文档内容
2019年上海市嘉定区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全
国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用
科学记数法表示为（ ）
A．324×105 B．32.4×106 C．3.24×107 D．0.32×108
2．（4分）如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m的值是（ ）
A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1
3．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝x2﹣3x﹣1
4．（4分）现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm，方差分别是S甲 2、S乙 2，如果S
甲
2＞S乙 2，那么两个队中队员的身高较整齐的是（ ）
A．甲队 B．乙队
C．两队一样整齐 D．不能确定
5．（4分）已知 ，而且 和 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a6÷a3＝ ．
8．（4分）分解因式：2a2﹣4a＝ ．
9．（4分）已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
10．（4分）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）方程 ＝1的根是 ．
12．（4分）已知反比例函数 的图象经过点（2，﹣1），那么k的值是 ．
第1页（共22页）13．（4分）不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2
个小球为红色，6个小球为白色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为 ．
14．（4分）在一次有12人参加的测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是
1、4、3、2、2，那么这组数据的众数是 分．
15．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，以点A为圆心作圆A，要使B、C两
点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是 ．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O的线段EF与AD、BC
分别交于点E、F，如果AB＝4，BC＝5，OE＝ ，那么四边形EFCD的周长为 ．
17．（4分）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学
家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：S＝a+ b﹣1，其中a表
示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多
边形的面积是 ．
18．（4分）如图，点M的坐标为（3，2），点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向
上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线y＝﹣x平行，如果点M关
于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是 ．
第2页（共22页）三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（﹣2018）0+（ ）﹣2﹣ + ．
20．（10分）解方程： ＝ ﹣ ．
21．（10分）如图已知：△ABC中，AD是边BC上的高、E是边AC的中点，BC＝11，AD＝12，
DFGH为边长为4的正方形，其中点F、G、H分别在AD、AB、BC上．
（1）求BD的长度；
（2）求cos∠EDC的值．
22．（10分）某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
①银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期
②使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写
出选择哪种消费方式更合算．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落
在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如果PA＝PE，求证：△APB≌△EPC．
第3页（共22页）24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A
（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．
25．（14分）在圆O中，AB是圆O的直径，AB＝10，点C是圆O上一点（与点A、B不重合），
点M是弦BC的中点．
（1）如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；
（2）如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；
（3）如图3，如果AB：BC＝5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于
点H，与射线BO交于圆内点F．探究一：如果设BD＝x，FO＝y，求y关于x的函数解析式
及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的
长度；请你完成上述两个探究．
第4页（共22页）第5页（共22页）2019年上海市嘉定区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全
国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用
科学记数法表示为（ ）
A．324×105 B．32.4×106 C．3.24×107 D．0.32×108
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据
此判断即可．
【解答】解：32400000＝3.24×107元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜
10，确定a与n的值是解题的关键．
2．（4分）如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m的值是（ ）
A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1
【分析】理解一元一次的解和解一元一次方程的概念是解此题的关键．
【解答】解：把x＝﹣1，代入方程关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）得：
﹣1﹣m+2＝0，
解得：m＝1，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程两个概念，重点是理解一元一次方程的解和会解一元一
次方程．
3．（4分）将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（ ）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝x2﹣3x﹣1
【分析】根据向上平移纵坐标加求得结论即可．
【解答】解：∵将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，
