文档内容
2019年上海市奉贤区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣|﹣2| B．（﹣ ）2 C．﹣（﹣2） D．（﹣2）0．
2．（4分）电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情
获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元．数据4559000000
用科学记数法表示为（ ）
A．45.59×108 B．45.59×109 C．4.559×109 D．4.559×1010
3．（4分）关于反比例函数y＝﹣ ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点（2，2）
B．函数图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＜﹣4
4．（4分）学校环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，
数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9．利用学过的统计知识，根据上述数据估计
该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（ ）
A．200只 B．1400只 C．9800只 D．14000只
5．（4分）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行
（如图所示），那么∠1的度数是（ ）
A．75° B．90° C．100° D．105°
6．（4分）如图，已知△ABC，点D、E分别在边AC、AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能
判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
第1页（共24页）A．AE＝AD B．BD＝CE C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：m3÷（﹣m）2＝ ．
8．（4分）不等式组 的整数解是 ．
9．（4分）方程 ＝0的根是 ．
10．（4分）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等边三角形和等腰三角形．如果从
中任意抽取2张卡片，那么这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的概率是
．
11．（4分）如果正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是
．
12．（4分）如果关于x的方程x2+4x+2k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 ．
13．（4分）下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含最
小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落
在的分数段是 ．
分数段 18分以下 18～22分 22～26分 26～30分 30分
人数 3 7 9 13 8
14．（4分）已知△ABC，AB＝6，AC＝4，BC＝9，如果分别以AB、AC为直径画圆，那么这两个
圆的位置关系是 ．
15．（4分）如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高4米，背水坡AB
和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，那么坝底宽BC是 米．
第2页（共24页）16．（4分）已知△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝ ．如果设 ＝ ，
＝ ，那么 ＝ ．（用向量 、 的式子表示）
17．（4分）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一
个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形
中较小的锐角为 ，那么tan 的值是 ．
α α
18．（4分）如图，矩形ABCD，AD＝a，将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形
EBGF，顶点A、D、C分别与点E、F、G对应（点D与点F不重合）．如果点D、E、F在同一
条直线上，那么线段DF的长是 ．（用含a的代数式表示）
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中x＝ ．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝8，对角线AC平分
∠BCD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交边AB的延长线于点F，联结CF．
（1）求腰DC的长；
（2）求∠BCF的余弦值．
第3页（共24页）22．（10分）E﹣learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线
学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小
时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B种：
每月的收费金额y（元）与在线学习时间是x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）按照B种方式收费，当x≥5时，求y关于x的函数关系式．
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的
时间最多是多少小时？如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付多少元？
23．（12分）已知：如图，正方形ABCD，点E在边AD上，AF⊥BE，垂足为点F，点G在线段
BF上，BG＝AF．
（1）求证：CG⊥BE；
（2）如果点E是AD的中点，联结CF，求证：CF＝CB．
24．（12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣2，0）和
点B（4，0）．
（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；
第4页（共24页）（2）点C在线段OB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为点C，交抛物线与点D，E是BD中点，
联结CE并延长，与y轴交于点F．
当D恰好是抛物线的顶点时，求点F的坐标；
①
联结BF，当△DBC的面积是△BCF面积的 时，求点C的坐标．
②
