文档内容
2013年上海市浦东新区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果延长线段AB到C，使得 ，那么AC：AB等于（ ）
A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2
2．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ ，AC＝3，那么AB的长为（ ）
A．3sin B．3cos C．α D．
3．（4分）α将抛物线y＝x2向左α平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2 B．y＝x2+2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
4．（4分）如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）和（3，0），那么对称轴是直线（
）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
5．（4分）如果乙船在甲船的北偏东40°方向上，丙船在甲船的南偏西40°方向上，
那么丙船在乙船的方向是（ ）
A．北偏东40° B．北偏西40° C．南偏东40° D．南偏西40°
6．（4分）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F、G
在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（
）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
二、填空题：（本大题共12题，，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1、b＝2，那么c＝ ．
8．（4分）计算： ＝ ．
9．（4分）如果抛物线y＝（2﹣a）x2的开口方向向下，那么a的取值范围是 ．
10．（4分）二次函数y＝x2﹣3的图象的最低点坐标是 ．
11．（4分）在边长为6的正方形中间挖去一个边长为x（0＜x＜6）的小正方形，如
第1页（共25页）果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式为 ．
12．（4分）已知 是锐角，tan ＝2cos30°，那么 ＝ 度．
13．（4分）已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1：2.4，地下车库的地坪与地
α α α
面的垂直距离等于5米，那么此斜坡的长度等于 米．
14．（4分）小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角
边DF保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DE与点A在同一条直线
上．测得边DF离地面的高度为1.4m，点D到AB的距离等于6m（如图所示）．
已知DF＝30cm，EF＝20cm，那么树AB的高度等于 m．
15．（4分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于
点G，如果BC＝3cm，△ABC的面积为9cm2，△EGC的面积等于4cm2，那么BE
＝ cm．
16．（4分）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它
最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等
于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米．
17．（4分）九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，
列出了如下的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y＝ax2+bx+c … 3 0 ﹣1 0 3 …
那么该二次函数在x＝5时，y＝ ．
第2页（共25页）18．（4分）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°， ，BC＝a，点D在边BC上，将
这个三角形沿直线AD折叠，点C恰好落在边AB上，那么BD＝ ．（用
a的代数式表示）
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，顶点为A．
求：（1）抛物线的表达式；
（2）顶点A的坐标．
20．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、DC的中点，
设 ， ．
（1）求向量 （用向量 表示）；
（2）求作向量 在 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图
中表示结论的向量）
21．（10分）某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点处建一个
监测点P，道路AB段为检测区（如图）．在△ABP中，已知∠PAB＝32°，∠PBA
＝45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1
秒）？（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对
角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果 ．求 的值．
第3页（共25页）23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且
∠MDB＝∠ADB，BD2＝AD•BC．
（1）求证：BM＝CM；
（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD•DM＝DF•DC．
24．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数 的图象与x轴、y
轴的公共点分别为A（5、0）、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）如果点D在这个二次函数的图象上，且∠DAC＝45°，求点D的坐标．
25．（14分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°， ，经过这个三角形重心
的直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，
