文档内容
2014年上海市静安区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）当a＜﹣2时， 等于（ ）
A．a+2 B．a﹣2 C．2﹣a D．﹣a﹣2
2．（4分）如果a＜b，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A．a﹣2b＜﹣b B．a2＜ab C．ab＜b2 D．a2＜b2
3．（4分）已知函数y＝（k﹣1）x+k﹣2（k为常数），如果y随着x的增大而减小，那
么k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞2 D．k＜2
4．（4分）某校九年级200名学生在第一学期的期末考试中数学成绩（分数都是整
数）分布如表：
分数段 75～89 90～104 105～119 120～134 135～149
频率 0.1 0.15 0.25 0.35 0.15
表中每组数据含最小值和最大值，在最低分为 75分与最高分为149分之间的每
个分数都有学生，那么下列关于这 200名学生成绩的说法中一定正确的是（
）
A．中位数在105～119分数段
B．中位数是119.5分
C．中位数在120～134分数段
D．众数在120～134分数段
5．（4分）如图，将△ABC沿直线AB翻折后得到△ABC ，再将△ABC绕点A旋转
1
后得到△AB C ，对于下列两个结论：
2 2
“△ABC 能绕一点旋转后与△AB C 重合”；
1 2 2
“△ABC 能沿一直线翻折后与△AB C 重合”的正确性是（ ）
① 1 2 2
②
第1页（共26页）A．结论 、 都正确 B．结论 、 都错误
C．结论 正确、 错误 D．结论 错误、 正确
① ② ① ②
6．（4分）如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条件中
① ② ① ②
不能判断四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．OB＝OD B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠ADB＝
∠DBC
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格
内直接填写答案]
7．（4分）计算：25的平方根是 ．
8．（4分）分解因式：x2﹣2x﹣1＝ ．
9．（4分）如果二次根式 有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（4分）关于x的方程x2﹣mx+m2+1＝0的根的情况是 ．
11．（4分）如果抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过A（0，4），B（2，m），那么m的值是
．
12．（4分）某小组8位学生一次数学测试的分数为121，123，123，124，126，127，
128，128，那么这个小组测试分数的标准差是 ．
13．（4分）从3位男同学和2位女同学中任选2人参加志愿者活动，所选2人中
恰好是一位男同学和一位女同学的概率是 ．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2CD，如果 ＝ ， ＝ ，那
么 ＝ ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边
第2页（共26页）BC上，AF与DE相交于点G，如果∠AFB＝110°，那么∠CGF的度数是
．
16．（4分）将关于x的一元二次方程x2+px+q＝0变形为x2＝﹣px﹣q，就可将x2表
示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为
“降次法”． 已知 x2﹣x﹣1＝0，可用“降次法”求得 x4﹣3x﹣1的值是
．
17．（4分）如果 O 与 O 相交于点A、B， O 的半径是5，点O 到AB的距离为
1 2 1 1
3，那么 O 的半径r的取值范围是 ．
2⊙ ⊙ ⊙
18．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD
⊙
上，四边形AEFG是正方形，如果∠B＝60°，AD＝1，那么BC的长是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）化简：（x ﹣1）（x +1）+x﹣1﹣x，并求当x＝ +1时的值．
20．（10分）解方程： + ＝4．
21．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD＝4，
tan∠CBD＝ ．求：
（1）边AB的长；
（2）∠ABE的正弦值．
22．（10分）小丽购买了6支水笔和3本练习本，共用21元；小明购买了12支水
笔和5本练习本，共用39元．已知水笔与练习本的单价分别相同，求水笔与练
第3页（共26页）习本的单价．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，
DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：AD2＝DG•BD；
（2）联结CG，求证：∠ECB＝∠DCG．
24．（12分）已知 O的半径为3， P与 O相切于点A，经过点A的直线与 O、
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
P分别交于点B、C，cos∠BAO＝ ，设 P的半径为x，线段OC的长为y．
（1 ⊙）求AB的长； ⊙
（2）如图，当 P与 O外切时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义
域；
⊙ ⊙
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求 P的半径．
⊙