∴平移后抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣1+1，即y＝x2﹣2x．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数
第6页（共22页）图象的变化更简便．
4．（4分）现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm，方差分别是S甲 2、S乙 2，如果S
甲
2＞S乙 2，那么两个队中队员的身高较整齐的是（ ）
A．甲队 B．乙队
C．两队一样整齐 D．不能确定
【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．
【解答】解：∵S甲 2＞S乙 2，
∴两个队中队员的身高较整齐的是：乙队．
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明
这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分
布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（4分）已知 ，而且 和 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．
【解答】解：∵ ，而且 和 的方向相反，
∴ ＝﹣3 ，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．（4分）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （ ）
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
【分析】利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断
即可．
【解答】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选
项错误；
B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；
C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；
第7页（共22页）D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定
义．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a6÷a3＝ a 3 ．
【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．
【解答】解：a6÷a3＝a6﹣3＝a3．
故应填a3．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
8．（4分）分解因式：2a2﹣4a＝ 2 a （ a ﹣ 2 ） ．
【分析】观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．
【解答】解：2a2﹣4a＝2a（a﹣2）．
故答案为：2a（a﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解的基本方法一﹣﹣﹣提公因式法．本题只要将原式的公因式
2a提出即可．
9．（4分）已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ﹣ ．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得出△＝0，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝32﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣
4ac的关系是解答此题的关键．
10．（4分）不等式组 的解集是 ﹣ 1 ≤ x ＜ 2 ．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【解答】解：
由 得：x≥﹣1，
第8页（共22页）
①由 得：x＜2，
∴②不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
故答案为﹣1≤x＜2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小
取小；大小小大去中间；大大小小无解．
11．（4分）方程 ＝1的根是 1 ．
【分析】本题思路是两边平方后去根号，解方程．
【解答】解：两边平方得2x﹣1＝1，解得x＝1．
经检验x＝1是原方程的根．
故本题答案为：x＝1．
【点评】平方时可能产生增根，要验根．
12．（4分）已知反比例函数 的图象经过点（2，﹣1），那么k的值是 k ＝﹣ ．
【分析】根据点的坐标与函数解析式的关系，将点的坐标代入，可以得到﹣1＝ ，然
后解方程，便可以得到k的值．
【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点（2，﹣1），
∴﹣1＝
∴ ；
故填 ．
【点评】本题侧重考查利用待定系数法求函数的解析式的方法，可以结合代入法进行解答
13．（4分）不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2
个小球为红色，6个小球为白色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为 ．
【分析】用红色小球的个数除以球的总个数即可得．
【解答】解：∵袋子中共有8个小球，其中红色小球有2个，
∴随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
第9页（共22页）【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可
能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
14．（4分）在一次有12人参加的测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是
1、4、3、2、2，那么这组数据的众数是 9 5 分．
【分析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．
【解答】解：∵95分出现了4次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是95分；
故答案为：95．
【点评】此题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次
数最多的数．
15．（4分）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，以点A为圆心作圆A，要使B、C两
点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是 3 ＜ r ＜ 6 ．
【分析】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d
＜r时，点在圆内”即可求解，
【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3 ，
∴AB＝6，
如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，
点B在圆A外，则r＜6，
因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．
故答案为3＜r＜6；
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d＝r时，点
在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．
