文档内容
2013年上海市静安区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C．x3+3＝0 D．x4+4＝0
3．（4分）函数y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）已知一组数据3、4、4、5、6、7、4、7，那么这组数据的（ ）
A．中位数是5.5，众数是4
B．中位数是5，平均数是5
C．中位数是5，众数是4
D．中位数是4.5，平均数是5
5．（4分）如果 ▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断 ▱ABCD
为菱形的是（ ）
A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBC C．∠OAB＝∠OCDD．∠OAB＝
∠OAD
6．（4分）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图
形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A B C 是由△ABC沿直
2 2 2
线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等
B．各对应点的连线互相平行
第1页（共25页）C．对应点连线被翻移线平分
D．对应点连线与翻移线垂直
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格
内直接填写答案]
7．（4分）计算： ＝ ．
8．（4分）不等式组 的解集是 ．
9．（4分）如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是 ．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，那么m的取值范围是
．
11．（4分）如果点A（﹣1，2）在一个正比例函数y＝（f x）的图象上，那么y随着x
的增大而 （填“增大”或“减小”）．
12．（4分）将抛物线y＝2x2+1向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是 ．
13．（4分）某校200名学生一次数学测试的分数均大于75且小于150，分数段的
频数分布情况如下：75～90有15人，90～105有42人，105～120有58人，135
～150有35人（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），那么测试分数
在120～135分数段的频率是 ．
14．（4分）从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌
的点数之和为素数的概率是 ．
15．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD， ，那么 ＝
．
16．（4分）如果 O 与 O 内含，O O ＝4， O 的半径是3，那么 O 的半径的
1 2 1 2 1 2
取值范围是 ．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
17．（4分）在△ABC中，∠A＝40°，△ABC绕点A旋转后点C落在边AB上的点
C′，点B落到点B′，如果点C、C′、B′在同一直线上，那么∠B的度数是
．
18．（4分）在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边
形EFGH是矩形，EF＝2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是
第2页（共25页）．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）化简： ，并求当 时的值．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相
交于点E，BD⊥CD，AB＝12，cot∠ADB＝ ．
求：（1）∠DBC的余弦值；
（2）DE的长．
22．（10分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运
行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这
辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA＝
DB，BD与CE相交于点F，∠AFD＝∠BEC．
求证：（1）AF＝CE；
（2）BF2＝EF•AF．
24．（12分）已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH＝5，CD＝ ，点
E在 O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE＝x，DF＝y．
⊙
第3页（共25页）
⊙（1）求 O的半径；
（2）如图，当点E在弧AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义
⊙
域；
（3）如果EF＝ ，求DF的长．
25．（14分）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，
点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB＝2，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是
平行四边形，求边CD的长．
第4页（共25页）2013 年上海市静安区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】51：因式分解的意义．
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【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因
式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、符合因式分解的定义，故本选项正确；
B、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、结果不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义，属于基础题．
2．（4分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B． C．x3+3＝0 D．x4+4＝0
【考点】AG：无理方程．
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【分析】根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断．
【解答】解：A、 ≥0，因而方程一定无解；
