文档内容
2019年上海市松江区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2
3．（4分）下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够
判定DE∥BC的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
5．（4分）已知 为单位向量， ＝﹣3 ，那么下列结论中错误的是（ ）
A． ∥ B．| |＝3
C． 与 方向相同 D． 与 方向相反
6．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下
列比例式中正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置
上】
7．（4分）已知 ，那么 ＝ ．
8．（4分）在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的
第1页（共24页）实际距离是 千米．
9．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝4，则AB值是 ．
10．（4分）已知线段AB＝2cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，则AC的长 cm．
11．（4分）已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：
．
12．（4分）如果点A（﹣4，y ）、B（﹣3，y ）是二次函数y＝2x2+k（k是常数）图象上的两点，那
1 2
么y y ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
1 2
13．（4分）小明沿坡比为1： 的山坡向上走了100米．那么他升高了 米．
14．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果
AC＝3，CE＝5，DF＝4，那么BD＝ ．
15．（4分）如图，已知△ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且 ＝ ＝ ．设 ＝ ，
＝ ，那么 ＝ ．（用向量 、 表示）
16．（4分）如图，已知△ABC，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且DE∥BC．如果 ＝ ，
CE＝4，那么AE的长为 ．
17．（4分）如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝
∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么 的值为 ．
第2页（共24页）18．（4分）如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB
与x轴交于点C，那么AC：BC的值为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图
象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
20．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cosA＝ ．求底边BC的长．
21．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，
过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求
的值．
第3页（共24页）22．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），
直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为
45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数
据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°
＝0.60．）
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是对角线AC上一点，且
AC•CE＝AD•BC．
（1）求证：∠DCA＝∠EBC；
（2）延长BE交AD于F，求证：AB2＝AF•AD．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x
轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．
第4页（共24页）25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP
与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值；
（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．
第5页（共24页）2019年上海市松江区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，
∴tanA＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．
2．（4分）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2
【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到
点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐
标为（1，0），
所以所得的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移
后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．（4分）下列各组图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
第6页（共24页）又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为： 对应角相等； 对
应边的比相等． ① ②
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够
判定DE∥BC的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当 ＝ 或 ＝ 时，DE∥BD，然
后可对各选项进行判断．
【解答】解：当 ＝ 或 ＝ 时，DE∥BD，
即 ＝ 或 ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段
成比例．也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．
5．（4分）已知 为单位向量， ＝﹣3 ，那么下列结论中错误的是（ ）
A． ∥ B．| |＝3
C． 与 方向相同 D． 与 方向相反
【分析】根据向量的定义，即可求得答案．
【解答】解：A、由 为单位向量， ＝﹣3 知：两向量方向相反，相互平行，即 ∥ ，故本选
项错误．
B、由 ＝﹣3 得到| |＝3，故本选项错误．
C、由 为单位向量， ＝﹣3 知：两向量方向相反，故本选项正确．
第7页（共24页）D、由 为单位向量， ＝﹣3 知：两向量方向相反，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
6．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下
列比例式中正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据相似三角形的性质可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥CD
∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴ ，
∴
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置
上】
7．（4分）已知 ，那么 ＝ ．
【分析】因为 ，所以a＝ b，代入求解即可．
【解答】解：∵ ，
∴a＝ b，
∴原式＝ ＝ ．
第8页（共24页）故答案为 ．
【点评】本题主要考查比例的基本性质，解题关键是熟练应用比例的基本性质，本题注意
掌握比例的合比性质即可得出结果．
8．（4分）在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的
实际距离是 6 千米．
【分析】根据 ＝比例尺列方程即可得到结论．
