文档内容
2012年上海市闸北区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．16 B． C． D．
2．（4分）函数 的定义域是（ ）
A．x＞4 B．x≥4 C．x＜4 D．x≤4
3．（4分）已知一元二次方程x2+x﹣1＝0，下列判断正确的是（ ）
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
4．（4分）九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于
参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍
结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）已知（f x）＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0），小红在用描点法画
y＝（f x）的图象时，列出如表格．根据该表格，下列判断中，不正确的是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
A．抛物线y＝f（x）开口向下
B．抛物线y＝f（x）的对称轴是直线x＝1
C．（f 4）＝﹣5
D．f（5）＜f（6）
6．（4分）如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太
阳光线与地面的夹角∠ACD＝60°，则AB的长为（ ）
第1页（共26页）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直线填入答题纸
的相应位置】
7．（4分）计算： ＝ ．
8．（4分）计算：a2•a＝ ．
9．（4分）分解因式：m2﹣9＝ ．
10．（4分）不等式2x﹣1＜3的解集是 ．
11．（4分）若a＜0，则 ＝ ．
12．（4分）把抛物线 先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得新抛物
线的解析式为 ．
13．（4分）一枚均匀的正方体骰子，抛掷一次，得朝上一面的数字为偶数的概率
为 ．
14．（4分）若一件衣服两次打九折后，售价为y元，则原价为 元（用y的代
数式表示）．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点M是斜边AB的
中点，那么CM＝ ．
16．（4分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于 度．
第2页（共26页）17．（4分）在四边形ABCD中，如果 ，那么与 相等的向量是 ．
18．（4分）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AB＝CD＝5，BC＝12，沿
着经过点A的直线翻折梯形ABCD，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′
＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由
22．（10分）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）
班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数
分布表和部分频数分布直方图．如下图所示：
组别 次数x 频数
第1组 80≤x＜100 6
第2组 100≤x＜120 8
第3组 120≤x＜140 a
第4组 140≤x＜160 18
第5组 160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
第3页（共26页）（1）表中的a＝ ．
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120为不合格； 120≤x＜
140为合格； 140≤x＜160为良；x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或八
年级同学提一条合理化建议： ．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC于点H，
AC⊥AB，BD平分∠ABC，分别交AH、AC于点E、F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）设AB＝m，求：sin∠BAH的值．
24．（12分）已知：如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交
于点A（﹣1，m），与x轴正半轴交于点B，AP⊥x轴于点P，且S ＝2．
△ABP
（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）设点C是x轴上的一个点，如果∠ACO＝∠BAO，求出点C的坐标．
第4页（共26页）25．（14分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，cosB＝ ，点G是△ABC的
重心．动点E从点A出发沿着射线AG以每秒1cm的速度移动，动点F从点C
出发沿着射线CA以每秒2cm的速度移动，点E和点F同时出发，设它们的运
动时间为t（秒）．
（1）求点A到点G的距离；
（2）在移动过程中，是否存在以点G为圆心GE长为半径的圆与以点C为圆心
CF长为半径的圆外切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）连接EF，在运动过程中，是否存在△AEF是等腰三角形？若存在，求出t值；
若不存在，请说明理由．
第5页（共26页）2012 年上海市闸北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．16 B． C． D．
【考点】26：无理数．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、因为16是整数，所以是有理数，故本选项错误；
B、因为 是分数，所以是有理数，故本选项错误；
C、因为 ＝3，3是有理数，所以 是有理数，故本选项错误；
D、 是开方开不尽的数，所以 是无理数，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是无理数的定义，即无限不循环小数是无理数．
2．（4分）函数 的定义域是（ ）
