文档内容
2019年上海市崇明县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．4 ＝2 B．40＝0 C．4 ＝﹣2 D．4﹣1＝﹣4
2．（4分）下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A．x4+9＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0
C． ＝ D． +1＝0
3．（4分）对于数据：6，3，4，7，6，0，9．下列判断中正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是6，中位数是6
B．这组数据的平均数是6，中位数是7
C．这组数据的平均数是5，中位数是6
D．这组数据的平均数是5，中位数是7
4．（4分）直线y＝﹣x+4不可能经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是等腰梯形
B．两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形
6．（4分）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下
列说法中不正确的是（ ）
A．当a＝﹣1时，点B在圆A上
B．当a＜1时，点B在圆A内
C．当a＜﹣1时，点B在圆A外
D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）4的平方根是 ．
8．（4分）计算：（2x）2＝ ．
第1页（共24页）9．（4分）不等式组 的整数解是 ．
10．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（3）＝ ．
11．（4分）方程 ＝4的解是 ．
12．（4分）从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是素数的概率
是 ．
13．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 ．
14．（4分）为了了解全区近3600名初三学生数学学习状况，随机抽取600名学生的测试成绩
作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低值，不含最高值）
分组（分） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100
频数 12 18 180
频率 0.16 0.04
根据上表信息，由此样本请你估计全区此次成绩在70～80分的人数大约是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD， ＝ ， ＝
，那么 用 、 表示为： ＝ ．
16．（4分）如图，在 O中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果AB＝8，OC＝5，那么
OD的长为 ⊙ ．
17．
（4分）如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值
为 ．
第2页（共24页）18．（4分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转
30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为 ，那么
边AB的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ÷（a+1）﹣ ，其中a＝ ．
20．（10分）解方程组
21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan ．
（1）求边AC的长；
（2）将△ABC沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求
的值．
22．（10分）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给
甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x
（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
第3页（共24页）（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同
时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？
23．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．
过点D作DE⊥BC，交AC于点F．
（1）联结OE，若 ＝ ，求证：OE∥CD；
（2）若AD＝CD且BD⊥CD，求证： ＝ ．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找出点P，使PC＝PO，求点P的坐标；
（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N．当四
边形ACMN为等腰梯形时，求点M、N的坐标．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，BC＝12，cosC＝ ，点E为AB边
上一点，且BE＝2．点F是BC边上的一个动点（与点B、点C不重合），点G在射线CD上，
第4页（共24页）且∠EFG＝∠B．设BF的长为x，CG的长为y．
（1）当点G在线段DC上时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当以点B为圆心，BF长为半径的 B与以点C为圆心，CG长为半径的 C相切时，求
线段BF的长； ⊙ ⊙
（3）当△CFG为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．
