P点作PH⊥x轴，垂足为H，如图 所示，
∵∠POH+∠AOD＝90°∠OAD+∠AOD＝90°
②
∴∠POH＝∠OAD
∴ ＝
设PH＝k，则OH＝3k，P点坐标为（3k，k）
将P点（3k，k）代入二次函数y＝﹣ x2+ x+4
得k＝﹣
整理得，3k2﹣k+4＝0
解关于k的方程得，k＝﹣1，k＝
∴P点坐标为（﹣3，﹣1）或（4， ）
经检验（﹣3，﹣1）不符合题意舍去，故所求P点坐标为（4， ）．
【点评】本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相
似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点
较多，有一点的难度．
25．（14分）已知： O的半径长为5，点A、B、C在 O上，AB＝BC＝6，点E在射
线BO上．
⊙ ⊙
（1）如图1，联结AE、CE，求证：AE＝CE；
第23页（共26页）（2）如图2，以点C为圆心，CO为半径画弧交半径OB于D，求BD的长．
（3）当OE＝ 时，求线段AE的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）证明：作OF⊥AB于F，OH⊥BC于H，由AB＝BC，根据圆心角、弧、
弦、弦心距之间的关系OF＝OH，根据角平分线的判定得到BE平分∠ABC，然
后利用“SAS”可判断△ABE≌△CBE，则AE＝CE；
（2）作CN⊥BE于N，OM⊥BC于M，由OB＝OC，根据等腰三角形的性质得BM
＝CM＝ BC＝3，在Rt△BMO中，根据勾股定理计算出OM＝4，在利用面积
法计算出CN＝ ，
在Rt△OCN中利用勾股定理计算出ON＝ ，由CD＝CN，根据等腰三角形的性
质得ON＝DN，则BD＝OB﹣2ON＝ ；
（3）作CN⊥BE于N，由（2）得CN＝ ，ON＝ ，分类讨论：当E在OB的延长线
上，NE＝ON+OE＝ ，在Rt△CEN中，根据勾股定理计算出CE＝6；当E在
OB上，即OE′＝ ，NE′＝OE′﹣ON＝ ，在Rt△CE′N中，根据勾股定
理计算出CE′＝ ，即CE的长为6或 ，由于AE＝CE，所以AE的长
第24页（共26页）为6或 ．
【解答】（1）证明：作OF⊥AB于F，OH⊥BC于H，如图1，
∵AB＝BC，
∴OF＝OH，
∴BE平分∠ABC，
在△ABE和△CBE中
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE；
（2）解：作CN⊥BE于N，OM⊥BC于M，如图2，
∵OB＝OC，
∴BM＝CM＝ BC＝3，
在Rt△BMO中，OB＝5，BM＝3，
∴OM＝ ＝4，
∵ OM•BC＝ CN•OB，
∴CN＝ ＝ ，
在Rt△OCN中，OC＝5，
∴ON＝ ＝ ，
∵CO＝CD，
∴ON＝DN，
∴BD＝OB﹣2ON＝5﹣2× ＝ ；
（3）解：作CN⊥BE于N，如图，
由（2）得CN＝ ，ON＝ ，
第25页（共26页）当E在OB的延长线上，NE＝ON+OE＝ + ＝ ，
在Rt△CEN中，CE＝ ＝ ＝6；
当E在OB上，即OE′＝ ，NE′＝OE′﹣ON＝ ﹣ ＝ ，
在Rt△CE′N中，CE′＝ ＝ ＝ ，
∴CE的长为6或 ，
∵AE＝CE，
∴AE的长为6或 ．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系和三
角形全等的判定与性质；也考查了分类讨论的思想和勾股定理．
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日期：2018/12/26 20:16:41；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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