文档内容
2019年上海市静安区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（ ）
A．a2﹣1 B．1﹣a2 C．a2﹣2a+1 D．﹣a2+2a﹣1
3．（4分）函数y＝﹣ （x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小
是（ ）
A．8° B．15° C．18° D．28°
5．（4分）小明和小丽暑期参加工厂社会实践活动，师傅将他们工作第一周每天生产的合格产
品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们工作第一周每天生产的合格产品个数，下
列说法中正确的是（ ）
小明 2 6 7 7 8
小丽 2 3 4 8 8
A．小明的平均数小于小丽的平均数
B．两人的中位数相同
C．两人的众数相同
D．小明的方差小于小丽的方差
6．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
第1页（共26页）C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形
D．正多边形都是中心对称图形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填
写答案】
7．（4分）计算：a2•a4＝ ．
8．（4分）如果 有意义，那么x的取值范围是 ．
9．（4分）方程： ＝3的解为 ．
10．（4分）如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范
围是 ．
11．（4分）某商店三月份的利润是25000元，要使五月份的利润达到36000元，假设每月的利
润增长率相同，那么这个相同的增长率是 ．
12．（4分）已知正比例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增大而 ．（填“增大”或
“减小”）
13．（4分）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是 ．
14．（4分）为了解某校九年级男生1000米跑步的水平情况，从中随机抽取部分男生进行测试，
并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，那么扇形统
计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 度．
15．（4分）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则 ＝ ．
16．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有且
只有一个交点，那么 C的半径是 ．
17．（4分）如图，在平行四⊙边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结
EC、FG交于点M．已知 ＝ ， ＝ ，那么向量 ＝ ．（用向量 ， 表示）．
第2页（共26页）18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2 ，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线
AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB
所构成的夹角为60°，那么点P的坐标是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置
上】
19．（10分）计算：4﹣ +（ ﹣1）2+ +|1﹣ |．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5小时内6个时间点
的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．
x （小时） 0 1 2 3 4 5 …
y（米） 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 …
（1）通过观察数据，请写出水位高度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；
（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到8米时，水库报警系统会自动
发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．
22．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点
E、F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数．
第3页（共26页）23．（12分）已知：如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交
BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥⊙DE交AC于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠CBF；
（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图7），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，
与x轴的另一个交点为A，顶点为P（﹣3，4）．
（1）求这条抛物线表达式；
（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B，联结PB、PQ．
设点B的纵坐标为m，用含m的代数式表示∠BPQ的正切值；
（3）连接AP，在（2）的条件下，射线PB平分∠APQ，求点B到直线AP的距离．
25．（14分）已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P在射线
BA上，以BP为半径的 P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，
⊙
第4页（共26页）PC＝y．
（1）求证：PE∥DC；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的 D与 P相交，求R的取值范
围． ⊙ ⊙
第5页（共26页）2019年上海市静安区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：与 是同类二次根式的是 ，
故选：C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2．（4分）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（ ）
