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2019年上海市虹口区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．（4分）计算（a3）2的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
2．（4分）方程 的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝10．
3．（4分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围
为（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3．
4．（4分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．在体育中考中，小明考了满分
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1
D．四边形的外角和为180度．
5．（4分）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作
D，如果点B在 D内，点C在 D外，那么r可以取（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（4分）计算：2﹣1＝ ．
8．（4分）在数轴上，实数2﹣ 对应的点在原点的 侧．（填“左”、“右”）
9．（4分）不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为 ．
10．（4分）如果关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为 ．
11．（4分）已知反比例函数的图象经过点A（1，3），那么这个反比例函数的解析式是 ．
第1页（共24页）12．（4分）如果将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为 ．
13．（4分）一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀
后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有 个．
14．（4分）为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生
进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成4组，频率分布表（不完整）如
下表所示．如果次数在110次（含110次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟跳
绳次数的达标率约为 ．
组别 分组（含最小值，不含最大 频数 频率
值）
1 90～100 3 0.06
2 100～110 1 a
3 110～120 24 0.48
4 120～130 b c
15．（4分）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为
．
16．（4分）如图，AD∥BC，BC＝2AD，AC与BD相交于点O，如果 ， ，那么用 、
表示向量 是 ．
17．（4分）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四
边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为 ，我们把 的值叫做这
α
个平行四边形的变形度．如图，矩形 ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形
A B C D 的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为 ．
1 1 1 1
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上且AE＝4，点F是边BC上的一个
第2页（共24页）动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A 、B 与点C在同一直线上，A B 与边
1 1 1 1
AD交于点G，如果DG＝3，那么BF的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，m＝ ﹣3．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：
分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；
①
作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．
②（1）小明所求作的直线DE是线段AB的 ；
（2）联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝ ，BC＝9，求AC的长．
22．（10分）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y
（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．
x（小时） 2 4 6
y（件） 50 150 250
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间
忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？
23．（12分）如图，在 ▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于
第3页（共24页）点F，点F为BC的中点．
（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；
（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）
和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．
（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；
（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；
（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△CDB∽△CPQ，求点Q的坐标．
25．（14分）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为
圆心，BP长为半径作 P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G， P与线段BD、
AQ分别相交于点E、⊙F． ⊙
（1）如果BE＝FQ，求 P的半径；
（2）设BP＝x，FQ＝y，⊙求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．
第4页（共24页）第5页（共24页）2019年上海市虹口区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]
1．（4分）计算（a3）2的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．a9
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘即可求．
【解答】解：（a3）2＝a6，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方公式．
2．（4分）方程 的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝10．
【分析】将方程两边平方求解可得．
【解答】解：将方程两边平方得x﹣1＝9，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原无理方程的解，
故选：D．
【点评】本题考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，
在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因
式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
