文档内容
2013年上海市金山区中考数学二模试卷
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）下列各式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．2
2．（3分）满足不等式﹣2x＜8的最小整数解是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
3．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）一位射箭选手在训练中，五次射箭的成绩分别是10，7，8，10，10（单位：
环）．这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．8，7 B．8，10 C．9，8 D．9，10
5．（3分）下列命题中，逆命题正确的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形对应角相等
D．等腰三角形是轴对称图形
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CP、CM分别是AB上的高和
中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（
）
A．点P，M均在圆A内
B．点P、M均在圆A外
C．点P在圆A内，点M在圆A外
D．点P在圆A外，点M在圆A内
二．填空题
7．（3分）计算：|﹣ |＝ ．
8．（3分）分解因式：x2﹣4＝ ．
9．（3分）方程 的根是 ．
10．（3分）方程 的根是x＝ ．
11．（3分）如果关于x的一元二次方程：mx2+x+1＝0（m为常数）有两个实数根，那
第1页（共26页）么m的取值范围是 ．
12．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣2），那么正比例函数
的解析式为 ．
13．（3分）在六张大小质地相同的卡片分别写上2010，2011，2013，2013，2013，
2014，随机抽取一张，抽取的卡片上的数字是偶数的概率是 ．
14．（3分）为了解各年龄段观众对某电视节目的收视率，小明调查了部分观众的
收视情况，并分成A，B，C，D，E，F六组进行调查，其频率分布直方图如图所示，
各长方形上方的数据表示该组的频率，若E组的频数为48，那么被调查的观众
总人数为 ．
15．（3分）如图，已知，AB＝AC，CE平分∠BCD，∠A＝120°，那么∠ACE＝
．
16．（3分）如图，已知点D，E分别是边AC和AB的中点，设 ， ，那么
＝ （用 来表示）
第2页（共26页）17．（3分）如图，已知在△ABC中，BC∥DE，S ：S ＝1：8，AB＝a，那么
△ADE 四边形BDEC
BD＝ （用a的代数式来表示）
18．（3分）已知正方形ABCD的边长为 ，点E在DC上，且∠DAE＝30°，若将
△ADE 绕着点 A 顺时针旋转 60°，点 D 至 D′处，点 E 至 E′处，那么
△AD′E′与四边形ABCE重叠部分的面积是 ．
三．解答题
19．（6分） ，其中x＝ ．
20．（6分）解方程组： ．
21．（6分）如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，AB于
点E，若BC＝8，△BCE的周长为
21，cos∠B＝ ．
求：（1）AB的长；
（2）AC的长．
第3页（共26页）22．（7分）某工厂计划生产甲、乙两种型号的机器200台，生产机器一定要有A、B
两种材料，现厂里有A种材料10000吨，B种材料6000吨，已知生产一台甲机
器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示：
机器型号 A种材料 B种材料 售后利润
甲 55吨 20吨 5万元
乙 40吨 36吨 6万元
设生产甲种型号的机器x台，售后的总利润为y万元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）若你是厂长，要使工厂所获利润最大，那么如何安排生产？（请结合所学函数
知识说明理由）．
23．（7分）如图，已知在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，BO是AC边上的中线，延
长BO至D，使得DO＝BO；延长BA至E，使AE＝AB，联结CD、DE，在AE取
一点P，联结DP，并延长DP、CA交于点G．求证：
（1）四边形ACDE是菱形；
（2）AE2＝CG•EP．
24．（7分）如图，已知点P（﹣4，0），以点P为圆心PO长为半径作圆交x轴于点
A、O两点．过点A作直线AC交y轴于点C，与圆P交于点B，sin∠CAO＝ ．
（1）求点C的坐标；
（2）若点D是弧AB的中点，求经过A、D、O三点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）；
第4页（共26页）（3）若直线y＝kx+b经过点M（2，0），当直线y＝kx+b与圆P相交时，求b的取
值范围．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，P为BC的中点，E、F分别
是AB、AC上的动点，∠EPF＝45°．
（1）求证：△BPE∽△CFP．
（2）设BE＝x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP是否可能等于60°？若可能求出x的值，若不可
能请说明理由．
第5页（共26页）2013 年上海市金山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）下列各式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．2