A．a2﹣1 B．1﹣a2 C．a2﹣2a+1 D．﹣a2+2a﹣1
【分析】利用平方差公式计算即可求出值，
【解答】解：原式＝（﹣a）2﹣12＝a2﹣1，
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．（4分）函数y＝﹣ （x＞0）的图象位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据反比例函数中y＝ ，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一
象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．
【解答】解：函数y＝﹣ （x＞0）的图象位于第四象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆反比例函数图象分布的象限是解题
关键．
4．（4分）如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小
是（ ）
第6页（共26页）A．8° B．15° C．18° D．28°
【分析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和
定理求得角的度数即可得出结果．
【解答】解：∵正五边形的内角的度数是 ×（5﹣2）×180°＝108°，
又∵正方形的内角是90°，
∴∠1＝108°﹣90°＝18°；
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理、正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是
关键．
5．（4分）小明和小丽暑期参加工厂社会实践活动，师傅将他们工作第一周每天生产的合格产
品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们工作第一周每天生产的合格产品个数，下
列说法中正确的是（ ）
小明 2 6 7 7 8
小丽 2 3 4 8 8
A．小明的平均数小于小丽的平均数
B．两人的中位数相同
C．两人的众数相同
D．小明的方差小于小丽的方差
【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的计算公式分别进行解答即可得出答案．
【解答】解：A、小明的平均数为（2+6+7+7+8）÷5＝6，小丽的平均数为（2+3+4+8+8）÷5＝5，
故本选项错误；
B、小明的中位数为7，小丽的中位数为4，故本选项错误；
C、小明的众数为7，小丽的众数为8，故本选项错误；
D、小明的方差为4.4，小丽的方差为6.4，小明的方差小于小丽的方差，故原题说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，熟练掌握定义和公式是解题的关键；
第7页（共26页）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺
序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组
数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一般地设n个数据，
x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝ （[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一
1 2 n 1 2 n
组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．顺次联结矩形各边中点所得四边形是正方形
D．正多边形都是中心对称图形
【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据正方形的判定方法对B进行判断；根据
矩形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定方法对C进行判断；根据中心对称图形的
定义对D进行判断．
【解答】解：A 对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，所以B选项正确；
C、顺次联结矩形各边中点所得四边形是菱形，所以C选项错误；
D、边数为偶数的正多边形都是中心对称图形，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．命题都是由题设和结论
两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如
果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填
写答案】
7．（4分）计算：a2•a4＝ a 6 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行运算即可．
【解答】解：a2•a4＝a2+4＝a6．
故答案为：a6．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握同底数幂
的乘法法则．
第8页（共26页）8．（4分）如果 有意义，那么x的取值范围是 x ＞ 0 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知： ，
解得：x＞0，
故答案为：x＞0．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及分式有意
义的条件，本题属于基础题型．
9．（4分）方程： ＝3的解为 1 0 ．
【分析】将无理方程两边平方，转化为一元一次方程来解．
【解答】解：两边平方得：x﹣1＝9，
移项得：x＝10．
故本题答案为：10．
【点评】本题由于两边平方，可能产生增根，所以解答以后要验根．
10．（4分）如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范
围是 m ＞ 4 ．
【分析】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程
x2﹣4x+m＝0无实数根，由此可解．
【解答】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程
x2﹣4x+m＝0无实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，
∴m＞4．
故答案为：m＞4．
【点评】本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，
属于比较简单的问题．
