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2019年上海市闵行区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A． ＝1 B．x2+x﹣1＝0 C． ＝ D． ＝﹣x
3．（4分）已知直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频数
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C
6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定（ ）
A．与x轴和y轴都相交 B．与x轴和y轴都相切
C．与x轴相交、与y轴相切 D．与x轴相切、与y轴相交
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a2•a3＝ ．
8．（4分）分解因式：x2﹣9x＝ ．
9．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（﹣2）＝ ．
10．（4分）方程 的解为 ．
11．（4分）一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于 ．
12．（4分）已知反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣1），则k＝ ．
13．（4分）从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A的概率是
第1页（共23页）．
14．（4分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次
成绩的中位数是 ．
成绩（环） 6 7 8 9 10
次数 2 5 3 6 4
15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且CD＝2AD．设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝
．（结果用向量 、 的式子表示）
16．（4分）如图，已知在 O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD＝4，AB＝16，那
么OC＝ ． ⊙
17．（4分）如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那
么BD＝ 米．（结果保留根号）
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2 ，D为边AC上一点（点D与点A、C不
重合）．将△ABD沿直线BD翻折，使点A落在点E处，连接CE．如果CE∥AB，那么AD：
CD＝ ．
第2页（共23页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中x＝ ﹣1．
20．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos ，点D是边BC的中点，点E
在边AC上，且 ＝ ，AD与BE相交于点F．求：
（1）边AB的长；
（2） 的值．
22．（10分）甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出
发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x小时，甲离开出发地的路程为y
1
千米，乙离开出发地的路程为y 千米．试回答下列问题：
2
（1）求y 、y 关于x的函数解析式；
1 2
（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图象；
（3）当x为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？
第3页（共23页）23．（12分）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AC．过点A
作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交
于点G．求证：
（1）△ACG≌△DOA；
（2）DF•BD＝2DE•AG．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴的公共点为点C．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）点E为线段AC上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F．如果 ＝ ，求△BCE的面
积．
25．（14分）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别
为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．
第4页（共23页）（1）求证：∠BPD＝∠MAN；
（2）如果sin ，AB＝2 ，BE＝BD，求BD的长；
（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，
且BE∥QC，求 的值．
第5页（共23页）2019年上海市闵行区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列各数中是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝ ，故A不是无理数；
（B）原式＝﹣2，故B不是无理数；
（C） 是分数，故C不是无理数；
故选：D．
【点评】本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题
型．
2．（4分）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A． ＝1 B．x2+x﹣1＝0 C． ＝ D． ＝﹣x
【分析】将无理方程化为一元二次方程运用根的判别式判断根的情况，将分式方程求解再
检验判断是否增根，此题难度不大．
【解答】解：A．原方程变形为x2+3＝1，即x2＝﹣2，∵﹣2＜0，所以方程没有实数根，故A
符合题意；
B．△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，所以原方程有实数根，故B正确，不符合题意；
C．原方程变形为2x﹣2＝x+2，解得x＝4，当x＝4时，分式方程左边＝ ＝右边，因此x＝
4是原分式方程的根，故C不符合题意；
D．原方程变形为x+2＝x2，即x2﹣x﹣2＝0，．△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
所以原方程有实数根，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的解，熟练运用一元二次方程根的判别式与
第6页（共23页）解分式方程是解题的关键．