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】先将4个选项化简为最简二次根式，然后找出与 是同类二次根式的选
项．
【解答】解：A、 是最简二次根式，但与 不是同类二次根式，故A错误；
B、 ＝2 ，与 是同类二次根式，故B正确；
C、 是最简二次根式，但与 不是同类二次根式，故C错误；
D、2 是最简二次根式，但与 不是同类二次根式，故D错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数
相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
2．（3分）满足不等式﹣2x＜8的最小整数解是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【考点】C7：一元一次不等式的整数解．
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【专题】11：计算题．
【分析】不等式左右两边除以﹣2变形后求出x的范围，即为不等式的解集，找出
解集中的最小整数解即可．
【解答】解：不等式解得：x＞﹣4，
则不等式的最小整数解为﹣3．
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，求出不等式的解集是解本题的关
键．
3．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
第6页（共26页）【考点】F5：一次函数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】由直线的解析式得到k＜0，b＞0，利用一次函数的性质即可确定直线经过
的象限．
【解答】解：∵y＝﹣x+1，
∴k＜0，b＞0，
故直线经过第一、二、四象限．
不经过第三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符
号来确定．
4．（3分）一位射箭选手在训练中，五次射箭的成绩分别是10，7，8，10，10（单位：
环）．这组数据的平均数和众数分别是（ ）
A．8，7 B．8，10 C．9，8 D．9，10
【考点】W2：加权平均数；W5：众数．
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【分析】根据众数及平均数的定义进行计算即可．
【解答】解：10出现的次数最多，故众数为10；
平均数＝ ＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，属于基础题，掌握众数及中位数的定义
是解答本题的关键．
5．（3分）下列命题中，逆命题正确的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同位角相等
C．全等三角形对应角相等
D．等腰三角形是轴对称图形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．
【解答】解：A的逆定理是：相等的角是对顶角，假命题；
B的逆命题是：同位角相等，两直线平行，真命题；
第7页（共26页）C的逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，假命题；
D的逆命题是：轴对称图形是等腰三角形，假命题；
故选：B．
【点评】此题考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固
掌握．
6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CP、CM分别是AB上的高和
中线，如果圆A是以点A为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（
）
A．点P，M均在圆A内
B．点P、M均在圆A外
C．点P在圆A内，点M在圆A外
D．点P在圆A外，点M在圆A内
【考点】M8：点与圆的位置关系．
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【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再根据面积公式求出CP的长，根据勾股
定理求出AP的长，根据中线的定义求出AM的长，然后由点P、M到A点的距
离判断点P、M与圆A的位置关系即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∵CP、CM分别是AB上的高和中线，
∴ AB•CP＝ AC•BC，AM＝ AB＝2.5，
∴CP＝ ，
∴AP＝ ＝1.8，
∵AP＝1.8＜2，AM＝2.5＞2，
∴点P在圆A内、点M在圆A外
故选：C．
第8页（共26页）【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的
半径的大小关系作出判断即可．
二．填空题
7．（3分）计算：|﹣ |＝ ．
【考点】15：绝对值．
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【分析】根据一个负实数的绝对值等于它的相反数求解即可．
【解答】解：|﹣ |＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了实数绝对值的定义：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实
数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
