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2013年上海市金山区中考数学一模试卷
一．填空题：（每小题3分，共36分）
1．（3分）3的倒数是 ．
2．（3分） 的算术平方根是 ．
3．（3分）40300保留两位有效数字为 ．
4．（3分）某次学生体检中，6位同学的身高分别为：1.68，1.70，1.73，1.67，1.72，
1.72，（米）则这组数的中位数是 米．
5．（3分）某商品进价50元，销售价60元，则利润率为 ．
6．（3分）如图，BC为 O的直径，A为圆上的一点，O为圆心，∠AOC＝100°，则
∠BAO＝ °．
⊙
7．（3分）一纸扇柄长30cm，展开两柄夹角为120°，则其面积为 cm2．
8．（3分）2x+y＝5的正整数解是 ．
9．（3分）若点P（a，﹣b）在第二象限内，则点（﹣a，﹣b）在第 象限．
10．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 ．
11．（3分）同时抛掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币正面都向上的概率是 ．
12．（3分）观察下列等式，归纳规律并填空：1＝（﹣1）2×1，1﹣3＝（﹣1）3×2，1﹣
3+5＝（﹣1）4×3，…，则1﹣3+5﹣7+…+97﹣99＝ ．
二、选择题：（每小题4分，共24分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案
是正确的，请把正确答案的代号写在题后的括号内，答对的得4分，答错、不答
或答案超过一个的一律得0分.
13．（4分）当x＝﹣3时，下列式子有意义的是（ ）
A． B． C． D．
14．（4分）在同一时刻的阳光下，小华的影子比小东的影子长，那么在同一路灯
下，他们的影子为（ ）
A．小华比小东长 B．小华比小东短
第1页（共24页）C．小华与小东一样长 D．无法判断谁的影子长
15．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（
）
A．y＞0 B．y＜0 C．y＞﹣2 D．﹣2＜y＜0
16．（4分）如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，
直至注满水槽，则水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是
下列图象中的（ ）
A． B．
C． D．
17．（4分）下列四个命题中，假命题的是（ ）
A．两个角相等的三角形是等腰三角形
B．一组对边平行且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．四条边相等且有一角为直角的四边形是正方形
18．（4分）下列是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何中，
小正方体的个数最少是（ ）
第2页（共24页）A．5 B．6 C．7 D．8
三.作图题：
19．（6分）木工师傅要在如图的三角形木块平均分为4块面积相等的木楔 （即4
小块三角形）请你帮他作出分法（不写作法，保留作图痕迹）
四.解答题：
20．（8分）计算：2006× ．
21．（8分）先化简再求值： ，其中x＝ ．（结果精确到0.01）
22．（8分）已知平行四边形ABCD，AE与BC延长线相交于E、与CD相交于F，
求证：△AFD∽△EAB．
23．（8分）如图是某班一次数学考试的等级频数分布直方图，根据图中提供的信
息．
（1）求出该班等级中的众数．
（2）用扇形统计图表示该考试情况．
第3页（共24页）24．（8分）如图是某汔车行驶的路程S（km）与时间（t min）的函数关系图，观察图
中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前12min内平均速度是多少？
（2）汽车在中途停了多长时间？
（3）当18≤t≤32时，求S与t的函数关系式．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在
AC上移动．
（1）当P移动到什么位置时，BP＝AB．
（2）求∠C的取值范围．
26．（12分）某商场计划进A、B两种不同型号等离子平板电视机50台，该公司所
筹备资金不少于54万元，但不超过54.4万元，且所筹备资金全用于购买这两
种电视机，两种电视机型号的成本和售价如下表：
型号 A B
成本（万元/台） 1 1.2
售价（万元/台） 1.2 1.5
（1）该公司两种型号电视机有哪几种购买方案？
（2）该公司如何购买获得利润最大？
（3）根据市场调查，A型号电视机售价不会改变，B型电视机售价将会降价a万元
（a＞0），且所购电视机全部售出，该公司应如何购买获得利润最大？
27．（12分）如图，已知一钝角△ABC中，BC＝2 ，∠C＝30°，BC边上的高为
2．试求：
第4页（共24页）（1）AB的长．
（2）∠BAC的度数．
（3）△ABC内切圆的半径．（结果精确到0.01）
28．（12分）已知抛物线图象经过点A（3，0），顶点坐标（0，3）．
（1）写出抛物线的解析式．
（2）当y≤﹣1时，x的取值范围．
（3）在顶点与x轴的两交点的图象中，是否存在着一个以原点为圆心，半径为3的
半圆在此图象内，请结合图象给于说明．（草图）
五.附加题（共10分）
29．（5分）解方程：2x2﹣6x＝0．
30．（5分）已知 O 半径为5cm， O 半径为3cm，求两圆相切时的圆心距．
1 2
⊙ ⊙
第5页（共24页）2013 年上海市金山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题：（每小题3分，共36分）
1．（3分）3的倒数是 ．
【考点】17：倒数．
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【分析】根据倒数的定义可知．
【解答】解：3的倒数是 ．
故答案为： ．
