文档内容
2019年上海市青浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相
应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个菱形
C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
2．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l 、l 于点A、D、F和点B、C、E，如果
1 2
AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝ ，BC＝a，那么AC等于（ ）
A．a•tan B．a•cot C．αa•sin D．a•cos
4．（4分）下α 列判断错误的是（ α ） α α
A．0•
B．如果 ， ，其中 ，那么 ∥
C．设 为单位向量，那么
D．如果 ，那么 或
5．（4分）如图，已知△ABC，D、E分别在边 AB、AC 上，下列条件中，不能确定
△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°
C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
第1页（共26页）A．ac＞0 B．b＞0 C．a+c＜0 D．a+b+c＝0
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位
置]
7．（4分）如果 ＝ ，那么 ＝ ．
8．（4分）计算：3（ ﹣2 ）﹣2（ ﹣3 ）＝ ．
9．（4分）两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为 ．
10．（4分）抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点坐标是 ．
11．（4分）抛物线y＝﹣x2+mx﹣3m的对称轴是直线x＝1，那么m＝ ．
12．（4分）抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）
13．（4分）如果 是锐角，且sin ＝cos20°，那么 ＝ 度．
14．（4分）如图，某α水库大坝的橫断α面是梯形ABCD，α坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：
2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为 米．
15．（4分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点
上，则tan∠ABC的值为 ．
16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE
＝ ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，tan∠CAB＝2，将△ABC绕点A旋转后，
第2页（共26页）点B落在AC的延长线上的点D，点C落在点E，DE与直线BC相交于点F，那么CF＝
．
18．（4分）对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S到图形上的任意一点P之间的
线段都在图形内或图形上，那么这样的点S称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE，
S 是“亮点”，S 不是“亮点”，如果AB∥DE，AE∥DC，AB＝2，AE＝1，∠B＝∠C＝
1 2
60°，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[请将解题过程填入答题纸的相应位置]
19．（10分）计算：（sin30°）﹣1+|1﹣cot30°|+ tan30°﹣ ．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE＝2BE，AC、DE相交于点F．
（1）求DF：EF的值；
（2）如果 ， ，试用 、 表示向量 ．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE ＝1：8，求S△ADE ：S△BDE 的值．
第3页（共26页）22．（10分）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这
时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情
况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈
）
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，
AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2平移后经过点A（﹣1，0）、B（4，0），
且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．
第4页（共26页）（1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）如果点D在线段CB上，且CD＝ ，求∠CAD的正弦值；
（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果
四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段
BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC
的延长线于点H．
（1）求证：BG＝CH；
（2）设AD＝x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．
第5页（共26页）2019年上海市青浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相
应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个正方形 B．两个菱形
C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形
【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三
角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，
故本选项正确；
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；
D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
2．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l 、l 于点A、D、F和点B、C、E，如果
1 2
AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到 ＝ ＝3，则BC＝3CE，然后利用BC+CE
＝BE＝10可计算出CE的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
第6页（共26页）∴ ＝ ＝3，
∴BC＝3CE，
∵BC+CE＝BE，
∴3CE+CE＝10，
∴CE＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝ ，BC＝a，那么AC等于（ ）
A．a•tan B．a•cot C．αa•sin D．a•cos