【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，
根据题意得， ＝ ，
解得：x＝600000cm＝6km，
故答案为：6．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握 ＝比例尺是解题的关键．
9．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝4，则AB值是 1 0 ．
【分析】根据正弦函数的定义得出sinA＝ ，即 ＝ ，即可得出AB的值．
【解答】解：∵sinA＝ ，即 ＝ ，
∴AB＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．
10．（4分）已知线段AB＝2cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，则AC的长 ﹣ 1
cm．
【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到
答案．
【解答】解：∵AC2＝BC•AB，
∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝ AB＝ ×2＝ ﹣1，
故答案为： ﹣1．
第9页（共24页）【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为 是解题的关键．
11．（4分）已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：
y ＝﹣ x 2 ．
【分析】根据二次函数的顶点是坐标原点，设函数的解析式为：y＝ax2，根据顶点是二次函
数图象的最高点，结合二次函数的性质，得到a＜0，任取负数a代入原解析式，即可得到
答案．
【解答】解：∵二次函数的顶点是：（0，0），
∴设函数的解析式为：y＝ax2，
又∵点（0，0）是二次函数图象的最高点，
∴抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
令a＝﹣1，
则函数解析式为：y＝﹣x2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，二
次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（4分）如果点A（﹣4，y ）、B（﹣3，y ）是二次函数y＝2x2+k（k是常数）图象上的两点，那
1 2
么y ＞ y ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
1 2
【分析】先根据二次函数的性质得到当x＜0时，y随y的增大而减小，然后比较自变量的大
小得到函数值的大小关系．
【解答】解：抛物线的对称轴为y轴，
所以当x＜0时，y随y的增大而减小，
所以y ＞y ．
1 2
故答案为＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．也考查了二次函数的性质．
13．（4分）小明沿坡比为1： 的山坡向上走了100米．那么他升高了 5 0 米．
【分析】设BC＝x米，根据坡度的概念得到AC＝ x米，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵坡比为1： ，
∴设BC＝x米，则AC＝ x米，
由勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，即x2+（ x）2＝1002，
第10页（共24页）解得，x ＝50，x ＝﹣50（舍去），
1 2
∴BC＝50米，
故答案为：50．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、
坡度坡角的概念是解题的关键．
14．（4分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果
AC＝3，CE＝5，DF＝4，那么BD＝ ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，BD＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是
解题的关键．
15．（4分）如图，已知△ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且 ＝ ＝ ．设 ＝ ，
＝ ，那么 ＝ +3 ．（用向量 、 表示）
第11页（共24页）【分析】由题意可得△ADE∽△ABC，可得BC＝3DE，根据向量的加法可求解．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ，∠BAC＝∠DAE
∴△ADE∽△ABC
∴
∴BC＝3DE
∵设 ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＝
故答案为： +3
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，向量的性质，熟练运用相似三角形的判定
是本题的关键．
16．（4分）如图，已知△ABC，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且DE∥BC．如果 ＝ ，
CE＝4，那么AE的长为 ．
【分析】根据相似三角形的性质可得 ，即可求AE的长．
【解答】解：∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∴设AE＝3k，AC＝5k（k≠0）），
∴CE＝3k+5k＝4
∴k＝
∴AE＝3k＝
故答案为：
第12页（共24页）【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
17．（4分）如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝
∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么 的值为 ．
【分析】根据线段中点的定义得到AD＝3，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠EAF，根据
相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，
∴AD＝3，
∵AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠EAF，
∵∠ADE＝∠C，
∴△ADF∽△ACG；
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理
是解题的关键．
18．（4分）如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB
与x轴交于点C，那么AC：BC的值为 ．
【分析】作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E，先求得OA的长，然后证明
第13页（共24页）△OEB∽△ODA，依据相似三角形的性质可得到 ＝ ＝ ，最后依据AC：BC＝
S△AOC ：S△OBC ＝AD：OE求解即可．
【解答】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．
∵A（3，2），
∴OA＝ ＝ ，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴ ＝ ，
∵∠AOB＝90°，∠EOC＝90°，
∴∠EOB＝∠AOD，
又∵∠BEO＝∠ADO，
∴△OEB∽△ODA，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ，解得：OE＝ ，
∵AC：BC＝S△AOC ：S△OBC ＝AD：OE＝2： ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查的是含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证得
△OEB∽△ODA是解答本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图
象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【分析】利用配方法把将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，利
用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案．
【解答】解：y＝2（x2+2x）﹣1，
第14页（共24页）y＝2（x2+2x+1）﹣2﹣1，
y＝2（x+1）2﹣3，
开口方向：向上，
顶点坐标：（﹣1，﹣3），
对称轴：直线x＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，正确掌握配方法和二次函数