3．（4分）已知直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由直线经过一、二、四象限可分析k＜0，b＞0，由此判定y＝bx+k不经过第二象限．
【解答】解：∵直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴直线y＝bx+k一定不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用．
4．（4分）下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频数
【分析】根据方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准
差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好可得答
案．
【解答】解：方差是表示一组数据离散程度的量，
故选：C．
【点评】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握平均数、众数、中位数和极差、方差在
描述数据时的区别．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C
【分析】根据已知和公共边科证明△ADB≌△ACD，则这两个三角形的对应角、对应边相
等，据此作答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AD，AD⊥BC，
∴Rt△ADB≌Rt△ACD（HL），
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C（全等三角形的对应角、对应边相等）
故B、C、D一定成立，A不一定成立．
故选：A．
【点评】此题考查直角三角形全等的判定和性质，注意利用已知隐含的条件：AD是公共边．
第7页（共23页）6．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定（ ）
A．与x轴和y轴都相交 B．与x轴和y轴都相切
C．与x轴相交、与y轴相切 D．与x轴相切、与y轴相交
【分析】先根据点的坐标求出点到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，再根据直线与圆的
位置关系得出即可．
【解答】解：∵点（3，4），
∴点到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∴在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定与x轴相切，与y轴相
交，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质，点的坐标，直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与
圆的位置关系的内容是解此题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a2•a3＝ a 5 ．
【分析】根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5．
故答案为：a5．
【点评】熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．
8．（4分）分解因式：x2﹣9x＝ x （ x ﹣ 9 ） ．
【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x，然后提取公因式即可．
【解答】解：原式＝x•x﹣9•x＝x（x﹣9），
故答案为：x（x﹣9）．
【点评】本题考查了提公因式法因式分解的知识，解题的关键是首先确定多项式各项的公
因式，然后提取出来．
9．（4分）已知函数f（x）＝ ，那么f（﹣2）＝ 2 ．
【分析】把x＝﹣2代入函数解析式即可求解．
【解答】解：当x＝﹣2时，f（﹣2）＝ ＝2．
故答案是：2．
【点评】本题考查知识点是求函数的值，只要把x的取值代入函数解析式即可．
10．（4分）方程 的解为 3 ．
第8页（共23页）【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值．
【解答】解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
检验：当x ＝3时，方程的左边＝右边，所以x ＝3为原方程的解，
1 1
当x ＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x ＝﹣1不是原方程的解．
2 2
故答案为3．
【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值
代入原方程进行检验．
11．（4分）一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于 4 1 ．
【分析】一元二次方程的根判别式为：△＝b2﹣4ac，代入计算即可
【解答】解：依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4
∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41
故答案为：41
【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的
根与根的判别式：△＝b2﹣4ac，有如下关系： 当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；①当△＜0 时，方程无实数根．上述结论反
②过来也成立． ③
12．（4分）已知反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣1），则k＝ ﹣ 2 ．
【分析】直接把点（2，﹣1）代入反比例函数y＝ 即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣1），
∴﹣1＝ ，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
13．（4分）从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A的概率是
第9页（共23页）．
【分析】直接利用概率求法进而得出答案．
【解答】解：从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A的概率是：
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
14．（4分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次
成绩的中位数是 8. 5 ．
成绩（环） 6 7 8 9 10
次数 2 5 3 6 4
【分析】直接利用表格中数据得出数据个数，进而利用中位数的定义求出答案．
【解答】解：由表格中数据可得射击次数为20，中位数是第10个和第11个数据的平均数，
