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2014年上海市嘉定区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）﹣2是2的（ ）
A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根
2．（4分）不等式组 的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）某运动队为了选拔“神枪手”，举行射击比赛，最后由甲、乙两名选手
进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名选手
的总成绩都是99.6环，甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，则下列说法中，正
确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
4．（4分）已知矩形的面积为20，则如图给出的四个图象中，能大致呈现矩形的长
y与宽x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD
是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
第1页（共25页）A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，DA＝3，则分
别以AB、CD为直径的 P与 Q的位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算x（x﹣1）的结果是 ．
8．（4分）若分式 的值为0，则x的值等于 ．
9．（4分）一元二次方程x2＝x的解为 ．
10．（4分）关于x的一元二次方程﹣x2+（2k+1）x+2﹣k2＝0有实数根，则k的取值
范围是 ．
11．（4分）方程（x+3） ＝0的解是 ．
12．（4分）已知反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限内，那么常数k的取值
范围是 ．
13．（4分）合作交流是学习教学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小
组的个数分别是：8，7，7，8，9，7，这组数据的众数是 ．
14．（4分）定义：百位、十位、个位上的数字从左到右依次增大的三位数为“渐进
数”，如589就是一个“渐进数”．如果由数字3，5，6组成的三位数中随机抽
取一个三位数，那么这个数是“渐进数”的概率是 ．
15．（4分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD．如果AD＝2，BD＝3
，∠DBC＝45°，那么梯形ABCD的面积为 ．
第2页（共25页）16．（4分）化简：（ ）﹣（ ）＝ ．
17．（4分）如图，已知BD是 O的直径，点A、C在 O上， ＝ ，∠AOB＝
60°，则∠COD的度数是 度．
⊙ ⊙
18．（4分）如图，E为矩形ABCD边BC上自B向C移动的一个动点，EF⊥AE交
CD边于F，联结AF，当△ABE的面积恰好为△ECF和△FDA的面积之和时，
量得AE＝2，EF＝1，那么矩形ABCD的面积为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣（ ﹣3）0+（ ） ﹣tan60°．
π
20．（14分）解方程组： ．
21．（8分）在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正
三角形的方法：
（1）如图，作直径AD；
（2）作半径OD的垂直平分线，交 O于B，C两点；
（3）联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．
⊙
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，
画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明
理由．
第3页（共25页）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（1，
0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式和线段AB的长；
（2）将△OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，求线
段AB上横坐标为a的点E在线段CD上的对应点F的坐标（用含a的代数式
表示）．
23．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，E为CD
的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；
（1）联结BE，求证：BE＝EF．
（2）联结BD交AE于M，当AD＝1，AB＝2，AM＝EM时，求CD的长．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝mx2﹣mx+n（m、n为常
数）和y轴交于A（0，2 ）、和x轴交于B、C两点（点C在点B的左侧），且
tan∠ABC＝ ，如果将抛物线y＝mx2﹣mx+n沿x轴向右平移四个单位，点B
的对应点记为E．
第4页（共25页）（1）求抛物线y＝mx2﹣mx+n的对称轴及其解析式；
（2）连接AE，记平移后的抛物线的对称轴与AE的交点为D，求点D的坐标；
（3）如果点F在x轴上，且△ABD与△EFD相似，求EF的长．
25．（14分）在△ABC中，AB＝AC＝10，cosB＝ （如图1），D、E为线段BC上的
两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重
合时运动终止．过E作EF∥AC交AB于F，联结DF．
（1）若设BD＝x，EF＝y，求y关于x的函数，并求其定义域；
（2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；
（3）如果MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N（如图2）．求
整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）．
第5页（共25页）2014 年上海市嘉定区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）﹣2是2的（ ）
A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根
【考点】14：相反数．
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【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可直接得到
答案．
【解答】解：﹣2是2的相反数，
故选：A．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的概念．
2．（4分）不等式组 的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