16．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O的线段EF与AD、BC
分别交于点E、F，如果AB＝4，BC＝5，OE＝ ，那么四边形EFCD的周长为 1 2 ．
【分析】根据平行四边形的性质知，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，
第10页（共22页）∠AOE和∠COF是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到OF＝OE＝1.5，CF＝AE，所
于是得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，
∴△OAE≌△OCF（AAS），
∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，
∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE
＝ED+AE+CD+OE+OF
＝AD+CD+OE+OF
＝4+5+1.5+1.5
＝12．
故答案为：12．
【点评】本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角
形的性质，转化边的关系后再求解．
17．（4分）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学
家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：S＝a+ b﹣1，其中a表
示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多
边形的面积是 6 ．
【分析】分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S＝a+ b﹣
1，即可得出格点多边形的面积．
【解答】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的
面积，
∴a＝4，b＝6，
∴格点多边形的面积S＝a+ b﹣1＝4+ ×6﹣1＝6．
故答案为：6．
第11页（共22页）【点评】本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a，b的值．
18．（4分）如图，点M的坐标为（3，2），点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向
上移动，同时过点P的直线l也随之上下平移，且直线l与直线y＝﹣x平行，如果点M关
于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点P的移动时间为t秒，那么t的值可以是 2 或 3
（答一个即可） ．
【分析】找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F的坐标，然
后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．
【解答】解：设直线l：y＝﹣x+b．
如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上
的对称点．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD＝3，MD＝2．
由直线l：y＝﹣x+b可知∠PDO＝∠OPD＝45°，
∴∠MED＝∠OEF＝45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，
∴DE＝MD＝2，OE＝OF＝1，
∴E（1，0），F（0，﹣1）．
∵M（3，2），F（0，﹣1），
∴线段MF中点坐标为（ ， ）．
直线y＝﹣x+b过点（ ， ），则＝﹣ +b，解得：b＝2，
∴t＝2．
∵M（3，2），E（1，0），
∴线段ME中点坐标为（2，1）．
直线y＝﹣x+b过点（2，1），则1＝﹣2+b，解得：b＝3，
∴t＝3．
故点M关于l的对称点，当t＝2时，落在y轴上，当t＝3时，落在x轴上．
第12页（共22页）故答案为：2或3（答一个即可）．
【点评】考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要
漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（﹣2018）0+（ ）﹣2﹣ + ．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质
计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1+4﹣ + ﹣3＝ + ．
π π
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程： ＝ ﹣ ．
【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）得：
16＝（x+2）2﹣（x﹣2），
整理得：x2+3x﹣10＝0，
解此方程得：x ＝﹣5，x ＝2，
1 2
经检验x ＝﹣5是原方程的解，x ＝2是增根（舍去），
1 2
所以原方程的解是：x＝﹣5．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
21．（10分）如图已知：△ABC中，AD是边BC上的高、E是边AC的中点，BC＝11，AD＝12，
DFGH为边长为4的正方形，其中点F、G、H分别在AD、AB、BC上．
（1）求BD的长度；
（2）求cos∠EDC的值．
第13页（共22页）【分析】（1）由四边形DFGH为边长为4的正方形得 ，将相关线段的长度代入计
算可得；
（2）先求出CD、AC的长，再由E是边AC的中点知ED＝EC，据此得∠EDC＝∠ACD，再
根据余弦函数的定义可得答案．
【解答】解：（1）∵四边形DFGH为顶点在△ABD边长的正方形，且边长为4，
∴GF∥BD，GF＝DF＝4，
∴ ，
∵AD＝12，
∴AF＝8，
则 ＝ ，
解得：BD＝6；
（2）∵BC＝11，BD＝6，
∴CD＝5，
在直角△ADC中，AC2＝AD2+DC2，
∴AC＝13，
∵E是边AC的中点，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ ．
【点评】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质、勾股定理、三角函
数的应用及直角三角形的性质等．
22．（10分）某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
第14页（共22页）金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
①银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期
②使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写
出选择哪种消费方式更合算．
【分析】（1）根据题意可以直接写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）根据函数图象和（1）中的函数解析式可以分别求得普通票消费和银卡消费相等的情
况，银卡消费和金卡消费相等的情况，再根据图象即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：y＝10x+150，
选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：y＝20x；
（2）当10x+150＝20x时，得x＝15，
当10x+150＝600时，得x＝45，
答：当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，
选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选