故这个射击运动员这次成绩的中位数是： ×（8+9）＝8.5．
故答案为：8.5．
【点评】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且CD＝2AD．设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝
．（结果用向量 、 的式子表示）
【分析】求出 ，根据 ＝ + 求解即可．
【解答】解：∵CD＝2AD， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ + ，
第10页（共23页）∴ ＝﹣ + ，
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
16．（4分）如图，已知在 O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD＝4，AB＝16，那
么OC＝ 1 0 ． ⊙
【分析】根据垂径定理可得AD＝ AB＝8，∠ADO＝90°，设CO＝x，则AO＝x，DO＝x﹣4，
再利用勾股定理列出方程，解出x的值即可．
【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD＝ AB＝8，∠ADO＝90°，
设CO＝x，则AO＝x，DO＝x﹣4，
x2＝82+（x﹣4）2，
解得：x＝10，
∴CO＝10，
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧．
17．（4分）如图，斜坡AB的长为200米，其坡角为45°．现把它改成坡角为30°的斜坡AD，那
么BD＝ 10 0 （ ﹣ ） 米．（结果保留根号）
第11页（共23页）【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AC，BC的长，进而得出DC的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：BC＝AC＝AB•sin45°＝100 （m），
则tan30°＝ ，
故DC＝ ＝100 × ＝100 （m），
则BD＝100（ ﹣ ）m．
故答案为：100（ ﹣ ）．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确运用锐角三角函数关系是解题关键．
18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2 ，D为边AC上一点（点D与点A、C不
重合）．将△ABD沿直线BD翻折，使点A落在点E处，连接CE．如果CE∥AB，那么AD：
CD＝ 5 ： 6 ．
【分析】作辅助线，构建平行线和直角三角形，先根据勾股定理计算AG的长，证明
△BCH∽△ABG，列比例式可得BH＝4，CH＝2，根据勾股定理计算EH的长，从而得CE
的长，最后根据平行线分线段成比例定理得： ＝ ．
【解答】解：如图，过A作AG⊥BC于G，过B作BH⊥CE，交EC的延长线于H，延长BD和
CE交于点F，
∵AC＝AB＝5，
∴BG＝CG＝ ，AG＝ ＝ ＝2 ，
∵FH∥AB，
∴∠ABG＝∠BCH，
第12页（共23页）∵∠H＝∠AGB＝90°，
∴△BCH∽△ABG，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴BH＝4，CH＝2，
由折叠得：AB＝BE＝5，
∴EH＝ ＝ ＝3，CE＝3﹣2＝1，
∵FH∥AB，
∴∠F＝∠ABD＝∠EBD，
∴EF＝BE＝5，
∴FC＝5+1＝6，
∵FC∥AB，
∴ ＝ ，
故答案为：5：6．
【点评】本题考查翻折变换、三角形相似的性质和判定、平行线分线段成比例定理、等腰三
角形的性质等知识，解题的关键是正确作辅助线，寻找相似三角形解决问题．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ÷ ﹣ ，其中x＝ ﹣1．
【分析】将被除式分子、分母因式分解、把除法转化为乘法，再约分计算乘法，最后计算减
法即可化简原式，继而把x的值代入计算可得．
第13页（共23页）【解答】解：原式＝ • ﹣
＝ ﹣
＝ ，
当x＝ ﹣1时，
原式＝
＝
＝ ﹣1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算
法则．
20．（10分）解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
【分析】首先解每个不等式，然后利用数轴确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等
式组的解集．
【解答】解： ，
由 得：2x＞﹣2，
解①得：x＞﹣1，
由 得：2x≥3x﹣1，
解②得：x≤1，
所以，原不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
第14页（共23页）“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，cos ，点D是边BC的中点，点E
在边AC上，且 ＝ ，AD与BE相交于点F．求：
（1）边AB的长；
（2） 的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝DC＝5，根据余弦的定义列式计
算，得到答案；
（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝ BC＝5，
在Rt△ABD中，cos∠ABC＝ ＝ ，
∴AB＝13；
（2）过点E作EH∥BC，交AD与点H，
∵EH∥BC， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵BD＝CD，
∴ ＝ ，
∵EH∥BC，
第15页（共23页）∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理，掌握
等腰三角形的三线合一、余弦的定义是解题的关键．
22．（10分）甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶，3小时后，乙骑摩托车从同一地点出
发沿公路与甲同向行驶，速度为25千米/时．设甲出发后x小时，甲离开出发地的路程为y
1
千米，乙离开出发地的路程为y 千米．试回答下列问题：
2
（1）求y 、y 关于x的函数解析式；
1 2
（2）在同一直角坐标系中，画出（1）中两个函数的图象；
（3）当x为何值时，乙追上甲，此时他们离出发地的路程是多少千米？
【分析】（1）根据路程＝速度×时间列出函数解析式便可；
（2）确定两个点坐标，作出直线便可；
（3）联立两个解析式的方程组解答便可．
【解答】解：（1）由题意，得
y ＝10x（x≥0）；
1
y ＝25（x﹣3），即y ＝25x﹣75（x≥3）；
2 2
第16页（共23页）（2）列表
描点、连线，
（3）由题意，当乙追上甲时，有y ＝y ，则10x＝25x﹣75，
1 2
解得 x＝5
此时他们离出发地的路程是10×5＝50（千米），
答：当x＝5小时时，乙追上甲，此时他们离出发地的距离为50千米．
【点评】本题是一次函数的应用，主要考查了从实际问题中列一次函数的解析式，作一次