B、x﹣1≥0，解得：x≥1，则﹣x＜0，故原式一定不成立，方程无解；
C、x3+3＝0，则x＝﹣ ，故选项正确；
D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程无解．
故选：C．
【点评】本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数．
3．（4分）函数y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（ ）
第5页（共25页）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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【分析】根据k的取值范围确定﹣k﹣1的符号，从而确定一次函数不经过的象限．
【解答】解：∵k＞0
∴﹣k＜0，
∴﹣k﹣1＜0
∴y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象经过一、三、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记比例系数对
函数图象的影响．
4．（4分）已知一组数据3、4、4、5、6、7、4、7，那么这组数据的（ ）
A．中位数是5.5，众数是4
B．中位数是5，平均数是5
C．中位数是5，众数是4
D．中位数是4.5，平均数是5
【考点】W2：加权平均数；W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据定义分别求出平均数、中位数、众数，然后作出选择．
【解答】解：平均数＝（3+4+4+5+6+7+4+7）÷8＝5，
中位数是（4+5）÷2＝4.5，
在这组数据中4出现3次，最多，则众数是4．
故选：D．
【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数．平均数是指在一组数据中所有数据
之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数
据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及
和总数量对应的总份数．
5．（4分）如果 ▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断 ▱ABCD
为菱形的是（ ）
A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBC C．∠OAB＝∠OCDD．∠OAB＝
∠OAD
【考点】L9：菱形的判定．
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第6页（共25页）【分析】 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 四边相等； 对角线互相
垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
① ② ③
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠OAB＝∠ACD，
∵∠OAB＝∠OAD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
故选：D．
【点评】本题考查菱形的判定方法有三种： 定义：一组邻边相等的平行四边形是
菱形； 四边相等； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
①
6．（4分）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图
② ③
形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A B C 是由△ABC沿直
2 2 2
线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等
B．各对应点的连线互相平行
C．对应点连线被翻移线平分
D．对应点连线与翻移线垂直
【考点】RA：几何变换的类型．
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【专题】23：新定义．
【分析】根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分．
第7页（共25页）【解答】解：∵如图所示：△A B C 是由△ABC沿直线l翻移后得到的，
2 2 2
∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分．
故选：C．
【点评】此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关
键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格
内直接填写答案]
7．（4分）计算： ＝ ．
【考点】2F：分数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式利用分数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝ ＝ ．
故答案为：
【点评】此题考查了分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（4分）不等式组 的解集是 x ＞ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，由 得，x＞ ；由 得，x＞2，
① ②
故此不等式组的解集为：x＞2．
故答案为：x＞2．
第8页（共25页）【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（4分）如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是 ± 1 ．
【考点】17：倒数．
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【分析】根据倒数的定义可知如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．
【解答】解：如果一个数的倒数等于它本身，则这个数是±1．
故答案为：±1．
【点评】主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒
数．要求掌握并熟练运用．尤其是±1这两个特殊的数字．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，那么m的取值范围是
m ＞ 10 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】该方程没有实数根，所以根的判别式△＝b2﹣4ac＜0，据此列出关于m的