11．（4分）某商店三月份的利润是25000元，要使五月份的利润达到36000元，假设每月的利
润增长率相同，那么这个相同的增长率是 20% ．
【分析】设每月的利润增长率为x，根据该商店三月份及五月份的利润，可得出关于x的一
元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每月的利润增长率为x，
依题意，得：25000（1+x）2＝36000，
第9页（共26页）解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．
12．（4分）已知正比例函数y＝﹣2x，那么y的值随x的值增大而 减小 ．（填“增大”或
“减小”）
【分析】直接根据正比例函数的性质解答．
【解答】解：因为正比例函数y＝﹣2x中的k＝﹣2＜0，
所以y的值随x的值增大而 减小．
故答案是：减小．
【点评】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数y＝kx（k≠0）的图象为直线，当k＞0
时，图象经过第一、三象限，y值随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y
值随x的增大而减小．
13．（4分）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是 ．
【分析】利用列举法展示所有4种等可能的结果数，再确定取得的3个数中不含2的结果
数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：从0，1，2，3这四个数字中任取3个数有0、1、2；0、1、3；0、2、3；1、2、3四种等
可能的结果数，
所以取得的3个数中不含2的概率＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的
概率．
14．（4分）为了解某校九年级男生1000米跑步的水平情况，从中随机抽取部分男生进行测试，
并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，那么扇形统
计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为 7 2 度．
第10页（共26页）【分析】根据A等次的人数和所占的百分比求出总人数，再用C等次的人数除以总人数求
出所占的百分比，然后乘以360°即可得出答案．
【解答】解：扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为：360°× ＝
72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．
15．（4分）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则 ＝ ．
【分析】设△ABC边AB上的高为h，根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距
离的2倍可得△ABG边AB上的高线为 h，再根据三角形的面积公式计算即可得解．
【解答】解：设△ABC边AB上的高为h，
∵G是△ABC的重心，
∴△ABG边AB上的高为 h，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
第11页（共26页）【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距
离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．
16．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有且
只有一个交点，那么 C的半径是 ．
【分析】根据等腰直⊙角三角形的性质和直线与圆的位置关系解答即可．
【解答】解：
∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∵以点C为圆心的圆与斜边AB有且只有一个交点，
∴CD⊥AB，
∴CD＝ ，
即 C的半径是
故⊙答案为： ．
【点评】此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据等腰直角三角形的性质和直线与圆的
位置关系解答．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结
EC、FG交于点M．已知 ＝ ， ＝ ，那么向量 ＝ + ．（用向量 ， 表示）．
【分析】如图，延长FG交CD的延长线于H．首先证明CM＝ EC，求出 即可解决问题．
【解答】解：如图，延长FG交CD的延长线于H．
第12页（共26页）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CH，
∴ ＝ ＝1，
∴AF＝DH，
设AE＝EF＝FB＝a，则AB＝CD＝3a，AF＝DH＝2a，CH＝5a，
∵EF∥CH，
∴ ＝ ＝ ，
∴CM＝ CE，
∵ ＝ + ＝ + ，
∴ ＝ ＝ + ，
故答案为 + ．
【点评】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的
关键是学会添加常用辅助线，灵活运用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考
题型．
18．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2 ，0），B（0，6），M（0，2）．点Q在直线
AB上，把△BMQ沿着直线MQ翻折，点B落在点P处，联结PQ．如果直线PQ与直线AB
所构成的夹角为60°，那么点P的坐标是 （ 2 ， 4 ）或（ 0 ，﹣ 2 ）或（﹣ 2 ， 0 ） ．
第13页（共26页）【分析】先求出OA＝2 ，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，tan∠BAO＝ ，得出
∠BAO＝60°，AB＝2OA＝4 ，分∠PQB＝120°或∠PQB＝60°两种情况，
（1）当∠PQB＝120°时，又分两种情况： 延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，
①
QN⊥BM，由折叠得出BM＝MP＝4，求出BN＝NM＝ BM＝2，由勾股定理得出NP＝
＝2 ，ON＝OM+NM＝4，即可得出P点的坐标； QM⊥OB，BM＝MP，OP
②
＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，即可得出P点的坐标；
（2）当∠PQB＝60°时，Q点与A点重合，AB＝AP＝4 ，OP＝AP﹣OA＝2 ，即可得出P
点的坐标；
综上情况即可P点的坐标．
【解答】解：∵A（2 ，0），B（0，6），M（0，2），
∴OA＝2 ，OB＝6，OM＝2，BM＝OB﹣OM＝4，
