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2013年上海市嘉定区中考数学一模试卷（A卷）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，将正确答案的序号填入
题后的括号内.每小题2分，本题共20分）
1．（2分）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为 ， ，那么（ ﹣1）（ ﹣1）的值等于（
）
α β α β
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
3．（2分）边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是（ ）
A．正方形与正三角形 B．正五边形与正三角形
C．正六边形与正三角形 D．正八边形与正方形
4．（2分）如图， O和 O′都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作
O的割线PCD交 O于C、D，作 O′的切线PE切 O′于E，若PC＝4，
⊙ ⊙
CD＝5，则PE等于（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．6 B．2 C．20 D．36
5．（2分）若反比例函数y＝ 的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有
（ ）
A．k≠0 B．k≠3 C．k＜3 D．k＞3
6．（2分）已知二次函数y＝ 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．（1，2）x＝1 B．（﹣1，2）x＝﹣1
C．（﹣4，﹣5）x＝﹣4 D．（4，﹣5）x＝4
第1页（共28页）7．（2分）已知在直角坐标系中，以点A（0，3）为圆心，以3为半径作 A，则直线y
＝kx+2（k≠0）与 A的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相交 C．相离 D．与k值有关
⊙
8．（2分）如图，一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是20cm，底面圆的半径为5cm，那
么笔筒的侧面积为（ ）
A．200cm2 B．100 cm2 C．200 cm2 D．500 cm2
π π π
9．（2分）用换元法解方程 ，若设 ＝y，则原方程可化为（
）
A．y2﹣7y+6＝0 B．y2+6y﹣7＝0 C．6y2﹣7y+1＝0 D．6y2+7y+1＝0
10．（2分）苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s＝ gt（2 g
是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题2分，本题共20分）
11．（2分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 ．
12．（2分）若关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．（2分）圆和圆有多种位置关系，与图中不同的圆和圆的位置关系是 ．
第2页（共28页）14．（2分）若点A（2，m）在函数y＝x2﹣1的图象上，则点A关于x轴的对称点的
坐标是 ．
15．（2分）方程组 的解是 ．
16．（2分）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，
他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5cm，则此光盘的
直径是 cm．
17．（2分）如图，点A在反比例函数y＝ 的图象上，AB垂直于x轴，若S ＝4，
△AOB
那么这个反比例函数的解析式为 ．
18．（2分）如图，这是某市环境监测中心监测统计的2003年该市市区空气中二氧
化硫各季节日均值的统计图，空气中二氧化硫含量最高的季节与最低的季节
的浓度之差等于 毫克/立方米．
19．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，
以 AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．（保
第3页（共28页）留 ）
π
20．（2分）已知 O的直径为6，弦AB的长为2 ，由这条弦及弦所对的弧组成
的弓形的高是 ．
⊙
三、解答题（21题6分，22题8分，23题10分，本题共24分）
21．（6分）计算： ．
22．（8分）某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种
蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线（部分）表示这种
蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的
哪些信息？
答题要求：（1）请提供四条信息；
（2）不必求函数的解析式．
23．（10分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体
总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是