不等式，通过解不等式即可求得m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m﹣1＝0没有实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（m﹣1）＜0，即40﹣4m＜0，
解得，m＞10．
故答案是：m＞10．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△＝b2﹣4ac的
关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
11．（4分）如果点A（﹣1，2）在一个正比例函数y＝（f x）的图象上，那么y随着x
⇔
的增大而 减小 （填“增大”或“减小”）．
【考点】F6：正比例函数的性质．
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【分析】首先设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把（﹣1，2）点代入函数解析
式，算出k的值，再根据正比例函数的性质即可得到答案．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），
∵过点（﹣1，2），
第9页（共25页）∴2＝k×（﹣1），
解得k＝﹣2，
故正比例函数解析式为：y＝﹣2x，
∵k＝﹣2＜0，
∴y随着x的增大而减小，
故答案为：减小．
【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：
它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增
大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
12．（4分）将抛物线y＝2x2+1向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是 y ＝ 2
（ x ﹣ 3 ） 2 + 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】求出平移前后的两个抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝2x2+1的顶点坐标为（0，1），
向右平移3个单位后的顶点坐标是（3，1），
所以，平移后得到的抛物线的表达式是y＝2（x﹣3）2+1．
故答案为：y＝2（x﹣3）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变换确定出函数解析
式是此类题目常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用，平移规律“左加右减
上加下减”．
13．（4分）某校200名学生一次数学测试的分数均大于75且小于150，分数段的
频数分布情况如下：75～90有15人，90～105有42人，105～120有58人，135
～150有35人（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），那么测试分数
在120～135分数段的频率是 0.2 5 ．
【考点】V6：频数与频率．
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【分析】根据已知75～90、90～105、105～120、135～150的频数，求出120～135
分数段的频数，然后根据频率＝ 即可求出测试分数在120～135分数段的
频率．
【解答】解：120～135分数段的频数＝200﹣15﹣42﹣58﹣35＝50人，
第10页（共25页）则测试分数在120～135分数段的频率＝ ＝0.25．
故答案为：0.25．
【点评】本题考查了频数和频率的知识，注意：每个小组的频数等于数据总数减去
其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和，频率＝ ．
14．（4分）从点数为1、2、3、4、5的五张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌
的点数之和为素数的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到的两张牌的
点数之和为素数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，摸到的两张牌的点数之和为素数的有10种情况，
∴摸到的两张牌的点数之和为素数的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法
可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树
状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数
之比．
15．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD， ，那么 ＝
．
第11页（共25页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】先画出示意图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则可表示出 、 ，从而
可得出 ．
【解答】解：过点D作DE∥AB交BC于点E，则BE＝AD，
∵AD∥BC，BC＝3AD， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
又∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝﹣ ﹣ ＝﹣ ﹣ ．
故答案为：﹣ ﹣ ．
【点评】本题考查了平面向量及平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键
是作出辅助线，将向量转移到一个三角形里面计算．
16．（4分）如果 O 与 O 内含，O O ＝4， O 的半径是3，那么 O 的半径的
1 2 1 2 1 2
取值范围是 r ＞ 7 ．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】首先由题意知 O 与 O 两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情
1 2
况进行讨论．
⊙ ⊙
【解答】解：根据题意两圆内含，
故知r﹣3＞4，
解得r＞7．
故答案为：r＞7．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P＞
R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P
＜R﹣r．
17．（4分）在△ABC中，∠A＝40°，△ABC绕点A旋转后点C落在边AB上的点
第12页（共25页）C′，点B落到点B′，如果点C、C′、B′在同一直线上，那么∠B的度数是
30° ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】作出图形，根据旋转的性质可得AC＝AC′，∠B′AC′＝∠BAC，根据等
腰三角形两底角相等求出∠AC′C，再根据三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和列式求出∠AB′C，根据旋转的性质可得∠ABC＝
∠AB′C′，从而得解．
【解答】解：如图，∵△AB′C′是△ABC旋转得到，
∴AC＝AC′，∠B′AC′＝∠BAC＝40°，
∴∠AC′C＝ （180°﹣∠BAC）＝ （180°﹣40°）＝70°，
∵点C的对应点C′落在AB上，
∴∠AB′C′＝∠AC′C﹣∠B′AC′＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形
更形象直观．
18．（4分）在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，四边
形EFGH是矩形，EF＝2FG，那么矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是
．
【考点】LB：矩形的性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据题意画出图形，如图所示，由正方形性质得到△EFB≌△HDC，
第13页（共25页）△AEH≌△CFG，且四个三角形都为等腰直角三角形，再由等腰直角三角形
BEF与等腰直角三角形CFG相似，且相似比为2：1，得到BE＝BF＝DH＝DG
＝2AE＝2AH＝2CG＝2CF，设正方形边长为3a，表示出BE，BF，以及AH，AE，
利用勾股定理表示出EF与EH，进而表示出矩形EFGH的面积，即可求出矩形
与正方形面积之比．
【解答】解：由正方形的性质得到△EFB≌△HDC，△AEH≌△CFG，且四个三角
形都为等腰直角三角形，
∵△BEF∽△CFG，EF＝2FG，
设正方形的边长为3a，即S ＝9a2，
正方形ABCD
则BE＝BF＝DH＝DG＝2a，AE＝AH＝CG＝CF＝a，
根据勾股定理得：EF＝2 a，EH＝ a，
∴S ＝EF•EH＝4a2，
矩形EFGH
则矩形EFGH与正方形ABCD的面积比是 ．
故答案为：
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及正方形的性质，熟
练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）化简： ，并求当 时的值．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂的意义将原式化为两分式的和，再通过分后相加即可．
第14页（共25页）【解答】解：原式＝
＝ +
＝
＝ ．
当 时，原式＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉负整数指数幂及通分和因式分解是解
题的关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】先把原方程进行变形，得到x+2y＝±3，和x﹣y＝0或x+y﹣4＝0，再重新组
合得出4个二元一次方程组，再分别解方程组即可．
【解答】解： ，
由（1）得：x+2y＝±3，
由（2）得：x﹣y＝0或x+y﹣4＝0，
原方程组可化为 ， ， ， ，
解得原方程组的解是 ， ， ， ．
【点评】此题考查了高次方程，关键是通过把两个方程分解，得到4个二元一次方
程组，再根据求方程的步骤进行求解．
21．（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相
交于点E，BD⊥CD，AB＝12，cot∠ADB＝ ．
第15页（共25页）求：（1）∠DBC的余弦值；
（2）DE的长．
【考点】KQ：勾股定理；LH：梯形；S4：平行线分线段成比例；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据cot∠ADB＝ ，可求出AD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理
求出BD，继而可得出∠DBC的余弦值；
（2）在Rt△BDC中，由（1）的答案可求出BC的长度，再由平行线分线段成比例的
知识可求出DE的长．
【解答】解：（1）∵Rt△ABD中，cot∠ADB＝ ，
∴ ＝ ，
则AD＝16，
∴BD＝ ＝ ＝20，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴cos∠DBC＝cos∠ADB＝ ＝ ＝ ；
（2）在Rt△BCD中，cos∠DBC＝ ，即 ＝ ，
解得：BC＝25，
∵AD∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝ ×BD＝ ×20＝ ．
第16页（共25页）【点评】本题考查了梯形、勾股定理及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关
键是熟练掌握解直角三角形的方法，能正确表示角的三角函数．
22．（10分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运
行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这
辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设这辆高铁列车全程的运行时间为x小时，则那辆动车组列车全程的运行
时间为（x+3）小时，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设这辆高铁列车全程的运行时间为x小时，则那辆动车组列车全程的
运行时间为（x+3）小时，由题意，得
，
．
x2+3x﹣40＝0，
x ＝5，x ＝﹣8．
1 2
经检验：它们都是原方程的根，但x＝﹣8不符合题意．
当x＝5时， ．
答：这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解
答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程
的必要步骤．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA＝
DB，BD与CE相交于点F，∠AFD＝∠BEC．
求证：（1）AF＝CE；
（2）BF2＝EF•AF．
第17页（共25页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形
的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法得出△BFA≌△AEC（AAS），即可得出答
案；
（2）根据∠EAF＝∠ECA，∠FEA＝∠AEC，得出△EFA∽△EAC，进而求出
，即可得出BF2＝EF•AF．
【解答】（1）证明：∵DA＝DB，
∴∠FBA＝∠EAC，