∴tan∠BAO＝ ＝ ＝ ，
∴∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝4 ，
∵直线PQ与直线AB所构成的夹角为60°，
∴∠PQB＝120°或∠PQB＝60°，
（1）当∠PQB＝120°时，分两种情况：
如图1所示：延长PQ交OB于点N，则∠BQN＝60°，
①∴∠QNB＝90°，即QN⊥BM，
第14页（共26页）由折叠得：BM＝MP＝4，∠BQM＝∠PQM，
∵∠PQB＝120°，
∴∠BQM＝∠PQM＝120°，
∴∠BQN＝∠MQN＝60°，
∵QN⊥BM，
∴BN＝NM＝ BM＝2，
在Rt△PNM中，NP＝ ＝ ＝2 ，
ON＝OM+NM＝4，
∴P点的坐标为：（2 ，4）；
如图2所示：QM⊥OB，BM＝MP，
②OP＝PM﹣OM＝BM﹣OM＝4﹣2＝2，
∴P点的坐标为：（0，﹣2）；
（2）当∠PQB＝60°时，如图3所示：Q点与A点重合，
由折叠得：AB＝AP＝4 ，
OP＝AP﹣OA＝4 ﹣2 ＝2 ，
∴P点的坐标为：（﹣2 ，0）；
综上所述：P点的坐标为：（2 ，4）或（0，﹣2）或（﹣2 ，0）．
第15页（共26页）【点评】本题考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角函数、坐标等知
识，熟练掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质，并进行分类讨论是关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置
上】
19．（10分）计算：4﹣ +（ ﹣1）2+ +|1﹣ |．
【分析】将原式每一项分别化简为 +（2+1﹣2 ）+（ ﹣ ）+ ﹣1，再进行计算即
可．
【解答】解：原式＝ +（2+1﹣2 ）+（ ﹣ ）+ ﹣1
＝ +3﹣2 + ﹣ + ﹣1
＝ + ﹣2 ．
【点评】本题考查负指数幂的运算，分母有理化，绝对值运算．能够将每一项准确化简是正
确计算的关键．
第16页（共26页）20．（10分）解方程组：
【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程
组即可．
【解答】解：
由 得：（x﹣2y）（x+5y）＝0
②
原方程组可化为： 或
解得： ， ．
∴原方程组的解为 ， ．
【点评】本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
21．（10分）一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续5小时内6个时间点
的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度．
x （小时） 0 1 2 3 4 5 …
y（米） 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 …
（1）通过观察数据，请写出水位高度y与时间x的函数解析式（不需要写出定义域）；
（2）据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到8米时，水库报警系统会自动
发出警报．请预测再过多久系统会发出警报．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数解析式；
（2）将y＝8代入（1）中的函数解析式，求出x的值，再用x的值减去5即可解答本题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，
，得 ，
即y与x之间的函数解析式为y＝0.3x+3；
（2）把y＝8，代入y＝0.3x+3，得
8＝0.3x+3，
第17页（共26页）解得，x＝ ，
＝ ，
答：再过 小时后系统会发出警报．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解
答．
22．（10分）已知：如图，在矩形ABCD中，过AC的中点M作EF⊥AC，分别交AD、BC于点
E、F．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）如果CD2＝BF•BC，求∠BAF的度数．
【分析】（1）通过证明△AME≌△CMF得到ME＝MF．则可判断四边形AECF为平行四边
形，然后利用对角线互相垂直得到结论；
（2）利用CD2＝BF•BC和AB＝CD得到 ＝ ，根据相似三角形的判定方法得到
△ABF∽△CBA，所以∠2＝∠3，而根据菱形的性质得∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，从而
可求出∠1的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵点M为AC的中点，
∴AM＝CM．
在△AME与△CMF中
∴△AME≌△CMF（ASA），
第18页（共26页）∴ME＝MF．
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形；
（2）解：∵CD2＝BF•BC，
∴ ＝ ，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，
∴ ＝
又∵∠ABF＝∠CBA，
∴△ABF∽△CBA，
∴∠2＝∠3，
∵四边形AECF为菱形，
∴∠1＝∠4，即∠1＝∠3＝∠4，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠1+∠3+∠4＝90°，
∴即∠1＝30°．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了菱形的判定与性质和矩形的性质．
23．（12分）已知：如图，△ABC内接于 O，AB＝AC，点E为弦AB的中点，AO的延长线交
BC于点D，联结ED．过点B作BF⊥⊙DE交AC于点F．
（1）求证：∠BAD＝∠CBF；
（2）如果OD＝DB．求证：AF＝BF．
第19页（共26页）【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，由垂径定理得出AD⊥BC，BD＝CD，
证出DE是△ABC的中位线．得出DE∥AC，证出∠BFC＝90°，由角的互余关系即可得出
结论；
（2）连接OB．证出△ODB是等腰直角三角形，得出∠BOD＝45°．再由等腰三角形的性质
得出∠OBA＝∠OAB．即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图1所示：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，
∵直线AD经过圆心O，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵点E为弦AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC，