25．（14分）如图，已知△ABC，AB＝ ，BC＝3，∠B＝45°，点D在边BC上，联结AD，以点A
为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．
（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果E是 的中点，求BD：CD的值；
（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．
第5页（共24页）2019年上海市奉贤区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣|﹣2| B．（﹣ ）2 C．﹣（﹣2） D．（﹣2）0．
【分析】根据实数的大小比较法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝﹣2；
（B）原式＝2；
（C）原式＝2；
（D）原式＝1；
故选：A．
【点评】本题考查实数的大小比较，解题的关键是正确化简原数，本题属于基础题型．
2．（4分）电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情
获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元．数据4559000000
用科学记数法表示为（ ）
A．45.59×108 B．45.59×109 C．4.559×109 D．4.559×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4559000000＝4.559×109，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．
3．（4分）关于反比例函数y＝﹣ ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象经过点（2，2）
B．函数图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大
D．当x＞1时，y＜﹣4
【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．
第6页（共24页）【解答】解：A、关于反比例函数y＝﹣ ，函数图象经过点（2，﹣2），故此选项错误；
B、关于反比例函数y＝﹣ ，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；
C、关于反比例函数y＝﹣ ，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确；
D、关于反比例函数y＝﹣ ，当x＞1时，y＞﹣4，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
4．（4分）学校环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，
数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9．利用学过的统计知识，根据上述数据估计
该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（ ）
A．200只 B．1400只 C．9800只 D．14000只
【分析】直接求出每户使用环保方便袋的数量，进而求出答案．
【解答】解：∵某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，
7，8，7，5，7，10，6，9，
∴平均每户使用方便袋的数量为： （6+5+7+8+7+5+7+10+6+9）＝7（只），
∴该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约：7×200＝1400（只）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，正确求出平均数是解题关键．
5．（4分）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行
（如图所示），那么∠1的度数是（ ）
A．75° B．90° C．100° D．105°
【分析】通过在∠1的顶点作斜边的平行线可得∠1＝105°．
【解答】解：如图：过∠1的顶点作斜边的平行线，
利用平行线的性质可得，∠1＝60°+45°＝105°．
第7页（共24页）故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，利用了转化的数学思想．
6．（4分）如图，已知△ABC，点D、E分别在边AC、AB上，∠ABD＝∠ACE，下列条件中，不能
判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．AE＝AD B．BD＝CE C．∠ECB＝∠DBC D．∠BEC＝∠CDB．
【分析】添加AE＝AD、BD＝CE、∠ECB＝∠DBC可利用AAS判定△ABD≌△ACE，进而
可得 AB＝AC，从而可得△ABC 是等腰三角形；添加∠BEC＝∠CDB 不能判定
△ABD≌△ACE，因此也不能证明AB＝AC，进而不能证明△ABC是等腰三角形．
【解答】解：A、添加AE＝AD，
在△ABD和△ACE中 ，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；
B、添加BD＝CE，
在△ABD和△ACE中 ，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；
C、添加∠ECB＝∠DBC，
第8页（共24页）又∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故此选项不合题意；
D、添加∠BEC＝∠CDB，不能证明△ABD≌△ACE，因此也不能证明AB＝AC，进而得不
到△ABC为等腰三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：m3÷（﹣m）2＝ m ．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减即可．
【解答】解：m3÷（﹣m）2＝m3÷m2＝m．
故答案为m．
【点评】本题考查了同底数幂相除，正确运用同底数幂相除法则是解题的关键．
8．（4分）不等式组 的整数解是 2 ．
【分析】先解不等式组，然后取整数解即可．
【解答】解：
由 得 x＞1，
①
由 得x＜ ，
②
∴ ，
∵x取整数，
∴x＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了解不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键．
9．（4分）方程 ＝0的根是 x ＝ 1 ．
【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．
【解答】解：原方程变形为x（x﹣1）＝0，