3．（4分）已知一次函数y＝（3﹣a）x+3，如果y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围
为（ ）
A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3．
【分析】先根据一次函数的性质得出关于a的不等式，再解不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝（3﹣a）x+3，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴3﹣a＞0，解得a＜3．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题
的关键．
第6页（共24页）4．（4分）下列事件中，必然事件是（ ）
A．在体育中考中，小明考了满分
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1
D．四边形的外角和为180度．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：A、在体育中考中，小明考了满分是随机事件；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
C、抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；
D、四边形的外角和为180度是不可能事件，
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，
一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机
事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（4分）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A． B． C． D．
【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题．
【解答】解：∵正六边形的半径为R，
∴边心距r＝ R，
∴R：r＝1： ＝2： ，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形与圆的知识，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h＝
a（a是等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．
6．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tanB＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作
D，如果点B在 D内，点C在 D外，那么r可以取（ ）
⊙ ⊙ ⊙
第7页（共24页）A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先求出DB和DC的长，根据点B在 D内，点C在 D外，确定r的取值范围，从
而确定r可以取的值． ⊙ ⊙
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点 G，
∵AB＝AC，BC＝4，
∴BF＝CF＝2，
∵tanB＝2，
∴ ，即AF＝4，
∴AB＝ ，
∵D为AB的中点，
∴BD＝ ，G是△ABC的重心，
∴GF＝ AF＝ ，
∴CG＝ ，
∴CD＝ CG＝ ，
∵点B在 D内，点C在 D外，
∴ ＜r＜⊙ ， ⊙
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，解题的关
第8页（共24页）键是掌握点与圆的位置关系的判别方法．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（4分）计算：2﹣1＝ ．
【分析】根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
【解答】解：2﹣1＝ ．故答案为 ．
【点评】本题考查负整数指数幂的运算．幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后
将负整数指数幂当成正的进行计算．
8．（4分）在数轴上，实数2﹣ 对应的点在原点的 左 侧．（填“左”、“右”）
【分析】根据2＜ ＜3，可知2﹣ ＜0，所以2﹣ 在原点的左侧．
【解答】解：根据题意可知：2﹣ ＜0，
∴2﹣ 对应的点在原点的左侧．
故填：左
【点评】本题考查实数与数轴上点的对应关系，掌握了实数与数轴上的点的一一对应关系，
很容易得出正确答案．
9．（4分）不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为 x ＝ 1 ．
【分析】由题意可求一元一次不等式的解，即可得正整数解．
【解答】解：∵﹣2x＞﹣4
∴x＜2
∴正整数解为：x＝1
故答案为：x＝1
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练运用解不等式的方法是本题的关键．
10．（4分）如果关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为 1 ．
【分析】根据根的判别式和已知得出△＝（﹣6）2﹣4k×9＝0且k≠0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4k×9＝0且k≠0，
解得：k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据已知得出△＝（﹣6）2﹣
4k×9＝0且k≠0是解此题的关键．
第9页（共24页）11．（4分）已知反比例函数的图象经过点A（1，3），那么这个反比例函数的解析式是 y ＝
．
【分析】把（1，3）代入函数y＝ 中可先求出k的值，那么就可求出函数解析式．
【解答】解：由题意知，k＝1×3＝3．
则反比例函数的解析式为：y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，此为近几年中考的热点问题，同
学们要熟练掌握．
12．（4分）如果将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为 y ＝ 2
（ x + 3 ） 2 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2，
故答案为：y＝2（x+3）2．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握
平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．（4分）一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀
后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有 6 个．
【分析】设红球有x个，根据摸到白球的概率为0.4列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设红球有x个，根据题意得：
＝0.4，
解得：x＝6，
答：红球有6个；
故答案为：6．
【点评】本题考查了概率公式，设出未知数，列出方程是解题的关键．用到的知识点为：概
率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生
进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成4组，频率分布表（不完整）如
第10页（共24页）下表所示．如果次数在110次（含110次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟跳
绳次数的达标率约为 92% ．
组别 分组（含最小值，不含最大 频数 频率
值）
1 90～100 3 0.06
2 100～110 1 a
3 110～120 24 0.48
4 120～130 b c
【分析】根据抽取的学生一分钟跳绳的达标率，即可估计该校初三毕业生一分钟跳绳的达
标率．
【解答】解：∵样本容量为：3÷0.06＝50，
∴该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为 ×100%＝92%，
故答案为：92%
【点评】本题考查的是频数分布表的知识，准确读表、从中获取准确的信息是解题的关键，
注意用样本估计总体的运用．