第5页（共24页）2019年上海市崇明县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．4 ＝2 B．40＝0 C．4 ＝﹣2 D．4﹣1＝﹣4
【分析】分别运用分数指数幂、零指数幂与负指数幂运算法则计算即可．
【解答】解：A. ，故A正确；
B.40＝1，故B错误；
C. ，故C错误；
D.4﹣1＝ ，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了分数指数幂、零指数幂与负指数幂，熟练运用相关幂的运算公式是解
题的关键．
2．（4分）下列方程中，一定有实数解的是（ ）
A．x4+9＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0
C． ＝ D． +1＝0
【分析】将无理方程化为一元二次方程运用根的判别式判断根的情况，将分式方程求解再
检验判断是否增根，此题难度不大
【解答】解：A．原方程变形为x2＝﹣9，∵﹣9＜0，所以方程没有实数根，故A不符合题意；
B．△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，所以原方程有实数根，故B正确，符合题
意；
C．原方程变形为x2+x﹣2＝3x﹣3，即x2﹣2x+1＝0，解得x＝，1，当x＝时，分式分母x﹣1
＝0，因此x＝1是原分式方程的增根，方程无解，故C不符合题意；
D．原方程变形为 ，∵ ，所以原方程没有实数根，故D不符合题意．
第6页（共24页）故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的解，熟练运用一元二次方程根的判别式与
解分式方程是解题的关键
3．（4分）对于数据：6，3，4，7，6，0，9．下列判断中正确的是（ ）
A．这组数据的平均数是6，中位数是6
B．这组数据的平均数是6，中位数是7
C．这组数据的平均数是5，中位数是6
D．这组数据的平均数是5，中位数是7
【分析】首先计算出平均数，根据众数是出现次数最多的数据可得众数为6，根据把数据从
小到大排列，位置处于中间位置的数是中位数，进而可得中位数为6，从而可得答案．
【解答】解： ＝ ＝5，
众数为6，中位数为6，
A、这组数据的平均数是6，中位数是6，说法错误；
B、这组数据的平均数是6，中位数是7，说法错误；
C、这组数据的平均数是5，中位数是6，说法正确；
D、这组数据的平均数是5，中位数是7，说法错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中位数、众数、平均数，关键是掌握三种数的计算方法．
4．（4分）直线y＝﹣x+4不可能经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：由于﹣1＜0，4＞0，
故函数过一、二、四象限，
不过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，要知道，对于y＝kx+b（k≠0）来说，k、b的符号决定
函数所过的象限．
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是等腰梯形
B．两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形
第7页（共24页）D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形
【分析】根据等腰梯形的判定方法进行判断即可得到结论．
【解答】解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；
B．同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形，故本选项错误；
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，故本选项错误；
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰梯形的判定，解题时注意：一组对边平行，另一组对边相等的
四边形不一定是等腰梯形，也可能为平行四边形．
6．（4分）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下
列说法中不正确的是（ ）
A．当a＝﹣1时，点B在圆A上
B．当a＜1时，点B在圆A内
C．当a＜﹣1时，点B在圆A外
D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内
【分析】画出图形，根据A的坐标和圆A的半径求出圆与x轴的交点坐标，根据已知和交点
坐标即可求出答案．
【解答】解：如图：
∵A（1，0）， A的半径是2，
∴AC＝AE＝2，⊙
∴OE＝1，OC＝3，
A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在 A上，正确，故本选项不合题意；
B、当a＝﹣3时，B在 A外，即说当a＜⊙1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；
C、当a＜﹣1时，AB＞⊙2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；
D、当﹣1＜a＜3时，B在 A内正确，故本选项不合题意；
故选：B． ⊙
第8页（共24页）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当d＝r时，点在圆上，
当d＞r时，点在圆外，当d＜r时，点在圆内．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）4的平方根是 ± 2 ．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的
平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平
