文档内容
2013年上海市闵行区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．（4分）下列运算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）不等式组： 的解集是（ ）
A．x＞ B．x＜ C．x≤1 D． ＜x≤1
4．（4分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
5．（4分）在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，要使
△ABC≌△A′B′C′，还需要增加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′
6．（4分）下列命题中正确的是（ ）
A．矩形的两条对角线相等
B．菱形的两条对角线相等
C．等腰梯形的两条对角线互相垂直
D．平行四边形的两条对角线互相垂直
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ＝ ．
8．（4分）因式分解：2x2y﹣xy＝ ．
9．（4分）方程 ＝x的根是 ．
10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根，那么m的取
值范围是 ．
11．（4分）一次函数y＝2（x﹣1）+5的图象在y轴上的截距为 ．
第1页（共25页）12．（4分）已知反比例 （k≠0）的图象经过点（2，﹣1），那么当x＞0时，y随x
的增大而 （填“增大”或“减小）．
13．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点（3，2），那么该抛物线的对称轴是直线
．
14．（4分）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布
袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
15．（4分）在 ▱ABCD中，AC与BD相交于点O， ， ，那么 ＝
（用 和 表示）．
16．（4分）已知： O 、 O 的半径长分别为2、5，如果 O 与 O 相交，那么这
1 2 1 2
两圆的圆心距d的取值范围是 ．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于
点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，点D、E分别在边AB、BC
上，将△BDE沿直线DE翻折，点B与点F重合，如果∠ADF＝45°，那么∠CEF
＝ 度．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段
第2页（共25页）AD的长为半径的 A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线
⊙
与边BC相交于点G，联结GE．已知DE＝10， ， ．求：
（1） A的半径AD的长；
（2）∠EGC的余切值．
⊙
22．（10分）为了有效地利用电力资源，电力部门推行分时用电．即在居民家中安
装分时电表，每天6：00至22：00用电每千瓦时0.61元，每天22：00至次日6：
00用电每千瓦时0.30元．原来不实行分时用电时，居民用电每千瓦时0.61元．
某户居民为了解家庭的用电及电费情况，于去年 9月随意记录了该月6天的
用电情况，见下表（单位：千瓦时）．
序 号 1 2 3 4 5 6
6：00至22：00用电量 4.5 4.4 4.6 4.6 4.3 4.6
22：00至次日6：00用电量 1.4 1.6 1.3 1.5 1.7 1.5
（1）如果该用户去年9月份（30天）每天的用电情况基本相同，根据表中数据，试
估计该用户去年9月总用电量约为多少千瓦时．
（2）如果该用户今年3月份的分时电费为127.8元，而按照不实行分时用电的计
费方法，其电费为146.4元，试问该用户今年3月份6：00至22：00与22：00至
次日6：00两个时段的用电量各为多少千瓦时？（注：以上统计是从每个月的
第一天6：00至下一个月的第一天6：00止）
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝2AD．
DE⊥BC，垂足为点F，且F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G．
（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；
（2）如果AD＝ ，求证：四边形DGEC是正方形．
第3页（共25页）24．（12分）已知：在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与y轴相交于点
A，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、B（1，0），D为顶点．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将上述二次函数的图象沿y轴向上或向下平移，使点D的对应点C在一次函
数y＝x+3的图象上，求平移后所得图象的表达式；
（3）设点P在一次函数y＝x+3的图象上，且S ＝2S ，求点P的坐标．
△ABP △ABC
25．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，tanB＝2，CE⊥AB，垂足为点E
（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CF．
（1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长；
（2）如图2，设BC＝x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变
量的取值范围；
（3）当BC＝16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD＝k∠AEF，其中
k≥0，求k的值．
第4页（共25页）2013 年上海市闵行区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【考点】26：无理数．