∵BF⊥DE，
∴∠BPD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠CBF+∠ACB＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBF+∠ABC＝90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝∠CBF；
（2）证明：连接OB．如图2所示：
∵AD⊥BC，OD＝DB，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∴∠BOD＝45°．
∵OB＝OA，
第20页（共26页）∴∠OBA＝∠OAB．
∵∠BOD＝∠OBA+∠OAB，
∴∠BAO＝ ∠BOD＝22.5°，
∵AB＝AC，且AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAO＝45°．
∵∠2＝90°，即BF⊥AC，
∴在△ABF中，∠ABF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴AF＝BF．
【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂径
定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图7），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，
与x轴的另一个交点为A，顶点为P（﹣3，4）．
（1）求这条抛物线表达式；
（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B，联结PB、PQ．
设点B的纵坐标为m，用含m的代数式表示∠BPQ的正切值；
（3）连接AP，在（2）的条件下，射线PB平分∠APQ，求点B到直线AP的距离．
第21页（共26页）【分析】（1）可设顶点式解析式，把点O（0，0）代入，求得a，从而得抛物线的解析式；
（2）画图，把∠BPQ放到直角三角形中来考虑，分别用点P、点H、点B的相关坐标来表示
这个直角三角形中的直角边长即可求解；
（3）设PB与x轴交于点M，求出点A坐标，利用点P坐标，得出AP长度，利用角平分线即
PQ∥x轴，推得∠AMP＝∠APB，从而得出AP和AM的长度；
求出直线PB得解析式，从而求得点B的坐标，进而求出BH的长度，再利用角平分线的性
质定理即可得点B到直线AP的距离就等于BH的长度．
【解答】解：（1）设抛物线表达式为：y＝a（x+3）2+4（a≠0）
把O（0，0）代入得 ，
∴抛物线的表达式： ．
（2）设PQ与y轴交点为H．
∵P（﹣3，4），B（0，m），
∴PH＝3，BH＝4﹣m，
在Rt△PBH中，tan∠BPQ＝ ＝ ．
故∠BPQ的正切值为： ．
第22页（共26页）（3）设PB与x轴交于点M．
由（1）得点A坐标为（﹣6，0）．
又P（﹣3，4），
∴AP＝5．
∵射线PB平分∠APQ，
∴∠APB＝∠BPQ．
∵PQ∥x轴，∴∠AMP＝∠BPQ，
∴∠AMP＝∠APB，
∴AP＝AM＝5，
∴M（﹣1，0）．
设直线PB为y＝kx+b（k≠0），把点P（﹣3，4），M（﹣1，0）代入，得：y＝2x﹣2，
∴点B为（0，﹣2）．
∴BH＝4﹣m＝4﹣（﹣2）＝6．
∵射线PB平分∠APQ，BH⊥PQ，
∴点B到直线AP的距离为6．
【点评】本题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法求解析式、构造直角三角形求
三角函数值、利用点的坐标表示相关线段长度，以及角平分线的性质定理来得点到直线的
距离等知识点，综合性较强，难度较大．
25．（14分）已知：如图8，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝BC＝CD＝6．动点P在射线
BA上，以BP为半径的 P交边BC于点E（点E与点C不重合），联结PE、PC．设BP＝x，
PC＝y． ⊙
（1）求证：PE∥DC；
第23页（共26页）（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）联结PD，当∠PDC＝∠B时，以D为圆心半径为R的 D与 P相交，求R的取值范
围． ⊙ ⊙
【分析】（1）根据梯形的性质得到∠B＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠B＝
∠PEB，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．推出四边形ADGF是矩形，
PH∥AF，求得BF＝FG＝GC＝2，根据勾股定理得到AF＝ ＝ ＝4
，根据平行线分线段成比例定理得到PH＝ x，BH＝ x，求得CH＝6﹣ x，根据勾股
定理即可得到结论；
（3）作EM∥PD交DC于M．推出四边形PDME是平行四边形．得到PE＝DM＝x，即 MC
＝6﹣x，根据相似三角形的性质得到PD＝EC＝6﹣ ＝ ，根据相切两圆的性质即可
得到结论．
【解答】（1）∵证明：梯形ABCD，AB＝CD，
∴∠B＝∠DCB，
∵PB＝PE，
∴∠B＝∠PEB，
∴∠DCB＝∠PEB，
∴PE∥CD；
（2）解：分别过P、A、D作BC的垂线，垂足分别为点H、F、G．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AF⊥BC，DG⊥BC，PH⊥BC，
∴四边形ADGF是矩形，PH∥AF，
第24页（共26页）∵AD＝2，BC＝DC＝6，
∴BF＝FG＝GC＝2，
在Rt△ABF中，
AF＝ ＝ ＝4 ，
∵PH∥AF，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴PH＝ x，BH＝ x，
∴CH＝6﹣ x，
在Rt△PHC中，PC＝ ，
∴y＝ ，即y＝ ，
（3）解：作EM∥PD交DC于M．
∵PE∥DC，
∴四边形PDME是平行四边形．
∴PE＝DM＝x，即 MC＝6﹣x，
∴PD＝ME，∠PDC＝∠EMC，
又∵∠PDC＝∠B，∠B＝∠DCB，
∴∠DCB＝∠EMC＝∠PBE＝∠PEB．
∴△PBE∽△ECM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝ ，
即BE＝ ，
∴PD＝EC＝6﹣ ＝ ，
当两圆外切时，PD＝r +R，即R＝0（舍去）；
P
第25页（共26页）当两圆内切时，PD＝r ﹣R，即R ＝0（舍去），R ＝ ；
P 1 2
即两圆相交时，0＜R＜ ．
【点评】本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判
定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
第26页（共26页）