A．x＞4 B．x≥4 C．x＜4 D．x≤4
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，4﹣x≥0，
解得x≤4．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．（4分）已知一元二次方程x2+x﹣1＝0，下列判断正确的是（ ）
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
第6页（共26页）D．该方程根的情况不确定
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就
可以了．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等实数根．
故选：B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
4．（4分）九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于
⇔
参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍
结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【分析】原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小时
植1.2x棵，原计划植300棵树可用时 小时，实际用了 小时，根据关键
语句“结果提前20分钟完成任务”可得方程．
【解答】解：原计划每小时植树x棵，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，故每小
时植1.2x棵，由题意得：
﹣ ＝ ，
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原
计划植300棵树所用时间与实际所用时间．
第7页（共26页）5．（4分）已知（f x）＝ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，且a≠0），小红在用描点法画
y＝（f x）的图象时，列出如表格．根据该表格，下列判断中，不正确的是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
A．抛物线y＝f（x）开口向下
B．抛物线y＝f（x）的对称轴是直线x＝1
C．（f 4）＝﹣5
D．f（5）＜f（6）
【考点】H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质．
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【分析】根据表格数据，利用待定系数法求出二次函数解析式，然后根据函数的性
质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：根据题意， ，
解得 ，
所以，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
A、∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线y＝f（x）开口向下正确，故本选项错误；
B、抛物线y＝f（x）的对称轴是直线x＝1，正确，故本选项错误；
C、f（4）＝﹣42+2×4+3＝﹣16+8+3＝﹣5，正确，故本选项错误；
D、当x＞1时，y随x的增大而减小，
所以，f（5）＞f（6），故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，根据表格数据，利用待定系数法求出二次函
数解析式是解题的关键．
6．（4分）如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太
阳光线与地面的夹角∠ACD＝60°，则AB的长为（ ）
第8页（共26页）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°
的正切值联立求解．
【解答】解：设直线AB与CD的交点为点O．
∴ ．
∴AB＝ ．
∵∠ACD＝60°．
∴∠BDO＝60°．
在Rt△BDO中，tan60°＝ ．
∵CD＝1．
∴AB＝ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直线填入答题纸
的相应位置】
第9页（共26页）7．（4分）计算： ＝ 5 ．
【考点】73：二次根式的性质与化简．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据算术平方根的定义即可解答．
【解答】解：原式＝|﹣5|＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，正确理解 ＝|a|是关键．
8．（4分）计算：a2•a＝ a 3 ．
【考点】46：同底数幂的乘法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算
即可．
【解答】解：原式＝a2•a＝a2+1＝a3．
故答案为：a3．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同
底数幂的乘法法则．
9．（4分）分解因式：m2﹣9＝ （ m + 3 ）（ m ﹣ 3 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
10．（4分）不等式2x﹣1＜3的解集是 x ＜ 2 ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先移项，再合并同类项，化系数为1即可．
第10页（共26页）【解答】解：移项得，2x＜3+1，
合并同类项得，2x＜4，
化系数为1得，x＜2．
故答案为；x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，即 去分母； 去括号； 移项； 合
并同类项； 化系数为1．
① ② ③ ④
11．（4分）若⑤ a＜0，则 ＝ ﹣ a ．
【考点】73：二次根式的性质与化简．
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【分析】根据 ＝ 进行填空即可．
【解答】解：∵a＜0，
∴ ＝﹣a．
故答案为﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．