第9页（共24页）∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x＝0或x＝1，
∴x＝0时，被开方数x﹣1＝﹣1＜0，
∴x＝0不符合题意，舍去，
∴方程的根为x＝1，
故答案为x＝1．
【点评】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．
10．（4分）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等边三角形和等腰三角形．如果从
中任意抽取2张卡片，那么这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的概率是
．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再根据中心对称图形的定义找出这两张
卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的结果数
为2，
所以这两张卡片上所画图形恰好都是中心对称图形的概率＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了中心对称图形和列表法与树状图法求概率．
11．（4分）如果正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是 k ＞
3 ．
【分析】根据正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．
【解答】解：因为正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，
所以k﹣3＞0，
第10页（共24页）解得：k＞3，
故答案为：k＞3．
【点评】此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三
象限解答．
12．（4分）如果关于x的方程x2+4x+2k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 2 ．
【分析】x的方程x2+4x+2k＝0有两个相等的实数根，即△＝b2﹣4ac＝0，代入即可求k值
【解答】解：
∵x的方程x2+4x+2k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×2k＝0，解得k＝2
故答案为：2
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的
根与根的判别式△＝b2﹣4ac 有如下关系： 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根；①当△＜0时，方程无实数根．上述结论反过来
②也成立． ③
13．（4分）下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含最
小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落
在的分数段是 2 6 ∽ 3 0 分 ．
分数段 18分以下 18～22分 22～26分 26～30分 30分
人数 3 7 9 13 8
【分析】直接利用利用表格得出数据个数，再利用中位数的定义求出答案．
【解答】解：由表格中数据可得本班一共有：3+7+9+13+8＝40（人），
故中位数是第20个和第21个数据的平均数，
则该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是26∽30分．
故答案为：26∽30分．
【点评】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．
14．（4分）已知△ABC，AB＝6，AC＝4，BC＝9，如果分别以AB、AC为直径画圆，那么这两个
圆的位置关系是 相交 ．
【分析】设以AB为直径的圆的圆心为D，以AC为直径的圆的圆心为E，根据三角形中位
线性质得DE＝ ，而 D的半径为3， E的半径为2，所以3﹣2＜ ＜3+2，然后根据圆
⊙ ⊙
与圆的位置关系的判定方法可确定 D与 E相交．
第11页（共24页）
⊙ ⊙【解答】解：设以AB为直径的圆的圆心为D，以AC为直径的圆的圆心为E，则DE为
△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝ ，
∵ D的半径为3， E的半径为2，
⊙ ⊙
∴3﹣2＜ ＜3+2，
∴ D与 E相交．
故⊙答案为⊙相交．
【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆
外离 d＞R+r；两圆外切 d＝R+r；两圆相交 R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切 d＝R
﹣r（⇔R＞r）；两圆内含 ⇔d＜R﹣r（R＞r）．⇔ ⇔
15．（4分）如图，某水库大坝⇔的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高4米，背水坡AB
和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，那么坝底宽BC是 1 0 米．
【分析】直接利用坡比的定义得出BE，FC的长，进而求出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，
由题意可得：AD＝EF＝6m，AE＝DF＝4m，
∵背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，
∴BE＝FC＝2m，
∴BC＝BE+FC+EF＝6+2+2＝10（m）．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出BE，FC的长是解题关键．
16．（4分）已知△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝ ．如果设 ＝ ，
第12页（共24页）＝ ，那么 ＝ ．（用向量 、 的式子表示）
【分析】根据平行向量的性质求出 ，再根据 ＝ + ，求出 即可．
【解答】解：如图，
∵DE∥BC，DE＝ BC， ＝ ，
∴ ＝3 ，
∵ ＝ + ，
∴ ＝ +3 ，
故答案为 +3 ．
【点评】本题考查平面向量，平行向量的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
17．（4分）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一
个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形
中较小的锐角为 ，那么tan 的值是 ．
α α
【分析】首先求出小正方形的边长和大正方形的边长然后再求出BD和DE的长，进而可得
tan 的值．
【解α答】解：∵小正方形的面积是25，
∴EB＝5，
∵△ABC≌△DEB，
∴AB＝DE，
∵大正方形的面积为49，
∴AD＝7，
第13页（共24页）∴DB+DE＝7，
设BD＝x，
则DE＝7﹣x，
在Rt△BDE中：x2+（7﹣x）2＝52，