25．（14分）如图，反比例函数的图象经过点A（﹣2，5）和点B（﹣5，p）， ▱ABCD
的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图象经过点A、
C、D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点C、D的坐标；
第4页（共26页）（3）如果点E在第四象限的二次函数图象上，且∠DCE＝∠BDO，求点E的坐标．
第5页（共26页）2014 年上海市静安区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）当a＜﹣2时， 等于（ ）
A．a+2 B．a﹣2 C．2﹣a D．﹣a﹣2
【考点】73：二次根式的性质与化简．
菁优网版权所有
【分析】先判断出a+2＜0，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a＜﹣2，
∴a+2＜0，
∴ ＝﹣a﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据a的取值范围判断出a+2＜0是
解题的关键．
2．（4分）如果a＜b，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
A．a﹣2b＜﹣b B．a2＜ab C．ab＜b2 D．a2＜b2
【考点】C2：不等式的性质．
菁优网版权所有
【分析】利用不等式的基本性质： 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或
同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； 不等式的两边同时乘以（或除
①
以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的两边同时乘以（或除以）同一
②
个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
③
【解答】解：A、a＜b两边同时减2b，不等号的方向不变可得a﹣2b＜﹣b，故此选
项正确；
B、a＜b两边同时乘以a，应说明a＞0才得a2＜ab，故此选项错误；
C、a＜b两边同时乘以b，应说明b＞0才得ab＜b2，故此选项错误；
D、a＜b两边同时乘以相同的数，故此选项错误；
故选：A．
第6页（共26页）【点评】此题主要考查了不等式的基本性质，关键是要注意不等式的两边同时乘
以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（4分）已知函数y＝（k﹣1）x+k﹣2（k为常数），如果y随着x的增大而减小，那
么k的取值范围是（ ）
A．k＞1 B．k＜1 C．k＞2 D．k＜2
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
菁优网版权所有
【分析】先根据函数y＝（k﹣1）x+k﹣2，y随着x增大而减小得出关于k的不等式，
求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x+k﹣2中，y随着x增大而减小，
∴k﹣1＜0，解得k＜1．
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＜0
时，y随着x增大而减小．
4．（4分）某校九年级200名学生在第一学期的期末考试中数学成绩（分数都是整
数）分布如表：
分数段 75～89 90～104 105～119 120～134 135～149
频率 0.1 0.15 0.25 0.35 0.15
表中每组数据含最小值和最大值，在最低分为 75分与最高分为149分之间的每
个分数都有学生，那么下列关于这 200名学生成绩的说法中一定正确的是（
）
A．中位数在105～119分数段
B．中位数是119.5分
C．中位数在120～134分数段
D．众数在120～134分数段
【考点】V7：频数（率）分布表；W4：中位数；W5：众数．
菁优网版权所有
【分析】根据中位数与众数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：分数段位于75～89的人数：200×0.1＝20，
分数段位于90～104的人数：200×0.15＝30，
分数段位于105～119的人数：200×0.25＝50，
分数段位于120～134的人数：200×0.35＝70，
第7页（共26页）分数段位于135～149的人数：200×0.15＝30，
根据中位数的定义，可知中位数是位于第100与101个分数的平均数，
即中位数是（119+120）÷2＝119.5，
根据众数的定义可知本题的众数不能确定．
故选：B．
【点评】本题考查读频率分布表的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查
中位数、众数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中
间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数
任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据中的数．给
定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
5．（4分）如图，将△ABC沿直线AB翻折后得到△ABC ，再将△ABC绕点A旋转
1
后得到△AB C ，对于下列两个结论：
2 2
“△ABC 能绕一点旋转后与△AB C 重合”；
1 2 2
“△ABC 能沿一直线翻折后与△AB C 重合”的正确性是（ ）
① 1 2 2
②
A．结论 、 都正确 B．结论 、 都错误
C．结论 正确、 错误 D．结论 错误、 正确
① ② ① ②
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；R2：旋转的性质．