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【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数
的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，
而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是有限小数，是有理数；
B、是分数，是有理数；
C、无理数，选项正确；
D、 ＝3，是整数，选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2
等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
π π
2．（4分）下列运算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】79：二次根式的混合运算．
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【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并法则，进行各选项的判断即
可．
【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
B、 ＝ ，故本选项错误；
C、（ ）2＝﹣a，故本选项错误；
D、 ＝﹣2a，故本选项正确；
故选：D．
第5页（共25页）【点评】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌
握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
3．（4分）不等式组： 的解集是（ ）
A．x＞ B．x＜ C．x≤1 D． ＜x≤1
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀
“大小小大中间找”来求不等式组的解集．
【解答】解：解不等式得 ，
∴解集为 ＜x≤1．
故选：D．
【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到
（无解）．
4．（4分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0时，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝﹣1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
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【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，“配方”一步．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0
移项得，x2﹣4x＝﹣1，
两边加4得，x2﹣4x+4＝﹣1+4，
即：（x﹣2）2＝3．
故选：C．
【点评】此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5．（4分）在△ABC与△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，要使
△ABC≌△A′B′C′，还需要增加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．AC＝A′C′ B．BC＝B′C′ C．∠B＝∠B′ D．∠C＝∠C′
【考点】KB：全等三角形的判定．
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第6页（共25页）【分析】本题考查的是全等三角形的判定．在两个三角形中，已知了一组对应边相
等和一组对应角相等，那么套用全等三角形判定中的SAS、AAS和ASA的判定
方法，可添加夹对应角的边对应相等或一组对应角相等，可据此进行判断．
【解答】解：添加A选项，符合全等三角形判定条件中的SAS，因此A正确；
添加B选项，所构成的是SSA，那么∠A和∠A′就不能成为两组对应相等边的夹
角，因此不能判定两三角形全等；
添加C、D选项，均符合全等三角形判定条件中的ASA、AAS，因此C、D正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定
方法有SAS、AAS、SSS、ASA、HL．要注意的是SSA和AAA不能判定三角形全等．
做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
6．（4分）下列命题中正确的是（ ）
A．矩形的两条对角线相等
B．菱形的两条对角线相等
C．等腰梯形的两条对角线互相垂直
D．平行四边形的两条对角线互相垂直
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】分别根据矩形、菱形、等腰梯形、平行四边形的性质分别判断得出即可．
【解答】解：A、矩形的两条对角线相等，根据矩形的性质得出，此选项正确；
B、根据菱形的两条对角线是互相垂直，故此选项错误；
C、根据等腰梯形的两条对角线相等，故此选项错误；
D、故居平行四边形的两条对角线互相平分，故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了命题与定理，根据矩形、菱形、等腰梯形、平行四边形的性
质得出是解题关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ＝ 2 ．
【考点】22：算术平方根．
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【专题】11：计算题．
第7页（共25页）【分析】根据算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这
个正数x叫做a的算术平方根，解答出即可；
【解答】解：根据算术平方根的定义，
得， ＝ ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的