【分析】α画出图形，根据锐角三α角函数的定义求出即可α． α
【解答】解：cot ＝ ，
α
∴AC＝BC•cot ＝a•cot ，
故选：B． α α
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
4．（4分）下列判断错误的是（ ）
A．0•
B．如果 ， ，其中 ，那么 ∥
C．设 为单位向量，那么
D．如果 ，那么 或
【分析】根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答．
【解答】解：A、0• ，故本选项不符合题意．
B、由 ， 得到： ＝ ， ＝﹣ ，故两向量方向相反， ∥ ，故本选项
不符合题意．
C、 为单位向量，那么 ，故本选项不符合题意．
第7页（共26页）D、由 只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选
项符合题意．
故选：D．
【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度
不大．
5．（4分）如图，已知△ABC，D、E分别在边 AB、AC 上，下列条件中，不能确定
△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°
C．AD•BC＝AC•DE D．AD•AB＝AE•AC
【分析】A和B：根据有两组角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
C、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可；
D、根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行判断即可．
【解答】解：A、由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C＝180°，∠ADE+∠BDE＝180°，得∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断
△ADE∽△ACB；
C、由AD•BC＝AC•DE，得 不能判断△ADE∽△ACB；
D、由AD•AB＝AE•AC得 ＝ ，∠A＝∠A，故能确定△ADE∽△ACB，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角
形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
第8页（共26页）A．ac＞0 B．b＞0 C．a+c＜0 D．a+b+c＝0
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故A错误；
（B）由对称轴可知：x＝ ＜0，
∴b＜0，故B错误；
（C）由对称轴可知：x＝ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a+c＝a﹣3a＝﹣2a＞0，故C错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中
等题型．
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位
置]
7．（4分）如果 ＝ ，那么 ＝ ．
【分析】由 ＝ 可得 ＝ ，进一步得到1+ ＝ ，可求 ，进一步得到 的值．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
1+ ＝ ，
＝ ，
∴ ＝ ．
第9页（共26页）故答案为： ．
【点评】考查了比例的性质，关键是得到1+ ＝ ．
8．（4分）计算：3（ ﹣2 ）﹣2（ ﹣3 ）＝ ．
【分析】实数的运算法则同样适用于该题．
【解答】解：3（ ﹣2 ）﹣2（ ﹣3 ）
＝3 ﹣3 ﹣2 +3
＝（3﹣2） +（﹣3+3）
＝ ．
故答案是： ．
【点评】考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．
9．（4分）两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为 1 ： 3 ．
【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求
得答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：3，
∴它们的周长比为：1：3．
故答案为：1：3．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形周长的比等
于相似比定理的应用是解此题的关键．
10．（4分）抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点坐标是 （ 2 ，﹣ 5 ） ．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，
直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣4﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1的顶点坐标是（2，﹣5）．
故答案为：（2，﹣5）
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称
轴为x＝h，此题还考查了配方法求顶点式．
11．（4分）抛物线y＝﹣x2+mx﹣3m的对称轴是直线x＝1，那么m＝ 2 ．
【分析】由抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质可得出关于m的一元一次方
程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx﹣3m的对称轴是直线x＝1，
第10页（共26页）∴﹣ ＝1，
∴m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记抛物线的对称轴为直线x＝﹣ 是解题的关键．
12．（4分）抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是 上升 ．（填“上升”或“下降”）
【分析】根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣2，
∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x增大而增大，
∴其图象在y轴右侧部分是上升，
故答案为：上升．
【点评】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y
随x的增大而增大是解题的关键．
13．（4分）如果 是锐角，且sin ＝cos20°，那么 ＝ 7 0 度．
【分析】直接利α用sinA＝cos（9α0°﹣∠A），进而α得出答案．
【解答】解：∵sin ＝cos20°，
∴ ＝90°﹣20°＝70α°．
故α答案为：70．
【点评】此题主要考查了互余两角三角函数的关系，正确把握相关性质是解题关键．
14．（4分）如图，某水库大坝的橫断面是梯形ABCD，坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：
2.4，那么该水库迎水坡CD的长度为 3 9 米．
【分析】直接利用坡度的定义得出EC的长，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵坝高为15米，迎水坡CD的坡度为1：2.4，
∴DE＝15m，
则 ＝ ，
第11页（共26页）故EC＝2.4×15＝36（m），
则在Rt△DEC中，
DC＝ ＝39（m）．
故答案为：39．