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（3分） 的算术平方根是 2 ．
【考点】22：算术平方根．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出 的值，然后再利用算术平方根的定义
即可求出结果．
【解答】解：∵ ＝4，
∴ 的算术平方根是 ＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算 ＝4．
3．（3分）40300保留两位有效数字为 4.0×1 0 4 ．
【考点】1L：科学记数法与有效数字．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值是易错点，由于40300有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有
效数字．
第6页（共24页）用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：40300＝4.03×104≈4.0×104．
故答案为：4.0×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数
字的确定方法．
4．（3分）某次学生体检中，6位同学的身高分别为：1.68，1.70，1.73，1.67，1.72，
1.72，（米）则这组数的中位数是 1.7 1 米．
【考点】W4：中位数．
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【分析】把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列为：1.67，1.68，1.70，1.72，1.72，1.73，最中间
两个数的平均数是（1.70+1.72）÷2＝1.71，
则这组数据的中位数是1.71．
故答案为1.71．
【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排
列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
5．（3分）某商品进价50元，销售价60元，则利润率为 20% ．
【考点】1G：有理数的混合运算．
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【分析】销售价减去进价就是利润，用利润除以进价就是利润率，据此即可求解．
【解答】解：利润率为： ×100%＝20%．
故答案是：20%．
【点评】本题考查了销售率的定义，正确理解定义是关键．
6．（3分）如图，BC为 O的直径，A为圆上的一点，O为圆心，∠AOC＝100°，则
∠BAO＝ 5 0 °．
⊙
【考点】M5：圆周角定理．
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【专题】2B：探究型．
【分析】连接AC，由圆周角定理可得∠BAC＝90°，再由∠AOC＝100°可求出
第7页（共24页）∠OAC的度数，进而可得出结论．
【解答】解：连接AC，
∵BC为 O的直径，
∴∠BAC＝90°，
⊙
∵∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝ ＝ ＝40°，
∴∠BAO＝∠BAC﹣∠OAC＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解
答此题的关键．
7．（3分）一纸扇柄长30cm，展开两柄夹角为120°，则其面积为 30 0 cm2．
【考点】MO：扇形面积的计算．
π
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【分析】根据扇形的面积公式S＝ 进行计算．
【解答】解：∵纸扇柄长30cm，展开两柄夹角为120°，
∴n＝120，R＝30cm．
∴S＝ ＝ ＝300 （cm）2．
故答案是：300 ． π
【点评】本题考查了扇形的面积．解答该题时，需要牢记扇形面积公式．
π
8．（3分）2x+y＝5的正整数解是 ， ．
【考点】93：解二元一次方程．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据方程2x+y＝0有正整数解可分别令x＝1，x＝2求出y的对应值即可．
【解答】解：∵当x＝1时，2×1+y＝5，解得y＝3；
当x＝2时，2×2+y＝5，解得y＝1，
第8页（共24页）∴方程2x+y＝0有正整数解为： ， ．
当x取大于2的整数，求出的y是负数，
即正整数解只有两个，
故答案为： ， ．
【点评】本题考查的是二元一次方程，由于二元一次方程是不定方程，在解答此类
题目时要先设出一个未知数的值，然后求出另一个数的对应值．
9．（3分）若点P（a，﹣b）在第二象限内，则点（﹣a，﹣b）在第 一 象限．
【考点】D1：点的坐标．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据在第二象限，点的横坐标为负数，纵坐标为正数得到a＜0，﹣b＞0，
则﹣a＞0，根据第一象限的点得坐标特点即可判断点（﹣a，﹣b）在第一象限．
【解答】解：∵点P（a，﹣b）在第二象限内，
∴a＜0，﹣b＞0，
∴﹣a＞0，
∴点（﹣a，﹣b）在第一象限．
故答案为一．
【点评】本题考查了点的坐标：平面直角坐标系中的点的坐标与实数对一一对应；
在第一象限，点得横纵坐标都为正数；在第二象限，点的横坐标为负数，纵坐标
为正数．
10．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 1 2 ．
【考点】K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．
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【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给