12．（4分）把抛物线 先向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得新抛物
线的解析式为 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】首先根据二次函数解析式写出顶点坐标，再利用平移的特点写出新的抛
物线解析式，即可求出新的抛物线．
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝ x2，
∴顶点坐标（0，0）
向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到的点是（2，3），
可设新函数的解析式为y＝ （x﹣h）2+k，
代入顶点坐标得y＝ （x﹣2）2+3，
第11页（共26页）故答案为：y＝ （x﹣2）2+3．
【点评】此题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”
直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
13．（4分）一枚均匀的正方体骰子，抛掷一次，得朝上一面的数字为偶数的概率
为 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】让向上一面的数字是偶数的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
【解答】解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，
偶数为2，4，6，则向上一面的数字是偶数的概率为 ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，
而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P
（A）＝ ．
14．（4分）若一件衣服两次打九折后，售价为y元，则原价为 元（用y的
代数式表示）．
【考点】32：列代数式．
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【分析】设原价为x，则x×0.9×0.9＝y，从而可得出原价的表达式．
【解答】解：设原价为x，则
x×0.9×0.9＝y，
故x＝ y，即原价为： y．
故答案为： y．
【点评】本题考查了列代数式的知识，可以设出原价，用方程的思想解决，也可以
直接表示出来．
15．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点M是斜边AB的
第12页（共26页）中点，那么CM＝ 2 ．
【考点】KO：含30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线．
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【分析】首先根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝
4，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得CM＝2．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，
∵点M是斜边AB的中点，
∴CM＝ AB＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是熟练掌握：在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜
边的一半．
16．（4分）如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于 3 0 度．
【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再由三角形外角的性质即可得
出结论．
【解答】解：∵直线AB∥CD，∠A＝70°，
∴∠EFD＝∠A＝70°，
∵∠EFD是△CEF的外角，
∴∠E＝∠EFD﹣∠C＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30．
第13页（共26页）【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位
角相等是解答此题的关键．
17．（4分）在四边形ABCD中，如果 ，那么与 相等的向量是 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】16：压轴题．
【分析】由 ，可以得到AB∥DC，AB＝DC，即可证得四边形ABCD是平行四
边形，则可得到 ＝ ．
【解答】解：∵ ，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了相等向量的意义：大小相等，方向相同．还考查了平行四边形
的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用．
18．（4分）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），AB＝CD＝5，BC＝12，沿
着经过点A的直线翻折梯形ABCD，使点B落在直线AD上的点B′处，DB′
＝1，直线BB′与直线DC交于点H，则DH＝ ．
【考点】LJ：等腰梯形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】分别根据当B点落在AD上或落在AD的延长线上利用相似三角形的判
定与性质得出比例式即可求出．
【解答】解：如图1所示：
∵AD∥BC，
第14页（共26页）∴△HB′D∽△HBC，
∴ ＝ ，
∵AB＝CD＝5，BC＝12，
∴ ＝ ，
解得：HD＝ ；
如图2所示：
∵AD∥BC，
∴△HB′D∽△HBC，
∴ ＝ ，
∵AB＝CD＝5，BC＝12，
∴ ＝ ，
解得：DH＝ ．
故答案为： 或 ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边之间
的关系得出HD是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
第15页（共26页）【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据零指数幂和sin60°＝ 得到原式＝2× +2 ﹣（ ﹣ ）﹣1，再
进行乘法运算和去括号得到原式＝ +2 ﹣ + ﹣1，然后合并同类二次
