文档内容
2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，5
2．（4分）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（ ）
A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2
3．（4分）如果△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，那么下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列关于向量的运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 3 6 3 …
那么这个二次函数的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝0 B． C． D．x＝1
6．（4分）如果以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a与b的比值
不可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ，那么 ＝ ．
8．（4分）等边三角形的中位线与高之比为 ．
9．（4分）如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形
的周长和为 ．
10．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝1，如果
第1页（共25页）△ABC∽△ADE，那么AE＝ ．
11．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为
．
12．（4分）如果开口向下的抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，那么a的值是 ．
13．（4分）如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b 0（填入“＜”
或“＞”）．
14．（4分）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在抛物线y＝x2+2x+m上，如果0＜x ＜x ，那么y
1 1 2 2 1 2 1
y （填入“＜”或“＞”）．
2
15．（4分）如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝ ．
16．（4分）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，
拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡
BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是 cm．
17．（4分）如果抛物线C 的顶点在抛物线C 上时，抛物线C 的顶点也在抛物线C 上，此时
1 2 2 1
我们称抛物线C 与C 是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y＝2x2是“互为关联”
1 2
且顶点不同的抛物线的表达式可以是 （只需写出一个）．
18．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，将此三角形绕点A旋转，当点B落在直线
BC上的点D处时，点C落在点E处，此时点E到直线BC的距离为 ．
第2页（共25页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知 ▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G．
（1）求 的值；
（2）如果设 ， ，试用 、 表示 ．
20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，﹣ ）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要
求至少5点）．
21．（10分）如图，AD是△ABC的中线，tanB＝ ，cosC＝ ，AC＝ ．求：（1）BC的长；（2）
∠ADC的正弦值．
22．（10分）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大
树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角
为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树
的高度AH和树叶部分的高度AB．
第3页（共25页）23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD＝∠B＝
∠BAE．
（1）求证： ；
（2）当点E为CD中点时，求证： ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它
的顶点为D（1，m），且tan∠COD＝ ．
（1）求m的值及抛物线的表达式；
（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A
是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°．求P
点的坐标．
第4页（共25页）25．（14分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线
AB、射线CB于点E、F．
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求
出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数
解析式，并写出定义域；
（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．
第5页（共25页）2019年上海市杨浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列四条线段能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3 B．1，2，3，4 C．2，2，3，3 D．2，3，4，5