出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行
讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故答案为：12．
第9页（共24页）【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考
查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长
相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍
去．
11．（3分）同时抛掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币正面都向上的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根
据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：由树状图可知共有2×2＝4种可能，两枚硬币正面都向上的有1种，所
以概率是 ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点
为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）观察下列等式，归纳规律并填空：1＝（﹣1）2×1，1﹣3＝（﹣1）3×2，1﹣
3+5＝（﹣1）4×3，…，则1﹣3+5﹣7+…+97﹣99＝ （﹣ 1 ） 5 1 ×5 0 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类．
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【分析】根据已知得出1﹣3+5﹣7+…+97﹣99＝（﹣1）次数是数字个数加1×数字
个数，进而求出即可．
【解答】解：∵1＝（﹣1）2×1，1﹣3＝（﹣1）3×2，1﹣3+5＝（﹣1）4×3，…，
则1﹣3+5﹣7+…+97﹣99＝（﹣1）51×50．
故答案为：（﹣1）51×50．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不
变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
二、选择题：（每小题4分，共24分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案
是正确的，请把正确答案的代号写在题后的括号内，答对的得4分，答错、不答
或答案超过一个的一律得0分.
第10页（共24页）13．（4分）当x＝﹣3时，下列式子有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】62：分式有意义的条件；72：二次根式有意义的条件．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，
将x＝﹣3代入可得出答案．
【解答】解：A、当x＝﹣3时，分母为0，故本选项错误；
B、当x＝﹣3时， 有意义，故本选线正确；
C、当x＝﹣3时， ＝ ，没有意义，故本选项错误；
D、当x＝﹣3或≠﹣3时， 都有意义，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，比较基础，解答本题关键是掌握
二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0．
14．（4分）在同一时刻的阳光下，小华的影子比小东的影子长，那么在同一路灯
下，他们的影子为（ ）
A．小华比小东长 B．小华比小东短
C．小华与小东一样长 D．无法判断谁的影子长
【考点】U5：平行投影．
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【分析】在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
【解答】解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长．
故选：D．
【点评】本题考查了平行投影和中心投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同
一时刻，不同物体的物高和影长成比例．中心投影的特点是： 等高的物体垂
直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体
①
它的影子长． 等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影
子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短．
②
15．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（
）
第11页（共24页）A．y＞0 B．y＜0 C．y＞﹣2 D．﹣2＜y＜0
【考点】F3：一次函数的图象．
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【专题】31：数形结合．
【分析】通过观察图象得到x＜0时，图象在y轴的左边，即可得到对应的y的取值
范围．
【解答】解：当x＜0时，图象在y轴的左边，
所以对应的y的取值范围为：y＞﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数的图象是一条直线，只要过两个确
定的点的直线就可得到一次函数图象．也考查了数形结合的思想的运用．
16．（4分）如图，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，
