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2019年上海市宝山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)
1．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2
2．（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定相似
B．两个矩形一定相似
C．两个等边三角形一定相似
D．两个菱形一定相似
3．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
4．（4分）如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角 的余切值为
（ ） α
A．2 B． C． D．
5．（4分）设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A．m（n ）＝（mn） B．（m+n） ＝m +n
C．m（ ）＝m +m D．若m ＝ ，那么 ＝
6．（4分）若 A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置
为（ ⊙）
第1页（共22页）A．在 A内 B．在 A上 C．在 A外 D．不能确定
二、填空题⊙（本大题共12题,每⊙题4分,满分48分) ⊙
7．（4分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是 ．
8．（4分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为 ．
9．（4分）请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式： ．
10．（4分）若2| |＝3，那么3| |＝ ．
11．（4分）甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上
4.5cm的两地之间的实际距离为 千米．
12．（4分）如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于 ．
13．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sinB＝ ．
14．（4分）直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为
．
15．（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝
2BD，BE＝1，那么DC＝ ．
16．（4分） O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若 C与 O有公共点，那么 C的
半径r的⊙取值范围是 ． ⊙ ⊙ ⊙
17．（4分）我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，
若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于
．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿
直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为 ．
三、解答题（本大题共7题,满分78分)
19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：
第2页（共22页）BF•CE＝AB2．
21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．
（1）求 的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ，求 （用含 、 的式子表示）．
22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，
过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．
（1）求CF的长；
（2）求∠D的正切值．
23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9
米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角
为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．
第3页（共22页）24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y
＝ x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为 ．
（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；
（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP ＝S△BCP ，
求m的值．
25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，
点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于
点F．
（1）若AP＝ ，求DE的长；
（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；
（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，
请说明理由．
第4页（共22页）第5页（共22页）2019年上海市宝山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题,每题4分,满分24分)
1．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是（ ）
A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3 C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC：CE＝BD：DF＝1：2，然后利用比例性质对
各选项进行判断．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，
即CE＝2AC，
∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例．
2．（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定相似
B．两个矩形一定相似
C．两个等边三角形一定相似
D．两个菱形一定相似
【分析】根据相似三角形的判定方法对A、C进行判断；利用反例可对B、D进行判断．
【解答】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而
两个等边三角形一定相似．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命
第6页（共22页）题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，
