文档内容
2019年上海市嘉定区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝1﹣x2 D．y＝
2．（4分）已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2+5
3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（ ）
A．5sinA B．5cosA C． D．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D是在边BC上，且BD＝2CD， ＝ ， ＝ ，那么 等于
（ ）
A． ＝ B． ＝ + C． ＝ ﹣ D． ＝ +
5．（4分）如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是
（ ）
A．AD：DB＝AE：EC B．DE：BC＝AD：AB
C．BD：AB＝CE：AC D．AB：AC＝AD：AE
6．（4分）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O ，过点
1
B、C的圆记作为圆O ，过点C、A的圆记作为圆O ，则下列说法中正确的是（ ）
2 3
A．圆O 可以经过点C B．点C可以在圆O 的内部
1 1
C．点A可以在圆O 的内部 D．点B可以在圆O 的内部
2 3
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是 ．
8．（4分）抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标是 ．
第1页（共23页）9．（4分）二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为 ．
10．（4分）如果3a＝4b（a、b都不等于零），那么 ＝ ．
11．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝ cm．
12．（4分）如果向量 、 、 满足关系式2 ﹣（ ﹣3 ）＝4 ，那么 ＝ （用向量 、
表示）．
13．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，
那么△DEF的周长等于 ．
14．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cosB的值＝ ．
15．（4分）小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点
A处的小杰的俯角等于 度．
16．（4分）如图，在圆O中，AB是弦，点C是劣弧AB的中点，连接OC，AB平分OC，连接
OA、OB，那么∠AOB＝ 度．
17．（4分）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于 厘
米．
18．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边BC、AC上，AC＝3AE，∠CDE＝45°
（如图），△DCE沿直线DE翻折，翻折后的点C落在△ABC内部的点F，直线AF与边BC
相交于点G，如果BG＝AE，那么tanB＝ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分76分）
19．（10分）计算：2|1﹣sin60°|+ ．
20．（10分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求∠OAM的正弦值．
21．（10分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小
第2页（共23页）区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行
车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度AB；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）
22．（10分）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过
点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
23．（12分）如图6，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．
（1）求证：∠BAC＝∠AED；
（2）在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证： ＝ ．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），
与y轴的交点为C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求
第3页（共23页）点E的坐标．
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，
点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．
第4页（共23页）2019年上海市嘉定区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝1﹣x2 D．y＝
【分析】直接利用一次函数以及二次函数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、y＝2x+1，是一次函数，故此选项错误；
B、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函数，故此选项错误；
C、y＝1﹣x2，是二次函数，符合题意；
D、y＝ ，是反比例函数，不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．（4分）已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（ ）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2+5
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向左平移2个单位所得直线的
解析式为：y＝（x+2）2+3；
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题
的关键．
3．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（ ）
A．5sinA B．5cosA C． D．
【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，可得sinA＝ ，即可得到AB的长的表达式．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，
第5页（共23页）∴sinA＝ ＝ ，
∴AB＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫
做∠A的正弦，记作sinA．
4．（4分）如图，在△ABC中，点D是在边BC上，且BD＝2CD， ＝ ， ＝ ，那么 等于
（ ）
A． ＝ B． ＝ + C． ＝ ﹣ D． ＝ +
【分析】由BD＝2CD，求得 的值，然后结合平面向量的三角形法则求得 的值．
【解答】解：∵BD＝2CD，
∴BD＝ BC．
∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
又 ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ．
故选：D．
