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2013年上海市宝山区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A． 是分数 B．0是正整数
C． 是有理数 D． 是无理数
2．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+4与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，4） B．（1，4） C．（0，5） D．（4，0）
3．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据的平均数和中位数一定相等
B．一组数据的平均数和众数一定相等
C．一组数据的方差一定是正数
D．一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据
4．（4分）今年春节期间，小明把2000元压岁钱存入中国邮政储蓄银行，存期三年，
年利率是4.25%，小明在存款到期后可以拿到的本利和为（ ）
A．2000（1+4.25%）3元 B．2000+2000×4.25%×3元
C．2000×4.25%×3元 D．2000（1+4.25%）×3元
5．（4分）如图，已知向量 、 、 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）已知 O 的半径长为2cm， O 的半径长为4cm．将 O 、 O 放置在
1 2 1 2
直线l上（如图），如果 O 在直线l上任意滚动，那么圆心距O O 的长不可能
⊙ 1 ⊙ ⊙ 1 2⊙
是（ ）
⊙
A．1cm B．2cm C．6cm D．8cm．
第1页（共23页）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）化简： ＝ ．
8．（4分）计算：（a3）2＝ ．
9．（4分）计算： ＝ （结果表示为幂的形式）．
10．（4分）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球，它们除颜色不同外，
其余均相同．若从中随机摸出一个球，则摸到黄球的概率是 ．
12．（4分）如果关于x的方程（a2﹣1）x＝a+1无解，那么实数a＝ ．
13．（4分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为
．如果近似眼镜镜片的焦距 x＝0.25米，那么近视眼镜的度数 y为
．
14．（4分）方程 的根是 ．
15．（4分）手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道5000
户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下：
拥有座机数（部） 0 1 2 3 4
相应户数 10 14 18 7 1
该街道拥有多部电话（指1部以上，不含1部）的家庭大约有 户．
16．（4分）如果梯形两底的长分别为3和7，那么联结该梯形两条对角线的中点
所得的线段长为 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变
换：
f（x，y）＝（x+2，y）．如f（1，1）＝（3，1）；
g（x，y）＝（﹣x，﹣y），如g（2，2）＝（﹣2，﹣2）．
①
按照以上变换有：g（（f 1，1））＝g（3，1）＝（﹣3，﹣1），那么（f g（﹣3，4））等于
②
．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠A＝90°，AB＝5cm，BC＝
13cm．以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转90°至BE，BE交CD于F点．如果
点E恰好落在射线AD上，那么DF的长为 cm．
第2页（共23页）三、简答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： + ＝1．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，且BC2＝
CD•CA．
（1）求证：∠A＝∠CBD；
（2）当∠A＝ ，BC＝2时，求AD的长（用含 的锐角三角比表示）．
α α
22．（10分）某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度
的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳
池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象
解答下列问题：
（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；
（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间（t h）之间的函数关系式，写出函数的定义
域．
23．（12分）如图，点E是正方形ABCD边BC上的一点（不与B、C重合），点F在
CD边的延长线上，且满足DF＝BE．联结EF，点M、N分别是EF与AC、AD的
交点．
第3页（共23页）（1）求∠AFE的度数；
（2）求证： ．
24．（12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线 经过点A（﹣
3，0）、C（0，﹣ ）．
（1）求该抛物线顶点P的坐标；
（2）求tan∠CAP的值；
（3）设Q是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q的横坐标为t，当点Q在第四
象限时，用含t的代数式表示△QAC的面积．
25．（14分）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P
重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O ，射线
1
AO 交半圆O于点B，联结OC．
1
第4页（共23页）（1）如图1，求证：AB∥OC；
（2）如图2，当点B与点O 重合时，求证： ；
1
（3）过点C作射线AO 的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO＝5，O B＝1
1 1
时，求 的值．
第5页（共23页）2013 年上海市宝山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A． 是分数 B．0是正整数
C． 是有理数 D． 是无理数
【考点】27：实数．