平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找
8．（4分）因式分解：2x2y﹣xy＝ x y （ 2 x ﹣ 1 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】直接提取公因式xy即可．
【解答】解：原式＝xy•2x﹣xy•1＝xy（2x﹣1），
故答案为：xy（2x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确掌握找公因式的方法：
当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各
项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式
的次数取最低的．
9．（4分）方程 ＝x的根是 x ＝ 2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程
得到x ＝2，x ＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x ＝﹣1是原方程的增根，由
1 2 2
此得到原方程的根为x＝2．
【解答】解：方程两边平方得，x+2＝x2，
解方程x2﹣x﹣2＝0得x ＝2，x ＝﹣1，
1 2
经检验x ＝﹣1是原方程的增根，
2
所以原方程的根为x＝2．
故答案为x＝2．
【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程
的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
第8页（共25页）10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根，那么m的取
值范围是 m ≤ 4 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】首先根据一元二次方程的一般形式求得b2﹣4ac的值，再进一步根据关于
x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根，即△≥0进行求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个实数根，
∴b2﹣4ac＝16﹣4m≥0，
即m≤4．
故答案为：m≤4．
【点评】此题考查了一元二次方程的根的判别式，能够根据一元二次方程的根的
判别式和方程的根的情况求得字母的取值范围．
11．（4分）一次函数y＝2（x﹣1）+5的图象在y轴上的截距为 3 ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】把x＝0代入一次函数解析式求出对应的函数值，即可得到答案．
【解答】解：把x＝0代入得y＝2（0﹣1）+5＝3，
所以一次函数y＝2（x﹣1）+5的图象在y轴上的截距为3．
故答案为3．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b（k、b为常
数，k≠0）的图象上的点满足其解析式．
12．（4分）已知反比例 （k≠0）的图象经过点（2，﹣1），那么当x＞0时，y随x
的增大而 增大 （填“增大”或“减小）．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】先用待定系数法求出k的值，再根据反比例函数的性质判断增减性．
【解答】解：∵反比例函数 （k≠0）的图象经过点（2，﹣1），
∴k＝2×（﹣1）＝﹣2＜0，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大．
故答案为增大．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及其性质．点在函数的
第9页（共25页）图象上，点的坐标一定满足函数的解析式．
13．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+2经过点（3，2），那么该抛物线的对称轴是直线
x ＝ ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式，再根据抛物线的对称轴
解析式解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点（3，2），
∴9a+3b+2＝2，
∴b＝﹣3a，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝ ，
即x＝ ．
故答案为：x＝ ．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴公式，把点的坐
标代入解析式求出a、b的关系式是解题的关键．
14．（4分）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布
袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得
到红球的概率．
【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公
式求出是解决问题的关键．
第10页（共25页）15．（4分）在 ▱ABCD中，AC与BD相交于点O， ， ，那么 ＝
（用 和 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先由平行四边形的性质求得： ＝ ， ＝ ，又由平行四边形法则
求得： ＝ + ＝ + ，则问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，AD＝BC，AD∥BC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵ ， ，
∴ ＝ + ＝ + ，
∴ ＝ ＝ （ + ）＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查了平面向量的性质与平行四边形的性质．此题难度不大，注意数
形结合思想的应用．
16．（4分）已知： O 、 O 的半径长分别为2、5，如果 O 与 O 相交，那么这
1 2 1 2