8．（3分）分解因式：x2﹣4＝ （ x + 2 ）（ x ﹣ 2 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【专题】44：因式分解．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子
的特点是：两项平方项，符号相反．
9．（3分）方程 的根是 x ＝﹣ 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】将方程左右两边平方，将方程化为关于x的一元二次方程，求出方程的解
得到x的值，将x的值代入原方程检验，即可得到原方程的解．
【解答】解： ＝﹣x，
左右两边平方得：2x+3＝x2，即x2﹣2x﹣3＝0，
因式分解得：（x﹣3）（x+1）＝0，
第9页（共26页）解得：x＝3或x＝﹣1，
将x＝3代入方程检验，不合题意，
则原方程的解为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1
【点评】此题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换
元法，本题用了平方法．
10．（3分）方程 的根是x＝ ﹣ 1 ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题考查了解分式方程发能力，公分母为x﹣1，去分母，转化为整式方程
求解．结果要检验．
【解答】解：去分母，得x2＝1，
∴x＝1或﹣1，经检验：x＝﹣1是原方程的解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
11．（3分）如果关于x的一元二次方程：mx2+x+1＝0（m为常数）有两个实数根，那
么m的取值范围是 m ≤ 且 m ≠ 0 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 m≠0且△＝1﹣
4m≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m≠0且△＝1﹣4m≥0，
解得m≤ 且m≠0．
故答案为m≤ 且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
第10页（共26页）△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
12．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣2），那么正比例函数
的解析式为 y ＝﹣ 2 x ．
【考点】FB：待定系数法求正比例函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】直接把点（1，﹣2）代入y＝kx，然后求出k即可．
【解答】解：把点（1，﹣2）代入y＝kx得k＝﹣2，
所以正比例函数解析式为y＝﹣2x．
故答案为y＝﹣2x．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：设正比例函数解析式为y＝
kx（k≠0），然后把正比例函数图象上一个点的坐标代入求出k即可．
13．（3分）在六张大小质地相同的卡片分别写上2010，2011，2013，2013，2013，
2014，随机抽取一张，抽取的卡片上的数字是偶数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】让是偶数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率．
【解答】解：∵6张大小质地相同的卡片上分别标有数字2010，2011，2013，2013，
2013，2014，其中有2张是偶数，
∴从中随机抽取一张，卡片上的数字是偶数的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
14．（3分）为了解各年龄段观众对某电视节目的收视率，小明调查了部分观众的
收视情况，并分成A，B，C，D，E，F六组进行调查，其频率分布直方图如图所示，
各长方形上方的数据表示该组的频率，若E组的频数为48，那么被调查的观众
总人数为 20 0 ．
第11页（共26页）【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】先由各小组的频率和为1，求出E组的频率，然后用E组的频数除以E组
的频率即可得到总人数．
【解答】解：∵E组的频率为：1﹣0.04﹣0.08﹣0.16﹣0.36﹣0.12＝0.24，
又∵E组的频数为48，
∴被调查的观众总人数为：48÷0.24＝200．
故答案为200．
【点评】本题考查频率分布直方图，频数与频率的关系：频数＝总人数×频率，从统
计图中正确获取信息是解题的关键．
15．（3分）如图，已知，AB＝AC，CE平分∠BCD，∠A＝120°，那么∠ACE＝
105° ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
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【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB，再根据平角的定义求出∠BCD，
然后根据角平分线的定义求出∠BCE，根据∠ACE＝∠ACB+∠BCE代入数据
进行计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠ACB＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣120°）＝30°，
