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2013年上海市崇明县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上】
1．（4分）3的算术平方根是（ ）
A． B． C．9 D．±9
2．（4分）今年以来，人们对全国多地大范围持续的雾霾天气记忆犹新，“细颗粒
物PM2.5”遂成为显示度最高的热词之一．PM2.5是指大气中直径小于或等于
0.0000025米（即2.5微米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．把0.0000025用科
学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣5 B．2.5×10﹣5 C．2.5×10﹣6 D．25×10﹣7
3．（4分）抛物线y＝﹣4（x﹣m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ）
A．（﹣m，n） B．（m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）
4．（4分）某学校为了了解九年级体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧
起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率
为（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
5．（4分）已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6．（4分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H
分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
第1页（共25页）A．7 B．9 C．10 D．11
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）分解因式：x2﹣9＝ ．
8．（4分）化简： ＝ ．
9．（4分）函数 的定义域是 ．
10．（4分）关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范
围是 ．
11．（4分）方程 的解为 ．
12．（4分）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成
三角形的概率是 ．
13．（4分）在四边形ABCD中，E是AB边的中点，设 ， ，那么用 ， 表
示 为 ．
14．（4分）如果两个相似三角形的面积比是9：16，那么这两个三角形的相似比是
．
15．（4分）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，那么∠ 等
于 度．
α
16．（4分）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点
重合，若D点的坐标为（1，0），那么点C的坐标为 ．
第2页（共25页）17．（4分）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．
若“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程
的解为 ．
18．（4分）将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，折痕所在直线
交直线AB于点E，如果AB＝4，BE＝1，那么∠CAB的余切值是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（8分）计算： ．
20．（10分）解不等式组： ，并在数轴上把解集表示出来．
21．（12分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝
∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
22．（12分）张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放
管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每
天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划
每天铺设管道多少米？
23．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，
∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
第3页（共25页）（2）当AE＝3EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
24．（12分）如图，抛物线 与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与
抛物线交于另一点B ，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛
物线于点N，
设OP的长度为m．
当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM
的长度；
①
联结CM，BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？
②
25．（12分）已知： O的半径为3，OC⊥弦AB，垂足为D，点E在 O上，∠ECO
＝∠BOC，射线CECE与射线OB相交于点F．设AB＝x，CE＝y
⊙ ⊙
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；
（2）当△OEF为直角三角形时，求AB的长；
（3）如果BF＝1，求EF的长．
第4页（共25页）第5页（共25页）2013 年上海市崇明县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上】
1．（4分）3的算术平方根是（ ）
A． B． C．9 D．±9
【考点】22：算术平方根．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：∵（ ）2＝3，
∴3的算术平方根为 ．
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
2．（4分）今年以来，人们对全国多地大范围持续的雾霾天气记忆犹新，“细颗粒
物PM2.5”遂成为显示度最高的热词之一．PM2.5是指大气中直径小于或等于
0.0000025米（即2.5微米）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．把0.0000025用科
学记数法表示为（ ）
A．0.25×10﹣5 B．2.5×10﹣5 C．2.5×10﹣6 D．25×10﹣7
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
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【分析】根据科学记数法和负整数指数的意义求解．
【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数：用a×10n（1≤a＜10，n为负整
数）表示较小的数．
3．（4分）抛物线y＝﹣4（x﹣m）2+n（m，n是常数）的顶点坐标是（ ）
A．（﹣m，n） B．（m，n） C．（m，﹣n） D．（﹣m，﹣n）
【考点】H3：二次函数的性质．
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第6页（共25页）【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝﹣4（x﹣m）2+n，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（m，
n），
故选：B．
【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x
＝h．
4．（4分）某学校为了了解九年级体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧
起坐次数，并绘制了如图的直方图，学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率
为（ ）
A．0.1 B．0.17 C．0.33 D．0.4
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【专题】12：应用题；27：图表型．
【分析】首先根据频数分布直方图可以知道仰卧起坐次数在25～30之间的频数，
然后除以总次数（30）即可得到仰卧起坐次数在25～30之间的频率．
【解答】解：∵从频数率分布直方图可以知道仰卧起坐次数在25～30之间的频数
为12，
而仰卧起坐总次数为：3+10+12+5＝30，
∴学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率为12÷30＝0.4．
故选：D．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用
统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和
解决问题．
5．（4分）已知两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
第7页（共25页）【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，
两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵两圆的半径分别为1和4，圆心距为3，
又∵R+r＝1+4＝5，R﹣r＝4﹣1＝3，圆心距d＝R﹣r＝3，
∴两圆的位置关系是内切．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与
圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
6．（4分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H
分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【考点】KQ：勾股定理；KX：三角形中位线定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG＝ BC＝
EF，EH＝FG＝ AD，求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH
的周长．
【解答】解：∵BD⊥DC，BD＝4，CD＝3，由勾股定理得：BC＝ ＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴HG＝ BC＝EF，EH＝FG＝ AD，
∵AD＝6，
∴EF＝HG＝2.5，EH＝GF＝3，
第8页（共25页）∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH＝2×（2.5+3）＝11．
故选：D．
【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，
能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH、FG的长是解此题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）分解因式：x2﹣9＝ （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式
的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
8．（4分）化简： ＝ ．
【考点】6B：分式的加减法．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找
最简公分母．
9．（4分）函数 的定义域是 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
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【专题】11：计算题．
【分析】让被开方数大于等于0列式求值即可．
【解答】解：∵2x+3≥0，
第9页（共25页）解得x≥﹣ ．
【点评】考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10．（4分）关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范
围是 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜ ．
故答案为m＜ ．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．
11．（4分）方程 的解为 x ＝ 1 ， x ＝ 3 ．
1 2
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方去根号后求解．
【解答】解：两边平方得：4x﹣3＝x2，
解得：x ＝1，x ＝3．
1 2
经检验：x＝1和x＝3都是方程的解．
故答案是：x ＝1，x ＝3．
1 2
【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．
12．（4分）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成
三角形的概率是 ．
【考点】K6：三角形三边关系；X4：概率公式．
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【专题】16：压轴题．
【分析】根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：
第10页（共25页）全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有
① ②
2.3.4，2.3.7，3.4.7，2.4.7四种情况，
而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，
所以能组成三角形的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可
能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
13．（4分）在四边形ABCD中，E是AB边的中点，设 ， ，那么用 ， 表
示 为 ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】11：计算题．
【分析】画出图形，根据平行四边形法则解答即可．
【解答】解：根据平行四边形法则，
+ ＝ ，
即 ＝ ﹣ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
故答案为 ﹣ ．
【点评】此题结合四边形考查了平面向量，利用平行四边形法则是解题的关键．
14．（4分）如果两个相似三角形的面积比是9：16，那么这两个三角形的相似比是
3 ： 4 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】由两个相似三角形的面积比是9：16，根据相似三角形的面积比等于相似
第11页（共25页）比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是9：16，
∴这两个三角形的相似比是：3：4．
故答案为：3：4．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解
此题的关键．
15．（4分）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，那么∠ 等
于 5 2 度．
α
【考点】JA：平行线的性质．
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【分析】过C作CD∥直线m，根据平行线性质得出∠DCA＝∠FAC＝38°，∠ ＝
∠DCB，求出即可．
α
【解答】解：
过C作CD∥直线m，
∵m∥n，
∴CD∥m∥n，
∴∠DCA＝∠FAC＝38°，∠ ＝∠DCB，
∵∠ACB＝90°，
α
∴∠ ＝90°﹣38°＝52°，
故答案为：52．
α