【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b＝c：d．只要代入验证即可．
【解答】解：A、1：2≠1：3，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例；
B、1：3≠2：4，则a：b≠c：d．故a，b，d，c不成比例；
C、2：2＝3：3，即b：a＝c：d，故b，a，c，d成比例；
D、2：4≠3：5，则a：b≠c：d，即a，b，c，d不成比例．
故选：C．
【点评】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难
度适中．
2．（4分）如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，那么b：c等于（ ）
A．4：3 B．3：4 C．2：3 D．3：2
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【解答】解：∵a：b＝3：2，b是a和c的比例中项，
即a：b＝b：c，
∴b：c＝3：2．
故选：D．
【点评】本题考查了比例中项的概念．在线段a，b，c中，若b2＝ac，则b是a，c的比例中项．
3．（4分）如果△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，那么下列等式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，分四种情况讨论，即可得到结论．
【解答】解：设BC＝1，
∵△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，
∴AB＝2，AC＝ ，
第6页（共25页）∴cosA＝ ，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项正确；
，故D选项正确；
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数的定义是解题关键．
4．（4分）下列关于向量的运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平面向量的有关概念，判定选项中的计算是否正确即可．
【解答】解：A、 ，故本选项错误．
B、 ，故本选项正确．
C、 +（﹣ ）＝ ，故本选项错误．
D、 + ＝ ，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．
5．（4分）如果二次函数中函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 3 6 3 …
那么这个二次函数的图象的对称轴是直线（ ）
A．x＝0 B． C． D．x＝1
【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可
【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x＝ ＝1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题的关键．
第7页（共25页）6．（4分）如果以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，那么a与b的比值
不可能为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用相似三角形的性质即可判断．
【解答】解：∵以a、b、c为三边的三角形和以4、5、6为三边的三角形相似，
∴a：b＝4：5或5：6或2：3，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考
基础题．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ，那么 ＝ ．
【分析】由 可得 ＝ ，进一步得到1﹣ ＝ ，可求 ，进一步得到 的值．
【解答】解： ，
＝ ，
1﹣ ＝ ，
＝ ，
＝ ．
故答案为： ．
【点评】考查了比例的性质，关键是得到1﹣ ＝ ．
8．（4分）等边三角形的中位线与高之比为 1 ： ．
【分析】可设等边三角形的边长为2a，根据三角形的中位线定理和等边三角形的性质以及
勾股定理可分别求出中位线的长和高的长度即可求出其比值．
【解答】解：设等边三角形的边长为2a，
则中位线长为a，高线的长为 ＝ a，
第8页（共25页）所以等边三角形的中位线与高之比为a： a＝1： ，
故答案为：1： ．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条
重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及
证明中有着广泛的应用．
9．（4分）如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形
的周长和为 1 0 ．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计
算即可．
【解答】解：设较大三角形的周长为x，
∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
∴两个相似三角形的周长比为2：3，
∴ ＝ ，
解得，x＝6，
∴这两个三角形的周长和＝4+6＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三
角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
10．（4分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝1，如果
△ABC∽△ADE，那么AE＝ ．
【分析】根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，AE＝ ，
故答案为： ．
第9页（共25页）【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．
11．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为 4