方根是0；负数没有平方根．
8．（4分）计算：（2x）2＝ 4 x 2 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（2x）2＝4x2．
故答案为：4x2．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
9．（4分）不等式组 的整数解是 ﹣ 1 ， 0 ， 1 ．
【分析】先解不等式组求出解集，然后取整数解即可．
【解答】解：解不等式组，得﹣2＜x≤1，
∵x为整数，
∴x＝﹣1，0，1．
故答案为﹣1，0，1．
【点评】本题考查了求不等式组的整数解，熟练解不等式组是解题的关键．
10．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（3）＝ ．
第9页（共24页）【分析】把x＝3代入函数解析式即可．
【解答】解：当x＝3时，f（x）＝ ＝ ．
故答案是： ．
【点评】本题考查求函数值的知识点，把自变量取值代入函数解析式即可．
11．（4分）方程 ＝4的解是 x ＝ 1 5 ．
【分析】将无理方程化为一元一次方程，然后求解即可．
【解答】解：原方程变形为：x+1＝16，
∴x＝15，
x＝15时，被开方数x+1＝16＞0‘
∴方程的解为x＝15．
故答案为x＝15．’
【点评】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元一次方程是解题的关键．
12．（4分）从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是素数的概率
是 ．
【分析】根据素数定义，让素数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【解答】解：∵1，2，3，4，5，6，7，8这8个数有4个素数，
∴2，3，5，7；故取到素数的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ；找到素数的个数为易错点．
13．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是 m ＜﹣ 1 ．
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
第10页（共24页）【点评】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据
题意得出（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0是解此题的关键．
14．（4分）为了了解全区近3600名初三学生数学学习状况，随机抽取600名学生的测试成绩
作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低值，不含最高值）
分组（分） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100
频数 12 18 180
频率 0.16 0.04
根据上表信息，由此样本请你估计全区此次成绩在70～80分的人数大约是 162 0 ．
【分析】根据题意和表格中的数据可以求得样本中成绩在70～80分的人数，从而可以估计
全区此次成绩在70～80分的人数．
【解答】解：由题意可得，
样本中成绩在70～80分的人数为：600﹣12﹣18﹣180﹣600×0.16﹣600×0.04＝270，
3600× ＝1620，
故答案为：1620．
【点评】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出全区此
次成绩在70～80分的人数．
15．（4分）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD， ＝ ， ＝
，那么 用 、 表示为： ＝ ．
【分析】利用平行线分线段成比例定理求出 ， ，再根据 ＝ + 求解即可解决问
题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝3 ，
第11页（共24页）∵BD＝ AB， ＝ ，
∴ ＝ ，
∵ ＝ + ，
∴ ＝ +3 ，
故答案为 +3 ．
【点评】本题考查平面向量，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，在 O中，点C为弧AB的中点，OC交弦AB于D，如果AB＝8，OC＝5，那么
OD的长为 3 ⊙．
【分析】首先连接AO，根据题意可得CO⊥AB，AD＝ AB＝4，再利用勾股定理求出DO长
即可．
【解答】解：连接AO，
∵点C为弧AB的中点，
∴ ＝ ，
∴CO⊥AB，AD＝ AB＝4，
∵CO＝5，
∴AO＝5，
∴DO＝ ＝3，
故答案为：3．
第12页（共24页）【点评】此题主要考查了垂径定理，以及圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握垂直于弦的直
径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
17．（4分）如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切
值为 ．
【分析】设正多边形的边长为a，求出GD长，根据正切值算出GD与CD的比．
【解答】解：连接FD，设正多边形的边长为a，
∵在△FED中，EF＝ED＝a，∠FED＝120°，
∴FD＝ a．
∴DG＝DF+FG＝（ +1）a．
在Rt△GCD中，tan∠GCD＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题主要考查正多边形的内角和及解直角三角形，解题的关键是在正六边形中求
出DF长度．
18．（4分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝30°，将△ABC绕着点A逆时针旋转
30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点E．如果线段DE的长为 ，那么