解得：x ＝4，x ＝3，
1 2
当x＝4时，7﹣x＝3，
当x＝3时，7﹣x＝4，
∵ 为较小的锐角，
∴αBD＝4，DE＝3，
∴tan ＝ ，
α
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握勾股定理的应用．
18．（4分）如图，矩形ABCD，AD＝a，将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形
EBGF，顶点A、D、C分别与点E、F、G对应（点D与点F不重合）．如果点D、E、F在同一
条直线上，那么线段DF的长是 2 a ．（用含a的代数式表示）
【分析】连接BD，证明Rt△EDB≌Rt△CBD，可得DE＝BC＝AD＝a，因为EF＝AD＝a，根
据DF＝DE+EF即可得出DF的长．
【解答】解：如图，连接BD，
∵将矩形ABCD绕着顶点B顺时针旋转，得到矩形EBGF，且D、E、F在同一条直线上，
∴∠DEB＝∠C＝90°，BE＝AB＝CD，
∵DB＝BD，
∴Rt△EDB≌Rt△CBD（HL），
第14页（共24页）∴DE＝BC＝AD＝a，
∵EF＝AD＝a，
∴DF＝DE+EF＝a+a＝2a．
故答案为：2a．
【点评】本题考查图形的旋转，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转的
性质．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ，其中x＝ ．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x＝ 代入，根据分母有理化法则计算
即可．
【解答】解：原式＝ ﹣ •
＝ ﹣
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝3 +3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（10分）解方程组：
【分析】先对x2﹣3xy+2y2＝0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立 ，组成两个
二元一次方程组，解之即可． ①
【解答】解：将方程x2﹣3xy+2y2＝0 的左边因式分解，得x﹣2y＝0或x﹣y＝0，
第15页（共24页）原方程组可以化为 或 ，
解这两个方程组得 或 ，
所以原方程组的解是 ．
【点评】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
21．（10分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝8，对角线AC平分
∠BCD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交边AB的延长线于点F，联结CF．
（1）求腰DC的长；
（2）求∠BCF的余弦值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，求出CE，解直角三角形求出DE，根据勾股定理求出
DC即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定求出AF，求出CF，解直角三角形求出即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，BC＝2AB＝8，
∴AB＝4，AC＝ ＝4 ，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∵DE⊥AC，
第16页（共24页）∴CE＝ AC＝ ＝2 ，
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，tan∠DCE＝ ，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵CE＝2 ，
∴DE＝ ，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC＝ ＝ ＝5；
即腰DC的长是5；
（2）设DF与BC相交于点Q，
∵∠FBC＝∠FEC＝90°，∠BQF＝∠EQC，
∴由三角形内角和定理得：∠AFE＝∠ACB，
∵∠FAD＝∠ABC＝90°，
∴△AFD∽△BCA，
∴ ＝ ，
∵AD＝DC＝5， ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：AF＝10，
∵AE＝CE，FE⊥AC，
∴CF＝AF＝10，
在Rt△BCF中，∠CBF＝90°，cos∠BCF＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解直
角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22．（10分）E﹣learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线
学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小
第17页（共24页）时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B种：
每月的收费金额y（元）与在线学习时间是x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）按照B种方式收费，当x≥5时，求y关于x的函数关系式．
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的
时间最多是多少小时？如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付多少元？
【分析】（1）当x≥5时，y关于x的函数经过点（5，0），（20，15），设函数解析式为：y＝
kx+b，求出k，b值即可
（2）按照A种方式可列出方程5+（x﹣10）×0.6＝20，解出x的值，即可求学习的时长，再代
入（1）中的解析式，即可求按B种方式应付多少元．
【解答】解：（1）当x≥5时，设y与x之间的函数关系式是：y＝kx+b（k≠0）
∵它经过点（5，0），（20，15），
∴ ，解得
∴y＝x﹣5
（2）按照A种收费方式，设小明三月份在线学习时间为x小时，
得5+（x﹣10）×0.6＝20．解得x＝35．
当x＝35时，y＝x﹣5＝35﹣5＝30．
30﹣20＝10（元）．
答：如果小明3月份按照A种方式支付了20元，那么他三月份在线学习的时间最多是35
小时，如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付10元．
【点评】此题考查一次函数的应用，解决此类题，要认真的审题，同时，要读懂图象，这是解
答的突破口，此外，灵活地运用一次函数的解析式，是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，正方形ABCD，点E在边AD上，AF⊥BE，垂足为点F，点G在线段
BF上，BG＝AF．
（1）求证：CG⊥BE；