．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，勾股定理求出AD的长，利用重心的性质即可求出
DG的长，利用余切的定义解答即可．
【解答】解：作AD⊥BC于D，
则点G在AD上，连接GC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝ BC＝4，
由勾股定理得，AD＝ ＝3，
∵G为△ABC的重心，
∴DG＝ AD＝1，
∴cot∠GCB＝ ＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形
三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
12．（4分）如果开口向下的抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，那么a的值是 ﹣ 2 ．
【分析】由抛物线开口向下及过原点，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，
解之即可得出a的值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+5x+4﹣a2（a≠0）过原点，且开口向下，
第10页（共25页）∴ ，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的
性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于a的一元一次不等式及一元二次方程是
解题的关键．
13．（4分）如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b ＜ 0（填入“＜”或
“＞”）．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由对称轴可知：x＝ ＜0，
∴b＜0，
故答案为：＜
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基
础题型．
14．（4分）已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在抛物线y＝x2+2x+m上，如果0＜x ＜x ，那么y ＜
1 1 2 2 1 2 1
y （填入“＜”或“＞”）．
2
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
因为0＜x ＜x ，
1 2
所以y ＜y ．
1 2
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．也考查了二次函数的性质．
15．（4分）如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝ 3 ： 2 ．
第11页（共25页）【分析】由AG∥BC，推出△AGF∽△BDF，推出 ＝ ＝ ，设AG＝3k，BD＝5k，可得
CD＝2k，由AG∥CD，推出△AGE∽△CDE，可得 ＝ ＝ ＝ ．
【解答】解：∵AG∥BC，
∴△AGF∽△BDF，
∴ ＝ ＝ ，
设AG＝3k，BD＝5k，
∵ ＝ ，
∴ ＝
∴CD＝2k，
∵AG∥CD，
∴△AGE∽△CDE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为3：2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，某单位门前原有四级台阶，每级台阶高为18cm，宽为30cm，为方便残疾人土，
拟在门前台阶右侧改成斜坡，设台阶的起点为A点，斜坡的起点为C点，准备设计斜坡
BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是 27 0 cm．
第12页（共25页）【分析】根据题意求出BH，根据坡度的概念求出CH，计算即可．
【解答】解：由题意得，BH⊥AC，
则BH＝18×4＝72，
∵斜坡BC的坡度i＝1：5，
∴CH＝72×5＝360，
∴AC＝360﹣30×3＝270（cm），
故答案为：270．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡
面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
17．（4分）如果抛物线C 的顶点在抛物线C 上时，抛物线C 的顶点也在抛物线C 上，此时
1 2 2 1
我们称抛物线C 与C 是“互为关联”的抛物线．那么与抛物线y＝2x2是“互为关联”
1 2
且顶点不同的抛物线的表达式可以是 y ＝﹣ 2（ x ﹣ 1 ） 2 + 2 ，（答案不唯一） （只需写出一
个）．
【分析】首先求得抛物线抛物线y＝2x2的顶点坐标（0，0），则“互为关联”的抛物线为y＝
﹣2（x﹣m）2+2m2，即可求得答案．
【解答】解：由抛物线y＝2x2可知顶点为（0，0），
设“互为关联”的抛物线为y＝a（x﹣m）2+2m2，
代入（0，0）求得a＝﹣2，
∴“互为关联”的抛物线为y＝﹣2（x﹣m）2+2m2，
故答案为y＝﹣2（x﹣1）2+2，（答案不唯一）．
【点评】此题以新定义的形式考查了二次函数解析式的确定，充分理解新定义的含义是解
题的关键．
18．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，将此三角形绕点A旋转，当点B落在直线
BC上的点D处时，点C落在点E处，此时点E到直线BC的距离为 ．
第13页（共25页）【分析】过B作BG⊥AD于G，根据旋转的性质得到AD＝AB，DE＝BC，∠ADE＝∠ABC，
根据勾股定理得到AB＝AD＝ ＝ ，求得BG＝ ，过E作EH⊥BD
交BD的延长线于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，过B作BG⊥AD于G，
∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AD＝AB，DE＝BC，∠ADE＝∠ABC，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB＝AD＝ ＝ ，
∴BD＝2BC＝4，∠ABC＝∠ACB，
∵S△ABD ＝ AD•BD＝ AC•BG，
∴BG＝ ，