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【分析】根据实数的分类进行判断．
【解答】解：A、 是无理数，不是分数．故本选项错误；
B、0既不是正整数，也不是负整数．故本选项错误；
C、 是分数，属于有理数，故本选项正确；
D、 ＝4，所以 是开的尽方的数，属于有理数，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了实数的分类．注意，0是整数，但它既不是正整数，也不是负整
数．
2．（4分）抛物线y＝（x﹣1）2+4与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，4） B．（1，4） C．（0，5） D．（4，0）
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据y轴上点的坐标特征把x＝0代入y＝（x﹣1）2+4，然后计算出对应的
y的值，即可确定抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：1+4＝5，
所以抛物线y＝（x﹣1）2+4与y轴的交点坐标为（0，5）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
图象上点的坐标满足其解析式．
第6页（共23页）3．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据的平均数和中位数一定相等
B．一组数据的平均数和众数一定相等
C．一组数据的方差一定是正数
D．一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数；W7：方差．
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【分析】根据各知识点的概念对各选项进行判断选出正确答案即可．
【解答】解：A、一组数据的平均数和中位数有可能相等，故本选项错误；
B、一组数据的平均数和众数不一定相等，故本选项错误；
C、一组数据的方差一定是非负数，故本选项错误；
D、一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据，这种说法是正确的，故本选
项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了众数、平均数等知识点，属于基础题，解答本题的关键是熟练
掌握各知识点的概念．
4．（4分）今年春节期间，小明把2000元压岁钱存入中国邮政储蓄银行，存期三年，
年利率是4.25%，小明在存款到期后可以拿到的本利和为（ ）
A．2000（1+4.25%）3元 B．2000+2000×4.25%×3元
C．2000×4.25%×3元 D．2000（1+4.25%）×3元
【考点】1G：有理数的混合运算．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据本利和＝本金+本金×年利率×期数，即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：小明在存款到期后可以拿到的本利和为
2000+2000×4.25%×3（元）．
故选：B．
【点评】此题考查了有理数混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
5．（4分）如图，已知向量 、 、 ，那么下列结论正确的是（ ）
第7页（共23页）A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】观察图可得： 或 或 或 ．即可求得答案．
【解答】解：根据题意得： 或 或 或 ．
故C正确；A，B，D错误．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，
注意数形结合思想的应用．
6．（4分）已知 O 的半径长为2cm， O 的半径长为4cm．将 O 、 O 放置在
1 2 1 2
直线l上（如图），如果 O 在直线l上任意滚动，那么圆心距O O 的长不可能
⊙ 1 ⊙ ⊙ 1 2⊙
是（ ）
⊙
A．1cm B．2cm C．6cm D．8cm．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】从两圆的几种位置关系讨论即可得到答案．
【解答】解：当两圆外离时，两圆的圆心距＞4+2＝6；
当两圆外切时，两圆的圆心距＝4+2＝6；
当两圆内切时，两圆的圆心距＝4﹣2＝2；
∵ O 在直线l上任意滚动，
1
∴不可能内含，
⊙
故选：A．
【点评】本题考查了两圆的位置关系，解题的关键是熟知两圆的圆心距与两圆的
半径之间的关系．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）化简： ＝ ．
【考点】28：实数的性质．
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【分析】先比较1与 的大小，再根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解： ＝ ﹣1．
第8页（共23页）【点评】此题主要考查了求实数的绝对值，其中非负数的绝对值等于他本身，负数
的绝对值等于它的相反数．
8．（4分）计算：（a3）2＝ a 6 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】按照幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算．即（am）n＝am（n m，n是正整
数）
【解答】解：（a3）2＝a6．
故答案为：a6．
【点评】本题考查了幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝am（n m，n是正整
数），牢记法则是关键．
9．（4分）计算： ＝ （结果表示为幂的形式）．
【考点】2F：分数指数幂．
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【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解： ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了分数指数幂的知识，利用同底数幂的除法法则是解题的关键．
10．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 2 ＜ x ≤ 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
解不等式 ，得x≤1，
解不等式 ，得x＞﹣2，