第12页（共26页）∴∠BCD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣30°＝150°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝ ∠BCD＝ ×150°＝75°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝30°+75°＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题．
16．（3分）如图，已知点D，E分别是边AC和AB的中点，设 ， ，那么
＝ （用 来表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】已知 ， ，根据平行四边形法则可求出 ，根据D，E分别是边AC
和AB的中点，可知 ＝ ，即可求出 ．
【解答】解：∵ ， ，
∴ ＝ + ＝ + ，
∵点D，E分别是边AC和AB的中点，
∴ED＝ BC，
则 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量的知识，难度适中，根据平行四边形法则求出 是解
答本题的关键．
17．（3分）如图，已知在△ABC中，BC∥DE，S ：S ＝1：8，AB＝a，那么
△ADE 四边形BDEC
第13页（共26页）BD＝ a （用a的代数式来表示）
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据S ：S ＝1：8，可得S ：S ＝1：9，再由面积比等于相
△ADE 四边形BDEC △ADE △ABC
似比平方可得出AD：AB＝1：3，继而可得出BD的长度．
【解答】解：∵S ：S ＝1：8，
△ADE 四边形BDEC
∴S ：S ＝1：9，
△ADE △ABC
∵BC∥DE，
∴（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵AB＝a，
∴BD＝ a．
故答案为： a．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出 S ：
△ABC
S ＝1：9，由面积比等于相似比平方得出 ＝ ，难度一般．
△ABC
18．（3分）已知正方形ABCD的边长为 ，点E在DC上，且∠DAE＝30°，若将
△ADE 绕着点 A 顺时针旋转 60°，点 D 至 D′处，点 E 至 E′处，那么
△AD′E′与四边形ABCE重叠部分的面积是 6 ﹣ 3 或 0 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】作出图形，解直角三角形求出DE、AE，再根据旋转角为60°可知AE′在
第14页（共26页）直线AB上，然后求出BE′，设D′E′与BC相交于F，解直角三角形求出BF
再根据重叠部分的面积等于△AD′E′的面积减去△BE′F的面积，列式计
算即可得解；旋转后△ADE不在正方形内部时重叠部分面积是0．
【解答】解：如图1，∵正方形ABCD的边长为 ，∠DAE＝30°，
∴DE＝AD•tan30°＝ × ＝1，
AE＝2DE＝2，
∵∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝90°﹣30°＝60°，旋转角为60°，
∴旋转后AE′在直线AB上，
∴BE′＝AE′﹣AB＝2﹣ ，
设D′E′与BC相交于F，
∵∠E′＝∠AED＝90°﹣30°＝60°，
∴BF＝BE′•tan60°＝（2﹣ ）× ＝2 ﹣3，
∴△AD′E′与四边形ABCE重叠部分的面积＝S ﹣S ＝ × ×1﹣
△AD′E′ △BE′F
×（2﹣ ）×（2 ﹣3），
＝ ﹣ +6，
＝6﹣3 ；
如图2，重叠部分面积为0．
故答案为：6﹣3 或0．
【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，主要利用了旋转变换只改变图形
的位置不改变图形的形状与大小的性质，作出图形更形象直观．
三．解答题
第15页（共26页）19．（6分） ，其中x＝ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项约分得到最简结果，第二项利用负指数幂法则计算，再利用同
分母分式的减法法则计算得到最后结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ • ﹣ ＝ ﹣ ＝ ，
当x＝ +1时，原式＝ ＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是
找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
20．（6分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】先把 进行整理，再把它代入 ，消去x，求出y的值，再把y的值代入
求出x的值即可．
① ② ①
【解答】解： ，
由 得：x＝3﹣y，
由 得：（x+2y）2＝25，
① ③
把 代入 得：
② ④
（3﹣y+2y）2＝25，
③ ④
（3+y）2＝25，
3+y＝±5，
y ＝2，y ＝﹣8，
1 2
把y ＝2代入 得：
1
x ＝1，
1 ①
把y ＝﹣8代入 得：
2
x ＝11，
2 ①
第16页（共26页）则原方程组的解是： 或 ．
【点评】此题考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个
未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单
的方程中即可．
21．（6分）如图，已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，AB于
点E，若BC＝8，△BCE的周长为
21，cos∠B＝ ．
求：（1）AB的长；
（2）AC的长．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）由DE为AC的垂直平分线，得到AE＝CE，三角形BEC的周长为三
