文档内容
2013年上海市虹口区中考数学二模试卷
一、选择题：本大题共6分，每小题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填涂在答案纸的相应位置上]
1．（4分）在下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在下列一元二次π 方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x＝0 B．x2﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x+3＝0
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、三象限 D．第二、三、四象限
4．（4分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量
如表所示：
用电量（度） 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
5．（4分）已知两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8，那么，另一个圆
的半径长为（ ）
A．3 B．13 C．3或13 D．以上都不对
6．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．两腰相等的梯形是等腰梯形
B．对角线相等的梯形是等腰梯形
C．两个底角相等的梯形是等腰梯形
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答案纸的相
应位置
7．（4分）计算：2﹣2＝ ．
第1页（共28页）8．（4分）不等式组 的解集是 ．
9．（4分）用换元法解分式方程 ﹣ +2＝0时，如果设 ＝y，那么原方程
化为关于y的整式方程可以是 ．
10．（4分）方程 的解为 ．
11．（4分）对于双曲线y＝ ，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取
值范围是 ．
12．（4分）将抛物线y＝3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是 ．
13．（4分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，
其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则n＝ ．
14．（4分）为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中的25名学生，测试
了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起
坐的次数在20～25的频率是 ．
15．（4分）若正六边形的边长是1，则它的半径是 ．
16．（4分）在 ▱ABCD中，已知 ＝ ， ＝ ，则用向量 、 表示向量 为
．
17．（4分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转 度，并将各边长变为原来的n倍
θ
得△AB′C′，即如图 ，∠BAB′＝ ， ＝ ＝ ＝n，我们将这
① θ
种变换记为[ ，n]．如图 ，在△DEF中，∠DFE＝90°，将△DEF绕点D旋转，
做变换[60°，n]得△DE′F′，如果点E、F、F′恰好在同一直线上，那么n＝
θ ②
第2页（共28页）．
18．（4分）如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，点F
是CD边上的一点，将纸片沿BF折叠，点C落在E点，使直线BE经过点D，若
BF＝CF＝8，则AD的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（11分）先化简，再求值： ，其中x＝ ．
20．（11分）解方程组： ．
21．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin∠ABC＝ ，圆O经过点B、C，圆
心O在△ABC的内部，且到点A的距离为2，求圆O的半径．
22．（11分）某超市进了一批成本为6元/个 的文具．调查后发现：这种文具每周
的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的关系满足一次函数关系，如表所示
销售价x（元/个） 8 9.5 11 14
销售量y（个） 220 205 190 160
第3页（共28页）（1）求y与x的函数关系式（不必写出定义域）；
（2）已知该超市这种文具每周的进货量不少于60个，若该超市某周销售这种文
具（不考虑其他原因）的利润为800元，求该周每个文具的销售量．
23．（11分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝
AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四
边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
24．（11分）已知：直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一
点，AC＝1，且OC＜OA．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B、C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（﹣3，0），点P为线段AB上的一点，当锐角∠PDO的正切值是
时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E在x轴下方，当△ADE的面积等与四边
形APCE的面积时，求点E的坐标．
第4页（共28页）25．（12分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，
DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动
点，且∠PDQ＝90°
（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
第5页（共28页）2013 年上海市虹口区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共6分，每小题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填涂在答案纸的相应位置上]
1．（4分）在下列各数中，属于无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】26：无理数． π
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【分析】根据无理数的三种形式： 开方开不尽的数， 无限不循环小数， 含有
的数，结合选项进行判断即可．
① ② ③
【解答】解：A、是有理数，故本选项错误；
π
B、 是无理数，故本选项正确；
C、 ＝2，是有理数，故本选项错误；
π
D、 ＝3，是有理数，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义，属于基础题，掌握无理数的三种形式是解答本
题的关键．
2．（4分）在下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x＝0 B．x2﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2x+3＝0
