文档内容
2019年上海市崇明区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）若2x＝3y，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么 表示∠A的（ ）
A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切
3．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0
4．（4分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE
的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． ＝ D． ＝
5．（4分）已知向量 和 都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个
圆的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．外离 D．相交
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
第1页（共24页）7．（4分）化简： ＝ ．
8．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝ ．
9．（4分）在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹
角为 ，那么cos ＝ ．
10．（4α分）如果一α个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为 ．
11．（4分）如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是 ．
12．（4分）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝
cm．（结果保留根号）
13．（4分）已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4，那么这条抛物线的顶点坐标为 ．
14．（4分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2，那么它的图象在对称轴的 部分是下降的（填
“左侧”或“右侧”）．
15．（4分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝
．
16．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．
已知BC＝6，△ABC的高AH＝3，则正方形DEFG的边长为 ．
17．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．如果以点C为圆心的圆与斜边
AB有唯一的公共点，那么 C的半径R的取值范围为 ．
18．（4分）如果从一个四边形一⊙边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，
如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．
若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝ ，则线段EF的长
为 ．
第2页（共24页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cos245°﹣ +cot30°•sin60°．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝ BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设 ＝ ， ＝ ，求向量 （用向量 、 表示）．
21．（10分）已知：如图，AO是 O的半径，AC为 O的弦，点F为 的中点，OF交AC于点
E，AC＝8，EF＝2． ⊙ ⊙
（1）求AO的长；
（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．
22．（10分）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架
BF所在直线相交于水箱横截面 O的圆心O， O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角
为32°，与铅垂线OD的夹角为4⊙0°，BF⊥AB，垂⊙足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．
（1）求支架BF的长；
（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°≈ ，tan32°≈ ，tan40°≈ ）
第3页（共24页）23．（12分）如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延
长交AE于点F，∠BGD＝∠BAD＝∠C．
（1）求证：BD•BC＝BG•BE；
（2）如果∠BAC＝90°，求证：AG⊥BE．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+6（a、b都是常数，且a＜0）
的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）过点B的直线y＝﹣ x+3交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；
（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA＝∠CBD时，求点P的坐标．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一
个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点
G，设BP＝x．
第4页（共24页）（1）用含x的代数式表示线段DG的长；
（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．
第5页（共24页）2019年上海市崇明区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）若2x＝3y，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积即可求解．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴ ＝3，
则 ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的基本性质：两内项的积等于两内项的积．
2．（4分）在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么 表示∠A的（ ）
A．正弦 B．正切 C．余弦 D．余切
【分析】根据余切的定义求解可得．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴cotA＝ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的
定义．
3．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（ ）
第6页（共24页）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0
【分析】根据函数图象的特点：开口方向、对称轴等即可判断出a、b的符号．
【解答】解：如图所示，抛物线开口向上，则a＞0，
又因为对称轴在y轴左侧，故﹣ ＜0，
