文档内容
2013年上海市普陀区中考数学二模试卷
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上]
1．（4分）下列各数中无理数共有（ ）
﹣0.21211211121111， ， ， ， ．
① A．1个 B．② 2个 ③ ④ C．3个⑤ D．4个．
2．（4分）如果a＞1＞b，那么下列不等式正确的个数是（ ）
a﹣b＞0， a﹣1＞1﹣b， a﹣1＞b﹣1， ．
① A．1 ② B．2 ③ C．3 ④ D．4．
3．（4分）在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+3x+1＝0 B． C．x2+2x+3＝0 D．
4．（4分）下列语句正确的是（ ）
A．“上海冬天最低气温低于﹣5℃”，这是必然事件
B．“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然
事件
C．“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件
D．“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位
数能被4整除”，这是随机事件
5．（4分）我县2011年6月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为28，30，29，
31，32，28，25，这周的最气温的平均值为（ ）
A．28℃ B．29℃ C．30℃ D．31℃
6．（4分）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
第1页（共23页）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的
相应位置]
7．（4分）计算：（﹣a）3•a﹣3＝ ．
8．（4分）函数 的定义域是 ．
9．（4分）已知 ，若b+d≠0，则 ＝ ．
10．（4分）某城市现有固定居住人口约为一千九百三十万，用科学记数法表示为
人．
11．（4分）不等式组 的解集是 ．
12．（4分）分解因式：27x2+18x+3＝ ．
13．（4分）如果两个相似三角形的面积之比是16：9，那么它们对应的角平分线之
比是 ．
14．（4分）有6张分别写有数字1、2、3、4、5、6的卡片，它们的背面相同，现将它
们的背面朝上，从中任意摸出一张是数字5的机会是 ．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD上的中点，记
．用含 、 的式子表示向量 ＝ ．
16．（4分）为了了解中学生的身体发育情况，对第二中学同年龄的80名学生的身
高进行了测量，经统计，身高在150.5﹣155.5厘米之间的頻数为5，那么这一组
的頻率是 ．
17．（4分）地面控制点测得一飞机的仰角为45°，若此时地面控制点与该飞机的
距离为2000米，则此时飞机离地面的高度是 米（结果保留根号）．
18．（4分）已知在△AOB中，∠B＝90°，AB＝OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐
标为（0，8），点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O旋转75°后，那么旋转
后点B的坐标为 ．
第2页（共23页）三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，
第25题14分，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图：已知，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，交CD的延长线
于点E，EF⊥BC交BC延长线于点F，求证：四边形ABFD是等腰梯形．
22．（10分）一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的
年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，
这辆车折旧后价值11.56万元，求这辆车第二、三年的年折旧率．
23．（12分）已知：如图， O的半径为5，弦AB的长等于8，OD⊥AB，垂足为点
D，DO的延长线与 O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与 O相交
⊙
⊙ ⊙
于点F，cosC＝ ．
求：（1）CD的长；
（2）EF的长．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A、
B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
第3页（共23页）（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S ：S ＝5：4的点P的坐标；
△APC △ACD
（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M
的坐标．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．P为BC的
中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，
PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．
（1）当t＝1.2时，判断直线AB与 P的位置关系，并说明理由；
（2）已知 O为△ABC的外接圆．若 P与 O相切，求t的值．
⊙
⊙ ⊙ ⊙
第4页（共23页）2013 年上海市普陀区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上]
1．（4分）下列各数中无理数共有（ ）
﹣0.21211211121111， ， ， ， ．
① A．1个 B．② 2个 ③ ④ C．3个⑤ D．4个．
【考点】26：无理数．
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【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数
的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，
而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：无理数有： ， ， 共有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无
限不循环小数为无理数．如 ， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个
0）等形式．
π
2．（4分）如果a＞1＞b，那么下列不等式正确的个数是（ ）
a﹣b＞0， a﹣1＞1﹣b， a﹣1＞b﹣1， ．
① A．1 ② B．2 ③ C．3 ④ D．4．