成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据：
1号 2号 3号 4号 5号 总分
甲班 100 98 100 89 103 500
乙班 89 100 95 119 97 500
经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息为
第4页（共28页）参考，回答下列问题：
（1）计算两班的优秀率为：甲班 %，乙班 %．
（2）计算两班比赛数据的中位数为：甲班 个，乙班 个．
（3）估计 班比赛数据的方差小．
（4）根据以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给 班．
四、解答题（本题共10分）
24．（10分）某乡薄铁社厂的王师傅要在长25cm，宽18cm的薄铁板上截出一个最
大的圆和两个尽可能大的小圆，他先画了草图，但他在求小圆的半径时遇到了
困难，请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径．
五、解答题（本题共10分）
25．（10分）一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海
里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处
测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，
这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
六、解答题（本题共10分）
26．（10分）某食品批发部准备用10000元从厂家购进一批出厂价分别为16元和
20元的甲、乙两种酸奶，然后将甲、乙两种酸奶分别加价20%和25%向外销售．
如果设购进甲种酸奶为x（箱），全部售出这批酸奶所获销售利润为y（元）．
（1）求所获销售利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
（2）根据市场调查，甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱，那么食品
批发部怎样进货获利最大，最大销售利润是多少？
七、解答题（本题共12分）
27．（12分）如图， O与 P相交于B、C两点，BC是 P的直径，且把 O分成
第5页（共28页）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙度数的比为1：2的两条弧，A是 上的动点（不与B、C重合），连接AB、AC
分别交 P于D、E两点．
（1）当△ABC是锐角三角形（图 ）时，判断△PDE的形状，并证明你的结论；
⊙
（2）当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图 、图 中画出相应
①
的图形（不要求尺规作图），并按图 标记字母；
② ③
（3）在你所画的图形中，（1）的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明．
①
八、解答题（本题共14分）
28．（14分）如图，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、
B、C、D四点，已知A（﹣3，0）、B（1，0），过点C作 P的切线交x轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
⊙
（2）若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围时，直线FB
与 P相交？
（3）若直线FB与 P的另一个交点为N，当点N是 的中点时，求点F的坐标；
⊙
（4）在（3）的条件下，CN交x轴于点M，求CM•CN的值．
⊙
第6页（共28页）2013 年上海市嘉定区中考数学一模试卷（A 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，将正确答案的序号填入
题后的括号内.每小题2分，本题共20分）
1．（2分）下列根式不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据最简二次根式的判断标准即可得到正确的选项．
【解答】解： ＝ ．
故选：D．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关
键．
2．（2分）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为 ， ，那么（ ﹣1）（ ﹣1）的值等于（
）
α β α β
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
【考点】AB：根与系数的关系．
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【分析】由根与系数的关系可得：+ ＝﹣1，• ＝﹣2，然后所求的代数式化成（
﹣1）（ ﹣1）＝ • ﹣（ + ）+1，再把前面的式子代入即可求出其值．
α β α β α
【解答】解：依题意得 + ＝﹣1， • ＝﹣2，
β α β α β
∴（ ﹣1）（ ﹣1）＝ • ﹣（ + ）+1＝﹣2+1+1＝0．
α β α β
故选：C．
α β α β α β
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及其应用．