【点评】此题主要考查了坡度的定义，正确得出EC的长是解题关键．
15．（4分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点
上，则tan∠ABC的值为 ．
【分析】根据题意和勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以求得tan∠ABC的值．
【解答】解：连接CD，如右图所示，
设每个小正方形的边长为a，
则CD＝ ，BD＝2 a，BC＝ a，
∵（2 a）2+（ a）2＝（ a）2，
∴△BCD是直角三角形，
∴tan∠ABC＝tan∠DBC＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
第12页（共26页）【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数
形结合的思想解答．
16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE
＝ ．
【分析】连接DH，依据等腰三角形的性质，即可得到 DH为△ABC的中位线，依据
△DEH∽△BEA，即可得到BE＝2，进而得出AE的长．
【解答】解：如图所示，连接DH，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴H为BC的中点，
又∵D为AC的中点，
∴DH为△ABC的中位线，
∴DH∥AB，DH＝ AB，
∴△DEH∽△BEA，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
又∵BD＝3，
∴BE＝2，
∴Rt△BEH中，EH＝ ＝ ，
∴AE＝2EH＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，tan∠CAB＝2，将△ABC绕点A旋转后，
第13页（共26页）点B落在AC的延长线上的点D，点C落在点E，DE与直线BC相交于点F，那么CF＝
．
【分析】根据已知条件得到BC＝AC•tan∠CAB＝2，根据勾股定理得到AB＝
＝ ，根据旋转的性质得到AD＝AB＝ ，∠D＝∠B，根据三角函数的定义即可得到结
论．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，tan∠CAB＝2，
∴BC＝AC•tan∠CAB＝2，
∴AB＝ ＝ ，
∵将△ABC绕点A旋转后，点B落在AC的延长线上的点D，
∴AD＝AB＝ ，∠D＝∠B，
∵AC＝1，
∴CD＝ ﹣1，
∵∠FCD＝∠ACB＝90°，
∴tanD＝tan∠CAB＝ ＝2，
∴CF＝ ，
故答案为： ．
第14页（共26页）【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正确的画出图形是解题的关键．
18．（4分）对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S到图形上的任意一点P之间的
线段都在图形内或图形上，那么这样的点S称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE，
S 是“亮点”，S 不是“亮点”，如果AB∥DE，AE∥DC，AB＝2，AE＝1，∠B＝∠C＝
1 2
60°，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为 ．
【分析】如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N．由题意：该图形中所有“亮
点”组成的图形是△EMN，证明△EMN是等边三角形，求出EN即可．
【解答】解：如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N．
由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是△EMN，
∵AB∥DE，AE∥DC，
∴∠EMN＝∠B＝60°，∠ENM＝∠C＝60°，
∴△EMN，△ABN是等边三角形，
第15页（共26页）∴AN＝AB＝2，
∵AE＝1，
∴EN＝1，
∴S△EMN ＝ ×12＝ ．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[请将解题过程填入答题纸的相应位置]
19．（10分）计算：（sin30°）﹣1+|1﹣cot30°|+ tan30°﹣ ．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式化简4个考点．
在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（sin30°）﹣1+|1﹣cot30°|+ tan30°﹣
＝（ ）﹣1+|1﹣ |+ × ﹣
＝
＝ ．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点
的运算．
20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，CE＝2BE，AC、DE相交于点F．
（1）求DF：EF的值；
（2）如果 ， ，试用 、 表示向量 ．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）利用三角形法则即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
第16页（共26页）∴ ，
∵CE＝2BE，
∴ ，
∴ ．
（2）∵CE＝2BE，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ＝ ．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的
关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2＝AD•AB，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果S△ADE ：S四边形DBCE ＝1：8，求S△ADE ：S△BDE 的值．
【分析】（1）根据已知条件得到 ，根据相似三角形的性质得到∠AED＝∠ABE，根
据平行线的判定定理即可得到结论；
第17页（共26页）（2）根据相似三角形的性质得到 ，由已知条件得到 ，根据
相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AE2＝AD•AB，
∴ ，
又∵∠EAD＝∠BAE，
∴△AED∽△ABE，
∴∠AED＝∠ABE，
∵∠ABE＝∠ACB，
∴∠AED＝∠ACB，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题
的关键．
第18页（共26页）22．（10分）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这
时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情
况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈
）
【分析】由已知可得△ABC中∠C＝67°，∠B＝37°且AB＝20海里．要求BC的长，可以过A
作AD⊥BC于D，先求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形．
【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20．
在Rt△ABH中，
∵sinB＝ ，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12，