∵∠AFD＝∠BEC，
∴180°﹣∠AFD＝180°﹣∠BEC，
即∠BFA＝∠AEC．
∵在△BFA和△AEC中
，
∴△BFA≌△AEC（AAS）．
∴AF＝CE．
（2）解：∵△BFA≌△AEC，
∴BF＝AE．
∵∠EAF＝∠ECA，∠FEA＝∠AEC，
∴△EFA∽△EAC．
第18页（共25页）∴ ．
∴EA2＝EF•CE．
∵EA＝BF，CE＝AF，
∴BF2＝EF•AF．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定，根据
已知得出∠BFA＝∠AEC是解题关键．
24．（12分）已知AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH＝5，CD＝ ，点
E在 O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE＝x，DF＝y．
⊙
（1）求 O的半径；
⊙
（2）如图，当点E在弧AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义
⊙
域；
（3）如果EF＝ ，求DF的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）连接OD，设 O的半径OA＝OD＝r，根据垂径定理得DH＝ DC＝2
⊙
，在Rt△OHD中利用勾股定理得到r2﹣（5﹣r）2＝（2 ）2，然后解方程即可
得到圆的半径；
（2）作 OG⊥AE，垂足为 G，根据垂径定理得 AG＝ AE＝ x 且易得
△AOG∽△AFH，则AG：AH＝AO：AF，可解得AF＝ ，再在Rt△AHF中利用
第19页（共25页）勾股定理得到FH＝ ＝ ，然后利用DF＝FH﹣DH即可得
到y与x的关系式，当E与D重合时，x最大，则有0＜x≤3 ；
（3）分类讨论：当点E在弧AD上时，由AF﹣AE＝EF可解出x＝6，再代入y与x
的关系式中得到DF＝ ；当点E在弧DB上时，由AE﹣AF＝EF，可求得x＝
，然后根据勾股定理计算出BE＝ ，再利用△AHF∽△AEB得到FH：
BE＝AH：AE，解得FH＝ ，所以DF＝DH﹣FH＝2 ﹣ ；当点E在BC
弧上时，同上得FH＝ ，然后利用DF＝DH+FH计算即可．
【解答】解：（1）连接OD，设 O的半径OA＝OD＝r，
∵AB是 O的直径，弦CD⊥AB，
⊙
∴DH＝⊙ DC＝ ×4 ＝2 ，
在Rt△OHD中，∵OD2﹣OH2＝DH2，OH2＝（AH﹣OA）2＝（5﹣r）2，
∴r2﹣（5﹣r）2＝（2 ）2，解得r＝ ，
∴ O的半径为 ；
⊙
（2）作OG⊥AE，垂足为G，如图，
∴AG＝ AE＝ x，
∴△AOG∽△AFH，
∴AG：AH＝AO：AF，即 x：5＝ ：AF，解得AF＝ ，
∴FH＝ ＝ ＝ ，
∵DF＝FH﹣DH，
∴y关于x的函数解析式为y＝ ﹣2 ，
定义域为0＜x≤3 ；
第20页（共25页）（3）当点E在弧AD上时，如图，∵AF﹣AE＝EF，即 ﹣x＝ ，
化为整式方程得2x2+3x﹣90＝0，解得x ＝﹣ （舍去），x ＝6，
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∴DF＝y＝ ﹣2 ＝ ；
当点E在弧DB上时，如图，∵AE﹣AF＝EF，即x﹣ ＝ ，
化为整式方程得2x2﹣3x﹣90＝0，解得x ＝ ，x ＝﹣6（舍去），
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∵AB为直径，
∴∠E＝90°，
∴△AHF∽△AEB，BE＝ ＝ ，
∴FH：BE＝AH：AE，即FH： ＝5： ，解得FH＝
∴DF＝DH﹣FH＝2 ﹣
当点E在BC弧上时，同上得FH＝ ，
∴DF＝DH+FH＝2 + ．
综上，DF的长为 或2 ﹣ 或2 + ．
第21页（共25页）【点评】本题考查了圆的综合题：垂径定理和圆周角定理在有关圆的几何证明或
几何计算中常用到；利用三角形相似比或勾股定理进行计算几何是常用的方
法．
25．（14分）如图，点A（2，6）和点B（点B在点A的右侧）在反比例函数的图象上，
点C在y轴上，BC∥x轴，tan∠ACB＝2，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，四边形ACDE是
平行四边形，求边CD的长．
第22页（共25页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝ ，由A的坐标可求出k的值，作
AM⊥BC，垂足为M，交y轴于N，利用已知条件求出点B的坐标（6，2）再设二
次函数的解析式为y＝ax2+bx+2，把A和B的坐标代入求出a和b的值即可求
出二次函数的解析式；
（2）延长 AC 交 x 轴于 G，作 EH⊥x 轴，垂足为 H，利用已知条件可证明
△ACM≌△EDH，由全等三角形的性质可得：EH＝AM＝4，DH＝CM＝2，进而
求出点E（3，4），所以OE＝3，OD＝OE﹣DH＝1，利用勾股定理即可求出CD
的长．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝ ，
∵点A（2，6）在反比例函数的图象上，
∴6＝ ，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为 ，
作AM⊥BC，垂足为M，交x轴于N，
∴CM＝2．
在Rt△ACM中，AM＝CM•tan∠ACB＝2×2＝4，
∵BC∥x轴，OC＝MN＝AN﹣AM＝6﹣4＝2，
∴点C的坐标（0，2）．
当x＝2时，y＝6，
第23页（共25页）∴点B的坐标（6，2）
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+2，
则 ，
解得 ，
故二次函数的解析式为 ；
（2）延长AC交x轴于G，作EH⊥x轴，垂足为H，
∵在平行四边形ACDE中，AC∥DE，
∴∠AGO＝∠EDH，
∵BC∥x轴，
∴∠ACM＝∠AGO，
∴∠ACM＝∠EDH．
在△ACM和△EDH中
∴△ACM≌△EDH，
∴EH＝AM＝4，DH＝CM＝2．
∵E点纵坐标为4，点E在反比例函数y＝ 图象上，
∴x＝3，
∴点E（3，4），
∴OH＝3，OD＝OH﹣DH＝1，
∴CD＝ ．
第24页（共25页）【点评】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式和二次函数的解析式
全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用、平行四边形的性质，题目的综
合性很强，难度中等，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．
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日期：2018/12/26 20:24:26；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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