【点评】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形
结合思想的应用．
5．（4分）如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是
第6页（共23页）（ ）
A．AD：DB＝AE：EC B．DE：BC＝AD：AB
C．BD：AB＝CE：AC D．AB：AC＝AD：AE
【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理对各选项进行判断．
【解答】解：当AD：DB＝AE：EC时，DE∥BC；
当BD：AB＝CE：AC时，DE∥BC；
当AB：AC＝AD：AE时，则AD：AB＝AE：AC，所以DE∥BC．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例．
6．（4分）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O ，过点
1
B、C的圆记作为圆O ，过点C、A的圆记作为圆O ，则下列说法中正确的是（ ）
2 3
A．圆O 可以经过点C B．点C可以在圆O 的内部
1 1
C．点A可以在圆O 的内部 D．点B可以在圆O 的内部
2 3
【分析】根据已知条件对个选项进行判断即可．
【解答】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O ，
1
∴点C可以在圆O 的内部，故A错误，B正确；
1
∵过点B、C的圆记作为圆O ，
2
∴点A可以在圆O 的外部，故C错误；
2
∵过点C、A的圆记作为圆O ，
3
∴点B可以在圆O 的外部，故D错误．
3
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识，根据已知条件正确的作出判断是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
7．（4分）如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是 k ＞ 2 ．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：k﹣2＞0，
∴k＞2，
故答案为：k＞2．
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中
等题型．
第7页（共23页）8．（4分）抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标是 （ 0 ， 0 ） ．
【分析】计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝x2+2x＝0，
所以抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标为（0，0）．
故答案为（0，0）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．
9．（4分）二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为 ﹣ 2 ．
【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+a＝（x+2）2﹣4+a，
∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．
10．（4分）如果3a＝4b（a、b都不等于零），那么 ＝ ．
【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．
【解答】解：∵3a＝4b（a、b都不等于零），
∴设a＝4x，则b＝3x，
那么 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．
11．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝ 3（ ﹣ 1 ）
cm．
【分析】根据黄金分割的概念得到AP＝ AB，把AB＝6cm代入计算即可．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝ AB，
而AB＝6cm，
∴AP＝6× ＝3（ ﹣1）cm．
第8页（共23页）故答案为3（ ﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线
段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这
条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
12．（4分）如果向量 、 、 满足关系式2 ﹣（ ﹣3 ）＝4 ，那么 ＝ 2 ﹣ （用向量 、
表示）．
【分析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．
【解答】解：2 ﹣（ ﹣3 ）＝4
2 ﹣ +3 ﹣4 ＝0
2 ﹣ ﹣ ＝0
＝2 ﹣
故答案是：2 ﹣ ．
【点评】考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量 的值的，难度不大．
13．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，
那么△DEF的周长等于 4 5 ．
【分析】根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【解答】解：设△DEF的周长别为x，
△ABC的三边长分别为4、5、6，
∴△ABC的周长＝4+5+6＝15，
∵△ABC∽△DEF，
∴ ＝ ，
解得，x＝45，
故答案为：45．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的
关键．
14．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cosB的值＝ ．
【分析】作AD⊥BC于D点，根据等腰三角形的性质得到BD＝ BC＝3，然后根据余弦的
定义求解．
第9页（共23页）【解答】解：如图，作AD⊥BC于D点，
∵AB＝AC＝4，BC＝6，
∴BD＝ BC＝3，
在Rt△ABD中，cosB＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角
的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质．
15．（4分）小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点
A处的小杰的俯角等于 4 2 度．
【分析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点B处的小明看点A处的小
杰的俯角的度数，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠BAO＝42°，
∵BC∥AD，
∴∠BAO＝∠ABC，
∴∠ABC＝42°，
即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度，
故答案为：42．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利
第10页（共23页）用数形结合的思想解答．
16．（4分）如图，在圆O中，AB是弦，点C是劣弧AB的中点，连接OC，AB平分OC，连接
OA、OB，
那么∠AOB＝ 12 0 度．
【分析】连接AC．证明△AOC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：连接AC．
∵ ＝ ，
∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC，