∵cosB＝ ，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16，
在Rt△ACH中，
∵tan∠ACH＝ ，
∴CH＝ ≈5，
∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21．
∵21÷25＜1，
所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处．
第19页（共26页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可
以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，
AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．
【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证明∠ADF＝
∠C，即可解决问题；
（2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可；
【解答】证明：（1）∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠F，
∵AE•CE＝DE•EF，
∴ ，
又∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF∽△DEC，
∴∠F＝∠C，
∴∠ADF＝∠C，
又∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
第20页（共26页）（2）∵AE•BD＝EF•AF，
∴ ，
∵AD＝AF，
∴ ，
∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，
∴∠AEF＝∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，
∴∠F＝∠B，
∴∠C＝∠B，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2平移后经过点A（﹣1，0）、B（4，0），
且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．
（1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）如果点D在线段CB上，且CD＝ ，求∠CAD的正弦值；
（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果
四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．
【分析】（1）根据平移前后a的值不变，用待定系数法求解即可；
（2）求出直线BC的解析式，确定点D的坐标，过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂
足分别为点M、N，运用面积法求出BN，再根据相似三角形的性质求出DM，根据直角三角
第21页（共26页）函数求解即可；
（3）设点Q的坐标为（n，﹣n2+3n+4），如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ
＝PC，点P的坐标为（n，﹣n+4），根据邻边相等列出方程即可求解．
【解答】解：（1）设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c．
将A（﹣1，0）、B（4，0），代入得
解得：
所以，y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图1
∵y＝﹣x2+3x+4，∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+4，将B（4，0），代入得kx+4＝0，解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4．
设点D的坐标为（m，4﹣m）．
∵CD＝ ，∴2＝2m2，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
∴点D的坐标为（1，3）．
过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵DM∥BN，∴ ，
第22页（共26页）∴ ，
∴ ．
∴ ．
（3）如图2
设点Q的坐标为（n，﹣n2+3n+4）．
如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ＝PC，点P的坐标为（n，﹣n+4）．
∵PQ＝﹣n2+3n+4+n﹣4＝4n﹣n2， ，
∴ ，解得 或n＝0（舍）．
∴点Q的坐标为（ ， ）．
【点评】此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析
式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的
关键．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段
BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC
的延长线于点H．
（1）求证：BG＝CH；
（2）设AD＝x，△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．
第23页（共26页）【分析】（1）由AD∥BC知 ， ，结合DB＝DC＝15，DE＝DF＝5知
，从而得 ，据此可得答案；
（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP＝CP＝9，DP＝12，由 知BG＝CH＝2x，BH
＝18+2x，根据 得 ，即 ，再根据 知
，由三角形的面积公式可得答案；
（3）分∠ADN＝∠FGH和∠ADN＝∠GFH两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴ ， ．
∵DB＝DC＝15，DE＝DF＝5，
∴ ，
∴ ．
∴BG＝CH．
（2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q．
第24页（共26页）∵DB＝DC＝15，BC＝18，
∴BP＝CP＝9，DP＝12．
∵ ，
∴BG＝CH＝2x，
∴BH＝18+2x．
∵AD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵AD∥BC，
∴∠ADN＝∠DBC，
∴sin∠ADN＝sin∠DBC，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAN＝∠FHG．
（i）当∠ADN＝∠FGH时，
∵∠ADN＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠FGH，
∴BD∥FG，
∴ ，
第25页（共26页）∴ ，
∴BG＝6，
∴AD＝3．
（ii）当∠ADN＝∠GFH时，
∵∠ADN＝∠DBC＝∠DCB，
又∵∠AND＝∠FGH，
∴△ADN∽△FCG．
∴ ，
∴ ，整理得x2﹣3x﹣29＝0，
解得 ，或 （舍去）．
综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或 ．
【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相
似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点．
第26页（共26页）