边之和，等量代换得到结果为AB+BC，由周长减去BC即可求出AB的长；
（2）过A作AF垂直于BC，在直角三角形ABF中，由AB与cosB的值，利用锐角
三角函数定义求出BF的长，进而利用勾股定理求出AF的长，由BC﹣BF求出
FC的长，在直角三角形AFC中，利用勾股定理即可求出AC的长．
【解答】解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵△BEC周长为BE+BC+EC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝21，BC＝8，
∴AB＝21﹣8＝13；
（2）过A作AF⊥BC，
在Rt△ABF中，AB＝13，cosB＝ ，
第17页（共26页）∴BF＝ABcosB＝5，FC＝BC﹣BF＝8﹣5＝3，
∴根据勾股定理得：AF＝ ＝12，
在Rt△AFC中，AF＝12，FC＝3，
根据勾股定理得：AC＝ ＝ ＝3 ．
【点评】此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定
义，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
22．（7分）某工厂计划生产甲、乙两种型号的机器200台，生产机器一定要有A、B
两种材料，现厂里有A种材料10000吨，B种材料6000吨，已知生产一台甲机
器和一台乙机器所需A、B两种材料的数量和售后利润如下表所示：
机器型号 A种材料 B种材料 售后利润
甲 55吨 20吨 5万元
乙 40吨 36吨 6万元
设生产甲种型号的机器x台，售后的总利润为y万元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）若你是厂长，要使工厂所获利润最大，那么如何安排生产？（请结合所学函数
知识说明理由）．
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）表示出生产乙种型号的机器为（200﹣x）台，然后根据总利润＝甲的
利润+乙的利润，列式整理即可得解；再根据厂里现有甲、乙两种材料的数量列
出不等式组求出x的取值范围；
（2）根据一次函数的增减性求出y的最大值即可．
【解答】解：（1）设生产甲种型号的机器x台，生产乙种型号的机器为（200﹣x）台，
根据题意得，y＝5x+6（200﹣x）＝﹣x+1200，
∵现厂里有A种材料10000吨，B种材料6000吨，
第18页（共26页）∴ ，
由 得，x≤ ，
由①得，x≥75，
所②以，x的取值范围为75≤x≤ ，
所以，y与x的函数关系式为y＝﹣x+1200（75≤x≤ ）；
（2）∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝75时，总利润y最大，最大值为y＝﹣75+1200＝1125，
∴要使工厂所获利润最大，应安排生产生产甲种型号机器 75台，乙种型号机器
125台，此时获得最大利润1125万元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，主要考查了利用
一次函数的增减性求最大值，本题难点在于根据材料的现有量列不等式组求
出x的取值范围．
23．（7分）如图，已知在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，BO是AC边上的中线，延
长BO至D，使得DO＝BO；延长BA至E，使AE＝AB，联结CD、DE，在AE取
一点P，联结DP，并延长DP、CA交于点G．求证：
（1）四边形ACDE是菱形；
（2）AE2＝CG•EP．
【考点】KH：等腰三角形的性质；LA：菱形的判定与性质；S9：相似三角形的判定
与性质．
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【专题】14：证明题．
第19页（共26页）【分析】（1）连接AD，则可判断四边形ABCD是平行四边形，从而得出AB＝CD
＝AE，判断出四边形AEDC为平行四边形，由AB＝AC，可得CD＝AC，继而判
定四边形ACDE是菱形；
（2）证明△DEP∽△GCD，从而得出 ＝ ，再由四边形ACDE是菱形，可得
DE＝CD＝AE，代入比例式即可得出结论．
【解答】解：（1）连接AD，
∵BD与AC互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB CD，
又∵AE＝AB，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AC＝CD，
∴四边形ACDE是菱形；
（2）∵四边形ACDE是菱形，
∴DE＝CD＝AE，∠E＝∠DCG，DE∥CG，
∴∠EDP＝∠DGC，
∴△DEP∽△GCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE2＝CG•EP．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与菱形的判定，
解答本题的关键是等量代换，这是本题的突破口．
第20页（共26页）24．（7分）如图，已知点P（﹣4，0），以点P为圆心PO长为半径作圆交x轴于点
A、O两点．过点A作直线AC交y轴于点C，与圆P交于点B，sin∠CAO＝ ．
（1）求点C的坐标；
（2）若点D是弧AB的中点，求经过A、D、O三点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）；
（3）若直线y＝kx+b经过点M（2，0），当直线y＝kx+b与圆P相交时，求b的取
值范围．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）由点P（﹣4，0），可求得OA的长，又由sin∠CAO＝ ，即可求得OC