择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和
数形结合的思想解答．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落
在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如果PA＝PE，求证：△APB≌△EPC．
第15页（共22页）【分析】（1）由折叠的性质得到BE＝PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE＝EB
＝PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB
为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四
边形即可得证；
（2）根据三角形AEP为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻
补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由 AP＝EB，利用
AAS即可得证．
【解答】证明：（1）由折叠得到EC垂直平分BP，
设EC与BP交于Q，
∴BQ＝EQ
∵E为AB的中点，
∴AE＝EB，
∴EQ为△ABP的中位线，
∴AF∥EC，
∵AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵AF∥EC，
∴∠APB＝∠EQB＝90°，
由翻折性质∠EPC＝∠EBC＝90°，∠PEC＝∠BEC，
∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP＝EP，
∴△AEP为等边三角形，∠BAP＝∠AEP＝60°，
∠CEP＝∠CEB＝ ＝60°，
在△ABP和△EPC中，
第16页（共22页），
∴△ABP≌△EPC（AAS）．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与
性质是解本题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A
（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．
【分析】（1）将点A和点B坐标代入解析式求解可得；
（2）先求出点C坐标，从而得出OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，据此知∠DBO＝30°或60°，依
据DO＝BO•tan∠DBO求出得 或 ，从而得出答案；
（3）设P（﹣1，t），知BC2＝18，PB2＝4+t2，PC2＝t2﹣6t+10，再分点B、点C和点P为直角
顶点三种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）依题意得： ，
解得： ，
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交点为点C，
∴点C的坐标是（0，3），
第17页（共22页）又点B的坐标是（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，
∴∠DBO＝30°或60°．
在直角△BOD中，DO＝BO•tan∠DBO，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
（3）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3得：对称轴是直线x＝﹣1，
根据题意：设P（﹣1，t），
又点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，0），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解之得：t＝﹣2，
①若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解之得：t＝4，
② 若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解之得： ，
③
．
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或 或 ．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰
三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．
25．（14分）在圆O中，AB是圆O的直径，AB＝10，点C是圆O上一点（与点A、B不重合），
点M是弦BC的中点．
（1）如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；
（2）如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；
（3）如图3，如果AB：BC＝5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于
点H，与射线BO交于圆内点F．探究一：如果设BD＝x，FO＝y，求y关于x的函数解析式
及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的
长度；请你完成上述两个探究．
第18页（共22页）【分析】（1）如图1，过点O作ON∥BC交AM于点N，根据三角形的中位线的性质得到
ON＝ BM，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
（2）如图1，连接OM，根据垂径定理得到OM⊥BC，根据余角的性质得到∠OME＝
∠MCE，根据相似三角形的性质得到ME2＝OE•CE，设OE＝x，则CE＝2x，ME＝ x，解
直角三角形即可得到结论；
（3）探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，根据平行线的性质得到∠LDB＝
∠C＝∠B，根据等腰三角形的判定定理得到BL＝DL，设BD＝x，则CD＝8﹣x，BL＝DL＝
x，CH＝ （8﹣x），OH＝OC﹣CH＝5﹣ （8﹣x），根据平行线成线段成比例定理得到y
＝ （其中 ）；
探究二：根据题意得到OF＝OD，根据等腰三角形的性质得到DF⊥OC，根据直角三角形
的性质得到FO＝OL，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）过点O作ON∥BC交AM于点N，如图1
∴ ， ，
∵
第19页（共22页）∴
∵点M是弦BC的中点∴BM＝MC
∴ ，
∴OE：CE＝1：2；
（2）联结OM，如图2
∵点M是弦BC的中点，OM经过圆心O
∴OM⊥BC，∠OMC＝90°，
∵AM⊥OC，∴∠MEO＝90°
∴∠OMC＝∠MEO＝90°又∠MOC＝∠EOM
∴△MOC∽△EOM；
∴ ，
∵OE：CE＝1：2
∴ ，
∵OB＝OC
∴∠ABC＝∠OCM
在直角△MOC中，
∴ ；
（3）探究一：如图3，过点D作DL⊥DF交BO于点L，取BC中点M，连接OM
第20页（共22页）∵DF⊥OC，
∴DL∥OC，
∴∠LDB＝∠C＝∠B
∴BL＝DL，
∵AB＝10，AB：BC＝5：4，
∴BC＝8，OC＝5，
∵BM＝CM＝4，
∴cos∠OCM＝
∵DL∥OC，
∴
设BD＝x，则CD＝8﹣x，
∴BL＝DL＝ x，CH＝ （8﹣x），OH＝OC﹣CH＝5﹣ （8﹣x），
∵OH∥DL，
∴ ，
∴ ；
∴y关于x的函数解析式是
定义域是 ，
探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，
第21页（共22页）∴OF＝OD，
∵DF⊥OC，
∴OC垂直平分DF，FO＝OL，
∴y＝5﹣ x，
∴ ，
解得：x＝ ，
∴BD＝ ．
【点评】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角
形，正确的作出辅助线是解题的关键．
第22页（共22页）