3．（2分）边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平面镶嵌的是（ ）
A．正方形与正三角形 B．正五边形与正三角形
C．正六边形与正三角形 D．正八边形与正方形
【考点】L4：平面镶嵌（密铺）．
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第7页（共28页）【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判
断．
【解答】解：正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°
＝360°，能密铺．
正三角形的每个内角是 60°，正五边形每个内角是 180°﹣360°÷5＝108°，
60m+108n＝360°，m＝6﹣ n，
显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
正三角形的每个内角是 60°，正六边形的每个内角是 120°，∵2×60°+2×120°＝
360°，能密铺．
正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°＝360°，能
密铺．
故选：B．
【点评】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在
一起恰好组成一个周角．
4．（2分）如图， O和 O′都经过点A和点B，点P在BA的延长线上，过P作
O的割线PCD交 O于C、D，作 O′的切线PE切 O′于E，若PC＝4，
⊙ ⊙
CD＝5，则PE等于（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．6 B．2 C．20 D．36
【考点】MH：切割线定理．
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【分析】根据割线定理得PA•PB＝PC•PD，根据切割线定理得PE2＝PA•PB，所以
PE2＝PC•PD，从而可求得PE的长．
【解答】解：∵PA•PB＝PC•PD，PE2＝PA•PB，PC＝4，CD＝5，
∴PE2＝PC•PD＝36，
第8页（共28页）∴PE＝6．
故选：A．
【点评】注意：割线定理和切割线定理的运用必须在同一个圆中．这里借助割线
PAB，把要求的线段和已知线段建立了关系．
5．（2分）若反比例函数y＝ 的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有
（ ）
A．k≠0 B．k≠3 C．k＜3 D．k＞3
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】由题意及反比例函数图象的性质即可得出结果．
【解答】解：∵反比例函数的图象，y随x的增大而增大，
∴k﹣3＜0，则k＜3．
故选：C．
【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质： 、k＞0时，图象是位于一、三象
限，在每个象限双曲线内，y随x的增大而减小． 、k＜0时，图象是位于二、四
①
象限，在每个象限的双曲线内，y随x的增大而增大．
②
6．（2分）已知二次函数y＝ 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．（1，2）x＝1 B．（﹣1，2）x＝﹣1
C．（﹣4，﹣5）x＝﹣4 D．（4，﹣5）x＝4
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】直接根据顶点坐标和对称轴公式可求得．
【解答】解：∵x＝ ＝4， ＝﹣5，
∴顶点坐标是（4，﹣5），对称轴是x＝4．
故选：D．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
7．（2分）已知在直角坐标系中，以点A（0，3）为圆心，以3为半径作 A，则直线y
＝kx+2（k≠0）与 A的位置关系是（ ）
⊙
A．相切 B．相交 C．相离 D．与k值有关
⊙
【考点】D5：坐标与图形性质；MB：直线与圆的位置关系．
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第9页（共28页）【分析】要判断直线y＝kx+2（k≠0）与 A的位置关系，只需求得直线和y轴的交
点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析．
⊙
【解答】解：因为直线y＝kx+2与y轴的交点是B（0，2），所以AB＝1．
则圆心到直线的距离一定小于1，所以直线和 A一定相交．
故选：B．
⊙
【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．
8．（2分）如图，一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是20cm，底面圆的半径为5cm，那
么笔筒的侧面积为（ ）
A．200cm2 B．100 cm2 C．200 cm2 D．500 cm2
【考点】MQ：圆柱的计算．
π π π
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【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：根据侧面积计算公式可得 ×5×2×20＝200 cm2．