因为a＞0，所以b＞0，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛
物线开口方向、对称轴确定．
4．（4分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE
的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C． ＝ D． ＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
①如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
5．③（4分）已知向量 和 都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据向量 和 都是单位向量，可知| |＝| |＝1，由此即可判断．
【解答】解：A、向量 和 都是单位向量，但方向不一定相同，则 不一定成立，故本选
项错误．
第7页（共24页）B、向量 和 都是单位向量，但方向不一定相同，则 不一定成立，故本选项错误．
C、向量 和 都是单位向量，但方向不一定相同，则 不一定成立，故本选项错误．
D、向量 和 都是单位向量，则| |＝| |＝1，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键．
6．（4分）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个
圆的位置关系不可能是（ ）
A．内含 B．内切 C．外离 D．相交
【分析】利用两圆之和一定大于两圆的圆心距可判断这两个圆不可能外离．
【解答】解：∵r＞1，
∴2＜3+r，
∴这两个圆的位置关系不可能外离．
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R： 两
圆外离 d＞R+r； 两圆外切 d＝R+r； 两圆相交 R﹣r＜d＜R+（r R≥r）； 两①圆内
切 d＝⇔R﹣r（R＞②r）； 两圆⇔内含 d＜③R﹣r（R＞⇔r）． ④
二、填⇔空题：（本大题共12题⑤，每题4分，⇔满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）化简： ＝ + ．
【分析】平面向量的加减计算法则与实数的加减计算法则相同．
【解答】解：原式＝ ﹣ + ＝ + ．
故答案是： + ．
【点评】考查了平面向量，解答此类题目时，直接去括号，然后计算加减法即可．
8．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝ 2 ．
【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝4，
∴b＝±2（负数舍去）．
故答案是：2．
第8页（共24页）【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
9．（4分）在以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点A（4，3），如果AO与y轴正半轴的夹
角为 ，那么cos ＝ ．
α α
【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，
∵A（4，3），
∴OB＝4，AB＝3，
∴由勾股定理可知：OA＝5，
∴cos ＝cos∠A＝ ＝ ，
α
故答案为：
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基
础题型．
10．（4分）如果一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为 1 2 ．
【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．
【解答】解：∵l正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长a＝2，
正六边形的周长＝6a＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
11．（4分）如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是 1 6 ： 8 1 ．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解
答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，
第9页（共24页）∴两个相似三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的面积比为16：81，
故答案为：16：81．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三
角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（4分）已知线段AB的长为10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝
5 ﹣ 5 cm．（结果保留根号）
【分析】根据黄金比值是 列式计算即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，
∴AC＝ AB＝（5 ﹣5）cm，
故答案为：5 ﹣5．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全
线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 叫做黄金
比．
13．（4分）已知抛物线y＝（x﹣1）2﹣4，那么这条抛物线的顶点坐标为 （ 1 ，﹣ 4 ） ．
【分析】利用二次函数的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是
（h，k）进行解答．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣4
∴抛物线的顶点坐标是（1，﹣4）
故填空答案：（1，﹣4）．
【点评】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．
14．（4分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2，那么它的图象在对称轴的 右侧 部分是下降的（填
“左侧”或“右侧”）．
【分析】根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2中，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，
∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．
故答案为：右侧．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴，可判断抛物线的
第10页（共24页）增减性．
15．（4分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝
．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性
质计算即可．
【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝10，
∵G为△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，
∴CD＝ AB＝5，
∵G为△ABC的重心，
∴CG＝ CD＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三