①
故原不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
②
故答案为：﹣2＜x≤1．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀
求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小
第9页（共23页）小找不到（无解）．
11．（4分）在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球，它们除颜色不同外，
其余均相同．若从中随机摸出一个球，则摸到黄球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；
二者的比值就是其发生的概率．
① ②
【解答】解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的2个白
球和3个黄球，共5个，
从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
12．（4分）如果关于x的方程（a2﹣1）x＝a+1无解，那么实数a＝ 1 ．
【考点】85：一元一次方程的解．
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【专题】11：计算题．
【分析】当x系数为0时，方程无解，即可求出此时a的值．
【解答】解：∵方程（a2﹣1）x＝a+1无解，
∴a2﹣1＝0，且a+1≠0，
解得：a＝1．
故答案为：1
【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题意是解本题的关键．
13．（4分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为
．如果近似眼镜镜片的焦距x＝0.25米，那么近视眼镜的度数y为 40 0
．
【考点】G1：反比例函数的定义．
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第10页（共23页）【分析】把x＝0.25代入 ，即可算出y的值．
【解答】解：把x＝0.25代入 ，
y＝400，
故答案为：400．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，本题实际上是已知自变量的值求函
数值的问题，比较简单．
14．（4分）方程 的根是 x ＝﹣ 2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】先把方程两边平方去根号后求解，再根据x＜0，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：x＜0，
两边平方得：x+6＝x2，
解得x＝3（不合题意舍去）或x＝﹣2；
故答案为：x＝﹣2．
【点评】此题考查了无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换
元法，本题用了平方法．
15．（4分）手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道5000
户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下：
拥有座机数（部） 0 1 2 3 4
相应户数 10 14 18 7 1
该街道拥有多部电话（指1部以上，不含1部）的家庭大约有 260 0 户．
【考点】V5：用样本估计总体．
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【分析】先求出随机抽取50户家庭中拥有多部电话（指1部以上，不含1部）的家
庭所占的比值，进而求出街道拥有多部电话（指1部以上，不含1部）的家庭数．
【解答】解：（18+7+1）÷50
＝26÷50
＝0.52，
5000×0.52＝2600（户）．
故答案为：2600．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，关键是得到随机抽取50户家庭中拥
第11页（共23页）有多部电话（指1部以上，不含1部）的家庭所占的比例．
16．（4分）如果梯形两底的长分别为3和7，那么联结该梯形两条对角线的中点
所得的线段长为 2 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；LL：梯形中位线定理．
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【分析】作出图形，先判定出MN是梯形的中位线，根据图形的中位线等于两底和
的一半求出MN的长，再根据三角形的中位线定理求出ME、NF，然后求解即
可．
【解答】解：如图，∵E、F是BD、AC的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴MN＝ （3+7）＝5，
在△ABD和△ACD中，ME＝NF＝ AD＝ ×3＝ ，
∴EF＝MN﹣ME﹣MF＝5﹣ ﹣ ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了梯形的中位线定理，三角形的中位线定理，熟记定理是解题的
关键，作出图形更形象直观．
17．（4分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变
换：
f（x，y）＝（x+2，y）．如f（1，1）＝（3，1）；
g（x，y）＝（﹣x，﹣y），如g（2，2）＝（﹣2，﹣2）．
①
按照以上变换有：g（（f 1，1））＝g（3，1）＝（﹣3，﹣1），那么（f g（﹣3，4））等于
②
（ 5 ，﹣ 4 ） ．
【考点】D1：点的坐标．
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【分析】根据所给规定进行进行计算即可．
【解答】解：f（g（﹣3，4））＝f（3，﹣4）＝（5，﹣4），
第12页（共23页）故答案为：（5，﹣4），
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是正确理解题目意思．
18．（4分）如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠A＝90°，AB＝5cm，BC＝
13cm．以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转90°至BE，BE交CD于F点．如果
点E恰好落在射线AD上，那么DF的长为 cm．
【考点】LH：梯形；R2：旋转的性质．