故选：C．
π π
【点评】本题主要考查了圆柱体的侧面积的计算，熟知圆柱侧面积＝底面周长×高
是解决本题的关键．
9．（2分）用换元法解方程 ，若设 ＝y，则原方程可化为（
）
A．y2﹣7y+6＝0 B．y2+6y﹣7＝0 C．6y2﹣7y+1＝0 D．6y2+7y+1＝0
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【专题】16：压轴题；43：换元法．
【分析】观察方程的两个分式具备的关系，若设 ＝y，则原方程另一个分式为
6× ．可用换元法转化为关于y的方程．去分母、整理即可．
【解答】解：把 ＝y代入原方程得：y+6× ＝7，
第10页（共28页）方程两边同乘以y整理得：y2﹣7y+6＝0．
故选：A．
【点评】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化
难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
10．（2分）苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s＝ gt（2 g
是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】H2：二次函数的图象；HE：二次函数的应用．
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【专题】16：压轴题．
【分析】根据s与t的函数关系，可判断二次函数，图象是抛物线；再根据s、t的实
际意义，判断图象在第一象限．
【解答】解：∵s＝ gt2是二次函数的表达式，
∴二次函数的图象是一条抛物线．
又∵ g＞0，
∴应该开口向上，
∵自变量t为非负数，
∴s为非负数．
图象是抛物线在第一象限的部分．
故选：B．
【点评】应熟练掌握二次函数的图象有关性质：二次函数的图象是一条抛物线；当
a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
二、填空题（每小题2分，本题共20分）
第11页（共28页）11．（2分）函数y＝ 中自变量x的取值范围是 x ≥﹣ 且 x ≠ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣ 且x≠1．
故答案为：x≥﹣ 且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（2分）若关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 k ≤ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就
可以了．关于x的方程x2+5x+k＝0有实数根，△＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：∵a＝1，b＝5，c＝k，
∴△＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×k＝25﹣4k≥0，
∴k≤ ．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
13．（2分）圆和圆有多种位置关系，与图中不同的圆和圆的位置关系是 相切 ．
⇔
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】要求图形中圆与圆的位置关系，可以观察两圆之间的交点的个数，两个交
点两圆相交，一个交点两圆相切，没有交点两圆相离．
第12页（共28页）【解答】解：依题意得：第一个图中两圆相离；第二个图中两圆内含；第三个图中两
圆相离或相交，
因此与图中圆与圆的位置关系没有相切．
【点评】此题考查的是圆与圆的位置关系，根据图形两个交点两圆相交，一个交点
两圆相切，没有交点两圆相离．
14．（2分）若点A（2，m）在函数y＝x2﹣1的图象上，则点A关于x轴的对称点的
坐标是 （ 2 ，﹣ 3 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【分析】先求点A的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特点求对称点．
【解答】解：把点A（2，m）代入y＝x2﹣1中，得m＝4﹣1＝3，即A（2，3），
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知：
点A关于x轴的对称点的坐标是（2，﹣3）．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
15．（2分）方程组 的解是 ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】把（1）变形代入（2）得x2﹣7x+12＝0，然后求解．
【解答】解：把（1）变形代入（2）得x2﹣7x+12＝0，
解得：x＝3或4，
∴原方程组的解是： ．
故本题答案为： ．
【点评】解二元二次方程组的关键是消元，降次．
16．（2分）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，
他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3.5cm，则此光盘的
直径是 cm．