过点P分别做PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点M、F、G．设BM＝
x，四边形AFPG的面积为y．
第4页（共25页）（1）求PM的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接MF、MG，当△PMF与△PMG相似时，求BM的长．
第5页（共25页）2013 年上海市浦东新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果延长线段AB到C，使得 ，那么AC：AB等于（ ）
A．2：1 B．2：3 C．3：1 D．3：2
【考点】ID：两点间的距离．
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【分析】作出图形，用AB表示出AC，然后求比值即可．
【解答】解：如图，∵BC＝ AB，
∴AC＝AB+BC＝AB+ AB＝ AB，
∴AC：AB＝3：2．
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，用AB表示出AC是解题的关键，作出图形更
形象直观．
2．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝ ，AC＝3，那么AB的长为（ ）
A．3sin B．3cos C．α D．
【考点】T α 1：锐角三角函数的α定义；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用∠A的余弦值解答即可．
【解答】解：∵cosA＝ ，∠A＝ ，AC＝3，
α
∴AB＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】考查解直角三角形的知识；掌握和一个角的邻边与斜边有关的三角函数
值是余弦值的知识是解决本题的关键．
第6页（共25页）3．（4分）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2 B．y＝x2+2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】2C：存在型．
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向左平移2个单位，所得
抛物线的解析式为：y＝（x+2）2．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是
解答此题的关键．
4．（4分）如果抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）和（3，0），那么对称轴是直线（
）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴经过两点（﹣1，0）和（3，0）的
中点，于是可得到抛物线的对称轴为直线x＝2．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点的坐标为（﹣1，0）和（3，0），
而抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点是对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣ ；抛物线与y轴的
交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，
抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．
5．（4分）如果乙船在甲船的北偏东40°方向上，丙船在甲船的南偏西40°方向上，
那么丙船在乙船的方向是（ ）
A．北偏东40° B．北偏西40° C．南偏东40° D．南偏西40°
【考点】IH：方向角．
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第7页（共25页）【分析】根据题意画出图形可直接得到答案．
【解答】解：如图所示：丙船在乙船的方向是南偏西40°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是正确画出图形，这样可以直观的得到答案．
6．（4分）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F、G
在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（
）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】利用正方形的性质可知EH∥BC，再利用平行线分线段成比例定理的推论
可得△AHE∽△ACB，利用相似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可
求正方形的边长
【解答】解：∵四边形EFMN是正方形，
∴EH∥BC，EH＝EF，
∴△AEH∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AD⊥BC，EH＝EF＝MD，
∴ ＝ ，
第8页（共25页）设EH＝x，则AM＝3﹣x，
∴ ＝ ，
解得：x＝2，
∴EH＝2．
答：这个正方形的边长为2．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成
比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．
二、填空题：（本大题共12题，，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1、b＝2，那么c＝ 4 ．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即22＝1×c，
∴c＝4．
故答案是4．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的定义．
8．（4分）计算： ＝ ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】11：计算题．
【分析】去掉括号，然后根据向量的加减运算进行计算即可得解．
【解答】解：（ ﹣ ）﹣ （2 + ）
＝ ﹣ ﹣ ﹣
第9页（共25页）＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查了向量的加减运算，比较简单．
9．（4分）如果抛物线y＝（2﹣a）x2的开口方向向下，那么a的取值范围是 a ＞ 2
．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2﹣a＜0．
【解答】解：因为抛物线y＝（2﹣a）x2的开口向下，