直至注满水槽，则水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是
下列图象中的（ ）
A． B．
C． D．
【考点】E6：函数的图象．
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第12页（共24页）【专题】16：压轴题．
【分析】注意注水的位置是水槽底部的烧杯，而高度h表示水槽中水面上升高度；
按不同的时间段，判断h的变化．
【解答】解：由于先往烧杯里注水，所以水槽中水的高度在前一段时间内为0，可
排除A、C；
那么只有从B和D里面进行选择．
当淹过烧杯后，空间变大，那么水的高度将增长缓慢，
表现在函数图象上为先陡，后缓，排除B．
故选：D．
【点评】本题需注意的知识点为：高度增加的先快后慢，函数图象的坡度将先陡后
缓．
17．（4分）下列四个命题中，假命题的是（ ）
A．两个角相等的三角形是等腰三角形
B．一组对边平行且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．四条边相等且有一角为直角的四边形是正方形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据等腰三角形、矩形、菱形、正方形的判定分别对每一项进行分析即可．
【解答】解：A、两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题是假命题；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D、四条边相等且有一角为直角的四边形是正方形，是真命题；
故选：B．
【点评】此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
18．（4分）下列是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图，在这个几何中，
小正方体的个数最少是（ ）
第13页（共24页）A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】U3：由三视图判断几何体．
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【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的
图形即可求出答案．
【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图，
底层有4个正方体，
第二层最少有2个正方体，
所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数最少是6．
故选：B．
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对
空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左
视图拆违章”就更容易得到答案．
三.作图题：
19．（6分）木工师傅要在如图的三角形木块平均分为4块面积相等的木楔 （即4
小块三角形）请你帮他作出分法（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】N4：作图—应用与设计作图．
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【分析】根据等底等高的性质，可把BC四等分．根据中位线定理，可作三角形的三
条中位线．
【解答】解：如图所示：答案不唯一．
【点评】此题主要考查了面积计算中等底等高的知识点．利用中线的性质得出是
解题关键．
四.解答题：
20．（8分）计算：2006× ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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第14页（共24页）【分析】分别进行零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算，然后按照实数的运算
法则计算即可．
【解答】解：原式＝2006×1+2÷2＝2007．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算，
比较简单．
21．（8分）先化简再求值： ，其中x＝ ．（结果精确到0.01）
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】先用分式的运算法则对代数式进行化简，然后将x的值代入求出代数式的
值．
【解答】解：
＝ •
＝3x+6，
把x＝ 代入，可得原式＝3 +6≈10.24．
【点评】考查了分式的化简求值，先用分式的运算法则对代数式化简，化简后再把
x的值代入，要注意精确的位数．
22．（8分）已知平行四边形ABCD，AE与BC延长线相交于E、与CD相交于F，
求证：△AFD∽△EAB．
【考点】L5：平行四边形的性质；S8：相似三角形的判定．
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【分析】先根据平行四边形的性质得出AD∥BE，AB∥CD，再根据平行线的性质
得出∠DAE＝∠AEB，∠DCE＝∠B，根据相似三角形的判定定理可知
△AFD∽△EAB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，AB∥CD，
第15页（共24页）∴∠DAE＝∠AEB，∠DCE＝∠B，
∴△AFD∽△EAB．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，属较简单
题目．
23．（8分）如图是某班一次数学考试的等级频数分布直方图，根据图中提供的信
息．
（1）求出该班等级中的众数．
（2）用扇形统计图表示该考试情况．