条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
16．（4分）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．
已知BC＝6，△ABC的高AH＝3，则正方形DEFG的边长为 2 ．
【分析】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，所以AM＝
第11页（共24页）3﹣x，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到 ＝ ，然后根据比例的性质求出x
即可．
【解答】解：高AH交DG于M，如图，
设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x，
∴AM＝AH﹣MH＝3﹣x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴x＝2，
∴正方形DEFG的边长为2．
答：正方形DEFG的边长和面积分别为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．
17．（4分）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8．如果以点C为圆心的圆与斜边
AB有唯一的公共点，那么 C的半径R的取值范围为 r ＝ 4. 8 或 6 ＜ r ≤ 8 ．
【分析】因为要使圆与斜边⊙只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有
一个交点在斜边上．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线
与圆相离．
【解答】解：根据勾股定理求得BC＝ ＝6，
当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于 ；
第12页（共24页）当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直
角边，则6＜r≤8．
故半径r的取值范围是r＝4.8或6＜r≤8．
故答案为：r＝4.8或6＜r≤8．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只
有一个公共点即可．
18．（4分）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，
如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．
若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝ ，则线段EF的长
为 或 ．
【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出 ＝ ，求得构造
的直角三角形的两条直角边即可得出答案．
【解答】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．
∵∠AFB＝90°，
∴∠AFD+∠BFC＝90°，
∵∠AMD+∠DAM＝90°，
∴∠DAF＝∠BFC
又∵∠D＝∠C，
∴△ADF∽△FCB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴FC＝2或3．
第13页（共24页）∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，
∴AE＝FC，
∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，
∴EF2＝FH2+EH2＝（ ）2+12＝7，
∴EF＝ ．
当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC＝ ，
综上，EF＝ 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△ADF∽△FCB是解
题关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：cos245°﹣ +cot30°•sin60°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．
【解答】解：原式＝（ ）2﹣ + ×
＝ ﹣ +
＝ ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝ BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设 ＝ ， ＝ ，求向量 （用向量 、 表示）．
【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；
（2）利用平面向量的三角形法则解答．
第14页（共24页）【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE＝ BC，
∴ ＝ ＝ ．
又AC＝6，
∴AE＝4．
（2）∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
又DE∥BC，DE＝ BC，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）．
【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．
21．（10分）已知：如图，AO是 O的半径，AC为 O的弦，点F为 的中点，OF交AC于点
E，AC＝8，EF＝2． ⊙ ⊙
（1）求AO的长；
（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．
【分析】（1）由垂径定理得出AE＝4，设圆的半径为r，知OE＝OF﹣EF＝r﹣2，根据OA2＝
AE2+OE2求解可得；
（2）由∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°知∠AOE＝∠ACD，从而根据sin∠ACD＝
sin∠AOE＝ 可得答案．
第15页（共24页）【解答】解：（1）∵O是圆心，且点F为 的中点，
∴OF⊥AC，
∵AC＝8，
∴AE＝4，
设圆的半径为r，即OA＝OF＝r，
则OE＝OF﹣EF＝r﹣2，
由OA2＝AE2+OE2得r2＝42+（r﹣2）2，
解得：r＝5，即AO＝5；
（2）∵∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°，
∴∠AOE＝∠ACD，
则sin∠ACD＝sin∠AOE＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和
勾股定理等知识点．
22．（10分）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示．已知集热管AE与支架
BF所在直线相交于水箱横截面 O的圆心O， O的半径为0.2米，AO与屋面AB的夹角
为32°，与铅垂线OD的夹角为4⊙0°，BF⊥AB，垂⊙足为B，OD⊥AD，垂足为D，AB＝2米．
（1）求支架BF的长；
（2）求屋面AB的坡度．（参考数据：tan18°≈ ，tan32°≈ ，tan40°≈ ）
第16页（共24页）【分析】（1）然后在Rt△ABO中，根据tan∠OAB＝ ＝tan32°，求出OB的长度，继而可
求得BF；
（2）根据∠AOD＝40°，OD⊥AD，可得∠OAD＝50°，继而可求得∠CAD的度数，以及AB
的坡度．
【解答】解：：（1）∵∠OAC＝32°，OB⊥AD，
∴tan∠OAB＝ ＝tan32°，
∵AB＝2m，
∴ ≈ ，
∴OB＝1.24m，
∵ O的半径为0.2m，
∴⊙BF＝1.04m；
（2）∵∠AOD＝40°，OD⊥AD，
∴∠OAD＝50°，
∵∠OAC＝32°
∴∠CAD＝18°，