① ② ① ②
菁优网版权所有
【分析】根据旋转的性质和轴对称的性质结合图形进行判断即可得解．
【解答】解：由图可知， “△ABC 不能绕一点旋转后与△AB C 重合”，故本小
1 2 2
题错误；
①
“△ABC 沿BB 的垂直平分线翻折后能与△AB C 重合”，故本小题正确；
1 2 2 2
综上所述，结论 错误、 正确．
②
故选：D．
① ②
【点评】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，熟记性质并准确识图理解图形的
变化是解题的关键．
第8页（共26页）6．（4分）如果四边形ABCD的对角线相交于点O，且AO＝CO，那么下列条件中
不能判断四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．OB＝OD B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠ADB＝
∠DBC
【考点】L6：平行四边形的判定．
菁优网版权所有
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是
平行四边形分别进行分析即可．
【解答】解：A、加上BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故
此选项不合题意；
B、加上条件AB∥CD可证明△AOB≌△COD可得BO＝DO，可利用对角线互相
平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、加上条件AB＝CD不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D、加上条件∠ADB＝∠DBC可利用ASA证明△AOD≌△COB，可证明BO＝
DO，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格
内直接填写答案]
7．（4分）计算：25的平方根是 ± 5 ．
【考点】21：平方根．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2＝25即可得出答案．
【解答】解：∵（±5）2＝25
∴25的平方根±5．
故答案为：±5．
【点评】本题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握平方根的
定义，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．
8．（4分）分解因式：x2﹣2x﹣1＝ ．
【考点】58：实数范围内分解因式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
第9页（共26页）【分析】先令x2﹣2x﹣1＝0，解得x＝1± ，即可对所给代数式因式分解．
【解答】解：先令x2﹣2x﹣1＝0，
解得x＝1± ，
∴x2﹣2x﹣1＝[x﹣（1+ ）][x﹣（1﹣ ）]＝（x﹣1﹣ ）（x﹣1+ ）．
故答案是（x﹣1﹣ ）（x﹣1+ ）．
【点评】本题考查了分解因式．解题的关键是利用公式法求一元二方程的根．
9．（4分）如果二次根式 有意义，那么x的取值范围是 x ≤ ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
菁优网版权所有
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
3﹣2x≥0，
解得 x≤ ．
故答案是：x≤ ．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（4分）关于x的方程x2﹣mx+m2+1＝0的根的情况是 无实数根 ．
【考点】AA：根的判别式．
菁优网版权所有
【分析】根据题意先求出△＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（m2+1），再判断出△的符号，
即可得出答案．
【解答】解：∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（m2+1）＝m2﹣4m2﹣4＝﹣3m2﹣4＜0，
∴关于x的方程x2﹣mx+m2+1＝0的根的情况是无实数根；
故答案为：无实数根．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．
11．（4分）如果抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过A（0，4），B（2，m），那么m的值是 4
．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
第10页（共26页）【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，点A、B关于对称轴对称，
∴m＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出对称轴并观察出点A、B
关于对称轴对称是解题的关键．
12．（4分）某小组8位学生一次数学测试的分数为121，123，123，124，126，127，
128，128，那么这个小组测试分数的标准差是 ．
【考点】W8：标准差．
菁优网版权所有
【分析】先求出8个人的成绩的平均数，再求出方差，然后求出方差的算术平方根
即可．
【解答】解：平均数＝（121+123+123+124+126+127+128+128）÷8＝125，
方差S2＝ （[ 121﹣125）2+（123﹣125）2+（123﹣125）2+（124﹣125）2+（126﹣125）
2+（127﹣125）2+（128﹣125）2+（128﹣125）2]，
＝ ×48，
＝6，
所以标准差S＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了标准差的计算，主要利用了平均数，方差的计算公式，还需明