两圆的圆心距d的取值范围是 3 ＜ d ＜ 7 ．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据题意可得，两原外切和内切分别是d的两个极值，画出示意图即可得
出d的范围．
【解答】解： ，
① 第11页（共25页）此时d＝5﹣2＝3；
此时d＝5+2＝7，
②
所以要满足两圆相交则d的范围为：3＜d＜7．
故答案为：3＜d＜7．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，解答本题的关键是找到d的两个极值点，
难度一般，可先画出示意图来解题，有助于分析．
17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于
点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于 4 ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由在正方形ABCD中，EF⊥AE，易证得△BAE∽△CEF，又由E为边BC
的中点，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△BAE∽△CEF，
∵E为边BC的中点，
∴EC＝ BC，
∴AB：EC＝2，
第12页（共25页）∵S ＝1，
△CEF
∴S ＝4．
△ABE
故答案为：4．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度适中，
注意掌握数形结合思想的应用．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，点D、E分别在边AB、BC
上，将△BDE沿直线DE翻折，点B与点F重合，如果∠ADF＝45°，那么∠CEF
＝ 3 5 度．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据∠ADF的度数可求出∠FDB，在四边形DBEF中利用四边形的内角
和为360°可得出∠FEB的度数，继而可求出∠CEF．
【解答】解：∵∠ADF＝45°，∠A＝50°，
∴∠FDB＝135°，∠B＝∠F＝40°，
在四边形DBEF中，∠FEB＝360°﹣135°﹣40°﹣40°＝145°，
则∠CEF＝180°﹣∠FEB＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题考查了翻折变换的知识及四边形的内角和，解答本题的关键是求出
∠CEF的邻补角，难度一般．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】首先对括号内的分式进行通分，计算分式的加减，然后把除法转化成乘法，
然后计算分式的乘法即可化简，然后代入数值进行计算即可求解．
【解答】解：原式＝ •
第13页（共25页）＝ ．
当x＝2+ 时，原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的混合运算，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母
能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
20．（10分）解方程组：
【考点】AF：高次方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先观察方程组中第二个等式，可以写成完全平方式的形式，把高次方程
转化成二元一次方程进行求解．
【解答】解：
由（2）式得到：（x﹣y）2＝1，
再得到x﹣y＝1或者x﹣y＝﹣1，
与（1）式组成方程组： 或
解得： ，
经检验，原方程组的解是： ， ．
【点评】本题主要考查高次方程的知识点，解答本题的关键是把二元二次方程转
化成二元一次方程进行求解，本题难度不大．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段
AD的长为半径的 A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线
⊙
与边BC相交于点G，联结GE．已知DE＝10， ， ．求：
第14页（共25页）（1） A的半径AD的长；
（2）∠EGC的余切值．
⊙
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）由在 A中，AF⊥DE，DE＝10，由垂径定理可求得DF的长，又由
⊙
cos∠DAF＝ ＝ ，利用勾股定理即可求得AD的长；
（2）由AB＝AC，AD＝AE，易证得△ADE∽△ABC，∠AGC＝∠FEG，然后由相似
三角形对应高的比等于相似比，求得FG的长，继而求得∠EGC的余切值．
【解答】解：（1）在 A中，
∵AF⊥DE，DE＝10，
⊙
∴DF＝EF＝ DE＝ ×10＝5． …（1分）
在Rt△ADF中，由cos∠DAF＝ ＝ ，
设AF＝12k，AD＝13k．…（1分）
利用勾股定理，得AF2+DF2＝AD2．
∴（12k）2+52＝（13k）2．
解得：k＝1．…（1分）
∴AD＝13． …（1分）
（2）由（1），可知F＝12k＝12．…（1分）
∵ ＝ ，
∴ ＝ ．…（1分）
第15页（共25页）在 A中，AD＝AE．
又∵AB＝AC，
⊙
∴ ．
∴DE∥BC．…（1分）
∴△ADE∽△ABC，∠EGC＝∠FEG，
∵AF⊥DE，
∴AG⊥BC，
∴ ＝ ．
∴AG＝36．
∴AF＝12，
∴FG＝AG﹣AF＝24．…（1分）
在Rt△EFG中，cot∠FEG＝ ＝ ．…（1分）
即得cot∠EGC＝ ．…（1分）
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及三角函数
等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22．（10分）为了有效地利用电力资源，电力部门推行分时用电．即在居民家中安
装分时电表，每天6：00至22：00用电每千瓦时0.61元，每天22：00至次日6：
00用电每千瓦时0.30元．原来不实行分时用电时，居民用电每千瓦时0.61元．
某户居民为了解家庭的用电及电费情况，于去年 9月随意记录了该月6天的
用电情况，见下表（单位：千瓦时）．
序 号 1 2 3 4 5 6
第16页（共25页）6：00至22：00用电量 4.5 4.4 4.6 4.6 4.3 4.6