【考点】V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图；W5：众数．
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【分析】（1）根据众数的定义找出出现次数最多的等级即可，
（2）先根据直方图，分别求出各等级的人数所占的百分比，再画出扇形统计图即
可．
【解答】解：（1）∵该班等级中B等级的人数是22人，人数最多，
∴该班等级中的众数是B；
（2）根据直方图可得：
该班A等级的百分比是： ×100%＝28%；
B等级的百分比是： ×100%＝44%；
C等级的百分比是： ×100%＝20%；
D等级的百分比是 ×100%＝8%；
画图如下：
第16页（共24页）【点评】此题考查了频数分布直方图和扇形统计图、众数，关键是根据统计图求出
各等级的人数所占的百分比，要能从统计图中获得有用的信息．
24．（8分）如图是某汔车行驶的路程S（km）与时间（t min）的函数关系图，观察图
中所提供的信息，解答下列问题：
（1）汽车在前12min内平均速度是多少？
（2）汽车在中途停了多长时间？
（3）当18≤t≤32时，求S与t的函数关系式．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）由题意，根据速度＝路程÷时间就可以得出结论；
（2）根据函数图象可以得出汽车在中途的停顿时间；
（3）根据待定系数法直接求出S与t的函数关系式．
【解答】解：（1）由图象得：10÷12＝ km/min；
（2）由图象得：汽车在中途停了6分钟；
（3）设18≤t≤32时，求S与t的函数关系式为y＝kx+b，由图象，得
，
解得： ，
第17页（共24页）故S与t的函数关系式为y＝ x﹣17（18≤t≤32）．
【点评】本题考查了行程问题中的路程＝速度×时间的运用，待定系数法求一次函
数的解析式的运用，解答时仔细识别函数图象是解答本题的关键．
25．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在
AC上移动．
（1）当P移动到什么位置时，BP＝AB．
（2）求∠C的取值范围．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．
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【分析】（1）先判断出点P移动的位置为DC的中点．根据直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半可得DP＝PC＝BP，根据等边对等角求出∠C＝∠PBC，再
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠APB＝
2∠C，然后求出∠A＝∠APB，再根据等角对等边求解即可；
（2）根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠BDC＞∠A，
再根据直角三角形两锐角互余列出不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵BD⊥BC，
∴△DBC是直角三角形，
当P移动到DC的中点时，DP＝PC＝BP，
∴∠C＝∠PBC，∠APB＝∠C+∠PBC＝2∠C，
又∵∠A＝2∠C，
∴∠A＝∠APB，
∴△ABP是等腰三角形，
∴BP＝AB；
（2）根据三角形的外角性质，在△ABD中，∠BDC＞∠A，
∵∠BDC+∠C＝90°，
∴∠A+∠C＜90°，
第18页（共24页）即2∠C+∠C＜90°，
解得0°＜∠C＜30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，
是基础题，熟记性质是解题的关键．
26．（12分）某商场计划进A、B两种不同型号等离子平板电视机50台，该公司所
筹备资金不少于54万元，但不超过54.4万元，且所筹备资金全用于购买这两
种电视机，两种电视机型号的成本和售价如下表：
型号 A B
成本（万元/台） 1 1.2
售价（万元/台） 1.2 1.5
（1）该公司两种型号电视机有哪几种购买方案？
（2）该公司如何购买获得利润最大？
（3）根据市场调查，A型号电视机售价不会改变，B型电视机售价将会降价a万元
（a＞0），且所购电视机全部售出，该公司应如何购买获得利润最大？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设A型号电视机购买x台，依题意得即可得不等式组：54≤x+1.2（50
﹣x）≤54.4，解此不等式组即可求得答案；
（2）首先设商场购买电视机获得利润为W万元，根据题意，结合表格，即可得一
次函数W＝（1.2﹣1）x+（1.5﹣1.2）（50﹣x），然后根据一次函数的增减性与
（1）中的方案，即可求得答案；
（3）与（2）类似，首先可得一次函数：W＝0.2x+（0.3﹣a）（50﹣x），然后根据一次
函数的增减性进行分析即可求得答案．
【解答】解：（1）设A型号电视机购买x台，则B型号电视机购买（50﹣x）台．
依题意得：54≤x+1.2（50﹣x）≤54.4，
解得28≤x≤30．
∵x取正整数，即28，29，30．
第19页（共24页）∴有三种方案：A型28台，B型22台；A型29台，B型21台；A型30台，B型20
台．
（2）设商场购买电视机获得利润为W万元，
依题意得，W＝（1.2﹣1）x+（1.5﹣1.2）（50﹣x）＝15﹣0.1x．
当x＝28时，W最大＝15﹣0.1×28＝12.2（万元）．
即A型购买28台，B型购买22台获得利润最大．
（3）依题意得，W＝0.2x+（0.3﹣a）（50﹣x）＝（a﹣0.1）x+15﹣50a，
当0＜a＜0.1时，x＝28，W最大；
当a＝0.1时，三种方案获利相等；
当a＞0.1时，x＝30，W最大．
【点评】此题考查了不等式组与一次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的
关键是理解题意，能根据题意求得不等式组与函数解析式，然后根据其性质解