只需举出一个反例即可．
3．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（ ）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a的值．
【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．也考查了二次函数的性质．
4．（4分）如图，直角坐标平面内有一点P（2，4），那么OP与x轴正半轴的夹角 的余切值为
（ ） α
A．2 B． C． D．
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A．由P点的坐标得PA、OA的长，根据余切函数的定义得
结论．
【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点A．
由于点P（2，4），
∴PA＝4，OA＝2
∴cot ＝ ＝ ．
α
故选：B．
【点评】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构
造直角三角形．
第7页（共22页）5．（4分）设m，n为实数，那么下列结论中错误的是（ ）
A．m（n ）＝（mn） B．（m+n） ＝m +n
C．m（ ）＝m +m D．若m ＝ ，那么 ＝
【分析】根据平面向量的性质，即可判断A、B，C正确，根据向量的计算法则即可得D错误．
【解答】解：A、如果m、n为实数，那么m（n ）＝（mn） ，故本选项结论正确；
B、如果m、n为实数，那么（m+n） ＝m +n ，故本选项结论正确；
C、如果m、n为实数，那么m（ ）＝m +m ，故本选项结论正确；
D、如果m为实数，那么若m ＝ ，那么m＝0或 ＝ ，故本选项结论错误．
故选：D．
【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向
量的性质是解此题的关键．
6．（4分）若 A的半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P的位置
为（ ⊙）
A．在 A内 B．在 A上 C．在 A外 D．不能确定
【分析⊙】先根据两点间的距离⊙公式计算出PA的长，然⊙后比较PA与半径的大小，再根据点
与圆的关系的判定方法进行判断．
【解答】解：∵圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），
∴AP＝ ＝4＜5，
∴点P在 A内，
故选：A．⊙
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离
为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐
标与图形性质．
二、填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分)
7．（4分）抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标是 （ 0 ，﹣ 1 ） ．
【分析】形如y＝ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．
故答案是：（0，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y＝a（x﹣k）2+h的顶点坐标
是（k，h），对称轴方程是x＝k．
第8页（共22页）8．（4分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得图象的对称轴为 直线 x ＝ 3 ．
【分析】直接利用二次函数平移规律得出平移后解析式进而得出答案．
【解答】解：将二次函数y＝2x2的图象向右平移3个单位，所得解析式为：y＝2（x﹣3）2，
故其图象的对称轴为：直线x＝3．
故答案为：直线x＝3．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
9．（4分）请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式： y ＝﹣ x 2 + 2（ 答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点
（0，2）得出即可．
【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，
∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一．
10．（4分）若2| |＝3，那么3| |＝ ．
【分析】实数的乘除运算法则同样适用于向量的运算．
【解答】解：由2| |＝3得到：| |＝ ，
故3| |＝3× ＝ ．
故答案是： ．
【点评】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础
题．
11．（4分）甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，那么图上
4.5cm的两地之间的实际距离为 22 5 千米．
【分析】依据甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，即可
得到比例尺，即可得出图上4.5cm的两地之间的实际距离．
【解答】解：∵甲、乙两地的实际距离为500千米，甲、乙两地在地图上的距离为10cm，
∴比例尺＝ ＝ ，
设图上4.5cm的两地之间的实际距离为xcm，则
第9页（共22页）＝ ，
解得x＝22500000，
∵22500000cm＝225km，
∴图上4.5cm的两地之间的实际距离为225千米．
故答案为：225．
【点评】本题主要考查了比例线段，解题时注意：比例尺等于图上距离与实际距离的比值．
12．（4分）如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于 1 ： 1 6 ．
【分析】由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形
的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：4，
∴它们的相似比为1：4，
∴它们的面积的比等于1：16．
故答案为：1：16．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相
似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．
13．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sinB＝ ．
【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边，可得答案．
【解答】解：由题意，得
sinB＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．
14．（4分）直角三角形的重心到直角顶点的距离为 4cm，那么该直角三角形的斜边长为
12 cm ．
【分析】根据三角形的重心的性质求出CD，根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，CG＝4，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD＝ CG＝6，CD是△ABC的中线，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