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】找出各选项中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的
值小于0时满足题意．
【解答】解：A、这里a＝1，b＝﹣1，c＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
B、这里a＝1，b＝0，c＝﹣1，
∵△＝b2﹣4ac＝4＞0，
第6页（共28页）∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
C、这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∵△＝b2﹣4ac＝16＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，不合题意；
D、这里a＝1，b＝﹣2，c＝3，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣8＜0，
∴方程没有实数根，符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实
数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于
0，方程没有实数根．
3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、三象限 D．第二、三、四象限
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【分析】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）中的k、b的符号来确定该函数图象所经过
的象限．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+2中的k＝﹣1＜0，b＝2＞0；
该直线经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴，
即直线y＝﹣x+2经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本
题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，
直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴
正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
4．（4分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量
如表所示：
用电量（度） 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
第7页（共28页）A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的定义就可以解决．
【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，160，那么由
中位数的定义可知，这组数据的中位数是（160+160）÷2＝160．
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最
多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那
个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
5．（4分）已知两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8，那么，另一个圆
的半径长为（ ）
A．3 B．13 C．3或13 D．以上都不对
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．
外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；
内含，则P＜R﹣r．
（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
【解答】解：∵两圆内切，一个圆的半径是8，圆心距是5，
∴另一个圆的半径＝8﹣5＝3；
或另一个圆的半径＝8+5＝13．
故选：C．
【点评】本题考查了根据两圆位置关系来求圆的半径的方法．注意圆的半径是3，
要分大圆和小圆两种情况讨论．
6．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．两腰相等的梯形是等腰梯形
B．对角线相等的梯形是等腰梯形
C．两个底角相等的梯形是等腰梯形
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形
【考点】LK：等腰梯形的判定；O1：命题与定理．
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第8页（共28页）【分析】根据梯形的判定方法即可得到正确的答案．
【解答】解：A、利用梯形的定义可以判定两腰相等的梯形是等腰梯形，故本答案是
真命题；
B、根据梯形的判定定理可知对角线相等的梯形是等腰梯形，故本答案是真命题；
C、根据等腰梯形的判定定理可知同一底上的两个底角相等的梯形的等腰梯形，
故本答案是假命题；
D、平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形是真命题．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰梯形的判定，解题的关键是熟知等腰梯形的判定定理．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答案纸的相
应位置
7．（4分）计算：2﹣2＝ ．
【考点】6F：负整数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p＝ （a≠0，p为正整数）
【解答】解：2﹣2＝ ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，
易于掌握．
8．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 2 ＜ x ＜ 5 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
由 得，x＞﹣2，
第9页（共28页）
①由 得，x＜5，
所以，不等式组的解集是﹣2＜x＜5．
②
故答案为：﹣2＜x＜5．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀
求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小
小找不到（无解）．
9．（4分）用换元法解分式方程 ﹣ +2＝0时，如果设 ＝y，那么原方程
化为关于y的整式方程可以是 y 2 + 2 y ﹣ 3 ＝ 0 ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】将分式方程中的 换为y， 换为 ，去分母即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：y﹣ +2＝0，