所以2﹣a＜0，即a＞2，
故答案为a＞2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜
0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
10．（4分）二次函数y＝x2﹣3的图象的最低点坐标是 （ 0 ，﹣ 3 ） ．
【考点】H7：二次函数的最值．
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【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式直接得出顶点坐标即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣3图象的顶点坐标是：（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查
重点，同学们应熟练掌握．
11．（4分）在边长为6的正方形中间挖去一个边长为x（0＜x＜6）的小正方形，如
果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式为 y ＝﹣ x 2 +3 6（ 0 ＜ x ＜
6 ） ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】根据剩下部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积得出y与x的
函数关系式即可．
【解答】解：设剩下部分的面积为y，则：
y＝62﹣x2＝﹣x2+36（0＜x＜6）．
故答案为：y＝﹣x2+36（0＜x＜6）．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积
第10页（共25页）＝大正方形的面积﹣小正方形的面积得出是解题关键．
12．（4分）已知 是锐角，tan ＝2cos30°，那么 ＝ 6 0 度．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
α α α
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【专题】11：计算题．
【分析】根据30°角的余弦值等于 ，正切值是 的锐角为60°解答即可．
【解答】解：∵tan ＝2cos30°＝2× ＝ ，
∴ ＝60°． α
故答案为：60．
α
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的正弦值、余弦值、
正切值是解此类题目的关键．
13．（4分）已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1：2.4，地下车库的地坪与地
面的垂直距离等于5米，那么此斜坡的长度等于 1 3 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据坡度＝铅直高度：水平距离＝1：2.4，进而得出水平距离，再由勾股定
理求出即可．
【解答】解：∵地下车库的地坪与地面的垂直距离BC＝5米，
∴水平距离应该为：AB＝5×2.4＝12（米），
∴此斜坡的长度等于：AC＝ ＝13（m）．
故答案为：13．
【点评】此题主要考查了坡度的定义，根据已知画出图象利用数形结合得出是解
题关键．
14．（4分）小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角
边DF保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DE与点A在同一条直线
上．测得边DF离地面的高度为1.4m，点D到AB的距离等于6m（如图所示）．
已知DF＝30cm，EF＝20cm，那么树AB的高度等于 5. 4 m．
第11页（共25页）【考点】SA：相似三角形的应用．
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【分析】从实际问题中抽象出相似三角形后求解即可．
【解答】解：根据题意得：DG＝6m，
∵EF∥AG
∴△DEF∽△DAG
∴
即：
解得：AG＝4
∴AB＝AG+GB＝AG+DC＝4+1.4＝5.4米，
故答案为：5.4．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出纯数
学问题，然后利用相似三角形求解．
15．（4分）如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于
点G，如果BC＝3cm，△ABC的面积为9cm2，△EGC的面积等于4cm2，那么BE
＝ 1 cm．
【考点】Q2：平移的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即
可求得EC的长，则BE即可求解．
第12页（共25页）【解答】解：∵AB∥DE，
∴△ABC∽△GEC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴EC＝2cm，
∴BE＝BC﹣EC＝3﹣2＝1cm．
故答案是：1
【点评】本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC
的长是关键．
16．（4分）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它
最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等
于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 （ 1 0 ﹣ 1 0 ） 厘米．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】由黄金矩形的定义，可知黄金矩形的宽与长之比为 ，设所求边长为
x，代入已知数据即可得出答案．
【解答】解：设所求边长为x，由题意，
得 ＝ ，
解得x＝（10 ﹣10）cm．
故答案为（10 ﹣10）．
【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．
17．（4分）九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，
列出了如下的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y＝ax2+bx+c … 3 0 ﹣1 0 3 …
第13页（共25页）那么该二次函数在x＝5时，y＝ 8 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据表格数据，利用待定系数法求出函数解析式，然后把x＝5代入进行
