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2013年上海市闸北区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）将抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是
（ ）
A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣（x﹣2）2 D．y＝﹣x2﹣2
2．（4分）已知D、E分别在△ABC的BA、CA的延长线上，下列给出的条件中能判
定ED∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝ ，AC＝b，那么AB等于（ ）
A． B． C．α D．
4．（4分）如果四条线段a、b、c、d构成 ＝ ，m＞0，则下列式子中，成立的是（
）
A． B． C． D．
5．（4分）在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，且S ＝5，则△ABC的面积是
△BOD
（ ）
A．30 B．20 C．15 D．5
6．（4分）根据二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，判断下列说法中，错误的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．当x＞0时，y＜4
C．当x≤1时，函数值y是随着x的增大而增大
D．当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3时
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的．在一幅比例尺是1：
100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向实
际长大约为 米．
8．（4分）已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线
第1页（共29页）段BD的长是 厘米．
9．（4分）如果 ，那么用 表示 ，得 ＝ ．
10．（4分）抛物线y＝4x2+2x﹣1有最 点（填“高”、“低”）．
11．（4分）某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率
都为x，那么三月份的印书量y（万册）与x的函数解析式是 ．
12．（4分）在坡度为i＝1：2.4的斜坡上每走26米就上升了 米．
13．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，且DE∥BC，S ：
△AED
S ＝1：2，则AE：AC的比值是 ．
梯形EDBC
14．（4分）若二次函数y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m的图象顶点在y轴上，则m＝
．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且∠ADC+∠B＝
90°，DC＝3，BD＝6，则cosB＝ ．
16．（4分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正
方形的顶点上，则∠ABC的正切值是 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，
DE平分∠BDC交BC于点E，则 ＝ ．
第2页（共29页）18．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，点D是斜边AB上的中点，
把△ADC沿着AB方向平移1cm得△EFP，EP与FP分别交边BC于点H和点
G，则GH＝ ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： +sin260°+cos260°．
20．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（3，5）、（2，8）、（0，
8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线y ＝a x2+b x+c （a ≠0），y ＝a x2+b x+c （a ≠0），且满足
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
，则我们称抛物线y 与y 互为“友好抛物线”，请写
1 2
出当 时第（1）小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶
点坐标．
21．（10分）已知：如图，九年级某班同学要测量校园内旗杆CH的高度，在地面的
点E处用测角器测得旗杆顶点C的仰角∠CAD＝45°，再沿直线EF向着旗杆
方向行走10米到点F处，在点F又用测角器测得旗杆顶点C的仰角∠CBA＝
60°；已知测角器的高度为1.6米，求旗杆CH的高度（结果保留根号）．
第3页（共29页）22．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点
M、N分别在边AO和边OD上，且AM＝ AO，ON＝ OD，设 ＝ ， ＝ ，
试用 、 的线性组合表示向量 和向量 ．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD
相交于点O，联接DE．
（1）求证：△EOD∽△BOC；
（2）若S ＝16，S ＝36，求 的值．
△EOD △BOC
24．（12分）已知：如图，二次函数 的图象与x轴交于点A、B（点A
在点B的左侧），抛物线的顶点为Q，直线QB与y轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）在x轴上方找一点C，使以点C、O、B为顶点的三角形与△BOE相似，请直接
写出点C的坐标．
第4页（共29页）25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，cos∠A＝ ．点M在AB边上，
AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA＝x．
（1）求底边BC的长；
（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关
于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；