确标准差即方差的算术平方根．
13．（4分）从3位男同学和2位女同学中任选2人参加志愿者活动，所选2人中
恰好是一位男同学和一位女同学的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选2
人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图：
第11页（共26页）∵共有20种等可能的结果，所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的有 12
种情况，
∴所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图
法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
14．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD＝2CD，如果 ＝ ， ＝ ，那
么 ＝ ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】由 ＝ ， ＝ ，利用三角形法则，可求得 的长，又由在△ABC中，点
D在边AC上，AD＝2CD，即可求得 的长，再利用三角形法则求解即可求得
答案．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵AD＝2CD，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ），
第12页（共26页）∴ ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边
BC上，AF与DE相交于点G，如果∠AFB＝110°，那么∠CGF的度数是 40 °
．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理．
菁优网版权所有
【分析】作出图形，根据邻补角的定义求出∠AFC，再判断出点G是AF的中点，再
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CG＝GF，然后根据等腰
三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠AFB＝110°，
∴∠AFC＝180°﹣∠AFB＝180°﹣110°＝70°，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴点G是AF的中点，
∴CG＝GF，
∴∠CGF＝180°﹣2∠AFC＝180°﹣2×70°＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质与定理是解题的关键，作出图形
更形象直观．
16．（4分）将关于x的一元二次方程x2+px+q＝0变形为x2＝﹣px﹣q，就可将x2表
示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为
“降次法”． 已知x2﹣x﹣1＝0，可用“降次法”求得x4﹣3x﹣1的值是 1
第13页（共26页）．
【考点】A3：一元二次方程的解．
菁优网版权所有
【分析】先求得x2＝x+1，再代入x4﹣3x﹣1即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x4﹣3x﹣1＝（x+1）2﹣3x﹣1
＝x2+2x+1﹣3x﹣1
＝x2﹣x
＝x+1﹣x
＝1，
故答案为1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，将四次先降为二次，再将二次降为一次．
17．（4分）如果 O 与 O 相交于点A、B， O 的半径是5，点O 到AB的距离为
1 2 1 1
3，那么 O 的半径r的取值范围是 r ≥ 4 ．
2⊙ ⊙ ⊙
【考点】ML：相交两圆的性质．
⊙
菁优网版权所有
【分析】根据题意画出图形，利用AB为直径时，进而得出 O 的半径r最小值，即
2
可得出答案．
⊙
【解答】解：如图所示：当AB为O 的直径，O O ⊥AB，
2 1 2
O 的半径是5，点O 到AB的距离为3，
1 1
∴AO ＝4，
⊙ 2
此时 O 的半径r最小为4，
2
∴ O 的半径r的取值范围是：r≥4．
⊙2
故答案为：r≥4．
⊙
【点评】此题主要考查了相交两圆的性质，得出 O 的半径r的最小值是解题关
2
键．
⊙
18．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD
第14页（共26页）上，四边形AEFG是正方形，如果∠B＝60°，AD＝1，那么BC的长是 2+
．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；LJ：等腰梯形的性质．
菁优
网版权所有
【分析】过点D作DN⊥AG于点N，利用等腰梯形的性质以及正方形的性质得出
AN以及AG的长，再利用锐角三角函数关系得出BF的长，再利用等边三角的
判定得出FC的长，即可得出答案．
【解答】解：过点D作DN⊥AG于点N，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝1，
∴∠C＝60°，∠BAD＝120°，∠ADC＝120°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠BAG＝90°，
∴∠DAG＝30°，
∴∠DGA＝30°，
∵DN⊥AG，∴AN＝NG，
∴AD＝DG＝1，DN＝ AD＝ ，
∴AN＝ ，
∴AG＝AE＝EF＝FG＝ ，
∴BF＝ ＝ ＝2，
∵∠FGA＝90°，∠AGD＝30°，
∴∠FGC＝60°，
又∵∠C＝60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FC＝FG＝ ，
第15页（共26页）∴BC＝BF+FC＝2+ ．