第13页（共28页）【考点】MH：切割线定理；T7：解直角三角形．
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【分析】设圆的圆心是O，连接OB，OA，根据已知可求得OB的长，即可得到圆的
直径．
【解答】解：设圆的圆心是O，连接OB，OA，OC．
∵AC，AB与 O相切，
∴∠OAB＝ ⊙ ×120°＝60°，∠OBA＝90°，
在Rt△AOB中，
∵AB＝3.5，
∴OB＝ABtan60°＝3.5 ．
∴圆的直径是7 cm．
【点评】此题综合运用了切线的性质定理、切线长定理以及锐角三角函数的知识．
17．（2分）如图，点A在反比例函数y＝ 的图象上，AB垂直于x轴，若S ＝4，
△AOB
那么这个反比例函数的解析式为 y ＝﹣ ．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．
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【专题】31：数形结合．
【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值|k|，
第14页（共28页）△AOB的面积为矩形面积的一半，即 |k|．
【解答】解：由于点A在反比例函数y＝ 的图象上，
则S ＝ |k|＝4，k＝±8；
△AOB
又由于函数的图象在第二象限，k＜0，
则k＝﹣8，所以反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
故答案为：y＝﹣ ．
【点评】此题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点
引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了
数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
18．（2分）如图，这是某市环境监测中心监测统计的2003年该市市区空气中二氧
化硫各季节日均值的统计图，空气中二氧化硫含量最高的季节与最低的季节
的浓度之差等于 0.15 1 毫克/立方米．
【考点】VC：条形统计图．
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【专题】27：图表型．
【分析】由条形统计图可知：2003年该市市区空气中二氧化硫含量最高的季节二
氧化硫含量为0.155毫克/立方米，2003年该市市区空气中二氧化硫含量最低
的季节二氧化硫含量为0.004毫克/立方米；则2003年该市市区空气二氧化硫
含量最高的季节与最低的季节的浓度之差为0.155﹣0.004＝0.151毫克/立方米．
【解答】解：2003年该市市区空气二氧化硫含量最高的季节与最低的季节的浓度
第15页（共28页）之差为，
0.155﹣0.004＝0.151毫克/立方米．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要
的信息是解决本题的关键．
19．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，
以 AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是 ．
（保留 ）
π
【考点】MO：扇形面积的计算．
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【专题】16：压轴题．
【分析】三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积＝三角形的面积﹣三个小扇形
的面积．
【解答】解：2×2÷2﹣ ﹣ ＝2﹣ ．
【点评】本题的关键是理解阴影部分的面积＝三角形的面积﹣三个小扇形的面积
20．（2分）已知 O的直径为6，弦AB的长为2 ，由这条弦及弦所对的弧组成
的弓形的高是 3+ 或 3 ﹣ ．
⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【专题】16：压轴题．
【分析】此题只需先求得弦的弦心距．因为弦所对的弧有两条，所以弦所对的弧组
成的弓形高有两种情况．
【解答】解：根据垂径定理，得半弦是 ，在由半径、半弦和弦心距组成的直角三
角形中，根据勾股定理，得弦心距＝ ＝ ，
因为弦所对的弧有两条，所以弦所对的弧组成的弓形高是3+ 或3﹣ ．
【点评】此题注意两种情况，熟练运用垂径定理和勾股定理求得弦的弦心距．
三、解答题（21题6分，22题8分，23题10分，本题共24分）
第16页（共28页）21．（6分）计算： ．
【考点】79：二次根式的混合运算．
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【分析】本题涉及二次根式化简运算．在计算时，需要针对每个部分分别进行计算，
然后根据二次根式混合运算法则求得计算结果．
【解答】解法一：原式＝ +2 ﹣（4+2 ）+
＝ +2 ﹣4﹣2 +
＝ ﹣ ；
解法二：原式＝ +2 ﹣（4+2 ）+
＝ +2 ﹣（4+2 ）+
＝ ﹣ ﹣4+
＝ ﹣ ．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是掌握二次根式化简的方法，可以分母有理化，也可以约分．
22．（8分）某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种
蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线（部分）表示这种
蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的
哪些信息？
答题要求：（1）请提供四条信息；
（2）不必求函数的解析式．
第17页（共28页）【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】可从最高点、最低点、特殊点、对称点等方面读取相关信息．如：最低点坐
标为（7，0.5）表示7月份每千克售价是0.5元；特殊点（2，3.5）表示2月份售价
是每千克3.5元；1﹣﹣7月份售价逐月降低，7﹣﹣12月份售价逐月升高．…
【解答】解：由题意得：
（1）2月份每千克销售价是3.5元；
（2）7月份每千克销售价是0.5元；
（3）1月到7月的销售价逐月下降；
（4）7月到12月的销售价逐月上升；
（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；
（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；
（7）6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价相同
等等．
【点评】观察图形从中获取相关信息是学习函数知识的基本功，应根据题意数形
结合，从特殊性入手逐步深入．
23．（10分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体
总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是
成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据：
1号 2号 3号 4号 5号 总分
甲班 100 98 100 89 103 500
乙班 89 100 95 119 97 500
经统计发现两班总分相等，此时有学生建议，可以通过考查数据中的其他信息为
第18页（共28页）参考，回答下列问题：
（1）计算两班的优秀率为：甲班 6 0 %，乙班 4 0 %．
（2）计算两班比赛数据的中位数为：甲班 10 0 个，乙班 9 7 个．
（3）估计 甲 班比赛数据的方差小．
（4）根据以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给 甲 班．
【考点】W4：中位数；W6：极差；W7：方差．
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【专题】27：图表型．
【分析】（1）优秀率就是优秀的人数与总人数的百分比；
（2）中位数就是一组数据中先把所有数据按从大到小或从小到大的顺序排列起
来，如果是奇数个时，就是中间的那一个数，如果是偶数个时，就是中间两个
数的平均数；
（3）方差就是就是反映一组数据波动大小的幅度，方差大，波动大，方差小则波动
小．
（4）根据计算出来的统计量的意义分析判断．
【解答】解：（1）甲班优秀率为 ×100%＝60%，乙班优秀率为 ×100%＝40%．
（2）甲班5名学生比赛成绩的中位数是100个，乙班5名学生比赛成绩的中位数
是97个．
（3）估计甲班5名学生比赛成绩的方差小．
（4）将冠军奖状发给甲班，因为甲班5人比赛成绩的优秀率比乙班高，中位数比
乙班大，方差比乙班小，综合评定甲班比较好．
【点评】本题考查了优秀率、中位数、方差的概念，并且运用它们的意义解决问题．
四、解答题（本题共10分）
24．（10分）某乡薄铁社厂的王师傅要在长25cm，宽18cm的薄铁板上截出一个最
大的圆和两个尽可能大的小圆，他先画了草图，但他在求小圆的半径时遇到了
困难，请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径．
【考点】MK：相切两圆的性质．
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第19页（共28页）【专题】12：应用题．
【分析】根据题意：要在薄铁板上截出一个最大的圆，需使圆的半径为矩形的宽的
一半，即9．根据图示，可得关于大圆与小圆半径的关系，列出关系式，进而可
求得小圆半径．此题的关键在于画出关系图，写出关系式．
【解答】解：设 O， O 与矩形的一边的切点分别为B，C（如图所示）．
1
连接OB，O C，OO ，过O 作O A⊥OB，垂足为A，
1 ⊙ 1 ⊙ 1 1
由题中条件易知 O的直径为18cm，
于是OB＝9cm；
⊙
设 O 的半径为r，则O C＝r．
1 1
由∠OBC＝∠O CB＝∠O AB＝90°，
⊙ 1 1
得四边形AO CB是矩形，AB＝O C＝r．
1 1
又OO ＝OB+r＝9+r，BC＝25﹣9﹣r，AO ＝BC，
1 1
在Rt△OAO 中，OO 2＝AO2+AO 2，
1 1 1
即（9+r）2＝（9﹣r）2+（25﹣9﹣r）2，
解这个方程得r ＝4，r ＝64．
1 2
∵64＞18，
∴r＝64不合题意，取r＝4，
即小圆的半径为4cm；
另解：如图，连接OO 、O O 、O O，则△OO O 是等腰三角形．
1 1 2 2 1 2
作OA⊥O O ，垂足为A，则O A＝O A．…2分
1 2 1 2
∵薄铁板的宽是18cm，
∴大圆的半径是9cm．设小圆的半径为xcm，
则OO ＝9+x，O A＝ O O ＝ （18﹣x﹣x）＝9﹣x，OA＝25﹣9﹣x，
1 1 1 2