去分母得：y2+2y﹣3＝0．
故答案为：y2+2y﹣3＝0．
【点评】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较
简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，
注意求出方程解后要验根．
10．（4分）方程 的解为 3 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．
【解答】解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
检验：当x ＝3时，方程的左边＝右边，所以x ＝3为原方程的解，
1 1
当x ＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x ＝﹣1不是原方程的解．
2 2
故答案为3．
【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要
把x的值代入原方程进行检验．
第10页（共28页）11．（4分）对于双曲线y＝ ，若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取
值范围是 k ＜ 1 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】根据反比例函数的性质可得k﹣1＜0，再解不等式即可．
【解答】解：∵双曲线y＝ ，若在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴k﹣1＜0，
解得：k＜1，
故答案为：k＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝ ，当k＞0时，
在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象
限内，函数值y随自变量x增大而增大．
12．（4分）将抛物线y＝3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是 y ＝
3 x 2 +2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】11：计算题．
【分析】抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），向上平移2个单位后，得到的抛物线
顶点坐标为（0，2），利用顶点式求出新抛物线解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2的顶点坐标为（0，0），
∴向上移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，2），
∴新抛物线解析式为y＝3x2+2．
故本题答案为：y＝3x2+2．
【点评】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，
求出新抛物线解析式．
13．（4分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，
其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则n＝ 4 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】11：计算题；34：方程思想．
第11页（共28页）【分析】根据白球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可解答．
【解答】解：由题意知： ＝ ，解得n＝4．
故答案为4．
【点评】此题考查了概率公式的应用．解此题的关键是根据概率公式列出关于n
的方程，再利用方程思想求解．
14．（4分）为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中的25名学生，测试
了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起
坐的次数在20～25的频率是 0. 2 ．
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】首先利用总人数25减去其它各组的人数即可求得仰卧起坐的次数在20
～25的人数，然后利用频率的计算公式即可求解．
【解答】解：仰卧起坐的次数在20～25的人数是：25﹣3﹣12﹣5＝5（人），
则仰卧起坐的次数在20～25的频率是： ＝0.2．
故答案是：0.2．
【点评】本题考查了频率的计算公式：频率＝频数÷总数，正确理解公式是关键．
15．（4分）若正六边形的边长是1，则它的半径是 1 ．
【考点】MM：正多边形和圆．
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第12页（共28页）【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠BOC的度数，判断出
△BOC为等边三角形即可求出答案．
【解答】解：如图所示，连接OB、OC；
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC＝ ＝60°，
∵OB＝OC＝1，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查了正多边形与圆的知识，解答此题的关键是根据题意画出图形，
作出辅助线；由正六边形的性质判断出△BOC的形状是解答此题的关键．
16．（4分）在 ▱ABCD中，已知 ＝ ， ＝ ，则用向量 、 表示向量 为 +
．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平行四边形的对角线互相平分的性质，可得出 ＝ ＝ ， ＝
＝ ，从而可表示出向量 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ．
故答案为： + ．
第13页（共28页）【点评】本题考查了平面向量的知识，注意掌握向量的加减，平行四边形对角线互
相平分的性质．
17．（4分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转 度，并将各边长变为原来的n倍
θ
得△AB′C′，即如图 ，∠BAB′＝ ， ＝ ＝ ＝n，我们将这
① θ
种变换记为[ ，n]．如图 ，在△DEF中，∠DFE＝90°，将△DEF绕点D旋转，
做变换[60°，n]得△DE′F′，如果点E、F、F′恰好在同一直线上，那么n＝
θ ②
2 ．
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】由题意可得∠DFF′＝90°，然后由 的度数，又由含30°角的直角三角形
的性质，即可求得n的值．
θ
【解答】解：∵∠DFE＝90°，将△DEF绕点D旋转，做变换[60°，n]得△DE′F′，
∴∠DFF′＝90°， ＝∠FDF′＝60°，
在 Rt△FDF′中，∠DFF'＝90°，∠FDF′＝60°，
θ
∴∠DF′F＝30°，
∴n＝ ＝2；
故答案为：2．
【点评】此题考查了直角三角形的性质、旋转的性质和直角三角形中30°所对边与
斜边的关系等知识，注意数形结合思想思想的应用是解题关键．
18．（4分）如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠C＝30°，点F
第14页（共28页）是CD边上的一点，将纸片沿BF折叠，点C落在E点，使直线BE经过点D，若
BF＝CF＝8，则AD的长为 2 ．