故答案为：2+ ．
【点评】此题主要考查了等腰梯形的性质以及正方形的性质、勾股定理以及锐角
三角函数关系等知识，得出EF的长是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）化简：（x ﹣1）（x +1）+x﹣1﹣x，并求当x＝ +1时的值．
【考点】2F：分数指数幂；7A：二次根式的化简求值．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据平方差公式和负整数指数幂的意义得到原式＝（ ）2﹣1+ ﹣x＝x
﹣1+ ﹣x，然后合并后通分，再把x的值代入后进行分母有理化即可．
【解答】解：原式＝（ ）2﹣1+ ﹣x
＝x﹣1+ ﹣x
＝ ﹣1
＝ ，
当x＝ +1时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运
算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算
区分，避免互相干扰．也考查了分数指数幂．
20．（10分）解方程： + ＝4．
第16页（共26页）【考点】B4：换元法解分式方程．
菁优网版权所有
【分析】可根据方程特点设y＝ ，则原方程可化为y2﹣4y+3＝0．解一元二次方
程求y，再求x．
【解答】解：设y＝ ，
得： +y＝4，
y2﹣4y+3＝0，
解得y ＝1，y ＝3．
1 2
当y ＝1时， ＝1，x2﹣x+1＝0，此方程没有数解．
1
当y ＝3时， ＝3，x2﹣3x+1＝0，解得x＝ ．
2
经检验x＝ 都是原方程的根，
所以原方程的根是x＝ ．
【点评】本题考查用换元法解分式方程的能力．用换元法解一些复杂的分式方程
是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简
单化，注意求出方程解后要验根．
21．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD＝4，
tan∠CBD＝ ．求：
（1）边AB的长；
（2）∠ABE的正弦值．
【考点】L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【分析】（1）首先连接AC，AC与BD相交于点O，由四边形ABCD是菱形，可得
第17页（共26页）AC⊥BD，BO＝ BD＝2，又由tan∠CBD＝ ，可求得OC的长，然后由勾股定
理求得边AB的长；
（2）由AE⊥BC，利用S ＝BC•AE＝ BD•AC，即可求得AE的长，继而求得
菱形ABCD
∠ABE的正弦值．
【解答】解：（1）连接AC，AC与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝ BD＝2，
∵Rt△BOC中，tan∠CBD＝ ＝ ，
∴OC＝1，
∴AB＝BC＝ ＝ ；
（2）∵AE⊥BC，
∴S ＝BC•AE＝ BD•AC，
菱形ABCD
∵AC＝2OC＝2，
∴ AE＝ ×2×4，
∴AE＝ ，
∴sin∠ABE＝ ＝ ．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，
注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（10分）小丽购买了6支水笔和3本练习本，共用21元；小明购买了12支水
第18页（共26页）笔和5本练习本，共用39元．已知水笔与练习本的单价分别相同，求水笔与练
习本的单价．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
菁优网版权所有
【分析】设水笔与练习本的单价分别为x元、y元，根据买6支水笔和3本练习本，
共用21元；买12支水笔和5本练习本，共用39元，列方程组求解．
【解答】解：设水笔与练习本的单价分别为x元、y元，
由题意得， ，
解得： ，
答：水笔与练习本的单价分别是2元与3元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未
知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，
DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：AD2＝DG•BD；
（2）联结CG，求证：∠ECB＝∠DCG．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形
的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据已知求出AD＝AE，根据SAS证出△BAD≌△CAE，得出∠ABD
＝∠ACE，再根据DF⊥AC，AD＝CD，得出AF＝CF，∠GAD＝∠ACE，从而得
第19页（共26页）出∠GAD＝∠ABD，再根据AA证出△GDA∽△ADB，得出 ＝ ，即可得出
AD2＝DG•BD；
（2）在（1）的基础上证明△DCG∽△DBC，根据相似三角形的性质可以得到相应
的答案．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AD＝ AC，AE＝ AB，
∴AD＝AE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE．
∴∠ABD＝∠ACE，
∵DF⊥AC，AD＝CD，
∴AF＝CF，
∴∠GAD＝∠ACE，
∴∠GAD＝∠ABD．
∵∠GDA＝∠ADB，
∴△GDA∽△ADB．
∴ ＝ ，
∴AD2＝DG•BD．
（2）证明：
∵ ＝ ，AD＝CD，
∴ ＝ ．
∵∠CDG＝∠BDC，
∴△DCG∽△DBC．
∴∠DBC＝∠DCG．
第20页（共26页）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠ECB＝∠DBC＝∠DCG，
∴∠ECB＝∠DCG．
【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的