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【分析】由将BC逆时针旋转90°至BE，BC＝13cm．可得BE＝BC＝13cm，∠CBF
＝∠A＝90°，继而求得AE的长，易证得△ABE∽△BFC与△DEF∽△AEB，然
后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】解：∵将BC逆时针旋转90°至BE，BC＝13cm．
∴BE＝BC＝13cm，∠CBF＝∠A＝90°，
∵∠A＝90°，AB＝5cm，
∴AE＝ ＝12（cm），
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠ABE＝∠BFC，
∴△ABE∽△BFC，
∴ ，
∴BF＝ ＝ ，
∴EF＝BE﹣BF＝ ，
∵△DEF∽△AEB，
∴ ，
第13页（共23页）∴DF＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注
意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
三、简答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】6E：零指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三、四
项利用特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．
【解答】解：原式＝1﹣3 +4× ﹣
＝1﹣3 +2 ﹣2+ ，
＝﹣1．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程： + ＝1．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2）（x+2），得x+2+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x+2），
整理，得：x2﹣3x﹣2＝0，
解得：x ＝ ，x ＝ ，
1 2
经检验：x＝ 和 都是原方程的根，
第14页（共23页）∴原方程的解为x＝ 和 ．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，且BC2＝
CD•CA．
（1）求证：∠A＝∠CBD；
（2）当∠A＝ ，BC＝2时，求AD的长（用含 的锐角三角比表示）．
α α
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据BC2＝CD•CA，∠ACB＝∠BCD，得出△ACB∽△BCD，即可证
出∠A＝∠CBD；
（2）根据∠A＝∠CBD，∠A＝ ，得出∠CBD＝ ，根据cot∠A＝ ，得出AC＝
α α
BC•cot ＝2•cot ，再根据tan∠CBD＝ ，得出CD＝BC•tan ＝2tan ，即可得
α α α α
出AD＝AC﹣CD＝2cot ﹣2tan ；
【解答】解：（1）∵BC2＝CD•CA，
α α
∴ ＝ ，
∵∠ACB＝90°，点D在AC边上，
∴∠ACB＝∠BCD，
∴△ACB∽△BCD，
∴∠A＝∠CBD；
（2）∵∠A＝∠CBD，∠A＝ ，
∴∠CBD＝ ，
α
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝ ，
α
∵cot∠A＝ ， α
第15页（共23页）∴AC＝BC•cot ＝2•cot ，
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CBD＝ ，BC＝2，
α α
∵tan∠CBD＝ ， α
∴CD＝BC•tan ＝2tan ，
∴AD＝AC﹣CD＝2cot ﹣2tan ；
α α
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是证出
α α
△ACB∽△BCD，根据解直角三角形求出AC和CD的值．
22．（10分）某游泳池内现存水1890（m3），已知该游泳池的排水速度是灌水速度
的2倍．假设在换水时需要经历“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”的过程，其中游泳
池内剩余的水量y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系如图所示．根据图象
解答下列问题：
（1）根据图中提供的信息，求排水的速度及清洗该游泳池所用的时间；
（2）求灌水过程中的y（m3）与换水时间（t h）之间的函数关系式，写出函数的定义
域．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），根据速度公式求出即
可，求出灌水的速度和时间即可求出清洗该游泳池所用的时间；
（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y＝kt+b．将
（11，0），（21，1890）代入y＝kt+b求出即可．
【解答】解：（1）∵由图象可知，该游泳池5个小时排水1890（m3），
∴该游泳池排水的速度是1890÷5＝378（m3/h），
由题意得该游泳池灌水的速度是378× ＝189（m3/h），
由此得灌水1890m3需要的时间是1890÷189＝10（h），
∴清洗该游泳池所用的时间是21﹣5﹣10＝6（h），
（2）设灌水过程中的y（m3）与换水时间t（h）之间的函数关系式是y＝kt+b．
第16页（共23页）将（11，0），（21，1890）代入y＝kt+b，得 ，
解得：k＝189，b＝﹣2079，
即灌水过程中的y（m3）与时间t（h）之间的函数关系式是y＝189t﹣2079，（11＜
t≤21）．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学
问题，题目比较典型，是一道比较好的题目．
23．（12分）如图，点E是正方形ABCD边BC上的一点（不与B、C重合），点F在
CD边的延长线上，且满足DF＝BE．联结EF，点M、N分别是EF与AC、AD的
交点．
（1）求∠AFE的度数；
（2）求证： ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝
AD，易证得ABE≌△ADF（SAS），然后由全等三角形的性质，可求得AE＝AF，
∠BAE＝∠DAF，继而可求得答案；
（2）由四边形ABCD是正方形，易证得△ACE∽△FCM，然后由相似三角形的对
应边成比例，证得： ．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝AD．…（1分）
在△ABE和△ADF中，
第17页（共23页）∴ABE≌△ADF（SAS）．…（1分）