函数的图象，求两个一次函数图象的交点问题．
23．（12分）如图，已知四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AC．过点A
作AE⊥CD，垂足为点E，AE与BD相交于点F．过点C作CG⊥AC，与AE的延长线相交
于点G．求证：
（1）△ACG≌△DOA；
（2）DF•BD＝2DE•AG．
【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝CD，AC⊥BD，OB＝OD，求出∠G＝∠DAC，AC＝
第17页（共23页）OD，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据相似三角形的判定得出△CDO∽△FDE，得出比例式， ＝ ，即得OD•DF＝
DE•CD，根据△ACG≌△DOA求出AG＝AD＝CD，代入求出即可．
【解答】证明：（1）∵在菱形ABCD中，AD＝CD，AC⊥BD，OB＝OD，
∴∠DAC＝∠DCA，∠AOD＝90°，
∵AE⊥CD，CG⊥AC，
∴∠DCA+∠GCE＝90°，∠G+∠GCE＝90°，
∴∠G＝∠DCA，
∴∠G＝∠DAC，
∵BD＝2AC，BD＝2OD，
∴AC＝OD，
在△ACG和△DOA中，
∴△ACG≌△DOA（AAS）；
（2）∵AE⊥CD，BD⊥AC，
∴∠DOC＝∠DEF＝90°，
又∵∠CDO＝∠FDE，
∴△CDO∽△FDE，
∴ ＝ ，即得OD•DF＝DE•CD，
∵△ACG≌△DOA，
∴AG＝AD＝CD，
又∵OD＝ BD，
∴DF•BD＝2DE•AG．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能
综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．（12分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴的公共点为点C．
（1）求抛物线的解析式，并求出点C的坐标；
第18页（共23页）（2）求∠ACB的正切值；
（3）点E为线段AC上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F．如果 ＝ ，求△BCE的面
积．
【分析】（1）由题意，得 ，解得： ，即可求解；
（2）BC＝ ＝3 ，cos∠ABH＝ ＝ ＝ ，则BH＝ ，则AH＝
，CH＝2 ，即可求解；
（3）由S△BCE ＝ CB×EF，即可求解．
【解答】解：（1）由题意，得 ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，
则点C的坐标为（0，﹣3）；
（2）联结AC、BC．过点A作AH⊥BC，垂足为点H．
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
第19页（共23页）BC＝ ＝3 ，
在Rt△BOC和Rt△BHA中，∠AHB＝∠COB＝90°．
∴cos∠ABH＝ ＝ ＝ ，∴BH＝ ，
则AH＝ ，CH＝2 ，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，
∴tan∠ACB＝ ＝ ；
（3）联结BE．设EF＝a．
由 ＝ 得：得 BF＝4a，
又∵tan∠ACB＝ ＝ ，
∴CF＝2a，
∴BC＝BF+FC＝6a，
∴6a＝3 ，
解得：a＝ ，
即：EF＝ ，
∴S△BCE ＝ CB×EF＝ × ＝ ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、面积的计算等知识，难度
不大．
25．（14分）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别
为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．
（1）求证：∠BPD＝∠MAN；
（2）如果sin ，AB＝2 ，BE＝BD，求BD的长；
（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，
且BE∥QC，求 的值．
第20页（共23页）【分析】（1）根据四边形的内角和等于360°得到∠BAC+∠BPC＝180°，根据邻补角的概念
得到∠BPD+∠BPC＝180°，得到BPD＝∠MAN；
（2）根据正弦的定义求出AB，根据勾股定理求出BE，计算即可；
（3）过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，根据相似三
角形的性质分别求出QF、FC，证明PE＝EF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，
∴∠PBA＝∠PCA＝90°，
∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠MAN＝∠BPD；
（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，
∴∠BPD＝∠BPE．
∴∠BPE＝∠BAC，
在Rt△ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，
∴∠APB＝∠ABE，
∴∠BAC＝∠ABE，
∴sin∠BAC＝sin∠ABE＝ ＝ ，
∵AB＝2 ，
∴AE＝6，
∴BE＝ ＝2，
∴BD＝BE＝2；
第21页（共23页）（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，
设BD＝2a，PC＝2b，
∵∠BPD＝∠MAN＝45°，
∴DP＝BD＝2a，
∴CD＝2a+2b，
在Rt△ABG和Rt△BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，
∴BG＝AG，DP＝BD，
∵QH∥BD，点Q为BP的中点，
∴PH＝ PD＝a．QH＝ BD＝a，
∴CH＝PH+PC＝a+2b，
∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，
∴BG＝DC＝2a+2b．
∴AC＝4a+2b，
∵BE∥QC，BE⊥AP，
∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，
∴∠QCH＝∠PAC，
∴△ACP∽△QCH，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，a＝b，
∴CH＝3a．
由勾股定理得，CQ＝ ＝ a，
∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，
∴△QCH∽△PFC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得，FC＝ a，
∴QF＝QC﹣FC＝ a，
∵BE∥QC，Q是PB的中点，
第22页（共23页）∴PE＝EF，
∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形
的判定定理和性质定理是解题的关键．
第23页（共23页）