计算即可得解．
【解答】解：根据表格，x＝0时，y＝3；x＝1时，y＝0；x＝2时，y＝﹣1，
所以， ，
解得 ，
所以，y＝x2﹣4x+3，
当x＝5时，y＝52﹣4×5+3＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据表格数据，利用待定系数法求出二次函
数的解析式是解题的关键．
18．（4分）已知在Rt△ABC中，∠A＝90°， ，BC＝a，点D在边BC上，将
这个三角形沿直线AD折叠，点C恰好落在边AB上，那么BD＝ a ．（用a
的代数式表示）
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；T7：解直角三角形．
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【分析】首先根据题意作出图形，然后过D作DH⊥AB于点H，作DG⊥AC于点
G，由在Rt△ABC中，∠A＝90°， ，BC＝a，可求得AC与AB的长，由
折叠的性质可得：AD平分∠CAB，然后由三角形的面积相等，可求得DH的长，
继而求得答案BH的长，然后由勾股定理求得BD的长．
【解答】解：过D作DH⊥AB于点H，作DG⊥AC于点G．
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ，BC＝a，
∴AC＝ a，AB＝ a，
第14页（共25页）∵S ＝ AB•AC＝ ，
△ABC
由折叠的性质可得：AD平分∠CAB，
∴DH＝DG，
设DH＝x，
∴S ＝S +S ＝ AB•DH+ AC•DG＝ DH（AB+AC）＝ •x•（ a+
△ABC △DAC △ABD
a）＝ ax，
∴ ax＝ ，
解得：x＝ a，
∴DH＝AH＝ a，
∴BH＝AB﹣AH＝ a，
∴BD＝ ＝ a．
故答案为： a．
【点评】此题考查了折叠的性质、角平分线的性质、三角形的面积问题以及勾股定
理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与
方程思想的应用．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，顶点为A．
求：（1）抛物线的表达式；
第15页（共25页）（2）顶点A的坐标．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）直接把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，
解方程组求出b、c，可确定抛物线的解析式；
（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可．
【解答】解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c ，
解得 ．
故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x2﹣2x+1）+3+1
＝﹣（x﹣1）2+4，
所以顶点A的坐标为（1，4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设抛物线的解析式（一般
式、顶点式或交点式），再把抛物线上的点的坐标代入得到方程组，然后解方程
可确定抛物线的解析式．也考查了二次函数的性质．
20．（10分）如图，已知在平行四边形ABCD中，M、N分别是边AD、DC的中点，
设 ， ．
（1）求向量 （用向量 表示）；
（2）求作向量 在 方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图
中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）根据线段的中点定义可得MD＝ AD，DN＝ AB，然后表示出 ， ，
第16页（共25页）再根据三角形法则求出 即可；
（2）以点M为圆心，以DN长为半径画弧，以点N为圆心，以MD长为半径画弧，
交点为E，再根据平行四边形法则解答即可．
【解答】解：（1）∵M、N分别是边AD、DC的中点，
∴MD＝ AD，DN＝ AB，
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
＝ + ＝ + ；
（2）如图所示， 为 在 方向上的向量， 为 在 方向上的向量．
【点评】本题考查了平面向量的知识，平行四边形对边互相平行，线段中点的定义，
向量的问题，熟练掌握三角形法则与平行四边形法则是解题的关键．
21．（10分）某条道路上通行车辆限速为60千米/时，在离道路50米的点处建一个
监测点P，道路AB段为检测区（如图）．在△ABP中，已知∠PAB＝32°，∠PBA
＝45°，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速（精确到0.1
秒）？（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】作PC⊥AB于点C，根据三角函数即可求得AC与BC的长，则AB即可求
得，用AB的长除以速度即可求解．
【解答】解：作PC⊥AB于点C．
第17页（共25页）在直角△APC中，tan∠PAC＝ ，
则AC＝ ＝ ≈80.65（米），
同理，BC＝ ＝PC＝50（米），
则AB＝AC+BC≈130.65（米），
60千米/时＝ 米/秒，
则130.65÷ ≈7.8（秒）．
故车辆通过AB段的时间在7.8秒内时，可认定为超速．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，属于实际应用类题目，从复杂的实际问题
中整理出直角三角形是解决此类问题的关键．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对
角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果 ．求 的值．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得 AD＝BC，AD∥BC，即可证得
△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得
答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
第18页（共25页）∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度
适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且
∠MDB＝∠ADB，BD2＝AD•BC．
（1）求证：BM＝CM；