【考点】LI：直角梯形；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】利用等边对等角可以得到∠FBC＝∠C＝30°，再利用折叠的性质可以得
到∠EBF＝∠CBF＝30°，从而可以求得∠BDF＝90°．即可求得线段BD的长，
然后在直角三角形ABD中求得AD即可．
【解答】解：如图：∵BF＝CF＝8，
∴∠FBC＝∠C＝30°，
∵折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，
∴∠EBF＝∠CBF＝30°，
∴∠EBC＝60°，
∴∠BDF＝90°，
∵BF＝CF＝8，
∴BD＝BF•sin60°＝4 ，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC＝60°，
∵∠A＝90°，
∴AD＝BD•cos60°＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了梯形的性质、三角函数、等腰三角形的性质以及折叠的性质．
此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用
第15页（共28页）三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（11分）先化简，再求值： ，其中x＝ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】现将括号内的部分通分，再将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化
为乘法，约分后再代入求值．
【解答】解：原式＝ ÷（ ﹣ ）
＝ ÷
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝ +2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及通分是解题的关键．
20．（11分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】先把 转化成y＝3﹣2x，再把它代入得到一个关于x的二元一次方程，求
出x的值，最后把求得结果代入一个较简单的方程中求出y的值即可．
①
【解答】解： ，
由 得：y＝3﹣2x
把y＝3﹣2x代入 得：x2﹣2x+（3﹣2x）2＝1，
① ③
5x2﹣14x+8＝0，
②
（5x﹣4）（x﹣2）＝0，
第16页（共28页）x ＝ ，x ＝2，
1 2
把x ＝ ，代入 得：y ＝ ，
1 1
把x ＝2代入 ③得：y ＝﹣1，
2 2
③
则原方程组的解是： ， ．
【点评】此题考查了高次方程，解题的关键是用代入法消去一个未知数，得到一个
二元一次方程，再进行求解．
21．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin∠ABC＝ ，圆O经过点B、C，圆
心O在△ABC的内部，且到点A的距离为2，求圆O的半径．
【考点】M2：垂径定理；T7：解直角三角形．
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【分析】过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，由于AB＝AC，所以BD＝CD，故AD
过圆心O，再根据sin∠ABC＝ 求出AD的长，根据勾股定理得出BD的长，在
Rt△OBD中根据勾股定理求出OB的长即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴AD过圆心O，
∵sin∠ABC＝ ，即 ＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝6，
∴OD＝AD﹣OA＝6﹣2＝4，
第17页（共28页）∴BD＝ ＝ ＝8，
在Rt△OBD中，
∵OD＝4，BD＝8，
∴OB＝ ＝ ＝4 ，即 O的半径为4 ．
⊙
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答
此题的关键
22．（11分）某超市进了一批成本为6元/个 的文具．调查后发现：这种文具每周
的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的关系满足一次函数关系，如表所示
销售价x（元/个） 8 9.5 11 14
销售量y（个） 220 205 190 160
（1）求y与x的函数关系式（不必写出定义域）；
（2）已知该超市这种文具每周的进货量不少于60个，若该超市某周销售这种文
具（不考虑其他原因）的利润为800元，求该周每个文具的销售量．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，通过统计表的数据建立方程
组求出其解即可；
（2）设销售单价为a元，则利润为（a﹣6）元，销售量为（﹣10a+300）个，由总利润
为800元建立方程求出其解就可以求出销量．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
，
解得： ，
故y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+300；
第18页（共28页）（2）设销售单价为a元，则利润为（a﹣6）元，销售量为（﹣10a+300）个，由题意，
得
（a﹣6）（﹣10a+300）＝800，
解得：a ＝10，a ＝26．
1 2
当a＝10时，
销售量为：200，
当a＝26时，
销售量为：40，
∵a≥60，
∴销售量为：200．
【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，列一元一次方
程解实际问题的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
23．（11分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝
AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM，FM，判断四
边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L9：菱形的判定；LE：正方形的性质．
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【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证
△ABE≌△ADF；
（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO＝∠FCO＝45°，BC＝CD；联立（1）
的结论，可证得EC＝CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）
第19页（共28页）垂直平分EF；已知OA＝OM，则EF、AM互相平分，再根据一组邻边相等的平
行四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵ ，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）
∴BE＝DF；
（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA＝∠DCA＝45°（正方形的对角线平分一组对角），
BC＝DC（正方形四条边相等），
∵BE＝DF（已证），
∴BC﹣BE＝DC﹣DF（等式的性质），
即CE＝CF，