【解答】解：由不等式 ，得3x＞5﹣2，解得x＞1，
由不等式 ，得﹣2x≥1﹣5，解得x≤2，
①
∴数轴表示的正确方法为C．
②
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法及其数轴表示法．把每个不等式的
解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分
成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，
那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，
“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．（4分）某运动队为了选拔“神枪手”，举行射击比赛，最后由甲、乙两名选手
第6页（共25页）进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名选手
的总成绩都是99.6环，甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，则下列说法中，正
确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
【考点】W7：方差．
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【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方
差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数
据越稳定．
【解答】解：∵甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，
∴S 2＞S 2，
甲 乙
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳
定．
4．（4分）已知矩形的面积为20，则如图给出的四个图象中，能大致呈现矩形的长
y与宽x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；GA：反比例函数的应用．
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【分析】根据题意有：xy＝20；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y
第7页（共25页）实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；故答案为A．
【解答】解：∵根据题意xy＝20，
∴y＝ （x＞0，y＞0）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两
个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际
意义确定其所在的象限．
5．（4分）如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD
是平行四边形的基础上，进一步证明（ ）
A．AB＝AD且AC⊥BD B．AB＝AD且AC＝BD
C．∠A＝∠B且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
【考点】LF：正方形的判定．
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【分析】根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
【解答】解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的
平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，
所以能判断四边形ABCD是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只
能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边
形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
故选：B．
【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方
形的概念，途经有两种：
先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
①
6．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，DA＝3，则分
②
别以AB、CD为直径的 P与 Q的位置关系是（ ）
⊙ ⊙
第8页（共25页）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【考点】LH：梯形；MJ：圆与圆的位置关系．
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【专题】11：计算题．
【分析】，P为AB的中点，Q为CD的中点，根据梯形的中位线性质得PQ＝6，而
两圆半径AP＝ AB＝3，DQ＝ CD＝2，则PQ＞AP+DQ，然后根据圆与圆的
位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：如图，P为AB的中点，Q为CD的中点，
∵PQ为梯形ABCD的中位线，
∴PQ＝ （AD+BC）＝ （3+9）＝6，
∵AP＝ AB＝3，DQ＝ CD＝2，
∴PQ＞AP+DQ，
∴以AB、CD为直径的 P与 Q外离．
故选：D．
⊙ ⊙
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d、两圆半径分别为R、
r：两圆外离 d＞R+r；两圆外切 d＝R+r；两圆相交 R﹣r＜d＜R+r
（R≥r）；两圆内切 d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含 d＜R﹣r（R＞r）．
⇔ ⇔ ⇔
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
⇔ ⇔
7．（4分）计算x（x﹣1）的结果是 x 2 ﹣ x ．
【考点】4A：单项式乘多项式．
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【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积
相加计算即可．
【解答】解：x（x﹣1）
第9页（共25页）＝x•x﹣x•1
＝x2﹣x．
故答案为x2﹣x．
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算
时要注意符号的处理．
8．（4分）若分式 的值为0，则x的值等于 1 ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x2﹣1＝0，x+1≠0，
由x2﹣1＝0，得x＝﹣1或x＝1，