的性质是解题的关键．
20．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cosA＝ ．求底边BC的长．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，
在Rt△ABD中，cosA＝ ，
∵cosA＝ ，AB＝5，
∴AD＝AB•cosA＝5× ＝3，
∴BD＝ ＝4，
∵AC＝AB＝5，
∴DC＝2，
∴BC＝ ＝2 ．
第15页（共24页）【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解
题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，
过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求
的值．
【分析】设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，根据平行四边形的性质可得DF＝BG＝2k，EF＝HC
＝3k，可得DE＝5k，根据△ADE∽△FGH可得 ＝（ ）2＝ ．
【解答】解：∵BG：GH：HC＝2：4：3，
∴设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，（k≠0）
∵DE∥BC，FG∥AB，
∴四边形BDFG是平行四边形，
∴DF＝BG＝2k，
∵DE∥BC，FH∥AC
∴四边形EFHC是平行四边形，
∴EF＝HC＝3k，
∴DE＝5k
∵DE∥BC
∴∠ADE＝∠B，
∵FG∥AB
∴∠FGH＝∠B，
∴∠ADE＝∠FGH，
同理可得：∠AED＝∠FHG
第16页（共24页）∴△ADE∽△FGH
∴ ＝（ ）2＝ ，
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，熟练掌握相似三
角形的性质是本题的关键．
22．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），
直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为
45°，在B处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数
据求广告牌的宽MN的长．
（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°
＝0.60．）
【分析】在 Rt△APN 中根据已知条件得到 PA＝PN，设 PA＝PN＝x，得到 MP＝
AP•tan∠MAP＝1.6x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，
∴PA＝PN，
在Rt△APM中，tan∠MAP＝ ，
设PA＝PN＝x，
∵∠MAP＝58°，
∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，
在Rt△BPM中，tan∠MBP＝ ，
∵∠MBP＝31°，AB＝5，
∴0.6＝ ，
∴x＝3，
∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），
第17页（共24页）答：广告牌的宽MN的长为1.8米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出
AP的长是解题关键．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是对角线AC上一点，且
AC•CE＝AD•BC．
（1）求证：∠DCA＝∠EBC；
（2）延长BE交AD于F，求证：AB2＝AF•AD．
【分析】（1）通过题意可证△ACD∽△CBE，可得∠DCA＝∠EBC；
（2）通过证明△ABF∽△DAC，可得 ，可得AB2＝AF•AD．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA
∵AC•CE＝AD•BC，
∴
∴△ACD∽△CBE
∴∠DCA＝∠EBC
（2）
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠EBC，且∠DCA＝∠EBC，
∴∠AFB＝∠DCA
∵AD∥BC，AB＝DC
∴∠BAD＝∠ADC
第18页（共24页）∴△ABF∽△DAC
∴
且AB＝DC，
∴AB2＝AF•AD
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，根据题意找到正确的两
个三角形相似是本题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x
轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．
【分析】（1）把点A（﹣2，0），点B（0，4）代入解析式求解即可；
（2）先确定抛物线的对称轴，再过点P作PG⊥y轴，垂足为G，根据三角函数建立等量关
系，求解即可；
（3）设新抛物线的表达式为 ﹣m，则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2，过
点F作FH⊥y轴，垂足为H，运用平行建立线段的比例关系求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）
∴ ，解得
∴抛物线解析式为 ，
（2） ＝ ，
第19页（共24页）∴对称轴为直线x＝1，如图1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，
∵∠PBO＝∠BAO，∴tan∠PBO＝tan∠BAO，
∴
∴ ，
∴BG＝
∴OG＝ ，
∴P（1， ），
（3）如图2
设新抛物线的表达式为 ﹣m
第20页（共24页）则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2
过点F作FH⊥y轴，垂足为H，
∵DE∥FH，EO＝2OF
∴ ，
∴FH＝1，
点D在y轴的正半轴上，则F（﹣1， ），
①
∴OH＝m﹣
∴ ，
∴m＝3，
点D在y轴的负半轴上，则F（1， ），
②
∴OH＝m﹣ ，
∴ ，
∴m＝5
∴综上所述m的值为3或5．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会
待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键
25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP
与CD相交于点E．
第21页（共24页）（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值；
（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．
【分析】（1）根据已知条件得到CP＝4，求得BP＝2 ，根据三角形重心的性质即可得到
结论；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到
，求得 ＝ ，设CP＝k，则PA＝3k，得到PA＝PB＝3k根据三角函数的定
义即可得到结论；
（3）根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝ AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形
的性质得到∠BPD＝∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP＝2 ，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝ BP＝ ；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，
∴ ，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，
∴EF＝8，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
第22页（共24页）∴ ＝ ，
设CP＝k，则PA＝3k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴PA＝PB＝3k
∴BC＝2 k，
∴AB＝2 k，
∵AC＝4k，
∴cosA＝ ；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BD＝ AB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE•DC，
∵DE＝3，DC＝5，
∴PD＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是
第23页（共24页）解题的关键．
第24页（共24页）