在Rt△OAO 中，OO 2＝OA2+O A2，即（9+x）2＝（9﹣x）2+（25﹣9﹣x）2．…5分
1 1 1
整理，得x2﹣68x+256＝0．解得x ＝4，x ＝64．…8分
1 2
∵x ＝64＞9，不合题意，舍去．∴x＝4．
2
答：两个小圆的半径是4cm．…10分
第20页（共28页）【点评】本题考查圆与圆外切时两圆的位置关系及圆心距与两圆半径间的关系，
解答此类题关键是通过图形找到等量关系．
五、解答题（本题共10分）
25．（10分）一艘渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，已知小岛C周围4.8海
里范围内是水产养殖场．渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B处，在B处
测得小岛C在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（即BD）方向航行，
这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过点B作BM⊥AH于M，过点C作CN⊥AH于N，利用直角三角形的性质
求得CK的长，若CK＞4.8则没有进入养殖场的危险，否则有危险．
【解答】解：解法一，过点B作BM⊥AH于M，
∴BM∥AF．
∴∠ABM＝∠BAF＝30°
在△BAM中，AM＝ AB＝5，BM＝5
过点C作CN⊥AH于N，交BD于K
在Rt△BCK中，∠CBK＝90°﹣60°＝30°
设CK＝x，则BK＝ x
第21页（共28页）在Rt△ACN中，
∵在A处观测到东北方向有一小岛C，
∴∠CAN＝45°，
∴AN＝NC．
∴AM+MN＝CK+KN
又NM＝BK，BM＝KN
∴x+5 ＝5+ x．解得x＝5
∵5海里＞4.8海里，
∴渔船没有进入养殖场的危险
答：这艘渔船没有进入养殖场危险；
解法二，过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图：
∴CE∥GB∥FA．
∴∠BCE＝∠GBC＝60°，∠ACE＝∠FAC＝45°
∴∠BCA＝∠BCE﹣∠ACE＝60°﹣45°＝15°
又∠BAC＝∠FAC﹣∠FAB＝45°﹣30°＝15°
∴∠BCA＝∠BAC，
∴BC＝AB＝10
在Rt△BCE中，CE＝BC•cos∠BCE＝BC•cos60°＝10× ＝5（海里）
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险
答：这艘渔船没有进入养殖场的危险．
【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形
第22页（共28页）的问题，解决的方法就是作高线．
六、解答题（本题共10分）
26．（10分）某食品批发部准备用10000元从厂家购进一批出厂价分别为16元和
20元的甲、乙两种酸奶，然后将甲、乙两种酸奶分别加价20%和25%向外销售．
如果设购进甲种酸奶为x（箱），全部售出这批酸奶所获销售利润为y（元）．
（1）求所获销售利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
（2）根据市场调查，甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱，那么食品
批发部怎样进货获利最大，最大销售利润是多少？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）本题的等量关系是销售利润＝购甲种酸奶的费用×20%+购乙种酸奶
的费用×25%．可根据此等量关系得出y与x的函数关系式；
（2）可根据“甲、乙两种酸奶在保质期内销售量都不超过300箱”，先求出自变
量的取值范围，然后根据（1）中得出的函数的性质和自变量的取值范围，求出
利润最大的方案．
【解答】解：（1）根据题意，得：y＝16•x•20%+（10000﹣16x）•25%＝﹣0.8x+2500；
（2）由题意知， ，
解得250≤x≤300，
由（1）知y＝﹣0.8x+2500，
∵k＝﹣0.8＜0，
∴y随x的增大而减小
∴当x＝250时，y值最大，此时y＝﹣0.8×250+2500＝2300（元）
∴ ＝ ＝300（箱）．
答：当购进甲种酸奶250箱，乙种酸奶300箱时，所获销售利润最大，最大销售利
润为2300元．
【点评】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，利用一次函数求最值
时，主要应用一次函数的性质．
七、解答题（本题共12分）
第23页（共28页）27．（12分）如图， O与 P相交于B、C两点，BC是 P的直径，且把 O分成
度数的比为1：2的两条弧，A是 上的动点（不与B、C重合），连接AB、AC
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
分别交 P于D、E两点．
（1）当△ABC是锐角三角形（图 ）时，判断△PDE的形状，并证明你的结论；
⊙
（2）当△ABC是直角三角形、钝角三角形时，请你分别在图 、图 中画出相应
①
的图形（不要求尺规作图），并按图 标记字母；
② ③
（3）在你所画的图形中，（1）的结论是否成立？请就钝角的情况加以证明．
①
【考点】KL：等边三角形的判定；M4：圆心角、弧、弦的关系；M5：圆周角定理．
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【专题】13：作图题；16：压轴题．