由x+1≠0，得x≠﹣1，
∴x＝1，
故答案为1．
【点评】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这
两个条件缺一不可．
9．（4分）一元二次方程x2＝x的解为 x ＝ 0 ， x ＝ 1 ．
1 2
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
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【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
【解答】解：x2＝x，
移项得：x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
∴x ＝0，x ＝1．
1 2
故答案为：x ＝0，x ＝1．
1 2
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是把方程的右面变为
0．
10．（4分）关于x的一元二次方程﹣x2+（2k+1）x+2﹣k2＝0有实数根，则k的取值
第10页（共25页）范围是 k ≥ ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】由于已知方程有实数根，则△≥0，由此可以建立关于k的不等式，解不等
式就可以求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知△＝（2k+1）2+4（2﹣k2）＝4k+9≥0，∴k≥ ．
【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
11．（4分）方程（x+3） ＝0的解是 x ＝ 2 ．
⇔
【考点】AG：无理方程．
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【分析】因为（x+3） ＝0可以得出x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，由此求得原方
程的解即可．
【解答】解：∵（x+3） ＝0，
∴x+3＝0，x﹣2＝0且x﹣2≥0，
解得x＝﹣3，x＝2且x≥2，
∴x＝2．
故答案为：x＝2．
【点评】此题考查解无理方程，注意被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解
必须满足这一条件．
12．（4分）已知反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限内，那么常数k的取值
范围是 k ＜﹣ 1 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】先根据函数y＝ 的图象分别位于第二、四象限列出关于k的不等式，
求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝ 的图象分别位于第二、四象限，
∴k+1＜0，解得k＜﹣1
第11页（共25页）故答案为；k＜﹣1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝ （k≠0）中，当k＜
0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增
大是解答此题的关键．
13．（4分）合作交流是学习教学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小
组的个数分别是：8，7，7，8，9，7，这组数据的众数是 7 ．
【考点】W5：众数．
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【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数即可．
【解答】解：∵7出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一
个．
14．（4分）定义：百位、十位、个位上的数字从左到右依次增大的三位数为“渐进
数”，如589就是一个“渐进数”．如果由数字3，5，6组成的三位数中随机抽
取一个三位数，那么这个数是“渐进数”的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由由数字3，5，6组成的三位数有：356，365，536，563，635，653，其中是
“渐进数”的是356，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵由数字3，5，6组成的三位数有：356，365，536，563，635，653，其中
是“渐进数”的是356，
∴这个数是“渐进数”的概率是： ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
15．（4分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD．如果AD＝2，BD＝3
，∠DBC＝45°，那么梯形ABCD的面积为 9 ．
第12页（共25页）【考点】LH：梯形．
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【分析】首先延长BC，过D作DE∥AC，证明四边形ADEC是平行四边形，进而得
到DE＝DB＝3 ，AC＝DE，然后再证明∠BDE＝90°，再根据S ＝S
梯形ABCD △DEB
计算出答案即可．
【解答】解：延长BC，过D作DE∥AC，
∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE＝DB＝3 ，AC＝DE，
∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，
∴AC＝BD，
∴BD＝DE，
∵∠DBC＝45°，
∴∠E＝45°，
∴∠BDE＝90°，
∴S ＝S ＝ ×3 ×3 ＝9，
梯形ABCD △DEB
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了梯形以及梯形的面积公式，关键是掌握辅助线的作法，掌
握S ＝S ．
梯形ABCD △DEB
16．（4分）化简：（ ）﹣（ ）＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由去括号的法则可得：（ ）﹣（ ）＝ ﹣ ﹣ + ，然后由加
第13页（共25页）法的交换律与结合律可得：（ + ）﹣（ + ），继而求得答案．
【解答】解：（ ）﹣（ ）
＝ ﹣ ﹣ +
＝（ + ）﹣（ + ）
＝ ﹣
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用．
17．（4分）如图，已知BD是 O的直径，点A、C在 O上， ＝ ，∠AOB＝
60°，则∠COD的度数是 12 0 度．
⊙ ⊙
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．
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【分析】先由 ＝ ，得出∠BOC＝∠AOB＝60°，再根据直径的定义得出∠BOD