边AB的长为 ．
第13页（共24页）【分析】作DF⊥BE于F，CH⊥AD于H，由题意，可得AD＝AC＝AB，∠CAD＝∠BAC＝
30°，可得∠DCE＝30°，∠E＝45°，根据DE＝ ，可得DF＝EF＝1，CF＝ ，即CE＝
+1，在Rt△CHE中，CH＝HE＝ ，AH＝ ，根据AD＝AH+HE﹣DE，可
求出AD的长，进而得出AB的长．
【解答】解：如图，作DF⊥BE于F，CH⊥AD于H，
∵将△ABC绕着点A逆时针旋转30°，记点C的对应点为点D，AD、BC的延长线相交于点
E，
∴AD＝AC＝AB，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠ADC＝75°，
∴∠DCE＝30°，∠E＝45°，
∵DE＝ ，
∴DF＝EF＝1，CF＝ ，
∴CE＝ +1，
∴CH＝HE＝ ，AH＝ ，
∴AD＝AH+HE﹣DE＝ ，
∴AB＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查图形的旋转，解直角三角形的知识，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
第14页（共24页）19．（10分）先化简，再求值： ÷（a+1）﹣ ，其中a＝ ．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算，得到答案．
【解答】解：原式＝ • ﹣
＝ ﹣
＝ ，
当a＝ 时，原式＝ ＝ +1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分母有理化法则是解
题的关键．
20．（10分）解方程组
【分析】先对 分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立 ，组成两个二元一次方程
组，解之即可②． ①
【解答】解：
由 得 （x+2y）（x﹣y）＝0
所②以 x+2y＝0或x﹣y＝0
原方程组化为 或 ，
所以原方程组的解为 ， ．
【点评】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝6，∠B＝30°，tan ．
（1）求边AC的长；
（2）将△ABC沿直线l翻折后点B与点A重合，直线l分别与边AB、BC相交于点D、E，求
的值．
第15页（共24页）【分析】（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，由直角三角形的性质得出AH＝3，由三角函数求
出CH＝2，再根据勾股定理求出AC的长即可；
（2）由翻折变换的性质得：BD＝ AB＝3，AE＝BE，∠BDE＝90°，由三角函数求出BE＝2
，得出AE、EH的长，求出EC的长，即可得出结果．
【解答】解：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，如图1所示：
∵AB＝6，∠B＝30°，AH⊥BC，
∴AH＝3，
∵tan∠ACB＝ ，
∴CH＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ ；
（2）由翻折得：BD＝ AB＝3，AE＝BE，∠BDE＝90°，
∵cosB＝ ，
∴ ＝ ，∴BE＝2 ，
∴AE＝2 ，
∴EH＝ ＝ ，
∴EC＝CH+EH＝2+ ，
∴ ＝ ＝4 ﹣6．
第16页（共24页）【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数、勾股定理
等知识；熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．
22．（10分）在奉贤创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给
甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x
（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同
时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米？
【分析】（1）设函数关系式为y＝kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（2）先求出甲队的速度，然后设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，再根据
6小时后两队的施工时间相等列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
∴ ，
解得 ，
∴y＝5x+20；
（2）由图可知，甲队速度是：60÷6＝10（米/时），
设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，
第17页（共24页）依题意，得 ＝ ，
解得z＝110，
答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，难点在
于（2）根据6小时后的施工时间相等列出方程．
23．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．
过点D作DE⊥BC，交AC于点F．
（1）联结OE，若 ＝ ，求证：OE∥CD；
（2）若AD＝CD且BD⊥CD，求证： ＝ ．
【分析】（1）求出AB∥DE，根据平行线得出比例式，即可求出答案；
（2）求出四边形ABED为矩形，根据矩形的性质得出AD＝BE，∠ADE＝90°，求出∠DAC
＝∠DCA，根据ASA推出△ADO≌△CDF，根据全等得出OD＝DF，根据平行线得出比例
式，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵∠ABD＝90°，DE⊥BC，
∴AB∥DE，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