根式即可．
【解答】解：原式＝2× +2 ﹣（ ﹣ ）﹣1
＝ +2 ﹣ + ﹣1
＝3 ﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后
进行加减运算．也考查了零指数幂以及特殊角的三角函数值．
20．（10分）解方程： ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题的最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式
方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），
得（x﹣1）2+5（x+1）＝4，
x2﹣2x+1+5x+5＝4，
x2+3x+2＝0，
解得x＝﹣2或x＝﹣1．
经检验x＝﹣1是增根．
∴原方程的解是：x＝﹣2．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，
把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
21．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°．
（1）求证：AC∥DE；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，试判别四边形BCEF的形状，并说明理由
第16页（共26页）【考点】J9：平行线的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L6：平行四边形的判定；
LB：矩形的性质．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）要证AC∥DE，只要证明，∠EDC＝∠ACD即可；
（2）要判断四边形BCEF的形状，可以先猜后证，利用三角形的全等，证明四边形
的两组对边分别相等．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
∵∠EDC＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴AC∥DE；
（2）解：四边形BCEF是平行四边形．
理由如下：
∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，
∴∠DEC＝∠AFB＝90°，DC＝AB
在△CDE和△BAF中，
，
∴△CDE≌△BAF（AAS），
∴CE＝BF，DE＝AF（全等三角形的对应边相等），
∵AC∥DE，
即DE＝AF，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
第17页（共26页）∴AD＝EF，
∵AD＝BC，
∴EF＝BC，
∵CE＝BF，
∴四边形BCEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
【点评】本题所考查的知识点：三角形全等、平行四边形的判定，矩形的性质；综合
性好，难度中等．
22．（10分）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）
班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数
分布表和部分频数分布直方图．如下图所示：
组别 次数x 频数
第1组 80≤x＜100 6
第2组 100≤x＜120 8
第3组 120≤x＜140 a
第4组 140≤x＜160 18
第5组 160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
（1）表中的a＝ 1 2 ．
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x＜120为不合格； 120≤x＜
140为合格； 140≤x＜160为良；x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或八
年级同学提一条合理化建议： 加强体育锻炼，增强体质． ．
第18页（共26页）【考点】V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图．
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【专题】27：图表型．
【分析】（1）第3组频数等于样本容量减去其他小组频数的和；
（2）各组小长方形高度的比等于各组频数的比．
（3）提出的建议合理即可．
【解答】解：（1）a＝50﹣（6+8+18+6）＝50﹣38＝12
（2）完整的频率分布直方图如下图所示：
（3）加强锻炼，增强体质．
故答案为：12；加强锻炼，增强体质．
【点评】本题考查了频率分布直方图和频数分布表的相关知识，此类知识在近几
年的中考中考查的比重逐渐增加．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC于点H，
AC⊥AB，BD平分∠ABC，分别交AH、AC于点E、F．
（1）求证：AE＝AF；
（2）设AB＝m，求：sin∠BAH的值．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LH：梯形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据AC⊥AB，AH⊥BC，得出∠BAE＝∠DAF，根据BD平分∠ABC，
得出∠ABD＝∠CBD，根据AD∥BC，得出∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠ADB，
第19页（共26页）从而证出AB＝AD，最后根据ASA证出△BAE≌△DAF，即可得出AE＝AF；
（2）先设BH＝x，根据已知条件得出四边形AHCD是矩形，HC＝AD，根据AB＝
AD，AB＝m，得出HC＝AB＝m，根据∠BHA＝∠BAC＝90°，得出∠HBA＝
∠ABC，从而证出△HBA∽△ABC， ＝ ，再把AB＝m，BH＝x代入比例式，
得出x2+mx﹣m2＝0，求出x的值，最后根据sin∠BAH＝ ，即可得出答案；
【解答】证明：（1）∵AC⊥AB，AH⊥BC于点H．
∴∠CAB＝∠HAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
在△BAE和△DAF中，
∴△BAE≌△DAF，
∴AE＝AF．
（2）设BH＝x，
∵AD∥BC，DC⊥BC，AH⊥BC，