（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折
痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
第5页（共29页）2013 年上海市闸北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）将抛物线y＝﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是
（ ）
A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣（x﹣2）2 D．y＝﹣x2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】25：动点型．
【分析】易得原抛物线的顶点和平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项
的系数用顶点式可得所求抛物线．
【解答】解：∵原抛物线的顶点为（0，0），
∴新抛物线的顶点为（﹣2，0），
设新抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣h）2+k，
∴新抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
故选：A．
【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次
项的系数；左右平移只改变顶点的横坐标，左加右减．
2．（4分）已知D、E分别在△ABC的BA、CA的延长线上，下列给出的条件中能判
定ED∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据选项选出能推出△DAE∽△BAC，推出∠D＝∠B或∠E＝∠C的即可．
【解答】解：
第6页（共29页）A、∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△EAD∽△BAC，
∴∠E＝∠B，∠D＝∠C，
即不能推出DE∥BC，故本选项错误；
B、∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ﹣1＝ ﹣1，
∴ ＝ ，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，
∴∠D＝∠B，
∴DE∥BC，故本选项正确；
C、 ＝ 不能推出△DAE∽△BAC，即不能推出∠D＝∠B，即不能推出两直线
平行，故本选项错误；
D、 ＝ 不能推出△DAE∽△BAC，即不能推出∠D＝∠B，即不能推出两直线
平行，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查
学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等
的两三角形相似．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝ ，AC＝b，那么AB等于（ ）
A． B． C．α D．
第7页（共29页）【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】由于已知∠B和∠B的对边AC求斜边AB，则根据∠B的正弦的定义可求
AB．
【解答】解：如图，
∵sinB＝sin ＝ ＝ ，
α
∴AB＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它
的对边与斜边的比值．
4．（4分）如果四条线段a、b、c、d构成 ＝ ，m＞0，则下列式子中，成立的是（
）
A． B． C． D．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据比例的性质变形，再进行判断．
【解答】解：A、∵ ＝ ，m＞0，∴ ＝ ；故本选项错误；
B、∵ ＝ ，m＞0，∴ ≠ ；故本选项错误；
C、∵ ＝ ，m＞0，∴ ＝﹣ ；故本选项错误；
D、∵ ＝ ，m＞0，∴ ＝ ；故本选项正确．
故选：D．
第8页（共29页）【点评】本题考查了比例的性质．比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．
5．（4分）在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，且S ＝5，则△ABC的面积是
△BOD
（ ）
A．30 B．20 C．15 D．5
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】根据三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点的长度的2倍可得OD
＝2AO，再根据等高的三角形的面积等于底边的比求出△AOB的面积，然后等
底等高的三角形的面积相等求解即可．
【解答】解：如图，∵中线AD、BE相交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴OD＝ AO，
∵S ＝5，
△BOD
∴S ＝2S ＝2×5＝10，
△AOB △BOD
∴S ＝10+5＝15，
△ABD
∵AD是中线，
∴△ABC的面积＝2S ＝2×15＝30．
△ABD
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的重心到顶点的长度等于到对边中点
的长度的2倍，等高的三角形的面积等于底边的比以及等底等高的三角形的
面积相等是解题的关键．
6．（4分）根据二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象，判断下列说法中，错误的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．当x＞0时，y＜4
C．当x≤1时，函数值y是随着x的增大而增大
D．当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3时
第9页（共29页）【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】把二次函数写成顶点式形式，再根据二次函数的对称轴，增减性对各选项
分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
A、二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，故本选项错误；
B、当x＝1时，y最大值为4，所以x＞0时，y≤4，故本选项正确；