【考点】C2：不等式的性质．
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【分析】根据不等式的基本性质进行解答．
【解答】解： 由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去b得到a﹣b＞
0．故 正确；
①
由已知条件可设a＝2，b＝﹣1，则a﹣1＝1，1﹣b＝2，即a﹣1＜1﹣b，故 错
①
误；
② ②
第5页（共23页）由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去1得到a﹣1＞b﹣1．故
正确；
③ ③
当b＜0时， ．故 错误；
④综上所述，正确的结论有④ 2个．
故选：B．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（4分）在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+3x+1＝0 B． C．x2+2x+3＝0 D．
【考点】22：算术平方根；AA：根的判别式；B3：解分式方程．
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【分析】一元二次方程要有实数根，则△≥0；算术平方根不能为负数；分式方程化
简后求出的根要满足原方程．
【解答】解：A、△＝9﹣4＝5＞0，方程有实数根；
B、算术平方根不能为负数，故错误；
C、△＝4﹣12＝﹣8＜0，方程无实数根；
D、化简分式方程后，求得x＝1，检验后，为增根，故原分式方程无解．
故选：A．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根，
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根，
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根；
⇔
2、算术平方根不能为负数；
⇔
3、分式方程要验根．
4．（4分）下列语句正确的是（ ）
A．“上海冬天最低气温低于﹣5℃”，这是必然事件
B．“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然
事件
第6页（共23页）C．“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件
D．“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位
数能被4整除”，这是随机事件
【考点】X1：随机事件．
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【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件．
必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是可能发生也可能
不发生的事件．
【解答】解：A、B、C是随机事件，原说法错误，
D中由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数可能
被4整除，也可能不能被4整除，是随机事件，正确
故选：D．
【点评】解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念
是解决基础题的主要方法．
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机
事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（4分）我县2011年6月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为28，30，29，
31，32，28，25，这周的最气温的平均值为（ ）
A．28℃ B．29℃ C．30℃ D．31℃
【考点】W1：算术平均数．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题可把所有的气温加起来再除以7即可．平均数是指在一组数据中所
有数据之和再除以数据的个数．
【解答】解：依题意得：平均气温＝（28+30+29+31+32+28+27）÷7＝29℃．
故选：B．
【点评】本题考查的是平均数的求法．解答平均数应用题的关键在于确定“总数
量”以及和总数量对应的总份数．
6．（4分）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
第7页（共23页）C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
【考点】MM：正多边形和圆．
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【专题】1：常规题型．
【分析】利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作
出判断即可．
【解答】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，
故此选项错误；
B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；
C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；
D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的
有关的定义．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的
相应位置]
7．（4分）计算：（﹣a）3•a﹣3＝ ﹣ 1 ．
【考点】6F：负整数指数幂．
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【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣a3•
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于相应的正整数指数幂
的倒数．
8．（4分）函数 的定义域是 x ≥ 0 且 x ≠ 2 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于
0，可以求出x的范围．
第8页（共23页）【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥0且x≠2．
故答案是：x≥0且x≠2．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
9．（4分）已知 ，若b+d≠0，则 ＝ ．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】由一已知式子和原式可得，利用比例的合比性质即可求得原式的值．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】熟练掌握比例的合比性质并灵活运用．