∴四边形AHCD是矩形，
∴HC＝AD，
∵AB＝AD，AB＝m，
∴HC＝AB＝m，
∵DC⊥BC，AH⊥BC，
∴∠BHA＝∠BAC＝90°，
第20页（共26页）∵∠HBA＝∠ABC，
∴△HBA∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，即x2+mx﹣m2＝0，
∴x＝ ＝ ，
∵x＞0，
∴x＝ m，
在Rt△ABH中，sin∠BAH＝ ＝ ；
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是矩形的性质、相似
三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意列出关于x，m的方程．
24．（12分）已知：如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝﹣ 的图象交
于点A（﹣1，m），与x轴正半轴交于点B，AP⊥x轴于点P，且S ＝2．
△ABP
（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；
（2）设点C是x轴上的一个点，如果∠ACO＝∠BAO，求出点C的坐标．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）首先把A（﹣1，m）代入y＝﹣ ，即可求得m的值，又由S ＝2，则
△ABP
可求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（2）由（1）可求得OA＝ ，AB＝2 ，分别从当点C在x轴的正半轴上与当点C
在x轴的负半轴上时去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案
第21页（共26页）【解答】解：（1）把A（﹣1，m）代入y＝﹣ ，
得m＝﹣ ＝2，
即点A的坐标为：（﹣1，2），
又∵S ＝ PB•AP，
△ABP
∴2＝ PB×2，
∴PB＝2，
∴点B（1，0）；
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
把点A、B的坐标代入得： ，
解得： ，
故直线AB的解析式为y＝﹣x+1；
（2）∵点A（﹣1，2）、B（1，0），
∴OA＝ ，AB＝2 ．如图：
当点C在x轴的正半轴上时，
∵∠ACO＝∠BAO，∠AOC＝∠BOA，
∴△OAC∽△OBA，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴OC＝5，
即点C （5，0）；
1
当点C在x轴的负半轴上时，
∵∠ACO＝∠BAO，∠ABC＝∠OBA，
∴△ABO∽△CBA，
第22页（共26页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CB＝8，
即点C （﹣7，0）．
2
综上，点C的坐标为：（5，0），（﹣7，0）．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、
反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形面积问题．此题难度较大，注意
掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
25．（14分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，cosB＝ ，点G是△ABC的
重心．动点E从点A出发沿着射线AG以每秒1cm的速度移动，动点F从点C
出发沿着射线CA以每秒2cm的速度移动，点E和点F同时出发，设它们的运
动时间为t（秒）．
（1）求点A到点G的距离；
（2）在移动过程中，是否存在以点G为圆心GE长为半径的圆与以点C为圆心
CF长为半径的圆外切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
（3）连接EF，在运动过程中，是否存在△AEF是等腰三角形？若存在，求出t值；
若不存在，请说明理由．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）连接AG并延长，交边BC于点H．根据G是重心得到AH平分边BC，
第23页（共26页）再根据AB＝AC得到AH⊥BC，然后解直角三角形ABH即可求解；
（2）由（1）得：GH＝2，HC＝BH＝8，根据两圆相外切两圆的圆心距等于两圆半径
的和列出有关t的方程求得t的值即可；
（3）分当点F在边AC上时和当点F在CA的延长线上时两种情况利用等腰三角
形的性质列出有关t的方程求得t的值即可求解．
【解答】解：（1）连接AG并延长，交边BC于点H．
∵G是重心，
∴AH平分边BC，AG＝ AH，
∵AB＝AC
∴AH⊥BC．
在Rt△ABH中，cosB＝ ，
即 ＝ ，
∴BH＝8，
∴AH＝6，
∴AG＝4．
（2）由（1）得：GH＝2，HC＝BH＝8．
根据题意得：EG＝|4﹣t|，CF＝2t
∴r ＝|4﹣t|，r ＝2t
G C
且圆心距CG＝ ＝ ＝2 ．
当圆G与圆C外切时：r +r ＝CG，
G C
∴|4﹣t|+2t＝2 ，…（3分）
即：4﹣t+2t＝2 （t＜4）或t﹣4+2t＝2 （t＞4）
∴t ＝2 ﹣4（舍），t ＝
1 2
即当t＝ 时两圆外切．
第24页（共26页）（3）•当点F在边AC上时：
如图1，当AE＝AF时，t＝10﹣2t，∴t ＝ ．…（1分）
1
①如图2，当AF＝EF时，过F作MF⊥AH于点M，
②
由MF∥HC，∴ ，∴ ，
∴t ＝ ．…（1分）
2
如图3，当AE＝EF时：过点E作EM⊥AC于点M，
易证△AEM∽△ACH，∴AM：AE＝AH：AC，
③
∴ （10﹣2t）：t＝3：5，∴t ＝ ．…（1分）
3
•当点F在CA的延长线上时：
如图4，只有AE＝AF时，△AEF为等腰三角形，
∴t＝2t﹣10，
④
∴t ＝10．…（1分）
4
综上所述，当t＝ 、 、 、10的时候，△AEF是等腰三角形．
第25页（共26页）【点评】本题考查了相似形的综合知识，特别是第（3）题中利用了分类讨论的数学
思想，这也是中考中常常考查的重点知识之一．
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日期：2018/12/26 20:37:04；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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