题．
27．（12分）如图，已知一钝角△ABC中，BC＝2 ，∠C＝30°，BC边上的高为
2．试求：
（1）AB的长．
（2）∠BAC的度数．
（3）△ABC内切圆的半径．（结果精确到0.01）
【考点】MI：三角形的内切圆与内心．
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【分析】（1）过A作AD⊥BC，交CB延长线于D，求出AD，求出BD，根据勾股定
理求出AB即可；
（2）根据AD＝BD可求出∠ABD＝45°，求出即可；
（2）设设 O的半径是r，由三角形面积公式得： ×BC×AD＝ ×（AB+BC+AC）r，
⊙
第20页（共24页）求出即可．
【解答】
解：（1）过A作AD⊥BC，交CB延长线于D，
∵∠C＝30°，BC边上的高AD为2
∴AC＝2AD＝4，
由勾股定理得：DC＝ ＝2 ，
∴DB＝DC﹣BC＝2 ﹣（2 ﹣2）＝2＝AD，
由勾股定理得：AB＝ ＝2 ；
（2）∵AD＝DB＝2，
∴∠DAB＝∠ABD，
∵∠D＝90°，
即∠DAB＝∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°；
（3）
∵∠D＝90°，∠C＝30°，AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
设 O的半径是r，
⊙
则由三角形面积公式得： ×BC×AD＝ ×（AB+BC+AC）r，
第21页（共24页）r＝ ＝ ≈0.35，
即 O的半径约为0.35．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质
⊙
和判定，三角形的内切圆等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行计
算和推理的能力．
28．（12分）已知抛物线图象经过点A（3，0），顶点坐标（0，3）．
（1）写出抛物线的解析式．
（2）当y≤﹣1时，x的取值范围．
（3）在顶点与x轴的两交点的图象中，是否存在着一个以原点为圆心，半径为3的
半圆在此图象内，请结合图象给于说明．（草图）
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式为y＝ax2+3，然后点A的坐标代入解析式求
出a的值，从而得解；
（2）令y＝﹣1，求出x的值，再根据二次函数的增减性写出x的取值范围；
（3）设抛物线在第一象限内任意一点P（x ，y ），根据抛物线解析式用y 表示出
1 1 1 1
x 2，再写出圆心在原点半径为3的圆的解析式，消掉x得到关于y、y 的关系式，
1 1
整理后根据x的取值范围求出y＞y ，从而得到不存在一个以原点为圆心，半径
1
为3的半圆在此图象内．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标（0，3），
∴设抛物线顶点式解析式为y＝ax2+3，
把点A（3，0）代入得，9a+3＝0，
解得a＝﹣ ．
第22页（共24页）所以，抛物线的解析式为y＝﹣ x2+3；
（2）当y＝﹣1时，﹣ x2+3＝﹣1，
整理得，x2＝12，
解得x ＝﹣2 ，x ＝2 ，
1 2
所以，y≤﹣1时，x的取值范围是x≤﹣2 或x≥2 ；
（3）如图所示，设抛物线在第一象限内任意一点P（x ，y ）与圆上的点P（x，y）重
1 1 1
合，
令x ＝x（0＜x ＜3），
1 1
由y ＝﹣ x 2+3得，x 2＝9﹣y ，
1 1 1 1
由圆x2+y2＝32得，x2＝9﹣y2，
∴9﹣y2＝9﹣y ，
1
y＝ ＝ •y ，
1
∵0＜y ＜3，
1
∴y＞y ，
1
即OP＞OP ，
1
∴除抛物线与y正半轴和x轴的交点在圆上外，其余部分都不存在着一个以原点
为圆心，半径为3的半圆在此图象内．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二
次函数图象上点的坐标特征，二次函数的增减性，以及二次函数与圆的关系，
第23页（共24页）（3）求出圆上的点到原点的距离大于抛物线上的点到原点距离是解题的关键，
作出图形更形象直观．
五.附加题（共10分）
29．（5分）解方程：2x2﹣6x＝0．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
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【专题】11：计算题．
【分析】因为方程左边两个因式中都含有2x，所以用提取公因式法解方程比较简
单．
【解答】解：原方程变形为2x（x﹣3）＝0
∴2x＝0或x﹣3＝0
∴x ＝0，x ＝3．
1 2
【点评】本题主要考查了学生利用提取公因式法解方程的能力．
30．（5分）已知 O 半径为5cm， O 半径为3cm，求两圆相切时的圆心距．
1 2
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
⊙ ⊙
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【分析】相切分内切和外切，所以分两种情况分别求解．外切时，圆心距＝半径之
和；内切时，圆心距＝半径之差．
【解答】解：∵两圆相切，
∴分外切和内切两种情况．
外切时，圆心距＝3+5＝8（cm）；
内切时，圆心距＝5﹣3＝2（cm）．
故两圆相切时的圆心距为：8cm或2cm．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，注意分类讨论得出是解题关键．
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日期：2018/12/26 20:28:16；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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