10．（4分）某城市现有固定居住人口约为一千九百三十万，用科学记数法表示为
1.93×10 7 人．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将19300000用科学记数法表示为1.93×107．
故答案为：1.93×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（4分）不等式组 的解集是 1 ＜ x ＜ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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第9页（共23页）【分析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解： ，
∵解不等式 得：x＞1，
解不等式 得：x＜2，
①
∴不等式组的解集为1＜x＜2，
②
故答案为：1＜x＜2；
【点评】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，关键是能根
据不等式的解集找出不等式组的解集．
12．（4分）分解因式：27x2+18x+3＝ 3 （ 3 x + 1 ） 2 ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】先提取公因式3，再对剩余项9x2+6x+1利用完全平方公式分解因式即可．
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：27x2+18x+3，
＝3（9x2+6x+1），
＝3（3x+1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公
式进行二次因式分解，分解因式要彻底．
13．（4分）如果两个相似三角形的面积之比是16：9，那么它们对应的角平分线之
比是 4 ： 3 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】先根据相似三角形面积的比求出其相似比，再根据其对应的角平分线的
比等于相似比即可解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是16：9，
∴这两个相似三角形的相似比是4：3，
∵其对应角平分线的比等于相似比，
∴它们对应的角平分线比是4：3．
故答案为4：3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的
比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．
第10页（共23页）14．（4分）有6张分别写有数字1、2、3、4、5、6的卡片，它们的背面相同，现将它
们的背面朝上，从中任意摸出一张是数字5的机会是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点： 符合条件的情况数目； 全
部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
① ②
【解答】解：由题意可知，6张卡片中1张是5，所以任意摸出一张是数字5的概率
是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法与运用．一般方法为：如果一个事件有n种可能，而
且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现m种结果，那么事件A的概率P
（A）＝ ．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD上的中点，记
．用含 、 的式子表示向量 ＝ + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先连接EF，由四边形ABCD是平行四边形与点E、F分别是AB、CD上
的中点，即可得 ＝ ＝ ，然后根据平行四边形法则，即可求得 的值．
【解答】解：连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点E、F分别是AB、CD上的中点，
∴DF＝AE，
即 ＝ ＝ ，
第11页（共23页）∴ ＝ + ＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．解此题的关键是注意
数形结合思想的应用与平行四边形法则．
16．（4分）为了了解中学生的身体发育情况，对第二中学同年龄的80名学生的身
高进行了测量，经统计，身高在150.5﹣155.5厘米之间的頻数为5，那么这一组
的頻率是 ．
【考点】V6：频数与频率．
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【分析】根据身高在150.5﹣155.5厘米之间的頻数为5，共有80个数，再根据频率
＝ 即可求出答案．
【解答】解：∵身高在150.5﹣155.5厘米之间的頻数为5，共有80个数，
∴这一组的頻率是 ＝ ；
故答案为： ．
【点评】此题考查了频数与频率，用到的知识点是频率＝ ．
17．（4分）地面控制点测得一飞机的仰角为45°，若此时地面控制点与该飞机的
距离为2000米，则此时飞机离地面的高度是 100 0 米（结果保留根号）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据题意画出示意图，利用解直角三角形的知识可得出答案．
【解答】解：如图所示：
第12页（共23页）由题意得，∠CAB＝45°，AC＝2000m，
则BC＝ACsin∠CAB＝2000× ＝ m；
即飞机离地面的高度是1000 米．
故答案为：1000 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角的知识构
造直角三角形．
18．（4分）已知在△AOB中，∠B＝90°，AB＝OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐
标为（0，8），点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O旋转75°后，那么旋转
后点B的坐标为 （ 2 ，﹣ 2 ）或（﹣ 2 ， 2 ） ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【分析】先根据点A的坐标求出OA的长，再根据等腰直角三角形的性质求出OB
的长，然后分 逆时针旋转时，过点B′作B′C′⊥y轴于C′，根据旋转角
求出∠B′OC′＝30°，然后求出B′C′、OC′的长，再写出旋转后点B的坐
①
标即可； 顺时针旋转时，过点B″作B″C″⊥x轴于C″，根据旋转角求出
∠B″OC″＝30°，然后求出B″C″、OC″，然后写出旋转后点B对应的点的
②