22：00至次日6：00用电量 1.4 1.6 1.3 1.5 1.7 1.5
（1）如果该用户去年9月份（30天）每天的用电情况基本相同，根据表中数据，试
估计该用户去年9月总用电量约为多少千瓦时．
（2）如果该用户今年3月份的分时电费为127.8元，而按照不实行分时用电的计
费方法，其电费为146.4元，试问该用户今年3月份6：00至22：00与22：00至
次日6：00两个时段的用电量各为多少千瓦时？（注：以上统计是从每个月的
第一天6：00至下一个月的第一天6：00止）
【考点】8A：一元一次方程的应用；V5：用样本估计总体．
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【分析】（1）首先算得一周的平均用电量，然后乘以30即可得到总用电量；
（2）根据总用电量分两部分且共为127.8元列出方程求解即可．
【解答】解：（1）6：00至22：00用电量：
×30＝135．
22：00至次日6：00用电量：
×30＝45．
所以 135+45＝180（千瓦时）．
所以，估计该户居民去年9月总用电量为180千瓦时．
（2）根据题意，得该户居民3月份总用电量为 ＝240 （千瓦时）．
设该用户3月份6：00至22：00的用电量为x千瓦时，则22：00至次日6：00的用
电量为（240﹣x）千瓦时．
根据题意，得0.61x+0.30（240﹣x）＝127.8．
解得 x＝180．
所以240﹣x＝60．
答：该用户3月份6：00至22：00与22：00至次日6：00两个时段的用电量分别为
180、60千瓦时．
【点评】本题考查了用样本估计总体和一元一次方程的应用，解答此题需要分情
况探讨，明确题目中所给数量属于哪一种情况，由此选择正确的解题方法．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝2AD．
第17页（共25页）DE⊥BC，垂足为点F，且F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G．
（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；
（2）如果AD＝ ，求证：四边形DGEC是正方形．
【考点】KQ：勾股定理；L6：平行四边形的判定；LF：正方形的判定；LH：梯形．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 DC＝
EC，根据等边对等角可得∠DCF＝∠ECF，再求出∠B＝∠ECF，然后根据内错
角相等，两直线平行求出AB∥EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形判定四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平
分求出BG＝CG＝ BC，然后求出AD＝BG，再根据一组对边平行且相等的四
边形是平行四边形判定即可；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得 AB∥DG，AB＝DG，然后求出
DG∥EC，DG＝EC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出
四边形DGEC是平行四边形，再根据邻边相等的四边形是菱形判定为菱形，然
后根据勾股定理逆定理求出∠GDC＝90°，根据一个角是直角的菱形是正方形
证明．
【解答】证明：（1）∵DE⊥BC，且F是DE的中点，
∴DC＝EC，
即得∠DCF＝∠ECF，
又∵AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCF，AB＝EC，
∴∠B＝∠ECF，
∴AB∥EC，
又∵AB＝EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
第18页（共25页）∴BG＝CG＝ BC，
∵BC＝2AD，
∴AD＝BG，
又∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形；
（2）∵四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，AB＝DG，
又∵AB∥EC，AB＝EC，
∴DG∥EC，DG＝EC，
∴四边形DGEC是平行四边形，
又∵DC＝EC，
∴四边形DGEC是菱形，
∴DG＝DC，
由AD＝ AB，即得CG＝ DC＝ DG，
∴DG2+DC2＝CG2，
∴∠GDC＝90°，
∴四边形DGEC是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，主要来源平行四边形的判定与性质，菱形的判
定，勾股定理逆定理，理清平行四边形，菱形，正方形的联系与区别并熟记各图
形的判定方法是解题的关键．
24．（12分）已知：在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+3的图象与y轴相交于点
A，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、B（1，0），D为顶点．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将上述二次函数的图象沿y轴向上或向下平移，使点D的对应点C在一次函
第19页（共25页）数y＝x+3的图象上，求平移后所得图象的表达式；
（3）设点P在一次函数y＝x+3的图象上，且S ＝2S ，求点P的坐标．
△ABP △ABC
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A（0，3）、B（1，0）代入二次函数y＝﹣
x2+bx+c，可得方程组，解方程组求解即可得到二次函数的解析式；
（2）平移后的图象解析式为y＝﹣（x+1）2+k．根据点C（﹣1，k）在一次函数y＝x+3
的图象上，可得关于k 的方程，求得k的值，从而即可求出平移后所得图象的
表达式；
（3）先根据两点间的距离公式得到AC的长，由S ＝2S ，可得AP＝2AC，再
△ABP △ABC
分（ⅰ）当点P在线段CA的延长线上时；（ⅱ）当点P在线段AC的延长线上时；
两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）∵由x＝0，得y＝3．