过E作EH⊥BD交BD的延长线于H，
∵∠BAG＝180°﹣∠ABC﹣∠ADB，∠EDH＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∴∠BAG＝∠EDH，
∵∠AGB＝∠DHE＝90°，
∴△ABG∽△DEH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EH＝ ，
∴点E到直线BC的距离为： ．
第14页（共25页）故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线
是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知 ▱ABCD的对角线交于点O，点E为边AD的中点，CE交BD于点G．
（1）求 的值；
（2）如果设 ， ，试用 、 表示 ．
【分析】（1）由△DEG∽△BCG，可得 ＝ ＝ ，设DG＝k，GB＝2k，则BD＝3k，OB＝
OD＝1.5k，推出OG＝0.5k，即可解决问题；
（2）求出 ，根据OG＝ BD即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，
∵AE＝DE，
∴BC＝2DE，
∵DE∥BC，
∴△DEG∽△BCG，
∴ ＝ ＝ ，
设DG＝k，GB＝2k，则BD＝3k，OB＝OD＝1.5k，
∴OG＝0.5k，
第15页（共25页）∴ ＝ ＝ ．
（2）∵ ＝ + ＝ ﹣ ，
∵OG＝ BD，
∴ ＝﹣ （ ﹣ ）＝ ﹣ ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的
关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，﹣ ）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要
求至少5点）．
【分析】（1）把三个已知点的坐标代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得到关于a、b、c的方程组，然
后解方程组即可得到抛物线解析式；
（2）先把一般式配成顶点式得到抛物线顶点坐标，再解方程 x2﹣x﹣ ＝0得到抛物线与
x轴的交点坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）根据题意得 ，解得 ，
所以此二次函数的解析式为y＝ x2﹣x﹣ ；
第16页（共25页）（2）y＝ x2﹣x﹣ ＝ （x﹣1）2﹣2，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣
2），
当y＝0时， x2﹣x﹣ ＝0，解得x ＝﹣1，x ＝3，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为
1 2
（3，0）；
如图，
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系
式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，
当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知
抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交
点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．（10分）如图，AD是△ABC的中线，tanB＝ ，cosC＝ ，AC＝ ．求：（1）BC的长；（2）
∠ADC的正弦值．
【分析】（1）如图，作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，求出AH＝CH＝1，在Rt△ABH中，求
出BH即可解决问题；
（2）在Rt△ADH中，求出DH，AD即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
第17页（共25页）在Rt△ACH中，∵cosC＝ ＝ ，AC＝ ，
∴CH＝1，AH＝ ＝1，
在Rt△ABH中，∵tanB＝ ＝ ，
∴BH＝5，
∴BC＝BH+CH＝6．
（2）∵BD＝CD，
∴CD＝3，DH＝2，AD＝ ＝
在Rt△ADH中，sin∠ADH＝ ＝ ．
∴∠ADC的正弦值为 ．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考中考常考题型．
22．（10分）某学生为测量一棵大树AH及其树叶部分AB的高度，将测角仪放在F处测得大
树顶端A的仰角为30°，放在G处测得大树顶端A的仰角为60°，树叶部分下端B的仰角
为45°，已知点F、G与大树底部H共线，点F、G相距15米，测角仪高度为1.5米．求该树
的高度AH和树叶部分的高度AB．
【分析】根据题意和图形，可以求得AD、AC、BC的长，从而可以求得该树的高度AH和树
叶部分的高度AB，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠AEC＝30°，∠ADC＝60°，∠BDC＝45°，CH＝DG＝EF＝1.5米，FG＝ED＝15米，
∵∠ADC＝∠AED+∠EAD，
∴∠EAD＝30°，
第18页（共25页）∴∠EAD＝∠AED，
∴ED＝AD，
∴AD＝15米，
∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴DC＝ 米，AC＝ 米，
∴AH＝AC+CH＝ + ＝ 米，
∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠BDC＝∠DBC，
∴BC＝CD＝ 米，
∴AB＝AC﹣BC＝ ﹣ ＝ 米，
即AH＝ 米，AB＝ 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利
用特殊角的三角函数和数形结合的思想解答．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD＝∠B＝
∠BAE．
（1）求证： ；
（2）当点E为CD中点时，求证： ．
【分析】（1）欲证明： ，只要证明△AED∽△BAC即可解决问题；
第19页（共25页）（2）由△DAE∽△DCA，推出 ＝ ，由DE＝EC，可得 ＝ ，推出 ＝ ，再