第10页（共22页）∴AB＝2CD＝12（cm），
故答案为：12cm．
【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重
心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
15．（4分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝
2BD，BE＝1，那么DC＝ ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDC，推出△AEB∽△BDC，根据相似三角形的
性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CEA，
∴∠AEB＝∠BDC，
∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，
∴∠EAB＝∠CBD，
∴△AEB∽△BDC，
∴ ＝ ，
∵3AE＝2BD，BE＝1，
∴CD＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解
第11页（共22页）题的关键．
16．（4分） O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若 C与 O有公共点，那么 C的
半径r的⊙取值范围是 2 ≤ r ≤ 8 ． ⊙ ⊙ ⊙
【分析】利用 C与 O相切或相交确定r的范围．
【解答】解：⊙∵ O⊙的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，
∴CA＝8， ⊙
∵ C与 O有公共点，即 C与 O相切或相交，
∴⊙r＝2或⊙r＝8或2＜r＜8，⊙即2≤⊙r≤8．
故答案为2≤r≤8．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R： 两
圆外离 d＞R+r； 两圆外切 d＝R+r； 两圆相交 R﹣r＜d＜R+（r R≥r）； 两①圆内
切 d＝⇔R﹣r（R＞②r）； 两圆⇔内含 d＜③R﹣r（R＞⇔r）． ④
17．（⇔4分）我们将等腰三角形⑤腰长与底边⇔长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，
若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于
或 ．
【分析】根据题意，可以求得底边的长，然后利用分类讨论的方法和锐角三角函数可以求
得相应的角的三角函数值．
【解答】解：设等腰三角形的底边长为a，
|5﹣a|＝3，
解得，a＝2或a＝8，
当a＝2时，这个等腰三角形底角的余弦值是： ，
当a＝8时，这个等腰三角形底角的余弦值是： ，
故答案为： 或
【点评】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明
确题意，求出相应的角的三角函数值．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿
直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，那么CP的长为 ．
第12页（共22页）【分析】过点C'作C'D⊥BC于点D，通过题意可证四边形C'DCA是矩形，可得CD＝AC'，
C'D＝AC＝4，根据勾股定理可求BD＝3，即CD＝AC'＝2，根据勾股定理可求CP的长．
【解答】解：过点C'作C'D⊥BC于点D，
∵A'C∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠C'AC＝∠ACB＝90°，且C'D⊥BC，
∴四边形C'DCA是矩形，
∴CD＝AC'，C'D＝AC＝4，
∵折叠
∴BC'＝BC＝5，CP＝C'P，
在Rt△BDC'中，BD＝ ＝3
∴CD＝BC﹣BD＝2
∴AC'＝2，
在Rt△AC'P中，C'P2＝C'A2+AP2，
∴CP2＝4+（4﹣CP）2，
∴CP＝
故答案为：
【点评】本题是翻折变换，考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，添加恰当辅
助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题共7题,满分78分)
19．（10分）计算：sin30°tan30°+cos60°cot30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值把相关数据代入进而得出答案．
第13页（共22页）【解答】解：原式＝ × + ×
＝ ．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：
BF•CE＝AB2．
【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理
可得所求的乘积式．
【解答】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABF∽△ECA，
∴AB：CE＝BF：AC，
∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．
21．（10分）如图，已知：△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AB＝9，AC＝6，AD＝2，AE＝3．
（1）求 的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ，求 （用含 、 的式子表示）．
【分析】（1）根据已知∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，进而得出△ADE∽△ACB，由该相似三
角形的性质解答；
（2）由三角形法则解答即可．
第14页（共22页）【解答】解：（1）∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，即 ＝ ．
（2） ＝ + ＝﹣ + ．
【点评】考查了平面向量和相似三角形的判定与性质．注意：平面向量是有方向的．
22．（10分）如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，AC＝AE＝3，BC＝4，
过点A作AB的垂线交射线EC于点D，延长BC交AD于点F．
（1）求CF的长；
（2）求∠D的正切值．
【分析】（1）证△ABC∽△FAC，得 ＝ ，将相关线段的长代入计算可得；
（2）作CH⊥AB，先计算AB＝5，据此可得CH＝ ＝ ，AH＝ ＝ ，EH
＝AE﹣AH＝ ，依据tanD＝tan∠ECH＝ 可得答案．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝∠ACB＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAC+∠CAF＝90°，
∴∠B＝∠CAF，
∴△ABC∽△FAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得CF＝ ；
第15页（共22页）（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