C、当x≤1时，函数值y是随着x的增大而增大正确，故本选项错误；
D、令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
所以，当y≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3正确，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴解析式，二次函数的增减
性，与x轴的交点坐标的求解，是基础题．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的．在一幅比例尺是1：
100000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向实
际长大约为 350 0 米．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺．
【解答】解：根据题意，3.5÷（1：100000）＝350000厘米＝3500米．
即它的东西走向实际长大约为3500米．
故答案为：3500．
【点评】考查了比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．
8．（4分）已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线
段BD的长是 ﹣ 1 厘米．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】根据黄金比值为 ，可得出最短线段的长．
第10页（共29页）【解答】解：由题意得， ＝ ，
解得：BD＝ ﹣1．
故答案为： ﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的知识，属于基础题，注意掌握黄金分割的定义，及
黄金比值．
9．（4分）如果 ，那么用 表示 ，得 ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据向量的运算，去括号，移项，系数化为1即可得解．
【解答】解：去括号得， + ＝2 ﹣6 ，
移项得， +6 ＝2 ﹣ ，
合并得，7 ＝ ，
系数化为1得， ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量的运算，类似于解一元一次方程进行计算即可，比较
简单，要注意移项要变号．
10．（4分）抛物线y＝4x2+2x﹣1有最 低 点（填“高”、“低”）．
【考点】H7：二次函数的最值．
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【分析】根据二次函数的性质，a＞0，二次函数有最小值解答．
【解答】解：∵抛物线y＝4x2+2x﹣1的a＝4＞0，
∴该抛物线有最小值，
即抛物线有最低点．
故答案为：低．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，比较简单，熟记二次项系数与函数图象
的关系是解题的关键．
11．（4分）某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率
都为x，那么三月份的印书量y（万册）与x的函数解析式是 y ＝ 5 0（ x + 1 ） 2 或 y
＝ 5 0 x 2 +10 0 x +5 0 ．
第11页（共29页）【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】由一月份印书量50万册，根据题意可以得到2月份印书量为50×（1+x），
而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的印书量也可以用x表示
出来，由此即可确定函数关系式．
【解答】解：∵一月份印书量50万册，
2月份起，每月印书量的增长率都为x，
∴2月份印书量为50×（1+x），
∴三月份的印书量为y＝50×（1+x）×（1+x）＝50（1+x）2＝50x2+100x+50．
故答案为：y＝50（1+x）2或y＝50x2+100x+50．
【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，此题需注意第3
个月的印数量是在第2个月的印数量的基础上增加的，此题是平均增长率的
问题，可以用公式a（1±x）2＝b来解题．
12．（4分）在坡度为i＝1：2.4的斜坡上每走26米就上升了 1 0 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB的长
度即可求得AC的值，即可解题．
【解答】解：由题意得，AB＝26米，tanB＝ ＝1：2.4，
设AC＝x，则BC＝2.4x，
则在Rt△ABC中，x2+（2.4x）2＝262，
解得：x＝10，即AC＝10米．
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形
中三角函数值的计算，属于基础题．
13．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，且DE∥BC，S ：
△AED
S ＝1：2，则AE：AC的比值是 ．
梯形EDBC
第12页（共29页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，再根据相似三角形面积比等于相似比的平
方进而求出AE：AC的比值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵S ：S ＝1：2，
△ADE 梯形BCED
∴S ：S ＝1：3，
△ADE △ABC
∴AE：AC＝1： ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考
查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、
公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法
是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或
作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要
综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
14．（4分）若二次函数y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m的图象顶点在y轴上，则m＝