（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD•DM＝DF•DC．
【考点】LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）首先证明BM＝DM，再根据已知条件证明△ADB∽△DBC，由相似的
性质可得∠BDC＝∠A＝90°，进而证明DM＝CM，所以BM＝CM；
（2）由（1）可知M是BC的中点，所以DM是三角形BDC斜边上的中线，由直角
三角形的性质可知BC＝2DM，证明Rt△DFB∽Rt△DBC可得 ，所以
第19页（共25页）BD2＝DF•DC，又因为BD2＝AD•BC，所以BD2＝AD•BC＝AD•（2DM）＝
2AD•DM．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠MDB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠MDB，∠A＝90°，
∴BM＝DM，
又∵BD2＝AD•BC，即 ，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠BDC＝∠A＝90°，
∴∠C＝∠MDC＝90°﹣∠DBC，
∴DM＝CM，
∴BM＝CM，
（2）∵∠MDC+∠DFB＝90°，
∴∠DFB＝∠DBC，
∴Rt△DFB∽Rt△DBC，
∴ ，
∴DF•DC＝BD2
∵BD2＝AD•BC＝AD•（2DM）＝2AD•DM，
∴2AD•DM＝DF•DC．
【点评】本题考查了梯形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以
及比例式的证明，题目的综合性很强，难度不小．
24．（12分）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数 的图象与x轴、y
第20页（共25页）轴的公共点分别为A（5、0）、B，点C在这个二次函数的图象上，且横坐标为3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）如果点D在这个二次函数的图象上，且∠DAC＝45°，求点D的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】2B：探究型．
【分析】（1）将点A的坐标代入可得出b的值，继而得出二次函数解析式；
（2）连接BC，利用勾股定理逆定理可得出△ABC是直角三角形，在Rt△ABC中
可求出tan∠BAC的值．
（3）根据OA＝OB，可得∠BAO＝45°，结合∠DAC＝45°，可得∠DAO＝∠BAC，设
出点D的坐标，根据tan∠DAO的值可得出答案．
【解答】解：（1）将点A（5，0）代入，可得：0＝﹣ ×52+5b+5，
解得：b＝ ，
故二次函数解析式为y＝﹣ x2+ x+5．
（2）连接BC，
第21页（共25页），
∵抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+5，
∴点B的坐标为（0，5），
∵点C的横坐标为3，
∴点C的纵坐标为6，即可得点C的坐标为（3，6），
则BC＝ ＝ ，AB＝5 ，AC＝ ＝ ，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠BAC＝ ＝ ＝ ；
（3）∵OA＝OB＝5，∠BOA＝90°，
∴∠BAO＝45°，
又∵∠DAC＝45°，
∴∠DAO＝∠BAC，
设点D的坐标为（x，﹣ x2+ x+5），
第22页（共25页）则tan∠DAO＝tan∠BAC＝ ＝ ，
解得：x ＝﹣ ，x ＝5（舍去），
1 2
故点D的坐标为（﹣ ， ）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、勾股定理
的逆定理及三角函数的知识，解答本题的关键之处在于判断才△ABC是直角
三角形，对于此类综合型题目，不要慌，一问一问的思考，将所学知识综合起来
25．（14分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°， ，经过这个三角形重心
的直线DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，P是线段DE上的一个动点，
过点P分别做PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分别为点M、F、G．设BM＝
x，四边形AFPG的面积为y．
（1）求PM的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）连接MF、MG，当△PMF与△PMG相似时，求BM的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）过点A作AN⊥BC于点N，交DE于点H，则点H为△ABC的重心，由
重心的性质即可求出HE的长度，也即得出PM的长度；
（2）过点D作DI⊥BC于I，表示出DP、PE，继而表示出FP、PG，从而得出y关于
x的函数解析式，也可得出x的取值范围；
（3）因为两三角形有公共边，分两种情况讨论， △PMF≌△PMG，
△PMF∽△PGM，分别求出x的值即可．
①
【解答】解：（1）过点A作AN⊥BC于点N，交DE于点H，则点H为△ABC的重心，
②
第23页（共25页）由题意得△ABC是等腰直角三角形，
故AN＝ BC＝3，
由重心的性质可得： ＝2，
∴ ＝ ＝ ，
故HN＝ AN＝1，DE＝4，
即可得PM的长为1．
（2）过点D作DI⊥BC于I，过点E作EK⊥BC于点K，
则BI＝DI＝PM＝1，
设BM＝x，则IM＝DP＝x﹣1，PE＝4﹣DP＝5﹣x，
易得△FDP、△GPE均为等腰直角三角形，
∴PF＝ ，PG＝ ，
则y＝PF×PG＝ × ＝ （x﹣1）（5﹣x）＝ ，
由图形可得点M处于I﹣K之间，故可得：1＜x＜5．
综上可得y＝ ，（1＜x＜5）．
第24页（共25页）（3） 当△PMF≌△PMG时，此时点P与点H重合，BM＝BN＝3；
①
当△PMF∽△PGM时， ＝ ，即 ＝ ，
②
整理得： ＝ ，
解得x＝3± ．
综上可得当△PMF与△PMG相似时，求BM的长为3，3± ．
【点评】本题考查了相似形综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、矩形的面积及
三角形重心的性质，注意结合图形进行解答，观察图形得出点M运动的范围，
难度较大．
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日期：2018/12/26 20:27:55；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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