∴点A的坐标为A（0，3）．
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），
∴ ，
解得 ．
∴所求二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．顶点D的坐标为D（﹣1，4）．
（2）设平移后的图象解析式为y＝﹣（x+1）2+k．
根据题意，可知点C（﹣1，k）在一次函数y＝x+3的图象上，
则﹣1+3＝k
第20页（共25页）解得k＝2．
故所求图象的表达式为y＝﹣（x+1）2+2．
（3）设直线x＝﹣1与x轴交于点E．
由（2）得 C（﹣1，2）．
又由 A（0，3），得AC＝ ＝ ．
根据题意，设点P的坐标为P（m，m+3）．
∵△ABP与△ABC同高，
于是，当S ＝2S 时，得AP＝2AC＝2 ．
△ABP △ABC
此时，有两种不同的情况：
（ⅰ）当点P在线段CA的延长线上时，得CP＝CA+AP＝3 ，且m＞0．
过点P作PQ 垂直于x轴，垂足为点Q ．
1 1
易得 ＝ ．
＝ ，
解得m＝2．
m+3＝5．
∴P （2，5）．
1
（ⅱ）当点P在线段AC的延长线上时，得 CP＝AP﹣CA＝ ，且m＜0．
过点P作PQ 垂直于x轴，垂足为点Q ．
2 2
易得 ＝ ．
＝ ，
解得m＝﹣2．
m+3＝1．
∴P （﹣2，1）．
2
综上所述，点P的坐标为（2，5）或（﹣2，1）．
另解：（3）由（2）得 C（﹣1，2）．
第21页（共25页）又由 A（0，3），得AC＝ ＝ ．
根据题意，设点P的坐标为P（m，m+3）．
∵△ABP与△ABC同底，
于是，当S ＝2S 时，得AP＝2AC＝2
△ABP △ABC
∴AP2＝8．
即得m2+（m+3﹣3）2＝8．
解得m ＝2，m ＝﹣2．
1 2
∴m+3＝5或1．
∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，1）．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求函数的解析式，
平移的性质，两点间的距离公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度
25．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，tanB＝2，CE⊥AB，垂足为点E
（点E在边AB上），F为边AD的中点，联结EF，CF．
（1）如图1，当点E是边AB的中点时，求线段EF的长；
（2）如图2，设BC＝x，△CEF的面积等于y，求y与x的函数解析式，并写出自变
量的取值范围；
（3）当BC＝16时，∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系：∠EFD＝k∠AEF，其中
k≥0，求k的值．
第22页（共25页）【考点】LO：四边形综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）分别延长BA、CF相交于点P，证出 ＝ ＝ ＝ ，PA＝AB＝8，
得出AE＝BE＝ AB＝4，PE＝PA+AE＝12，再根据EC＝BE•tanB＝4×2＝8，求
出PC＝ ＝4 ，最后根据在Rt△PEC中，∠PEC＝90°，PF＝
PC，即可得出EF＝ PC＝2 ，
（2）在Rt△PEC中，先求出BE＝ EC，根据BC＝x，BE2+EC2＝BC2，得出BE＝
x，EC＝2BE＝ x，AE＝AB﹣BE＝8﹣ x，求出PE＝PA+AE＝16﹣
x，最后由 PF＝ PC，得y＝S ＝ • x（16﹣ x），
△EFC
（3）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，根据F为边AD的中点，得AF＝DF＝
AD＝8，FD＝CD，∠DFC＝∠DCF．根据AB∥CD，得∠DCF＝∠P，∠DFC＝
∠P，在Rt△PEC中，根据∠PEC＝90°，PF＝ PC，得EF＝PF，∠AEF＝∠P＝
∠DCF，最后根据∠EFC＝∠P+∠PEF＝2∠PEF，得∠EFD＝∠EFC+∠DFC
＝2∠AEF+∠AEF＝3∠AEF，即可得k＝3．
【解答】解：（1）分别延长BA、CF相交于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
第23页（共25页）∵F为边AD的中点，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴PA＝AB＝8，
∵点E是边AB的中点，
∴AE＝BE＝ AB＝4，
∴PE＝PA+AE＝12，
∵CE⊥AB，
∴EC＝BE•tanB＝4×2＝8．
∴PC＝ ＝ ＝4 ，
在Rt△PEC中，∠PEC＝90°，PF＝ PC，
∴EF＝ PC＝2 ，
（2）在Rt△PEC中，
∵tanB＝ ＝2，
∴BE＝ EC，
∵BC＝x，BE2+EC2＝BC2，
∴BE＝ x，
∴EC＝2BE＝ x，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣ x，
∴PE＝PA+AE＝16﹣ x，
∵PF＝ PC，
第24页（共25页）∴y＝S ＝ • x（16﹣ x）＝﹣ x2+ x，（0＜x≤8 ），
△EFC
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CD＝AB＝8，AD＝BC＝16，
∵F为边AD的中点，
∴AF＝DF＝ AD＝8，
∴FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠P，
∴∠DFC＝∠P，
在Rt△PEC中，∠PEC＝90°，PF＝ PC，
∴EF＝PF，
∴∠AEF＝∠P＝∠DCF，
又∵∠EFC＝∠P+∠PEF＝2∠PEF，
∴∠EFD＝∠EFC+∠DFC＝2∠AEF+∠AEF＝3∠AEF，
∵∠EFD＝k∠AEF，
∴k＝3．
【点评】此题考查了四边形综合，用到的知识点是四边形的性质、勾股定理、解直
角三角形、三角形的面积等，关键是做出辅助线，构造直角三角形，求出线段的
长．
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日期：2018/12/26 20:24:56；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第25页（共25页）