．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的顶点的横坐标列式求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣（2m﹣1）x+m的图象顶点在y轴上，
∴﹣ ＝0，
解得m＝ ．
第13页（共29页）故答案为： ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据顶点的坐标列出等式是解题的关键．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且∠ADC+∠B＝
90°，DC＝3，BD＝6，则cosB＝ ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】首先证明△ACD∽△BCA，可得 ＝ ，再根据条件DC＝3，BD＝6可以
计算出AC2，再利用勾股定理计算出AB2，进而得到AB的长，再根据锐角三角
函数定义可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠CDA+∠DAC＝90°，
∵∠ADC+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴ ＝ ，
∴AC2＝CB•CD，
∵DC＝3，BD＝6，
∴CB＝9，
∴AC2＝9×3＝27，
在Rt△ABC中：AB2＝AC2+BC2＝27+81＝108，
∴AB＝ ＝6 ，
cosB＝ ＝ ．
故答案为： ．
第14页（共29页）【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是
证明△ACD∽△BCA，再根据相似三角形的性质得到AC2．
16．（4分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正
方形的顶点上，则∠ABC的正切值是 2 ．
【考点】KQ：勾股定理；KS：勾股定理的逆定理；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】连接AC，根据勾股定理计算出AC，AB，BC的长，再根据勾股定理的逆定
理判定三角形ACB是直角三角形，由正切的定义即可求出∠ABC的正切值．
【解答】解：连接AC，
∵AC＝ ＝2 ，BC＝ ，AB＝ ＝ ，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴三角形ACB是直角三角形，
∴tan∠ABC＝ ＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了三角函数的定义以及勾股定理以及逆定理的运用．此题难度
适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，
DE平分∠BDC交BC于点E，则 ＝ ．
第15页（共29页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，根据等
腰三角形的判定与性质，易求得AD＝BD＝BC，又由DE平分∠BDC交BC于
点E，可求得BE＝DE＝CD，证得△DEC∽△BDC，然后由相似三角形的对应
边成比例，求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD，
∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵DE平分∠BDC交BC于点E，
∴∠CDE＝∠BDE＝36°，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE，
∴∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝72°，
∴DE＝CD＝BE，
∴△DEC∽△BDC，
∴ ，
设CD＝x，则EC＝BC﹣BE＝AD﹣CD＝AD﹣x，BC＝BD＝AD，
第16页（共29页）∴ ，
解得：x＝ AD，
∴EC＝ AD，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此
题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，点D是斜边AB上的中点，
把△ADC沿着AB方向平移1cm得△EFP，EP与FP分别交边BC于点H和点
G，则GH＝ cm ．
【考点】Q2：平移的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD＝BD＝CD＝ AB＝
3cm；然后由平移的性质推知AC∥PE；最后根据相似三角形的性质与判定，即
可求得GH的长度．
【解答】解：连接PC，
∵在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，点D是斜边AB上的中点，
∴AD＝BD＝CD＝ AB＝3（cm）；
又∵把△ADC沿着AB方向平移1cm得△EFP，∴AC∥PE，AE＝CP＝1cm，
∴BE＝6﹣1＝5（cm），BF＝3﹣1＝2（cm），
∵AC∥PE，
第17页（共29页）∴△CHP∽△BHE，△CGP∽△BGF，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得：CH＝ ，CG＝
∴GH＝ ﹣ ＝ （cm）；
故答案是： cm．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质以及相似三角形的判
定与性质．运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段
的长度是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： +sin260°+cos260°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入，然后进行化简运算即可．
【解答】解：原式＝ ﹣2|1﹣ |+ +
＝ ﹣2+ + +
＝ +1﹣2+ +1
＝ + ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记
忆一些特殊角的三角函数值．
20．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（3，5）、（2，8）、（0，
第18页（共29页）8）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）已知抛物线y ＝a x2+b x+c （a ≠0），y ＝a x2+b x+c （a ≠0），且满足