∴AB 的坡度为tan18°＝ ，
第17页（共24页）【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三
角函数的知识即可求解，难度一般．
23．（12分）如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延
长交AE于点F，∠BGD＝∠BAD＝∠C．
（1）求证：BD•BC＝BG•BE；
（2）如果∠BAC＝90°，求证：AG⊥BE．
【分析】（1）由△BDG∽△BEC，可得 ＝ ，即可推出结论；
（2）由△BAD∽△BCA，推出∠BDA＝∠BAC＝90°，由∠BAD＝∠BGD，推出A，B，D，G四
点共圆，推出∠AGB＝∠ADB＝90°；
【解答】（1）证明：∵∠DBG＝∠CBE，
∠BGD＝∠C，
∴△BDG∽△BEC，
∴ ＝ ，
∴BD•BC＝BG•BE；
（2）∵∠ABD＝∠CBA，∠BAD＝∠C，
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，
第18页（共24页）∵∠BAD＝∠BGD，
∴A，B，D，G四点共圆，
∴∠AGB＝∠ADB＝90°，
∴AG⊥BE．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+6（a、b都是常数，且a＜0）
的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）过点B的直线y＝﹣ x+3交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；
（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA＝∠CBD时，求点P的坐标．
【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配发
法即可求出顶点C的坐标；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，过点D作DE⊥BC，垂足为点
E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，由点B，C，D，F的坐标可得出CD，DF，BF的长，
利用勾股定理可得出BC的长，利用角的正切值不变可求出DE的长，进而可求出BE的长，
再利用余切的定义即可求出∠CBD的余切值；
（3）设直线PB与y轴交于点M，由∠PBA＝∠CBD及∠CBD的余切值可求出OM的长，
进而可得出点M的坐标，由点B，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式，
联立直线BP及二次函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+6，得： ，
第19页（共24页）解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣ x2+2x+6．
∵y＝﹣ x2+2x+6＝﹣ （x﹣2）2+8，
∴点C的坐标为（2，8）．
（2）当x＝2时，y＝﹣ x+3＝2，
∴点D的坐标为（2，2）．
过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．
∵抛物线的顶点坐标为（2，8），
∴点F的坐标为（2，0）．
∵点B的坐标为（6，0），
∴CF＝8，CD＝6，DF＝2，BF＝4，BC＝ ＝4 ，BD＝ ＝2 ．
∴sin∠BCF＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴DE＝ ，
∴BE＝ ＝ ，
∴cot∠CBD＝ ＝ ＝ ．
（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．
∵∠PBA＝∠CBD，
∴cot∠PBA＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴OM＝ ，
∴点M的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）．
设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），
第20页（共24页）将B（6，0），M（0， ）代入y＝mx+n，得： ，
解得： ，
∴直线BP的解析式为y＝﹣ x+ ．
同理，当点M的坐标为（0，﹣ ）时，直线BP的解析式为y＝ x﹣ ．
联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得： 或 ，
解得： ， 或 ， ，
∴点P的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点
的坐标特征、解直角三角形、余切的定义、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数图
象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析
式；（2）构造直角三角形，利用余切的定义求出∠CBD的余切值；（3）联立直线BP和抛物
线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一
第21页（共24页）个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点
G，设BP＝x．
（1）用含x的代数式表示线段DG的长；
（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得BD＝3，通过证明△ABD∽△GBP，可得BG＝
BP＝ x，即可得DG的长度；
（2）根据相似三角形的性质可得FD＝BD﹣BF＝3﹣ x，DE＝ x﹣ ，根据三角形面积
公式可求y与x之间的函数关系式；
（3）分EF⊥PG，EF⊥PF两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP的长．
【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ABD中，AD＝ ＝4，
∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠BPG＝90°，
∴△ABD∽△GBP
∴
∴BG＝ BP＝ x，
∴DG＝BG﹣BD＝ x﹣3
（2）∵PF∥AC
第22页（共24页）∴△BFP∽△BCA
∴
即
∴BF＝ x，
∴FD＝BD﹣BF＝3﹣ x，
∵∠DGE+∠DEG＝∠DGE+∠ABD，
∴∠ABD＝∠DEG，∠ADG＝∠ADB＝90°
∴△DEG∽△DBA
∴
∴ ＝
∴DE＝ x﹣
∴S△DEF ＝y＝ ×DF×DE＝ ×（3﹣ x）×（ x﹣ ）＝﹣ x2+ x﹣
（ ＜x＜ ）
（3）若EF⊥PG时，
∵EF⊥PG，ED⊥FG，
∴∠FED+∠DEG＝90°，∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝∠DEG，且∠EDF＝∠EDG，
∴△EFD∽△GDE
∴
∴ED2＝FD×DG
∴（ x﹣ ）2＝（3﹣ x）（ x﹣3）
∴5×57x2﹣1138x+225×5＝0
第23页（共24页）∴x＝ （不合题意舍去），x＝
若EF⊥PF，
∴∠PFB+∠EFD＝90°，且∠PFB＝∠ACB，∠ACB+∠DAC＝90°
∴∠EFD＝∠DAC，且∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴△EDF∽△CDA
∴
∴ ＝
∴x＝
综上所述：当BP为 或 时，△PEF为直角三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分
类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
第24页（共24页）