∵AB平分OC，
∴AB是线段OC的垂直平分线，
∴AO＝AC，
∵OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC，
∴∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°．
故答案为120．
【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．（4分）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于 3 厘米．
【分析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量
关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．
【解答】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，
∴d＝R﹣r＝5﹣2＝3cm，
故答案为：3．
第11页（共23页）【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系．
18．（4分）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边BC、AC上，AC＝3AE，∠CDE＝45°
（如图），△DCE沿直线DE翻折，翻折后的点C落在△ABC内部的点F，直线AF与边BC
相交于点G，如果BG＝AE，那么tanB＝ ．
【分析】设AE＝k＝BG，AC＝3k，（k≠0），可得EC＝2k，由折叠的性质可得EF＝EC＝2k，
∠FED＝∠DEC＝45°，根据相似三角形的性质可得 ，即GC＝3EF＝6k，
则可求tanB的值．
【解答】解：如图，
∵∠ACB＝90°，∠CDE＝45°，
∴∠DEC＝45°
∵AC＝3AE
∴设AE＝k＝BG，AC＝3k，（k≠0）
∴EC＝2k，
∵折叠
∴EF＝EC＝2k，∠FED＝∠DEC＝45°
∴∠FEC＝90°，且∠ACB＝90°
∴EF∥BC
∴△AEF∽△ACG
∴
∴GC＝3EF＝6k，
第12页（共23页）∴BC＝BG+GC＝7k，
∴tanB＝ ＝
故答案为：
【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练运用折叠的
性质是本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分76分）
19．（10分）计算：2|1﹣sin60°|+ ．
【分析】先代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：2|1﹣sin60°|+
＝2（1﹣ ）+
＝2﹣ +
＝2﹣ + +
＝2+ ．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题
关键．
20．（10分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求∠OAM的正弦值．
【分析】（1）把A坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出抛物线表达式，并求出顶点坐
标即可；
（2）根据（1）确定出抛物线对称轴，求出抛物线与x轴的交点B坐标，根据题意得到三角
形AMB为直角三角形，由MB与AB的长，利用勾股定理求出AM的长，再利用锐角三角
函数定义求出所求即可．
【解答】解：（1）由题意，得1+b﹣3＝0，
解这个方程，得，b＝2，
所以，这个抛物线的表达式是y＝x2+2x﹣3，
第13页（共23页）所以y＝（x+1）2﹣4，
则顶点M的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
设直线x＝1与x轴的交点为点B，
则点B的坐标为（﹣1，0），且∠MBA＝90°，
在Rt△ABM中，MB＝4，AB＝2，
由勾股定理得：AM2＝MB2+AB2＝16+4＝20，即AM＝2 ，
所以sin∠OAM＝ ＝ ．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点
的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．（10分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小
区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行
车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．
（1）求这个车库的高度AB；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）
【分析】（1）根据坡度的概念，设AB＝5x，则BC＝12x，根据勾股定理列出方程，解方程即
可；
（2）根据余切的定义列出算式，求出DC．
【解答】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，
在Rt△ABC中，i＝ ＝ ，
设AB＝5x，则BC＝12x，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝13x，
∵AC＝13，
∴x＝1，
第14页（共23页）∴AB＝5，
答：这个车库的高度AB为5米；
（2）由（1）得：BC＝12，
在Rt△ABD中，cot∠ADC＝ ，
∵∠ADC＝13°，AB＝5，
∴DB＝5cot13°≈21.655（m），
∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），
答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角
三角函数的定义是解题的关键．
22．（10分）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过
点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
（1）求线段DE的长；
（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
【分析】（1）由OD⊥AC知AD＝DC，同理得出CE＝EB，从而知DE＝ AB，据此可得答
案；
（2）作OH⊥AB于点H，连接OA，根据题意得出OH＝3，AH＝4，利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，
∴AD＝DC，
同理：CE＝EB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ AB，
∵AB＝8，
第15页（共23页）∴DE＝4．
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，
∵OH经过圆心O，
∴AH＝BH＝ AB，
∵AB＝8，
∴AH＝4，
在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，
∴AO＝5，即圆O的半径为5．
【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条
弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．
23．（12分）如图6，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．
（1）求证：∠BAC＝∠AED；
（2）在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证： ＝ ．
【分析】（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；