第18页（共24页）（2）如果点E是AD的中点，联结CF，求证：CF＝CB．
【分析】（1）证明△AFB≌△BGC，通过角的代换即可得到∠BGC＝90°，即CG⊥BE；
（2）先证明△AEB∽△FAB，得到 ，根据中点线段关系结合比例式推导出FG＝
BG，又CG⊥BE，所以CF＝CB．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵AF⊥BE，
∴∠FAB+∠FBA＝90°．
∵∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠FAB＝∠CBG．
又∵AF＝BG，
∴△AFB≌△BGC（SAS）．
∴∠AFB＝∠BGC．
∴∠BGC＝90°，∴CG⊥BE．
（2）∵∠ABF＝∠EBA，∠AFB＝∠BAE＝90°，
∴△AEB∽△FAB．
∴ ．
∵点E是AD的中点，AD＝AB，
∴ ＝ ．
∵AF＝BG，
∴ ，即FG＝BG．
∵CG⊥BE，
∴CF＝CB．
【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性
第19页（共24页）质．难度中等，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法是解题的关键．
24．（12分）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣2，0）和
点B（4，0）．
（1）求这条抛物线的表达式和对称轴；
（2）点C在线段OB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为点C，交抛物线与点D，E是BD中点，
联结CE并延长，与y轴交于点F．
当D恰好是抛物线的顶点时，求点F的坐标；
①
联结BF，当△DBC的面积是△BCF面积的 时，求点C的坐标．
②
【分析】（1）用待定系数法求解；
（2） 求出顶点坐标，得出DC、OC、BC长度，在Rt△DCB和Rt△OFC中，利用三角函数
求出①OF值即可；
通过面积比找到DC与OF比值，证明△DCB∽△FOC，借助比例式求解OB，从而得到
②OC长．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），
代入得 ，解得 ．
因此，这条抛物线的表达式是y＝ ．
它的对称轴是直x＝1．
（2） 由抛物线的表达式y＝ ，得顶点D的坐标是（1， ）．
①
∴DC＝ ，OC＝1，BC＝4﹣1＝3．
第20页（共24页）∵D是抛物线顶点，CD⊥x轴，E是BD中点，
∴CE＝BE．
∴∠EBC＝∠ECB．
∵∠ECB＝∠OCF，∴∠EBC＝∠OCF．
在Rt△DCB中，∠DCB＝90°，cot∠EBC＝ ．
在Rt△OFC中，∠FOC＝90°，cot∠OCF＝ ．
∴ ，OF＝ ．
∴点F的坐标是（0，﹣ ）．
∵S△DBC ＝ ，S△BCF ＝ ，∴ ．
②
∵△DBC的面积是△BCF面积的 ，∴ ．
由 得∠BDC＝∠OFC，又∠DCB＝∠FOC＝90°，
∴①△DCB∽△FOC．
∴ ．
又OB＝4，
∴ ，
∴OC＝ ．
即点C坐标是（ ，0）．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点、二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定
系数法求函数解析式．
25．（14分）如图，已知△ABC，AB＝ ，BC＝3，∠B＝45°，点D在边BC上，联结AD，以点A
为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．
（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果E是 的中点，求BD：CD的值；
第21页（共24页）（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股
定理求得AD的长度．联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度，在Rt△ADF中，利
用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式．
（2）由勾股定理求得：AC＝ ．设DF与AE相交于点Q，通过解Rt△DCQ和
Rt△AHC推知 ＝ ．故设DQ＝k，CQ＝2k，AQ＝DQ＝k，所以再次利用勾股定理推知
DC的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案．
（3）如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论： 当AF∥DC、 当AD∥FC．根据相似
三角形的判定与性质，结合图形解答． ① ②
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
∵∠B＝45°，AB＝ ，
∴BH＝AH＝AB•cosB＝1．
∵BD＝x，∴DH＝|x﹣1|．
在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，
∴AD＝ ＝ ．
联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度．
∵点F在圆A上，且AF⊥AD，
∴AD＝AF，∠ADF＝45°．
在Rt△ADF中，∠DAF＝90°，
∴DF＝ ＝ ．
∴y＝ ．（0≤x≤3）．
第22页（共24页）（2）∵E是 的中点，
∴AE⊥DF，AE平分DF．
∵BC＝3，
∴HC＝3﹣1＝2．
∴AC＝ ＝ ．
设DF与AE相交于点Q，在Rt△DCQ中，∠DCQ＝90°，tan∠DCQ＝ ．
在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，tan∠ACH＝ ＝ ．
∵∠DCQ＝∠ACH，
∴ ＝ ．
设DQ＝k，CQ＝2k，AQ＝DQ＝k，
∵3k＝ ，k＝ ，
∴DC＝ ＝ ．
∵BD＝BC﹣CD＝ ，
∴ ＝ ．
（3）如果四边形ADCF是梯形
则 当AF∥DC时，∠AFD＝∠FDC＝45°．
∵①∠ADF＝45°，
∴AD⊥BC，即点D与点H重合．
∴BD＝1．
当AD∥FC时，∠ADF＝∠CFD＝45°．
②∵∠B＝45°，
∴∠B＝∠CFD．
∵∠B+∠BAD＝∠DF+∠FDC，
∴∠BAD＝∠FDC．
第23页（共24页）∴△ABD∽△DFC．
∴ ＝ ．
∵DF＝ AD，DC＝BC﹣CD．
∴AD2＝BC﹣BD．即（ ）2＝3﹣x．
整理得 x2﹣x﹣1＝0，解得x＝ （负数舍去）．
综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或 ．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角
函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生
的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
第24页（共24页）