则CH＝ ＝ ，
∴AH＝ ＝ ，EH＝AE﹣AH＝ ，
∴tanD＝tan∠ECH＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查解直角三角形与相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助
线构造与∠D相等的角，并熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
23．（12分）地铁10号线某站点出口横截面平面图如图所示，电梯AB的两端分别距顶部9.9
米和2.4米，在距电梯起点A端6米的P处，用1.5米的测角仪测得电梯终端B处的仰角
为14°，求电梯AB的坡度与长度．
参考数据：sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，cos14°≈0.97．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得电梯AB的坡度，然
后根据勾股定理即可求得AB的长度．
【解答】解：作BC⊥PA交PA的延长线于点C，作QD∥PC交BC于点D，
由题意可得，BC＝9.9﹣2.4＝7.5米，QP＝DC＝1.5米，∠BQD＝14°，
则BD＝BC﹣DC＝7.5﹣1.5＝6米，
第16页（共22页）∵tan∠BQD＝ ，
∴tan14°＝ ，
即0.25＝ ，
解得，ED＝18，
∴AC＝ED＝18，
∵BC＝7.5，
∴tan∠BAC＝ ＝ ，
即电梯AB的坡度是5：12，
∵BC＝7.5，AC＝18，∠BCA＝90°，
∴AB＝ ＝19.5，
即电梯AB的坡度是5：12，长度是19.5米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，解答本题的关键
是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
24．（12分）如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y
＝ x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为 ．
（1）求二次函数的解析式与顶点P坐标；
（2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP ＝S△BCP ，
求m的值．
第17页（共22页）【分析】（1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用∠OCA正切值求得点A坐标，再利用
待定系数法求解可得；
（2）由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点
M，知M（1，﹣ ），先得出S△ABP′ ＝ AB•P′H＝2（m+1），S△BCP′ ＝S△P′MC +S△P′MB ＝
P′M•OB＝3| ﹣m|，根据S△ABP ＝S△BCP 列出方程求解可得．
【解答】解：（1）∵y＝ x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时， x﹣3＝0，解得x＝6，
∴点B（6，0），C（0，﹣3），
∵tan∠OCA＝ ＝ ，
∴OA＝2，即A（2，0），
将A（2，0）代入y＝x2+bx，得4+2b＝0，
解得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
则抛物线解析式为y＝x2﹣2x，顶点P的坐标为（1，﹣1）；
（2）如图，
第18页（共22页）由平移知点P′坐标为（1，﹣1﹣m），
设抛物线对称轴与x轴交于点H，与BC交于点M，则M（1，﹣ ），
S△ABP′ ＝ AB•P′H＝ ×4（m+1）＝2（m+1），
S△BCP′ ＝S△P′MC +S△P′MB ＝ P′M•OB＝ |﹣1﹣m+ |×6＝3| ﹣m|，
∴2（m+1）＝3| ﹣m|，
解得m＝ 或m＝ ．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，
二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点．
25．（14分）如图，已知：梯形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAB＝45°，AB∥DC，DC＝3，AB＝5，
点P在AB边上，以点A为圆心AP为半径作弧交边DC于点E，射线EP于射线CB交于
点F．
（1）若AP＝ ，求DE的长；
（2）联结CP，若CP＝EP，求AP的长；
（3）线段CF上是否存在点G，使得△ADE与△FGE相似？若相似，求FG的值；若不相似，
请说明理由．
第19页（共22页）【分析】（1）如图，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H，在Rt△AHE中求出AE，即
可求求解；
（2）设：AP＝x，利用△APE∽△PEC，得出PC2＝CE•AP，利用勾股定理得出PC2＝
PB2+BC2，即可求解；
（3）利用△ADE∽△FGE，得到3 ＝45°，进而求出相应线段的长度，再利相似比 ＝ ，
α
即可求解．
【解答】解：（1）如图1中，过点A，作AH∥BC，交CD的延长线于点H．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠C＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝∠H＝90°，
∴四边形AHCB是矩形，
∴AB＝CH＝5，∵CD＝3，
∴DH＝CH﹣CD＝2，
∵∠HAB＝90°，∠DAB＝45°，
∴∠HAD＝∠HDA＝45°
第20页（共22页）∴HD＝AH＝2，AE＝AP＝ ，
根据勾股定理得，HE＝ ＝3，则ED＝1；
（2）连接CP，设AP＝x．
∵AB∥CD，
∴∠EPA＝∠CEP，即等腰△APE、等腰△PEC两个底角相等，
∴△APE∽△PEC，∴ ＝ ，
即：PE2＝AE•CE，
而EC＝2PB＝2（5﹣x），
即：PC2＝CE•AP＝2（5﹣x）x，
而PC2＝PB2+BC2，即：PC2＝（5﹣x）2+22，
∴2（5﹣x）x＝（5﹣x）2+22，
解得：x＝ （不合题意值已舍去），
即：AP＝ ；
（3）如图3中，在线段CF上取一点G，连接EG．
第21页（共22页）设∠F＝ ，则∠APE＝∠AEP＝∠BPF＝90°﹣ ，
则：∠EAαP＝180°﹣2∠APE＝2 ， α
∵△ADE∽△FGE，设∠DAE＝α∠F＝ ，
由∠DAB＝45°，可得3 ＝45°，2 ＝3α0°，
在Rt△ADH中，AH＝DαH＝2， α
在Rt△AHE中，∠HEA＝∠EAB＝2 ＝30°，∠HAE＝60°，
∴HE＝AH•tan∠HAE＝2 ，
α
∴DE＝HE﹣HD＝2 ﹣2，
EC＝HC﹣HE＝5﹣2 ，
∵△ADE∽△FGE，
∴∠ADC＝∠EGF＝135°，
则∠CEG＝45°，
∴EG＝ EC＝5 ﹣2 ，
∴ ＝ ，
即： ＝ ，
解得：FG＝3 ﹣1．
【点评】本题属于三角形相似综合题，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识点，其中（3）
中，利用三角形相似，确定 的大小，是本题的突破点，属于中考压轴题．
α
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