（2）由△DAE∽△CBA，可得 ＝ ，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝
AF，即可解决问题；
【解答】证明（1）∵AD∥BC，
∴∠B＝∠DAE，
第16页（共23页）∵AB﹣AD＝BC﹣AE，
∴ ＝ ，
∴△CBA∽△DAE，
∴∠BAC＝∠AED．
（2）由（1）得△DAE∽△CBA
∴∠D＝∠C， ＝ ，
∵∠AFE＝∠D，
∴∠AFE＝∠C，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD，
∵∠BAC＝∠AED，
∴DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴DE＝AF，
∴ ＝ ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关
键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），
与y轴的交点为C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求
点E的坐标．
第17页（共23页）【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）利用配方法可求出点M的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐
标，过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，利用分割图形求面积法可得出△AMC的面积；
（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，则△BGA，△OCB是等腰直角三角形，进
而可得出∠BAO＝∠DBO，由∠DOB+∠BOE＝45°，∠BOE+∠EOA＝45°可得出∠EOA＝
∠DOB，进而可证出△AOE∽△BOD，利用相似三角形的性质结合抛物线的对称轴为直线
x＝1可求出AE的长，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，根据
等腰直角三角形的性质可得出AF、EF的长，进而可得出点E的坐标．
【解答】解：（1）将A（4，0），B（2，2）代入y＝ax2+bx+2，得： ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2+ x+2．
（2）∵y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣1）2+ ，
∴顶点M的坐标为（1， ）．
当x＝0时，y＝﹣ x2+ x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，如图1所示．
第18页（共23页）∴S△AMC ＝S梯形AOHM ﹣S△AOC ﹣S△CHM ，
＝ （HM+AO）•OH﹣ AO•OC﹣ CH•MH，
＝ ×（1+4）× ﹣ ×4×2﹣ ×（ ﹣2）×1，
＝ ．
（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，如图2所示．
∵点B的坐标为（2，2），点A的坐标为（4，0），
∴BG＝2，GA＝2，
∴△BGA是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°．
同理，可得：∠BOA＝45°．
∵点C的坐标为（2，0），
∴BC＝2，OC＝2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，BO＝2 ，
∴∠BAO＝∠DBO．
∵∠DOE＝45°，
∴∠DOB+∠BOE＝45°．
∵∠BOE+∠EOA＝45°，
∴∠EOA＝∠DOB，
∴△AOE∽△BOD，
∴ ＝ ．
∵抛物线y＝﹣ x2+ x+2的对称轴是直线x＝1，
∴点D的坐标为（1，2），
∴BD＝1，
∴ ＝ ，
∴AE＝ ，
过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，
第19页（共23页）∴EF＝AF＝1，
∴点E的坐标为（3，1）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次
函数的性质、三角形（梯形）的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题
的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用分割图形求
面积法结合三角形、梯形的面积公式，求出△AMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利
用相似三角形的性质求出AE的长度．
25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，
点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．
【分析】（1）由比例中项知 ＝ ，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证
∠AEM＝∠DCE可得答案；
（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知 ＝ ，据此
第20页（共23页）求得AE＝8﹣ ＝ ，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知 ＝ ，求得AM＝ ，由
＝ 求得MN＝ ；
（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项
∴ ＝ ，
∵∠A＝∠A，
∴△AME∽△AEN，
∴∠AEM＝∠ANE，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM+∠DEC＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠DCE；
（2）∵AC与NE互相垂直，
∴∠EAC+∠AEN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ANE+∠AEN＝90°，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠EAC，
∴tan∠DCE＝tan∠DAC，
第21页（共23页）∴ ＝ ，
∵DC＝AB＝6，AD＝8，
∴DE＝ ，
∴AE＝8﹣ ＝ ，
由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴tan∠AEM＝tan∠DCE，
∴ ＝ ，
∴AM＝ ，
∵ ＝ ，
∴AN＝ ，
∴MN＝ ；
（3）∵∠NME＝∠MAE+∠AEM，∠AEC＝∠D+∠DCE，
又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠NME，
当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时
∠ENM＝∠EAC，如图2，
①
∴∠ANE＝∠EAC，
由（2）得：DE＝ ；
∠ENM＝∠ECA，
②如图3，
第22页（共23页）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠ECA＝∠DCE，
∴HE＝DE，
又tan∠HAE＝ ＝ ＝ ，
设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，
又AE+DE＝AD，
∴5x+3x＝8，
解得x＝1，
∴DE＝3x＝3，
综上所述，DE的长分别为 或3．
【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三
角函数的应用等知识点．
第23页（共23页）