15．（4分）已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为 4
．
【分析】根据两圆外切时圆心距等于两圆的半径的和，即可求解．
【解答】解：∵两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3，
∴另一个圆的半径＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点
掌握．
16．（4分）如图，AD∥BC，BC＝2AD，AC与BD相交于点O，如果 ， ，那么用 、
表示向量 是 ﹣ 2 ．
【分析】根据平面向量的线性运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
第11页（共24页）∴△ADO∽△CBO，
∴ ，
∴ ＝ +
＝ + +3
＝ + ﹣3
＝ ﹣2 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于基础
题型．
17．（4分）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四
边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为 ，我们把 的值叫做这
α
个平行四边形的变形度．如图，矩形 ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形
A B C D 的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为 ．
1 1 1 1
【分析】设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，根据平行四边形和矩
形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A 作A D⊥B C ，
1 1 1 1
设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴ab＝5，3＝ah，
∴b＝ ，h＝ ，
∴B D＝ ＝ ，
1
第12页（共24页）∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，正确的理解题意是
解题的关键．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，点E在边AD上且AE＝4，点F是边BC上的一个
动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A 、B 与点C在同一直线上，A B 与边
1 1 1 1
AD交于点G，如果DG＝3，那么BF的长为 ．
【分析】由DG＝3，CD＝6可知△CDG的三角函数关系，由△CDG分别与△A'EG，△B'FC
相似，可求得CG，CB'，由勾股定理△CFB'可求得BF长度．
【解答】解：∵△CDG∽△A'EG，A'E＝4
∴A'G＝2
∴B'G＝4
由勾股定理可知CG'＝
则CB'＝
由△CDG∽△CFB'
设BF＝x
∴
解得x＝
第13页（共24页）故答案为
【点评】本题考查了翻折的性质与相似，通过寻找等角关系，确定相似关系是本题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，m＝ ﹣3．
【分析】先把分式化简，再将m的值代入求解．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ ×
＝﹣
当m＝ ﹣3时，原式＝﹣ ．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值这一知识点，要求把式子化到最简，然后代值．
20．（10分）解方程组：
【分析】对于第1个方程利用因式分解法可得x﹣6y＝0或x+y＝0，再将它们与方程 分
别组成方程组，分别求解可得． ②
【解答】解：由 得，x﹣6y＝0或x+y＝0，
①
将它们与方程 分别组成方程组，得： 或
②
分别解这两个方程组，
得原方程组的解为 ．
【点评】本题是考查高次方程，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次
数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也
第14页（共24页）有的通过因式分解来解．
21．（10分）如图，在锐角△ABC中，小明进行了如下的尺规作图：
分别以点A、B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q；
①
作直线PQ分别交边AB、BC于点E、D．
②（1）小明所求作的直线DE是线段AB的 线段 AB 的垂直平分线（或中垂线） ；
（2）联结AD，AD＝7，sin∠DAC＝ ，BC＝9，求AC的长．
【分析】（1）利用基本作法进行判断；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD＝7，
则CD＝2，在Rt△ADF中先利用正弦的定义可计算出DF，再利用勾股定理可计算出AF，
接着在Rt△CDF中利用勾股定理可计算出CF，然后计算AF+CF．
【解答】解：（1）小明所求作的直线DE是线段AB的垂直平分线（或中垂线）；
故答案为线段AB的垂直平分线（或中垂线）；
（2）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，如图，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝7
∴CD＝BC﹣BD＝2，
在Rt△ADF中，∵sin∠DAC＝ ＝ ，
∴DF＝1，
在Rt△ADF中，AF＝ ＝4 ，
在Rt△CDF中，CF＝ ＝ ，
∴AC＝AF+CF＝4 + ＝5 ．
第15页（共24页）【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了解直角三角形．
22．（10分）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y
（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示．
x（小时） 2 4 6
y（件） 50 150 250
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间
忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？
【分析】（1）运用待定系数法解答即可；
（2）设经过x小时恰好装满第1箱，可得方程80x+50x﹣50＝340，解方程即可解答．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）
把（2，50）（4，150）代入，
得 解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝50x﹣50；
（2）设经过x小时恰好装满第1箱，
根据题意得80x+50x﹣50＝340，
∴x＝3，
答：经过3小时恰好装满第1箱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，运用待定系数法求出y与
x之间的函数关系式．
23．（12分）如图，在 ▱ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于
点F，点F为BC的中点．
（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；
第16页（共24页）（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO•OC＝AB•FC．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定以及相似三角形的性质得出比例解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵BE∥AC，
∴△COF∽△BFE
∴
∵点F为BC的中点，
∴CF＝BF，
∴OC＝BE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO
∴AO＝BE
∵BE∥AC，
∴四边形AOEB是平行四边形
（2）∵四边形AOEB是平行四边形，
∴∠BAO＝∠E
∵∠OBC＝∠E，
∴∠BAO＝∠OBC
∵∠ACB＝∠BCO，
∴△COB∽△CBA
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OC
∵点F为BC的中点，
∴BC＝2FC
第17页（共24页）∴