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
，则我们称抛物线y 与y 互为“友好抛物线”，请写
1 2
出当 时第（1）小题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶
点坐标．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）先把三个点的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得到关于a、b、c的方程
组，然后解方程组求出a、b、c的值；
（2）根据题中的定义得到 或 ，则可得到友好抛
物线的解析式是：y＝2x2﹣4x﹣16或y＝ x2﹣x﹣4，然后分别配成顶点式，则
可得到它们的顶点坐标．
【解答】解：（1）根据题意，得 ，解得 ，
所以这个抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+8；
（2）根据题意，得 或
解得a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣16或a ＝ ，b ＝﹣1，c ＝﹣4，
2 2 2 1 1 1
所以友好抛物线的解析式是：y＝2x2﹣4x﹣16或y＝ x2﹣x﹣4，
因为y＝2x2﹣4x﹣16＝2（x﹣1）2﹣18，
所以抛物线y＝2x2﹣4x﹣16的顶点坐标为（1，﹣18）；
因为y＝ x2﹣x﹣4＝ （x﹣1）2﹣ ，
第19页（共29页）所以抛物线y＝ x2﹣x﹣4的顶点坐标为（1，﹣ ）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式（一
般式、顶点式或交点式），再列方程（组）、解方程（组），然后确定二次函数的解
析式．也考查了二次函数的性质．
21．（10分）已知：如图，九年级某班同学要测量校园内旗杆CH的高度，在地面的
点E处用测角器测得旗杆顶点C的仰角∠CAD＝45°，再沿直线EF向着旗杆
方向行走10米到点F处，在点F又用测角器测得旗杆顶点C的仰角∠CBA＝
60°；已知测角器的高度为1.6米，求旗杆CH的高度（结果保留根号）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】首先假设出DB＝x米，在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，进而表示出CD的
长，再利用CD+BD＝10求出x，进而得出CD与CH即可．
【解答】解：根据题意，设DB＝x米在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，
∴CD＝DB•tan60°＝ 米，
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝ 米，
∴ +x＝10，
解得： 米，
CD＝ （米），
∴CH＝ （米）．
答：旗杆CH的高度是 米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出CD的长是解题关键
22．（10分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点
M、N分别在边AO和边OD上，且AM＝ AO，ON＝ OD，设 ＝ ， ＝ ，
第20页（共29页）试用 、 的线性组合表示向量 和向量 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平行四边形法则求出 ，再根据平行四边形的对角线互相平分表示
，然后根据OM＝ AO，再表示出 即可；
根据平行线分线段成比例定理求出MN∥AD，并求出 ＝ ，然后根据向量的表
示 ＝ 即可得解．
【解答】解：根据平行四边形法则， ＝ + ＝ + ，
∵平行四边形ABCD，
∴AO＝ AC，
∴ ＝ ＝ （ + ），
∵AM＝ AO，
∴OM＝ AO，
∴ ＝﹣ ，
∴ ＝﹣ × （ + ）＝﹣ ﹣ ；
∵AM＝ AO，ON＝ OD，
∴ ＝ ＝ ，
∴MN∥AD，
第21页（共29页）∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵平行四边形ABCD，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
【点评】本题是对向量的考查，主要利用了平行四边形法则，平行四边形的对角线
互相平分的性质，平行线分线段成比例定理，要注意线性组合的特点的利用．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD
相交于点O，联接DE．
（1）求证：△EOD∽△BOC；
（2）若S ＝16，S ＝36，求 的值．
△EOD △BOC
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）首先证明△BOE∽△COD，由相似三角形的性质可得 ，又因
为∠EOD＝∠BOC，所以：△EOD∽△BOC；
（2）由面积之比可得到对应边之比即 ，在△ODC与△EAC中，因为∠AEC
＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE，所以△ODC∽△AEC，利用相似的性质即可求出
的值．
【解答】（1）证明：在△BOE与△DOC中，
∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD，
∴△BOE∽△COD，
第22页（共29页）∴ ，
即 ，
又∵∠EOD＝∠BOC，
∴△EOD∽△BOC；
（2）解：∵△EOD∽△BOC
∴ ，
∵S ＝16，S ＝36，
△EOD △BOC
∴ ，
在△ODC与△EAC中，
∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE，
∴△ODC∽△AEC，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考
查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、
公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
24．（12分）已知：如图，二次函数 的图象与x轴交于点A、B（点A
在点B的左侧），抛物线的顶点为Q，直线QB与y轴交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）在x轴上方找一点C，使以点C、O、B为顶点的三角形与△BOE相似，请直接
写出点C的坐标．