第18页（共24页）∴OE∥CD；
（2）∵AD∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABED为平行四边形
又∵∠ABD＝90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴AD＝BE，∠ADE＝90°，
又∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°，∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，
∴∠CDE＝∠ADB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
在△ADO和△CDF中
∴△ADO≌△CDF（ASA），
∴OD＝DF，
∵AB∥DE，
∴ ＝ ＝ ，
∵AD∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角梯形的性质等知
识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找出点P，使PC＝PO，求点P的坐标；
（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N．当四
边形ACMN为等腰梯形时，求点M、N的坐标．
第19页（共24页）【分析】（1）把点A（1，0）、C（0，3）代入二次函数表达式，即可求解；
（2）过P作PH⊥OC，垂足为H，PO＝PC，PH⊥OC，则：CH＝OH＝ ，即：x2﹣4x+3＝ ，
即可求解；
（3）四边形ACMN为等腰梯形，且AC∥MN，则GA＝GC，在Rt△OGA中，OA2+OG2＝
AG2，则G（0， ），即可求解．
【解答】解：（1）把点A（1，0）、C（0，3）代入二次函数表达式得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如下图，过P作PH⊥OC，垂足为H，
∵PO＝PC，PH⊥OC，则：CH＝OH＝ ，
∴x2﹣4x+3＝ ，解得：x＝2 ，
故点P（2+ ）或（2﹣ ）；
（3）如下图，连接NA并延长交OC于G
第20页（共24页）∵四边形ACMN为等腰梯形，且AC∥MN，
∴∠ANM＝∠CMN，∠ANM＝∠GAC，∠GCA＝∠CMN，
∴∠GAC＝∠GCA，∴GA＝GC
设GA＝x，则GC＝x，OG＝3﹣x
在Rt△OGA中，OA 2+OG 2＝AG 2
∴1 2+（ 3﹣x ）2＝x 2，解得x＝
∴OG＝3﹣x＝ ，∴G（0， ）
直线AG的解析式为y＝﹣ x+
令﹣ x+ ＝x 2﹣4x+3，
解得x
1
＝1（舍去），x
2
＝
∴N（ ，﹣ ），
∴CM＝AN＝ ＝ ，
∴OM＝OC+CM＝3+ ＝ ，
∴M（0， ），
∴存在M（0， ）、N（ ，﹣ ）使四边形ACMN为等腰梯形．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰梯形、一次函数、解直角三角形等知
识，其中（3），利用等腰梯形性质得到GA＝GC，利用勾股定理求解点G的坐标是本题的
第21页（共24页）难点．
25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，BC＝12，cosC＝ ，点E为AB边
上一点，且BE＝2．点F是BC边上的一个动点（与点B、点C不重合），点G在射线CD上，
且∠EFG＝∠B．设BF的长为x，CG的长为y．
（1）当点G在线段DC上时，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当以点B为圆心，BF长为半径的 B与以点C为圆心，CG长为半径的 C相切时，求
线段BF的长； ⊙ ⊙
（3）当△CFG为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的内角和得到∠GFC＝
∠FEB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）当0＜x＜12时，无论点G在线段CD上还是在CD的延长线上时，都有y＝﹣
x2+6x； 当 B与 C外切时， 当 B与 C内切时，列方程即可得到结论；
（3）根①据等⊙腰三角⊙形的性质列方②程即⊙可得到⊙结论．
【解答】解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EFC＝∠B+∠BEF═∠EFG+∠GFC，∠EFG＝∠B，
∴∠GFC＝∠FEB，
∴△EBF∽△FCG，
∴ ，
∴ ，
∴y＝﹣ x2+6x；
当y＝8时，8＝﹣ x2+6x，
第22页（共24页）解得x ＝6﹣2 ，x ＝6+2 ，
1 2
即自变量x的取值范围为：0＜x≤6﹣2 或6+2 ≤x＜12；
（2）当0＜x＜12时，无论点G在线段CD上还是在CD的延长线上时，都有y＝﹣
x2+6x；
当 B与 C外切时，BF+CG＝BC，
① ⊙ ⊙
∴x﹣ x2+6x＝12，解得x＝2或x＝12（舍去），
当 B与 C内切时，CG﹣BF＝BC，
② ⊙ ⊙
∴﹣ x2+6x﹣x＝12，解得x＝4或x＝6，
综上所述，当 B与 C相切时，线段BF的长为2或4或6；
⊙ ⊙
（3）当△FCG为等腰三角形时，
当CF＝CG时，即12﹣x＝﹣ x2+6x，
①
解得：x＝2，
当FG＝CG时，
②
∵cosC＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝ ，
当FG＝FC时，
③
∵cosC＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝ ，
第23页（共24页）∴线段BF的长为： 或2或 ．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，等腰三角
形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
第24页（共24页）