【点评】本题考查了平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
第12页（共25页）16．（4分）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点
重合，若D点的坐标为（1，0），那么点C的坐标为 （ ，﹣ ） ．
【考点】D5：坐标与图形性质；MM：正多边形和圆．
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【分析】连接OC，由于正六边形的中心角是60°，则△COD是等边三角形，OC＝
1，设BC交y轴于G，那么∠GOC＝30°，然后解Rt△GOC，求出GC与OG的
值，进而得到点C的坐标．
【解答】解：连接OC．
∵∠COD＝ ＝60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝OD＝1．
设BC交y轴于G，则∠GOC＝30°．
在Rt△GOC中，∵∠GOC＝30°，OC＝1，
∴GC＝ ，OG＝ ．
∴C（ ，﹣ ）．
故答案为：（ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了正六边形和圆，坐标与图形性质，解直角三角形，难度适中．得
第13页（共25页）出OC＝1，∠GOC＝30°是解题的关键．
17．（4分）新定义：[a，b]为一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．
若“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程
的解为 x ＝ ．
【考点】B3：解分式方程；F2：正比例函数的定义．
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【专题】23：新定义．
【分析】根据题中的新定义求出m的值，确定出分式方程，去分母转化为整式方程
求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：根据“关联数”[3，m+2]所对应的一次函数是正比例函数，
得到y＝3x+m+2为正比例函数，即m+2＝0，
解得：m＝﹣2，
则分式方程为 ﹣ ＝1，
去分母得：2﹣（x﹣1）＝2（x﹣1），
去括号得：2﹣x+1＝2x﹣2，
解得：x＝ ，
经检验x＝ 是分式方程的解．
故答案为：x＝
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．熟练掌握题中的新定
义是解本题的关键．
18．（4分）将矩形ABCD折叠，使得对角线的两个端点A、C重合，折痕所在直线
交直线AB于点E，如果AB＝4，BE＝1，那么∠CAB的余切值是 或 ．
【考点】LB：矩形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】16：压轴题；32：分类讨论．
【分析】本题是一道比较常见的折叠问题，需要注意题目中的“直线AB”与“折
第14页（共25页）痕所在的直线”，显然，满足题意的情况有两种： 点E在线段AB上，如图1；
点E在线段AB的延长线上，如图2．因此需要分类讨论．
①
【解答】解： 如图1，当点E在线段AB上时，过点P作PH⊥AB于点H．易得AH
②
＝BE＝1，则HE＝AB﹣2BE＝2．
①
设BC＝PH＝x，易证△ABC∽△PHE，则 ＝ ，解得x＝2 ，此时，cot∠CAB＝
；
如图2，当点E在线段AB的延长线上时．过点P作PH⊥BC于点H．
易得PH＝AB＝4，
②
易得 ＝ ＝ ，BQ＝CH＝ QH．
设BC＝t，则QH＝ t．
易证△ABC∽△QHP，则 ＝ ，解得t＝2 ，此时cot∠CAB＝ ．
综上所述，∠CAB的余切值是 或 ．
故答案是： 或 ．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，折叠问题以及矩形的性质．解
题时，一定要分类讨论，以防漏解．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（8分）计算： ．
第15页（共25页）【考点】2F：分数指数幂；6E：零指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三
角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值得到原式＝2（
﹣1）﹣1﹣3× + ，然后进行乘法运算后合并即可．
【解答】解：原式＝2（ ﹣1）﹣1﹣3× +
＝2 ﹣2﹣1﹣ +
＝ ﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在
进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整
数指数幂以及特殊角的三角函数值．
20．（10分）解不等式组： ，并在数轴上把解集表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【专题】16：压轴题．
【分析】分别解两个不等式，求出其解集，在数轴上表示出来，找出公共部分，即求
出了不等式组的解集．
【解答】解：解第一个不等式得x＜1，
解第二个不等式得x≥﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
其解集在数轴上表示为：
【点评】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表
示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数
轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不
第16页（共25页）等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”、“≤”要用实心圆点
表示；“＜”、“＞”要用空心圆点表示．
21．（12分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝
∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
【考点】JA：平行线的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中
可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10 × ＝5 ，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题
目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
22．（12分）张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放
管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每
第17页（共25页）天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划
每天铺设管道多少米？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设原计划每天铺设管道x米，根据需要铺设一段全长为300米的污水排放
管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每
天的工作量比原计划增加20%，结果共用了27天完成了这一任务，根据等量
关系：铺设120米管道的时间+铺设（300﹣120）米管道的时间＝27天，可列方
程求解．
【解答】解：设原计划每天铺设管道x米，
依题意得： ，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设管道10米．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是设出原计划每天铺设管道x米，以天数
做为等量关系列方程求解．
23．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，
∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE＝3EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质；LF：正方形的判定；S9：