＝180°，则∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°．
【解答】解：∵ ＝ ，∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB＝60°，
∵BD是 O的直径，
∴∠BOD＝180°，
⊙
∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°．
故答案为120．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角
两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
同时考查了直径与邻补角的定义．
18．（4分）如图，E为矩形ABCD边BC上自B向C移动的一个动点，EF⊥AE交
CD边于F，联结AF，当△ABE的面积恰好为△ECF和△FDA的面积之和时，
量得AE＝2，EF＝1，那么矩形ABCD的面积为 3 ．
第14页（共25页）【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】设CF＝x，CE＝y，证△BAE∽△CEF，求出AB＝2y，BE＝2x，推出CD＝
AB＝2y，AD＝BC＝2x+y，DF＝2y﹣x，根据已知面积求出x、y的值，求出AB、
BC，即可求出面积．
【解答】解：设CF＝x，CE＝y，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△BAE∽△CEF，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝2y，BE＝2x，
∴CD＝AB＝2y，AD＝BC＝2x+y，DF＝2y﹣x，
∵△ABE的面积恰好为△ECF和△FDA的面积之和，
∴ •2y•2x＝ （2x+y）（2y﹣x）+ xy，
∴x＝y，
在Rt△FCE中，EF＝1，由勾股定理得：x2+x2＝1，
解得：x＝ ，
即AB＝2y＝ ，BC＝2x+y＝2× + ＝ ，
∴矩形ABCD的面积是 × ＝3，
故答案为：3．
第15页（共25页）【点评】本题考查了勾股定理，矩形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，解
此题的关键是求出AB、BC的值，题目比较好，难度适中．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣（ ﹣3）0+（ ） ﹣tan60°．
【考点】2C：实数的运算；2F：分π数指数幂；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．
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【分析】分别进行二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数
值等运算，然后合并．
【解答】解：原式＝2 ﹣1+ ﹣
＝2 ﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、零指数幂、负整数指数
幂、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．
20．（14分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】先变形 得出x+y＝1，x+y＝﹣1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：由方程 得：（x+y）2＝1，
②
x+y＝1，x+y＝﹣1，
②
即组成方程组 或 ，
解这个两个方程得： 或 ，
即原方程组的解为： 或 ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是
能把高次方程组转化成二元一次方程组．
21．（8分）在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正
第16页（共25页）三角形的方法：
（1）如图，作直径AD；
（2）作半径OD的垂直平分线，交 O于B，C两点；
（3）联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．
⊙
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，
画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明
理由．
【考点】M2：垂径定理；MM：正多边形和圆．
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【分析】利用锐角三角函数关系得出∠BOE＝60°，进而得出∠COE＝∠BOE＝
60°，再利用圆心角定理得出答案．
【解答】解：两位同学的方法正确．
连BO、CO，
∵BC垂直平分OD，
∴直角△OEB中．cos∠BOE＝ ＝ ，
∠BOE＝60°，由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°，
由于AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°，
∴AB＝BC＝CA，
即△ABC为等边三角形．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及圆心角定理和等边三角形的判定等知识，
第17页（共25页）得出∠AOB＝∠AOC＝120°是解题关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A（1，
0），与y轴交于点B（0，2）．
（1）求直线AB的表达式和线段AB的长；
（2）将△OAB绕点O逆时针旋转90°后，点A落到点C处，点B落到点D处，求线
段AB上横坐标为a的点E在线段CD上的对应点F的坐标（用含a的代数式
表示）．
【考点】FI：一次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式，利用勾股定理可得线段
AB的长度．
（2）设点E的坐标为（a，﹣2a+2），根据旋转的性质即可得出点F的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，0），点B（0，2）代入直线y＝kx+b，得： ，
解得：
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，
线段AB＝ ＝ ．
（2）∵E为线段AB上横坐标a的点，
∴第一象限的E（a，﹣2a+2），
根据题意F为E绕点O逆时针旋转90°后的对应点，
第二象限的F的坐标为（﹣|﹣2a+2|，|a|）
∴点F（2a﹣2，a）．
第18页（共25页）【点评】本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法、勾股定理及旋转的性质，
难度一般．
23．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，E为CD
的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；
（1）联结BE，求证：BE＝EF．