【分析】（1）因为BC将圆O分成1：2两条弧，那么弧BC的度数就是120°，我们
要利用这个度数来求解，连接DC，那么∠BAC＝60°，而BC是圆P的直角，那
么∠ACD＝30°，而∠ACD所对的弧DE，圆P的圆心角∠DPE也正好对着这条
弧，因此根据圆周角定理可得出∠DPE＝60°，而PD＝PE，因此三角形PDE是
等边三角形；
（3）结论仍然成立，方法与（1）相同．
【解答】解：（1）△PDE是等边三角形，连DC．
∵弦BC把 O分成度数的比为1：2的两条弧，
∴ 的度数为120°，
⊙
∴∠BAC＝60°
又∵BC为 P的直径，∴∠BDC＝90°，
又∵∠A＝60°，
⊙
∴∠DCA＝30°，
∴∠DPE＝60°
又∵PD＝PE，
∴△PDE是等边三角形；
第24页（共28页）（2）如图 、图 即为所画图形；
② ③
（3）图 和图 中△PDE仍为等边三角形．
证明：如图 ，连接BE、DC
② ③
∵BC为 P的直径，
③
∴∠BDC＝90°
⊙
又∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°
又∵四边形DBEC是 P的内接四边形，
∴∠DBE＝∠DCA＝30°，∠DPE＝60°
⊙
又∵PD＝PE，
∴△PDE是等边三角形．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定等知识点，根据圆周角定
理得出角的度数或倍数关系是解题的关键．
八、解答题（本题共14分）
28．（14分）如图，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A、
B、C、D四点，已知A（﹣3，0）、B（1，0），过点C作 P的切线交x轴于点E．
（1）求直线CE的解析式；
⊙
（2）若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问m在什么范围时，直线FB
与 P相交？
（3）若直线FB与 P的另一个交点为N，当点N是 的中点时，求点F的坐标；
⊙
（4）在（3）的条件下，CN交x轴于点M，求CM•CN的值．
⊙
第25页（共28页）【考点】FI：一次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）连PC，利用OC2＝OA•OB，得OC＝ ，得C的坐标，利用CE是 P
的切线，求E的坐标，
⊙
设直线CE的解析式为y＝kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，可得直线CE的解
析式；
（2）当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与 P相交；
（3）先求得N（﹣1，﹣2）设直线NB的解析式为y＝kx+b，把N、B两点坐标代入解
⊙
析式，
求直线NB的解析式．解两直线表达式组成的方程组，求交点坐标；
（4）连接AC、BC，点N是 的中点，易证△AMC∽△NBC．所以 ，即
MC•NC＝BC•AC．分别求相关线段的长得解．
【解答】解：（1）连PC．
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴ P的直径是4，
∴半径R＝2，OP＝1．
⊙
又∵CD⊥AB，AB是直径，
∴OC2＝OA•OB＝3×1＝3，
∴OC＝ ．
∴C（0， ）． （1分）
又∵ P的半径是2，OP＝1，
∴∠PCO＝30°．
⊙
又CE是 P的切线，
⊙ 第26页（共28页）∴PC⊥CE．
∴∠PEC＝30°．
∴PE＝2PC＝4，EO＝PE﹣MP＝3．
∴E（3，0）． （2分）
设直线CE的解析式为y＝kx+b，将C、E两点坐标代入解析式，
得 ，解得 ．
∴直线CE的解析式为y＝﹣ x+ ；（4分）
①
（2）∵m＝1时，直线FB与 P相切，∴m≠1．
∵E（3，0），
⊙
∴当0≤m≤3且m≠1时，直线FB与 P相交；（6分）
⊙
（3）解法一：∵点N是 的中点，
∴N（﹣1，﹣2）．
设直线NB的解析式为y＝kx+b，把N、B两点坐标代入解析式，
得 ，解得 ．
∴直线NB的解析式为y＝x﹣1 ．
②
由 ， 式得 ，解得 ．
① ②
∴F（ ， ﹣1）． （10分）
解法二：过点F作FH⊥BE于H，
∵N是 的中点，
则∠ABN＝∠FBE＝45°，
∴∠BFH＝45°，∴BH＝FH．
由（1）知∠CEP＝30°，
∴HE＝ FH．
∵OE＝OB+BH+HE，
第27页（共28页）∴1+FH+ FH＝3，FH＝ ﹣1，
∴OH＝OB+BH＝1+（ ﹣1）＝ ．
∴F（ ， ﹣1）；
（4）连接AC、BC．
∵点N是 的中点，
∴∠NCA＝∠CAN，又∠CAB＝∠CNB，
∴△AMC∽△NBC．
∴ ，
∴MC•NC＝BC•AC．
∵OA＝OE＝3，
∴△ACE为等腰三角形．
∴AC＝CE＝ ，BC＝ ＝2．
∴MC•NC＝BC•AC＝4 ． （14分）
【点评】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函
数图象上点的意义和相似三角形的性质来表示相应的线段之间的关系，再结
合具体图形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体
会．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:30:11；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第28页（共28页）