坐标即可．
【解答】解：∵A（0，8），
∴OA＝8，
∵∠B＝90°，AB＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB＝ OA＝ ×8＝4 ，∠AOB＝45°，
逆时针旋转时，过点B′作B′C′⊥y轴于C′，
∵旋转角为75°，
①
∴∠B′OC′＝75°﹣45°＝30°，
第13页（共23页）∴B′C′＝ OB′＝ ×4 ＝2 ，
OC′＝4 × ＝2 ，
∴旋转后点B的坐标为（﹣2 ，2 ）；
顺时针旋转时，过点B″作B″C″⊥x轴于C″，
∵旋转角为75°，
②
∴∠B″OC″＝75°﹣45°＝30°，
∴B″C″＝ OB″＝ ×4 ＝2 ，
OC″＝4 × ＝2 ，
∴旋转后点B的坐标为（2 ，﹣2 ）；
综上所述，旋转后点B的坐标为（2 ，﹣2 ）或（﹣2 ，2 ）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变
换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键，难点在于要分
情况讨论，作出图形更形象直观．
三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，
第25题14分，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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第14页（共23页）【分析】本题涉及二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值四个考
点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝
＝ ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝
对值等考点的运算．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】先由 得：x﹣y＝2，再由 得（x﹣y）2+2（x+y）＝12，最后把x﹣y＝2代入
（x﹣y）2+2（x+y）＝12中，得到一个关于x，y的方程组，求出x，y的值即可．
① ②
【解答】解： ，
由 得：x﹣y＝2，
由 得：（x﹣y）2+2（x+y）＝12，
① ③
将 代入 得：x+y＝4，
② ④
可③得： ④ ，
解方程组得： ，
则原方程组的解为： ．
【点评】此题考查了高次方程，解题的关键是把高次方程转化成低次方程，再按照
低次方程的步骤进行求解即可．
21．（10分）如图：已知，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，交CD的延长线
于点E，EF⊥BC交BC延长线于点F，求证：四边形ABFD是等腰梯形．
第15页（共23页）【考点】L5：平行四边形的性质；LK：等腰梯形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB＝DE，再根据平行四边形
的性质可得CD＝DE，再根据直角三角形的性质可证明DF＝CD＝DE，进而得
到AB＝DE，再说明线段AB与线段DF不平行即可得到四边形ABFD是等腰
梯形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC；AB∥CD，AB＝CD，
∴AB∥DE；
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AB＝DE．
∴CD＝DE．
∵EF⊥BC，
∴DF＝CD＝DE．
∴AB＝DF．
∵CD、DF交于点D，
∴线段AB与线段DF不平行．
∴四边形ABFD是等腰梯形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，以及等腰梯形的判定，关键是
第16页（共23页）掌握两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
22．（10分）一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的
年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，
这辆车折旧后价值11.56万元，求这辆车第二、三年的年折旧率．
【考点】AD：一元二次方程的应用．
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【专题】123：增长率问题．
【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1﹣
20%）（1﹣x）元，第三年折旧后的而价格为20（1﹣20%）（1﹣x）2元，与第三年
折旧后的价格为11.56万元建立方程求出其解即可．
【解答】解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得
20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
整理得：（1﹣x）2＝0.7225．
．
．
解得：x ＝0.15，x ＝1.85（不合题意，舍去）．
1 2
∴x＝0.15，即x＝15%．
答：这辆车第二、三年的年折旧率为15%．
【点评】本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答
本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立
方程是关键．
23．（12分）已知：如图， O的半径为5，弦AB的长等于8，OD⊥AB，垂足为点
D，DO的延长线与 O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与 O相交
⊙
⊙ ⊙
于点F，cosC＝ ．
求：（1）CD的长；
（2）EF的长．
第17页（共23页）【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，即可求出
CD（CD＝OD+OA）；
（2）作OH⊥CE，垂足为点H，根据cosC＝ 求出CH，求出CF，在△CDE中，根
据cosC＝ 求出CE，相减即可求出EF．
【解答】解：（1）连接OA．
∵OD⊥AB，AB＝8，
∴AD＝ AB＝4，
∵OA＝5，
∴由勾股定理得：OD＝3，
∵OC＝5，
∴CD＝8．
（2）作OH⊥CE，垂足为点H．，
∵OC＝5，cosC＝ ，
∴CH＝3，
∵OH⊥CE，
∴由垂径定理得：CF＝2CH＝6，
又∵CD＝8，cosC＝ ，
∴CE＝ ，
∴EF＝ ﹣6＝7 ．
第18页（共23页）【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角形函数定义等知识点，主要考
查学生运用定理进行计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣c经过直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A、