判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是找出相似三角形，利用相似三
角形的性质求解．
24．（12分）已知 O的半径为3， P与 O相切于点A，经过点A的直线与 O、
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
P分别交于点B、C，cos∠BAO＝ ，设 P的半径为x，线段OC的长为y．
（1 ⊙）求AB的长； ⊙
（2）如图，当 P与 O外切时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义
域；
⊙ ⊙
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求 P的半径．
⊙
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）利用cos∠BAO＝ ＝ ，得出AB＝2AD进而得出答案；
（2）首先得出PC∥OB，进而求出 ＝ ，得出OC与x的函数关系式即可；
（3）当 P 与 O 外切时，根据∠BOA＝∠OCA，∠CAO＝∠POC，则
⊙ ⊙
△OAC∽△OCP，得出 ＝ ．
【解答】解：（1）在 O中，作OD⊥AB，垂足为D，
在Rt△OAD中，cos∠⊙ BAO＝ ＝ ，
第21页（共26页）∴AD＝ AO＝1，
∴BD＝AD＝1，
∴AB＝2AD＝2．
（2）连接OB、PA、PC，
∵ P与 O相切于点A，
∴点P、A、O在一直线上．
⊙ ⊙
∵PC＝PA，OA＝OB，
∴∠PCA＝∠PAC＝∠OAB＝∠OBA，
∴PC∥OB．
∴ ＝ ，
∴AC＝ ＝ ，
∵OD2＝OA2﹣AD2＝32﹣12＝8，CD＝AD+AC＝ x+1，
∴OC＝ ＝ ，
∴y＝ ，（定义域为x＞0）．
（3）当 P与 O外切时，
∵∠BOA＝∠OCA，∠CAO＝∠POC，
⊙ ⊙
∴△OAC∽△OCP．
∴ ＝ ，
∴OC2＝OA•OP，
∴ （4x2+12x+81）＝3（3+x），
∴x ＝0（不符合题意，舍去），x ＝ ，
1 2
第22页（共26页）∴这时 P的半径为 ，
如图：⊙当 P与 O内切时，
△CAO∽△PAC，
⊙ ⊙
∴ ＝ ，
∴ ＝
解得：x＝
∴这时 P的半径为 ，
⊙
∴ P的半径为 或 ．
⊙
【点评】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知
识，利用分类讨论得出是解题关键．
25．（14分）如图，反比例函数的图象经过点A（﹣2，5）和点B（﹣5，p）， ▱ABCD
的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图象经过点A、
C、D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求点C、D的坐标；
第23页（共26页）（3）如果点E在第四象限的二次函数图象上，且∠DCE＝∠BDO，求点E的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）设反比例函数的解析式为 ．由A的坐标可求出k的值，B的横坐标
已知，所以可求出纵坐标，设直线AB的表达式为y＝mx+n，分别把A，B坐标代
入求出m和n的值即可；
（2）由□ABCD中，AB∥CD，可设设CD的表达式为y＝x+c，根据平行四边形的
性质：对边相等即可求出c的值；
（3）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣3，由已知条件易求a和b的值，作EF⊥y
轴，BG⊥y轴，垂足分别为F、G．设CF＝3t，则EF＝5t，OF＝3﹣3t，代入抛物
线的解析式求出t的值即可．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为 ．
∵它图象经过点A（﹣2，5）和点B（﹣5，p），
∴5＝ ，
∴k＝﹣10，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ．
∴p＝﹣ ＝2，
∴点B的坐标为（﹣5，2）．
设直线AB的表达式为y＝mx+n，
第24页（共26页）则 ，
∴ ，
∴直线AB的表达式为y＝x+7；
（2）由□ABCD中，AB∥CD，设CD的表达式为y＝x+c，
∴C（0，c），D（﹣c，0），
∵CD＝AB，
∴CD2＝AB2
∴c2+c2＝（﹣5+2）2+（2﹣5）2，
∴c＝﹣3，
∴点C、D的坐标分别是（0，﹣3）、（3，0）；
（3）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx﹣3，二次函数的图象经过点A、D．
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
作EF⊥y轴，BG⊥y轴，垂足分别为F、G．
∵OC＝OD，BG＝CG，
∴∠BCG＝∠OCD＝∠ODC＝45°．
∴∠BCD＝90°，
∵∠DCE＝∠BDO，
∴∠ECF＝∠BDC，
∴tan∠ECF＝tan∠BDC＝ ＝ ＝ ，
设CF＝3t，则EF＝5t，OF＝3﹣3t，
∴点E（5t，3t﹣3），
∴3t﹣3＝25t2﹣10t﹣3，
∴t＝0（舍）或 ，
第25页（共26页）∴点E（ ，﹣ ）．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数、二次函数的解析式、直
角三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质
以及锐角三角形的运用和两点间的距离公式的运用．此题难度较大，注意掌握
方程思想与数形结合思想的应用．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:21:22；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