（2）联结BD交AE于M，当AD＝1，AB＝2，AM＝EM时，求CD的长．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LI：直角梯形；S4：平行线
分线段成比例．
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【分析】（1）证明△DAE≌△CFE可得AE＝FE，再根据直角三角形的性质可得
BE＝EF；
（2）过D作DH⊥BF于H，证明四边形ABHD为矩形，再由AD＝BH，可得AD＝
CH，进而得到CH＝1，然后根据勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵ABCD为直角梯形，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DAE和△CFE中，
，
∴△DAE≌△CFE（AAS），
∴AE＝FE，AD＝FC，
在直角三角形ABF中：BE＝AE＝FE；
（2）∵AM＝EM，AE＝FE，
第19页（共25页）∴AM＝ FM，
∵AD∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
在△AED和△FCE中
∵ ，
∴△AED≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
过D作DH⊥BF于H，
∴∠DHB＝90°，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∵AD＝BH，∴BH＝HC＝FC＝AD，
即AD＝CH，
在直角三角形CDH中，CH＝AD＝1，DH＝AB＝2，
CD＝ ＝ ．
【点评】此题主要考查了直角梯形，关键是掌握直角梯形中常用辅助线，作高，构
造矩形和直角三角形．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y＝mx2﹣mx+n（m、n为常
数）和y轴交于A（0，2 ）、和x轴交于B、C两点（点C在点B的左侧），且
tan∠ABC＝ ，如果将抛物线y＝mx2﹣mx+n沿x轴向右平移四个单位，点B
的对应点记为E．
（1）求抛物线y＝mx2﹣mx+n的对称轴及其解析式；
第20页（共25页）（2）连接AE，记平移后的抛物线的对称轴与AE的交点为D，求点D的坐标；
（3）如果点F在x轴上，且△ABD与△EFD相似，求EF的长．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）求出抛物线的对称轴，求出点B坐标，然后利用待定系数法求出抛物
线的解析式；
（2）求出平移后的对称轴方程、点E坐标，利用待定系数法求出直线AE的解析式
进而求出交点D的坐标；
（3）△ABD与△EFD相似，有两种情形，需要分类讨论．
【解答】解：（1）抛物线y＝mx2﹣mx+n的对称轴为直线：x＝ ＝ ．
∵A（0，2 ），tan∠ABC＝ ，
∴B（2，0）．
∵点A（0，2 ），B（2，0）在抛物线y＝mx2﹣mx+n上，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为：y＝ x2+ x+2 ．
（2）依题意画出图形，如答图1所示：
第21页（共25页）B（2，0）向右平移四个单位后的对应点E的坐标为（6，0），
向右平移四个单位后的新抛物线的对称轴为直线x＝ ．
设直线AE的解析式为y＝kx+b，
将A（0，2 ），E（6，0）代入得： ，解得： ，
∴直线AE的解析式为：y＝ x+2 ．
当x＝ 时，y＝ ，
∴交点D的坐标为（ ， ）．
（3）∵A（0，2 ），E（6，0），
∴tan∠AEB＝ ，∴∠AEB＝30°，∠EAO＝60°；
∵A（0，2 ），B（2，0），
∴tan∠BAO＝ ，∴∠BAO＝30°，∴∠BAE＝30°．
由答图1，易知AB＝ ＝4，NE＝ ，DE＝ ＝ ，AE＝ ＝
，
∴AD＝AE﹣DE＝ ．
∵∠BAE＝∠AEB＝30°，
∴△ABD与△EFD相似，有以下两种情形，如答图2所示：
第22页（共25页）若△ADB∽△EDF，则有 ，
①
∴EF＝ ＝ ＝ ；
若△ADB∽△EFD，则有 ，
②
∴EF＝ ＝ ＝ ．
综上所述，符合题意的EF的长度为 或 ．
【点评】本题是二次函数综合题型，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数
法、解直角三角形、平移变换、相似三角形等知识点，有一定的难度．第（3）问
注意要分类讨论．
25．（14分）在△ABC中，AB＝AC＝10，cosB＝ （如图1），D、E为线段BC上的
两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重
合时运动终止．过E作EF∥AC交AB于F，联结DF．
（1）若设BD＝x，EF＝y，求y关于x的函数，并求其定义域；
（2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积；
（3）如果MN过△DEF的重心，且MN∥BC分别交FD、FE于M、N（如图2）．求
整个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）．
第23页（共25页）【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）根据三角形ABC为等腰三角形，腰AB＝AC＝10，底角B满足cosB＝
，可求得BC，再由EF∥AC，则 ＝ ，把BD＝x，EF＝y，DE＝3代入即可
得出y关于x的函数，再写出再写出自变量的取值范围即可，（0≤x≤13）．
（2）依题意易得出FB＝FE＝ （x+3）．若∠FDB为直角时有BD＝DE．可得出x
的值为3，根据cosB＝ ，得FD，从而得出三角形BDF的面积；若∠BFD为直
角时，则BF＝EF即可得出x的值，从而得出三角形BDF的面积；
（3）根据MN∥BC，可得出线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，直接写出
面积即可．
【解答】解：（1）∵在等腰三角形ABC中，腰AB＝AC＝10，底角B满足cosB＝ ，
∴BC＝10× ×2＝16．
∵EF∥AC，
∴ ＝ ．
BD＝x，EF＝y，DE＝3
∴y＝ （x+3）．（0≤x≤13）．
（2）依题意易得在三角形FBE中，FB＝FE＝ （x+3）．
若∠FDB为直角时（如图1），有BD＝DE．
∴x＝3
又∵cosB＝ ，
∴FD＝ BD＝ ×3＝ ．
∴三角形BDF的面积为 × ×3 ．
第24页（共25页）若∠BFD为直角时（如图2），BF＝EF＝ （x+3）＝ ，
∴x＝ ，
∴△BDF的面积为 × × × × ＝ ，
（3）平行四边形．面积为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的综合运用，以及三角函数、勾股定理和三角形面
积的计算，本题是难度较大的动点题目，在做题时要认真思考每一个已知条件
是解决问题的关键．
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日期：2018/12/26 20:20:42；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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