在△COE和△COF中，
，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE＝OF，又OM＝OA，
∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵AE＝AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
【点评】本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线
分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合
运用这些性质进行推理是解此题的关键．
24．（11分）已知：直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，点C为x轴上一
点，AC＝1，且OC＜OA．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B、C．
第20页（共28页）（1）求该抛物线的表达式；
（2）点D的坐标为（﹣3，0），点P为线段AB上的一点，当锐角∠PDO的正切值是
时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E在x轴下方，当△ADE的面积等与四边
形APCE的面积时，求点E的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，再求出点C的坐标，然后利用待
定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据点D的坐标求出OD的长，再根据∠PDO的正切值求出PD与y轴的交
点F的坐标，然后利用待定系数法求出直线 PD的解析式，再与直线 y＝﹣
2x+4联立求解即可得到点P的坐标；
（3）设点E到x轴的距离为h，根据点A、C、D的坐标求出AC、AD的长，然后根据
三角形的面积公式列式计算求出h，从而得到点E的纵坐标，再代入抛物线解
析式求出点E的横坐标，即可得解．
【解答】解：（1）令y＝0，则﹣2x+4＝0，
解得x＝2，
令x＝0，则y＝4，
所以，点A（2，0），B（0，4），
∵AC＝1，且OC＜OA，
∴点C的坐标为（1，0），
第21页（共28页）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B、C，
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的表达式为y＝2x2﹣6x+4；
（2）∵D的坐标为（﹣3，0），
∴OD＝3，
设PD与y轴的交点为F，
∵∠PDO的正切值是 ，
∴OF＝ •OD＝ ×3＝ ，
∴点F的坐标为（0， ），
设直线PD的解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b为常数），
则 ，
解得 ，
所以，直线PD的解析式为y＝ x+ ，
联立 ，
解得 ，
∴点P的坐标为（1，2）；
第22页（共28页）（3）设点E到x轴的距离为h，
∵A（2，0），C（1，0），D（﹣3，0），
∴AC＝1，AD＝2﹣（﹣3）＝5，
∵△ADE的面积等于四边形APCE的面积，
∴ ×5h＝ ×1h+ ×1×2，
解得h＝ ，
∵点E在x轴的下方，
∴点E的纵坐标为﹣ ，
∴2x2﹣6x+4＝﹣ ，
整理得，4x2﹣12x+9＝0，
解得x＝ ，
∴点E的坐标为（ ，﹣ ）．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待
定系数法求一次函数解析式，联立两直线解析式求交点坐标的方法，三角形的
面积，综合题，但难度不大，作出图形更形象直观．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，
DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动
点，且∠PDQ＝90°
第23页（共28页）（1）求ED、EC的长；
（2）若BP＝2，求CQ的长；
（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）由勾股定理求得BC＝10．通过“两角法”证得△CDE∽△CAB，则
对应边成比例DE：AB＝CE：CB＝CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；
（2）如图2，当P点在AB上时，由∠PDQ＝90°就可以得出∠2＝∠4，就可以证明
△PBD∽△QED，就可以EQ的值，从而求得CQ的值；如图2﹣1，当P点在
AB的延长线上时，证明△PBD∽△QED，由相似三角形的性质就可以求出结
论；
（3）如图3，4，5由条件可以求出△BPD∽△EQD，就有 ．设BP＝
x，则EQ＝ x，CQ＝ ﹣ x．由三角函数值可以得出△PDF∽△CDQ．由
△PDF为等腰三角形就可以得出△CDQ为等腰三角形，根据等腰三角形的性
质，分三种情况讨论就可以求出结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴根据勾股定理得到，BC＝ ＝10
∴CD＝ BC＝5．
∵DE⊥BC．
∴∠A＝∠CDE＝90°∠C＝∠C
∴△CDE∽△CAB
∴DE：AB＝CE：CB＝CD：CA，
即DE：6＝CE：10＝5：8
第24页（共28页）∴DE＝ ，CE＝ ；
（2）如图2，∵△CDE∽△CAB，
∴∠B＝∠DEC．
∵∠PDQ＝90°
∴∠1+∠4＝90°．
∵∠1+∠2＝90°
∴∠2＝∠4，
∴△PBD∽△QED，
∴ ，
∴ ，
∴EQ＝ ，
∴CQ＝CE﹣EQ＝ ﹣ ＝ ．
如图2﹣1，∵∠B＝DEC，
∴∠PBD＝∠QED．
∵∠PDQ＝90°
∴∠1+∠2＝90°．
∵∠3+∠2＝90°
∴∠1＝∠3，
∴△PBD∽△QED
∴ ，
∴ ，
∴EQ＝ ，
∴CQ＝ ＝
第25页（共28页）故CQ＝ 或 ；
（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，
∴点P在边AB上
∵△BPD∽△EQD
∴ ．
若设BP＝x，则EQ＝ x，CQ＝ ﹣ x．
∵cot∠QPD＝ ，cot∠c＝ ，
∴∠QPD＝∠C
∵∠PDE＝∠CDQ，
∴△PDF∽△CDQ．
∵△PDF为等腰三角形，
∴△CDQ为等腰三角形．
当CQ＝CD时，可得： ﹣ x＝5，解得：x＝ ．
①当QC＝QD时，过点Q作QM⊥CB于M，
②∴CM＝ CD＝ ．
∵cos∠C＝ ，
∴ ，
∴CQ＝ ．
∴ ﹣ x＝
解得：x＝ …（1分）
当DC＝DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，
③
第26页（共28页）∴CQ＝2CN．
∵cos∠C＝ ＝
∴ ，
∴CN＝4，
∴CQ＝8，
∴ ﹣ x＝8
解得：x＝﹣ （舍去）．
∴综上所述，BP＝ 或 ．
第27页（共28页）【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判
定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运
用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，
证明三角形相似是关键．
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日期：2018/12/26 20:25:25；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第28页（共28页）