的长，则可得到点C的坐标；
（2）首先连接PD，过点D作DE⊥OA于点E，易得∠D＝∠A，即可求得点D的坐
标，然后由待定系数法求得经过A、D、O三点的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（3）利用切点，求出直线与圆相切的位置，从而利用三角形相似得出b值，即可得
到b值得范围．
【解答】解：（1）∵P（﹣4，0），
∴OP＝4，
∴OA＝2OP＝8，
在Rt△AOC中，sin∠CAO＝ ＝ ，
∴设OC＝3x，AC＝5x，
∵AC2＝OC2+OA2，
∴（5x）2＝（3x）2+82，
解得：x＝2，
∴OC＝6，AC＝10，
∴点C的坐标为（0，6）或（0，﹣6）；
第21页（共26页）（2）当点C为（0，6）时，
连接PD，过点D作DE⊥OA于点E．
∴∠D+∠DPE＝90°，PD＝OP＝4，
∵点D是弧AB的中点，
∴PD⊥AB，
∴∠A+∠DPE＝90°，
∴∠D＝∠A，
∴sin∠D＝ ＝ ，
∴PE＝ ，
∴DE＝ ＝ ，
∴OE＝OP+PE＝ ，
∴点D的坐标为：（﹣ ， ），
∴ ，
解得： ，
∴经过A、D、O三点的抛物线为：y＝﹣ x2﹣ x
同理，当点C为（0，﹣6）时，
经过A、D、O三点的抛物线为：y＝ x2+ x．
综上所述，经过A、D、O三点的抛物线为：y＝﹣ x2﹣ x或y＝ x2+ x．
（3）设S点为直线y＝kx+b与圆的切点，过S作SN⊥OP，连接PN，PS，SM，SM交
第22页（共26页）y轴与点T，
在△PSM中，有PM2＝PS2+SM2，即：36＝16+SM2，可得SM＝2 ，
在△PSN中，有PS2＝PN2+SN2，即：16＝PN2+SN2，
①
tan∠SPN＝ ＝ ②
③
联立 ，可解得SN＝ ，PN＝ ，
①②③
则MN＝ ，
易知△SNM∽△TOM，
得： ，
即：OT＝b＝ ，
由对称性，同理可得在y轴负半轴是OT′＝ ，
故b的取值范围﹣ ＜b＜ ，且b≠0．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理、三角函数以及待定系数法求二次函数的
解析式．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方
程思想的应用．
25．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，P为BC的中点，E、F分别
第23页（共26页）是AB、AC上的动点，∠EPF＝45°．
（1）求证：△BPE∽△CFP．
（2）设BE＝x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP是否可能等于60°？若可能求出x的值，若不可
能请说明理由．
【考点】KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由等腰直角三角形的性质求得∠B＝∠C＝45°；然后由三角形内角和
定理、邻补角的定义求得∠BPE＝∠CFP，则由“两角法”证得结论；
（2）S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ；
△PEF △ABC △BPE △PFC △AEF
（3）利用反证法证明．假设当E、F在运动过程中，∠EFP是等于60°．如图，过点
E作EM⊥FP于点M．设FM＝a．构造两个直角三角形，通过解图中的两个直
角三角形分别求得EM＝ a．PM＝ a，EP＝ a，则 ＝ ＝ ；
再利用（1）中的全等三角形的对应边成比例得到 ＝ ，解得x的值符合
（2）中的取值范围时，假设成立．反之，假设不成立．
【解答】解：（1）如图，∵在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°．
又∵∠1＝180°﹣∠EPF﹣∠3，∠EPF＝45°，∠C+∠2+∠3＝180°，
∴∠1＝135°﹣∠3，∠2＝135°﹣∠3，
∴∠1＝∠2，
∴△BPE∽△CFP．
（2）如图，∵在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，P为BC的中点，
∴BP＝CP＝ ．
第24页（共26页）由（1）知△BPE∽△CFP，则 ＝ ，即 ＝ ，
解得，CF＝ ．
则S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S
△PEF △ABC △BPE △PFC △AEF
＝ ×2×2﹣ × x×sinB﹣ × × ×sinC﹣ ×（2﹣x）×（2﹣ ）
＝2﹣ × x× ﹣ × × × ﹣ ×（2﹣x）×（2﹣ ）
＝﹣1+ + ，即y＝﹣1+ + （1≤x≤2）；
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP可能等于60°．理由如下：
假设当E、F在运动过程中，∠EFP是等于60°．
如图，过点E作EM⊥FP于点M．
设FM＝a．
在Rt△EMF中，EM＝ a．
在Rt△EMP中，得到PM＝ a，EP＝ a，
则 ＝ ＝ ，
∵△BPE∽△CFP，
∴ ＝ ，
∴x＝3﹣ ．
∵1≤x≤2，
∴x＝3﹣ 符合题意，
∴当E、F在运动过程中，∠EFP可能等于60°．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．在利用相
第25页（共26页）似三角形的对应边成比例来解题时，一定要找准“对应边”．
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日期：2018/12/26 20:24:40；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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