第23页（共29页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据二次函数解析式求得点B的坐标；设直线BQ：y＝kx+b（k≠0）．
则把B、Q的坐标代入该解析式列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组即
可求得它们的值；最后令x＝0，则y＝﹣8，即E（0，﹣8）；
（2）需要分类讨论： 如图1，若∠COB＝∠EOB＝90°； 如图1，若∠CBO＝
∠EOB＝90°； 如图2，若∠OCB＝∠BOE＝90°．由相似三角形的对应边成比
① ②
例求得相关线段的长度．
③
【解答】解：（1）令y＝0，得 ，
解方程，得
x ＝﹣2，x ＝4，
1 2
∵点A在点B的左侧，
∴B（4，0）
又 ，
∴Q（1，﹣6）．
设直线BQ：y＝kx+b（k≠0）．则把B、Q的坐标代入，得
解得 ，
∴直线BQ的解析式是：y＝2x﹣8，
∴E（0，﹣8）；
第24页（共29页）（2）由（1）知，B（4，0），E（0，﹣8），则OE＝8，OB＝4．
如图1，若∠COB＝∠EOB＝90°．
①当△BOC∽△BOE时， ＝ ＝1，即OC＝OE＝8，则C （0，8）；
1
当△COB∽△BOE时， ＝ ，即 ＝ ，则CO＝2，故C （0，2）；
2
如图1，若∠CBO＝∠EOB＝90°．
②当△CBO∽△BOE时， ＝ ，即 ＝ ，解得，CB＝2，故C （4，2）；
3
当△OBC∽△BOE时， ＝ ＝1，即BC＝OE＝8，故C （4，8）；
4
如图2，若∠OCB＝∠BOE＝90°，设C（x，y）．
③△OCB∽△BOE时， ＝ ，即 ＝ ，或 ＝ ．
∵直角△BOC中，根据勾股定理知OC2+BC2＝OB2＝16 ①，
∴由 得，OC＝ ，BC＝ ②
①②
OC•BC＝ ．
∵ OB•y＝ OC•BC，
∴y＝ ，
∴x＝ ，即C （ ， ）．
5
同理，当△BCO∽△BOE时，C （ ， ）．
6
综上所述，符合条件的点C的坐标是：
C（0，8），C（0，2），C（4，2），C（4，8），C（ ， ），C（ ， ）．
1 2 3 4 5 6
第25页（共29页）【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质以
及二次函数的综合题．解答（2）题时，要分类讨论，以防漏解．
25．（14分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，cos∠A＝ ．点M在AB边上，
AM＝2MB，点P是边AC上的一个动点，设PA＝x．
（1）求底边BC的长；
（2）若点O是BC的中点，联接MP、MO、OP，设四边形AMOP的面积是y，求y关
于x的函数关系式，并出写出x的取值范围；
（3）把△MPA沿着直线MP翻折后得到△MPN，是否可能使△MPN的一条边（折
痕边PM除外）与AC垂直？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
第26页（共29页）【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）作BH⊥AC于点H，求出AH＝12，BH＝9，求出CH，根据勾股定理得
出BC2＝BH2+CH2，求出即可；
（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，求出OE＝OF＝ BH＝ ，求出PC＝15
﹣x，根据y＝S ﹣S ﹣S 和三角形面积公式求出即可；
△ABC △BOM △COP
（3） 当PN⊥AC时，作MG⊥AC于点G，求出AG＝8，MG＝6， 若点P 在AG
1
上，由折叠知∠AP M＝135°，求出P G＝MG＝6，代入AP ＝AG﹣P G求出即
① 1 1 1 ① 1
可； 若点P 在CG上，由折叠知∠AP M＝45°，求出P G＝MG＝6，代入AP
2 2 2 2
＝AG+P G求出即可； 当MN⊥AC时，
② 2
由折叠知∠AMP ＝∠NMP ，求出P G＝8﹣x，GN ＝4，根据P N 2＝P G2+GN 2得
3 ③3 3 3 3 3 3 3
出x2＝（8﹣x）2+42，求出即可．
【解答】解：
（1）作BH⊥AC于点H，如图1，
∵在Rt△ABH中，cos∠A＝ ，AB＝15，
∴AH＝12，
∴BH＝9，
∵AC＝15，
∴CH＝3，
∵BC2＝BH2+CH2，
∴BC2＝92+32＝90，
∴BC＝3 ．
第27页（共29页）（2）作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图2，
∵OE⊥AB，OF⊥AC，点O是BC的中点，AB＝AC，
∴OE＝OF＝ BH＝ ，
∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，
∴AM＝10，BM＝5，
∵PA＝x，
∴PC＝15﹣x，
∴y＝S ﹣S ﹣S
△ABC △BOM △COP
＝ BH•AC﹣ OE•BM﹣ OF•PC
＝ ×9×15﹣ × ×5﹣ × × （ 15﹣ x ）
即y＝ x+ ．定义域是0＜x≤15．
（3） 当PN⊥AC时，如图2，作MG⊥AC于点G，
∵在R ① t△AMG中，cos∠A＝ ，AM＝10，
∴AG＝8，
第28页（共29页）∴MG＝6，
若点P 在AG上，∠AP N ＝90°，由折叠知：∠AP M＝∠N P M＝135°，
1 1 1 1 1 1
∴∠MP G＝45°，
② 1
∵MG⊥AC，
∴P G＝MG＝6，
1
∴AP ＝AG﹣P G＝2．
1 1
若点P 在CG上，由折叠知：∠AP M＝45°，
2 2
∵MG⊥AC，
③
∴P G＝MG＝6，
2
∴AP ＝AG+P G＝14．
2 2
当MN⊥AC时，如图3，
由折叠知：∠AMP ＝∠NMP ，P N ＝AP ＝x，MN ＝MA＝10，
④ 3 3 3 3 3 3
∴P G＝8﹣x，GN ＝4，
3 3
∵P N 2＝P G2+GN 2，
3 3 3 3
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
综上所述，x＝2或5或14时满足△MPN的一条边与AC垂直．
【点评】本题考查了折叠性质，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，主要考
查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度偏大．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:28:26；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第29页（共29页）