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF．…（1分）
∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°．
∵AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF．
∴∠AFE＝∠AEF＝ ×90°＝45°．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠ACD＝45°．
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AEB＝∠AFD．
∵∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝45°+∠CAE，∠AFD＝∠AFE+∠CFM＝45°
+∠CFM，
∴∠CAE＝∠CFM．
又∵∠ACB＝∠ACD，
∴△ACE∽△FCM．
∴ ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定
与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用
24．（12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），抛物线 经过点A（﹣
3，0）、C（0，﹣ ）．
（1）求该抛物线顶点P的坐标；
（2）求tan∠CAP的值；
（3）设Q是（1）中所求出的抛物线的一个动点，点Q的横坐标为t，当点Q在第四
象限时，用含t的代数式表示△QAC的面积．
第18页（共23页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）将已知点的坐标代入到给定的函数的解析式中求解即可；
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H，首先求得直线AP的解析式，
然后表示出有关线段长，从而求得tan∠CAP的值；
（3）利用 S ＝S +S ﹣S 求解即可．
△QAC △AOC △QOC △AOQ
【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、C（0，﹣ ）．代入 得
解得
所以抛物线的表达式为y＝ x2+x﹣ ．
其顶点P的坐标为（﹣1，﹣2）．…（1分）
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H．
设直线AP的表达式为y＝kx+b，
将A（﹣3，0）、P（﹣1，﹣2）代入，得
，解得 ．
∴y＝﹣x﹣3．
进而可得G（0，﹣3）．
∴OG＝OA，∠G＝∠OAG＝45°，
在Rt△CHG中，HG＝CH＝CG•sin45°＝ ．
在Rt△AOG中，AG＝ ＝3 ，
第19页（共23页）∴AH＝AG﹣HG＝
∴tan∠CAP＝ ＝ ．
（3）设Q（t， t2+t﹣ ），
由Q在第四象限，得|t|＝t，| t2+t﹣ |＝﹣ t2﹣t+ ）．
联结OQ，易得 S ＝S +S ﹣S ．
△QAC △AOC △QOC △AOQ
∵S ＝ ×|﹣3|×|﹣ |＝ ，S ＝ ×|﹣ |×t＝ t，
△AOC △QOC
S ＝ ×|﹣3|×| t2+t﹣ |＝﹣ t2﹣ t+ ，
△AOQ
∴S ＝ + t﹣（﹣ t2﹣ t+ ）＝ t2+ t．
△QAC
【点评】此题主要考查了二次函数的综合题目，利用一般式求二次函数解析式及
解直角三角形是考查的重点内容，同学们应学会应用．
25．（14分）已知AP是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P
重合），联结AC，以直线AC为对称轴翻折AO，将点O的对称点记为O ，射线
1
AO 交半圆O于点B，联结OC．
1
第20页（共23页）（1）如图1，求证：AB∥OC；
（2）如图2，当点B与点O 重合时，求证： ；
1
（3）过点C作射线AO 的垂线，垂足为E，联结OE交AC于F．当AO＝5，O B＝1
1 1
时，求 的值．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）利用对称性得出∠OAC＝∠O AC，再利用等边对等角得出∠OAC＝
1
∠C，即可得出∠C＝∠O AC，求出AB∥OC即可；
1
（2）由点O 与点O关于直线AC对称，AC⊥OO ，由点O 与点B重合，可得
1 1 1
AC⊥OB，再利用垂径定理推论得出AB＝CB；
（3）分别根据当点O 在线段AB上以及当点O 在线段AB的延长线上时分别求出
1 1
AE的长即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点O 与点O关于直线AC对称，
1
∴∠OAC＝∠O AC．
1
在 O中，
∵OA＝OC，
⊙
∴∠OAC＝∠C．
∴∠C＝∠O AC，
1
∴O A∥OC，
1
即AB∥OC；
（2）方法一：如图2，连结OB．
∵点O 与点O关于直线AC对称，AC⊥OO ，
1 1
由点O 与点B重合，可得AC⊥OB．
1
∵点O是圆心，AC⊥OB，
∴ ；
第21页（共23页）方法2：∵点O 与点O关于直线AC对称，
1
∴AO＝AO ，CO＝CO ，
1 1
由点O 与点B重合，可得 AO＝AB，CB＝CO，
1
∵OA＝OC，
∴AB＝CB．
∴ ；
（3）当点O 在线段AB上（如图3），过点O作OH⊥AB，垂足为H．
1
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE＝OC＝5．
∵AB＝AO +O B＝AO+O B＝6且OH⊥AB，
1 1 1
∴AH＝ AB＝3．
∴AE＝EH+AH＝5+3＝8，
∵AB∥OC，
∴ ＝ ＝ ，
当点O 在线段AB的延长线上，如图4，
1
过点O作OH⊥AB，垂足为H．
∵OH⊥AB，CE⊥AB，
∴OH∥CE，
又∵AB∥OC，
∴HE＝OC＝5．
∵AB＝AO ﹣O B＝AO﹣O B＝4，
1 1 1
又∵OH⊥AB，
∴AH＝ AB＝2．
∴AE＝EH+AH＝5+2＝7，
第22页（共23页）∵AB∥OC，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及垂径定理和关于直线对称的性质等知
识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．
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日期：2018/12/26 20:26:42；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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