证明AC2＝AD•AB即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠B＝∠BAE，∠BAC＝∠BAE+∠CAE，∠AED＝
∠ACD+∠CAE，
∴∠AED＝∠BAC，
∵∠DAE＝∠B，
∴△AED∽△BAC，
∴ ＝ ．
（2）∵∠ADE＝∠CDA，∠DAE＝∠ACD，
∴△DAE∽△DCA，
∴ ＝ ，
∵DE＝EC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠DAC＝∠BAC，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2＝AD•AB，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，
属于中考常考题型．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它
的顶点为D（1，m），且tan∠COD＝ ．
（1）求m的值及抛物线的表达式；
第20页（共25页）（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A
是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一点（位于x轴上方），且∠APB＝45°．求P
点的坐标．
【分析】（1）顶点为D（1，m），且tan∠COD＝ ，则m＝3，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣
1）2+3，即可求解；
（2）设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y＝﹣x2+2x+2+n，求出OA、OB，即可
求解；
（3）过点B、A分别作x轴、y轴的平行线交于点G，OA＝OB＝3，则过点G作圆G，圆与x、
y轴均相切，∠BPA＝45°＝ ∠BOA，故点P在圆G上，即可求解．
【解答】解：（1）顶点为D（1，m），且tan∠COD＝ ，则m＝3，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+3，即：a+3＝2，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；
（2）设：抛物线向上平移n个单位，
则函数表达式为：y＝﹣x2+2x+2+n，
令y＝0，则x＝1+ ，令x＝0，则y＝2+n，
∵OA＝OB，
∴1+ ＝2+n，解得：n＝1或﹣2（舍去﹣2），
则点A的坐标为（3，0），故点E（3，﹣1）；
（3）过点B、A分别作x轴、y轴的平行线交于点G，
第21页（共25页）∵OA＝OB＝3，则过点G作圆G，圆与x、y轴均相切，
∵∠BPA＝45°＝ ∠BOA，故点P在圆G上，
过点P作PF⊥x轴交BG于点E，交x轴于点F，
则四边形AGEF为边长为3的正方形，
则：PF＝EF+PE＝3+ ＝3+ ＝3+ ．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及到一次函数、圆的基本等知识点，其中（3），构
建圆G是本题的突破点，本题有一点难度．
25．（14分）已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，AB＝6，DF⊥DC分别交射线
AB、射线CB于点E、F．
（1）当点E为边AB的中点时（如图1），求BC的长；
（2）当点E在边AB上时（如图2），联结CE，试问：∠DCE的大小是否确定？若确定，请求
出∠DCE的正切值；若不确定，则设AE＝x，∠DCE的正切值为y，请求出y关于x的函数
解析式，并写出定义域；
（3）当△AEF的面积为3时，求△DCE的面积．
【分析】（1）证明△AED，△BEF，△DFC都是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．证明E，B，C，D四点共圆，可得
∠DCE＝∠ABD即可解决问题．
第22页（共25页）（3）如图2﹣1中，连接AF．设AE＝x，FB＝y，EB＝m，由S△AEF ＝ •AE•FB＝3，推出xy＝
6，由AD∥FB，推出 ＝ ，推出 ＝ ，可得xy＝3m，推出6＝3m，推出m＝2，可得EB
＝2，AE＝4，再利用勾股定理求出DE，DC即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∵AE＝EB＝3，AD＝3，
∴AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝∠BEF＝∠F＝45°，
∴EF＝DE＝3 ，FB＝3，
∵DF⊥DC，
∴∠FDC＝90°，
∴∠C＝∠F＝45°，
∴DF＝DC＝6 ，
∴CF＝ DC＝12，
∴BC＝CF﹣BF＝12﹣3＝9．
（2）结论：：∠DCE的大小是定值．
理由：如图2中，连接BD．取EC的中点O，连接OD，OB．
第23页（共25页）∵∠EBC＝∠EDC＝90°，EO＝OC，
∴OD＝OE＝OC＝OB，
∴E，B，C，D四点共圆，
∴∠DCE＝∠ABD，
∵在Rt△ADE中，tan∠ABD＝ ＝ ，
∴∠ABD的大小是定值，
∴∠DCE的大小是定值，
∴tan∠DCE＝ ．
（3）如图2﹣1中，连接AF．
设AE＝x，FB＝y，EB＝m，
∵S△AEF ＝ •AE•FB＝3，
∴xy＝6，
∵AD∥FB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴xy＝3m，
∴6＝3m，
∴m＝2，
∴EB＝2，AE＝4，
在Rt△AED中，DE＝ ＝5，
第24页（共25页）在Rt△DEC中，∵tan∠DCE＝ ＝ ，
∴DC＝10，
∴S△DEC ＝ •DE•DC＝ ×5×10＝25．
当点E在AB的延长线上时，同法可得AE＝8，DE＝ ＝ ，
∴CD＝2DE＝2 ，
∴S△DEC ＝ •DE•DC＝573．
综上所述，△DEC的面积为25或73．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，平行线的性
质，勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
学会利用四点共圆解决问题，属于中考压轴题．
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