B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S ：S ＝5：4的点P的坐标；
△APC △ACD
（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M
的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）对于一次函数y＝x﹣3，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定
出A与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的
解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式求出C与D坐标，根据P为抛物线上的点，设P（a，a2﹣2a﹣
第19页（共23页）3），三角形APC由AC为底，P纵坐标绝对值为高，利用三角形面积表示出，三
角形ACD面积由AC为底，D纵坐标绝对值为高表示出，根据题意列出关于a
的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出此时P的坐标；
（3）画出图形，如图所示，根据题意得到A、B、D分别为M M 、M M 、M M 的中点，
1 3 1 2 2 3
由四边形ADBM 为平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分得到 AB
1
与M D互相平分，即E为AB中点，E为M D中点，根据A与B的坐标求出E
1 1
的坐标，再利用线段中点坐标公式求出M 坐标；进而求出M 、M 的坐标即可．
1 2 3
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣3与坐标轴的两个交点A、B，
∴点B（0，﹣3），点A（3，0），
将A与B坐标代入抛物线y＝x2+bx﹣c得： ，
解得：c＝3，b＝﹣2，
则抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线的解析式是y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（﹣1，0），顶点D（1，﹣4），
由点P为抛物线上的一个动点，故设点P（a，a2﹣2a﹣3），
∵S ：S ＝5：4，
△APC △ACD
∴（ ×4×|a2﹣2a﹣3|）：（ ×4×4）＝5：4，
整理得：a2﹣2a﹣3＝5或a2﹣2a﹣3＝﹣5（由△＜0，得到无实数解，舍去），
解得：a ＝4，a ＝﹣2，
1 2
则满足条件的点P的坐标为P （4，5），P （﹣2，5）；
1 2
（3）如图所示，A、B、D分别为M M 、M M 、M M 的中点，
1 3 1 2 2 3
∵四边形ADBM 为平行四边形，
1
∴AB与M D互相平分，即E为AB中点，E为M D中点，
1 1
∵A（3，0），B（0，﹣3），
∴E（ ，﹣ ），
又∵D（1，﹣4），
第20页（共23页）∴M （2，1），
1
∴M （﹣2，﹣7），M （4，﹣1），
2 3
则满足题意点M的坐标为：M （2，1），M （﹣2，﹣7），M （4，﹣1）．
1 2 3
【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，
坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，以及待定系数
法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．P为BC的
中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，
PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为ts．
（1）当t＝1.2时，判断直线AB与 P的位置关系，并说明理由；
（2）已知 O为△ABC的外接圆．若 P与 O相切，求t的值．
⊙
⊙ ⊙ ⊙
【考点】KQ：勾股定理；MB：直线与圆的位置关系；MJ：圆与圆的位置关系；S9：相
似三角形的判定与性质．
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【专题】152：几何综合题；25：动点型．
【分析】（1）根据已知求出AB＝10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角
形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于 P的半径，即可得出直线AB与
P相切；
⊙
⊙
第21页（共23页）（2）根据BO＝ AB＝5cm，得出 P与 O只能内切，进而求出 P与 O相切时，
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
t的值．
【解答】解：（1）直线AB与 P相切，
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，
⊙
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，
∴AB＝10cm，
∵P为BC中点，
∴PB＝4cm，
∵∠PDB＝∠ACB＝90°，
∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC，
∴ ，
即 ，
∴PD＝2.4（cm），
当t＝1.2时，PQ＝2t＝2.4（cm），
∴PD＝PQ，即圆心P到直线AB的距离等于 P的半径，
∴直线AB与 P相切；
⊙
⊙
（2）∵∠ACB＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径，
∴BO＝ AB＝5cm，
连接OP，
∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，
∴PO＝ AC＝3cm，
∵点P在 O内部，
∴ P与 O只能内切，
⊙
第22页（共23页）
⊙ ⊙∴当 P在 O内部时：5﹣2t＝3，
当 O在 P内部时2t﹣5＝3，
⊙ ⊙
∴t＝1或4，
⊙ ⊙
∴ P与 O相切时，t的值为1或4．
⊙ ⊙
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆
与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复
习．
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日期：2018/12/26 20:25:16；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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