相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，利用三角形外角的性质，即可得
∠CBE＝∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰
第18页（共25页）直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形；
（2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE＝
3EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG＝8EF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，
即∠DAE＝∠DCE，
在△AED和△CED中，
，
∴△AED≌△CED（AAS），
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）当AE＝3EF时，FG＝8EF．
证明：设EF＝k，则AE＝3k
∵△AED≌△CED，
∴CE＝AE＝3k，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠G＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠G，
又∵∠CEF＝∠GEC，
∴△CEF∽△GEC，
∴ ，
第19页（共25页）∴ ，
∴EG＝9k，
∴FG＝EG﹣EF＝8k，
∴FG＝8EF．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，正方形的判定与性质、
等腰直角三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合
思想的应用．
24．（12分）如图，抛物线 与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与
抛物线交于另一点B ，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛
物线于点N，
设OP的长度为m．
当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM
的长度；
①
联结CM，BN，当m为何值时，四边形BCMN为平行四边形？
②
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）根据抛物线 过点A（0，1），B ，求出c，b的值，
即可求出抛物线的解析式；
第20页（共25页）（2） 先设直线的解析式是y＝kx+b，根据直线AB过点A（0，1）和B ，求
①
出b，k的值，求出直线AB的解析式，再根据PN⊥x轴，交直线AB于点M，交
抛物线于点N，OP＝m，
得出P（m，0），M（m， m+1），即可求出PM的长度；
根据抛物线的解析式和P点的坐标得出N（m，﹣ m2+ m+1），MN∥BC，再
②
分两种情况讨论，当点P在线段OC上时，当点P在线段OC的延长线上时，求
出MN的值，根据BC＝ ，得出﹣ m2+ m＝ ，求出m得值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵抛物线 与y轴交于点A（0，1），B ，
∴ ，
解得： ，
∴y＝﹣ x2+ x+1；
（2） 设直线的解析式是y＝kx+b，
∵直线① AB过点A（0，1）和B ，
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝ x+1，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，
第21页（共25页）∴P（m，0），M（m， m+1），
∴PM＝ m+1；
根据抛物线的解析式和P点的坐标可得：N（m，﹣ m2+ m+1），MN∥BC，
②∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形，
1、当点P在线段OC上时，MN＝﹣ m2+ m，
又∵BC＝ ，
∴﹣ m2+ m＝ ，
解得m ＝1，m ＝2；
1 2
2、当点P在线段OC的延长线上时，MN＝ m2﹣ m，
∴ m2﹣ m＝ ，
解得：m ＝ （不合题意，舍去），m ＝ （舍）；字母顺序不合适，
1 2
综上所述，当m的值为1或2或 时，四边形BCMN是平行四边形．
【点评】此题考查了二次函数的综合，在解题时要注意解析式的确定，（2）小题
中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
②
25．（12分）已知： O的半径为3，OC⊥弦AB，垂足为D，点E在 O上，∠ECO
＝∠BOC，射线CECE与射线OB相交于点F．设AB＝x，CE＝y
⊙ ⊙
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出函数定义域；
（2）当△OEF为直角三角形时，求AB的长；
（3）如果BF＝1，求EF的长．
第22页（共25页）【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H．在圆O中，根据垂径定理可得
， ，在Rt△ODB中，根据勾股定理可得OD＝
，通过AAS证明△ODB≌△EHO，由全等三角形的性质得到EH＝OD，依此可
得y与x之间的函数解析式；
（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况： 若∠OFE＝90°，证明
△OAB是等腰直角三角形，求得AB的长； 若∠EOF＝90°，证明△OAB是等
①
边三角形，求得AB的长；
②
（3）分两种情况： 当CF＝OF＝OB﹣BF＝2时，可得：△CFO∽△COE，根据相
①
似三角形的性质得到CE＝ ，则EF＝CE﹣CF可求； 当CF＝OF＝
②
OB+BF＝4时，可得：△CFO∽△COE，根据相似三角形的性质得到 CE＝
，则EF＝CF﹣CE可求．
【解答】解：（1）过点O作OH⊥CE，垂足为H．
∵在圆O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB＝x，CE＝y，
∴ ， ，
∵在Rt△ODB中，OD2+BD2＝BO2，OB＝3，
∴OD＝ ，
∵OC＝OE，
∴∠ECO＝∠CEO，
∵∠ECO＝∠BOC，
∴∠CEO＝∠BOC，
又∵∠ODB＝∠OHE＝90°，OE＝OB，
在△ODB与△EHO中，
第23页（共25页），
∴△ODB≌△EHO（AAS），
∴EH＝OD，
∴ ，
∴ ，函数定义域为0＜x＜6；
（2）当△OEF为直角三角形时，存在以下两种情况：
若∠OFE＝90°，则∠COF＝∠OCF＝45°
∵∠ODB＝90°，
①
∴∠ABO＝45°
又∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠ABO＝45°，
∴∠AOB＝90°
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴ ；
若∠EOF＝90°，则∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30°，
∵∠ODB＝90°，
②
∴∠ABO＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3；
（3） 当CF＝OF＝OB﹣BF＝2时，
可得：①△CFO∽△COE，CE＝ ，
则EF＝CE﹣CF＝ ；
当CF＝OF＝OB+BF＝4时，
第24页（共25页）
②可得：△CFO∽△COE，CE＝ ，
则EF＝CF﹣CE＝ ．
【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有：垂径定理，勾股定理，全等三角形的
判定和性质，函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定
和性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难
度．
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日期：2018/12/26 20:26:35；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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