即BO•OC＝AB•FC
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形
的判定和性质解答．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）
和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．
（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；
（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；
（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△CDB∽△CPQ，求点Q的坐标．
【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式，再利用配方法可
求出抛物线顶点P的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点E的坐标为（x，﹣
x2+2x+8）（0＜x＜4），由三角形的面积公式结合S△COE ＝S△BCD 可得出关于x的一元一次
方程，解之即可得出x的值，再将其代入点E的坐标中即可求出结论；
（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，由点C，P，B，D的坐标可得出∠CPQ＝
∠CDB＝135°及CP，BD，CD的长度，由△CDB∽△CPQ可得出 ＝ ，代入CP，BD，
CD的长可求出PQ的长，再结合点P的坐标即可得出点Q的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：
，解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，
第18页（共24页）∴点P的坐标为（1，9）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，
∴点C的坐标为（0，8）．
设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），
∵S△COE ＝S△BCD ，
∴ ×8•x＝ ×4×4，
解得：x＝2，
∴点E的坐标为（2，8）．
（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．
∵点B（4，0），点D（0，4），
∴OB＝OD＝4，
∴∠ODB＝45°，BD＝4 ，
∴∠BDC＝135°．
∵点C（0，8），点P（1，9），
∴点M的坐标为（1，8），
∴CM＝PM＝1，
∴∠CPM＝45°，CP＝ ，
∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方，
∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．
∵△CDB∽△CPQ，
∴ ＝ ，即 ，
解得：PQ＝2，
∴点Q的坐标为（1，11）．
第19页（共24页）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点
的坐标特征、三角形的面积以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利
用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的一元一次
方程；（3）利用相似三角形的性质，求出PQ的长度．
25．（14分）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为
圆心，BP长为半径作 P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G， P与线段BD、
AQ分别相交于点E、⊙F． ⊙
（1）如果BE＝FQ，求 P的半径；
（2）设BP＝x，FQ＝y，⊙求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．
【分析】（1）证出∠FQP＝∠ADB，由三角函数得出tan∠FQP＝ ＝ ，得出 ＝ ，
即可得出结果；
（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，在Rt△ABQ中，由三角函数得出cos∠AQB＝ ＝
第20页（共24页）， 在 Rt△ PQM 中 ， QM ＝ PQcos∠ AQB ＝ ， 进 一 步 求 出
，当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，则PD＝PB＝x，DH＝AB
＝4，BH＝AD＝3，则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，在Rt△PDH中，由勾股定理得出方程，解方程
求出x的值，即可得出x的取值范围；
（3）设BP＝x，分两种情况： EP∥AQ时，求出QG＝QB＝2x，同理：AG＝AD＝3，在
①
Rt△ABQ中，由勾股定理得出方程，解方程得出x＝ ，QG＝QB＝2x＝ ，由平行线得出
＝ ，求出BG＝ ，即可得出结果；
PF∥BD时，同 得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，
②解方程求出BQ＝2①，BP＝1，作PN⊥BG于N，由垂径定理得出BE＝2BN，由三角函数得出
cos∠PBN＝cos∠ADB＝ ，求出BN＝ ，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵BE＝FQ，
∴∠BPE＝∠FPQ，
∵PE＝PB，
∴∠EBP＝ （180°﹣∠EPB），
同理∠FQP＝ （180°﹣∠FPQ），
∴∠EBP＝∠FQP，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBP，
∴∠FQP＝∠ADB，
∴tan∠FQP＝tan∠ADB＝ ，
设 P的半径为r，则tan∠FQP＝ ＝ ，
⊙
第21页（共24页）∴ ＝ ，
解得：r＝ ，
∴ P的半径为 ；
⊙
（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图1所示：
在Rt△ABQ中，cos∠AQB＝ ＝ ＝ ＝ ，
在Rt△PQM中，QM＝PQcos∠AQB＝ ，
∵PM⊥FQ，PF＝PQ，
∴FQ＝2QM＝ ，
∴ ，
当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，如图2所示：
则PD＝PB＝x，DH＝AB＝4，BH＝AD＝3，
则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，
在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x＝ ，
∴x的取值范围为： ；
（3）设BP＝x，分两种情况：
EP∥AQ时，
①∴∠BEP＝∠BGQ，
∵PB＝PE，
∴∠PBE＝∠BEP，
∴∠BGQ＝∠PBE，
∴QG＝QB＝2x，
第22页（共24页）同理：AG＝AD＝3，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，
解得：x＝ ，
∴QG＝QB＝2x＝ ，
∵EP∥AQ，PB＝PQ，
∴BE＝EG，
∵AD∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：BG＝ ，
∴BE＝ BG＝ ；
PF∥BD时，同 得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，
②在Rt△ABD中，由①勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，
解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），
∴BQ＝2，
∴BP＝1，
作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：
∵AD∥BC，
∴∠PBN＝∠ADB，
∴cos∠PBN＝cos∠ADB＝ ，即 ＝ ，
∴BN＝ ，
∴BE＝2BN＝ ；
综上所述， 或 ．
第23页（共24页）【点评】本题是圆的综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数、
垂径定理、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理得
出方程是解题关键．
第24页（共24页）
