文档内容
2019年上海市浦东新区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分）
1．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
2．（4分）已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等
于（ ）
A．（2 +2）cm B．（2 ﹣2）cm C．（ +1）cm D．（ ﹣1）cm
3．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+3）2，那么这个二次函数的图象有（ ）
A．最高点（3，0） B．最高点（﹣3，0）
C．最低点（3，0） D．最低点（﹣3，0）
4．（4分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以
是（ ）
A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位
B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位
C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位
D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位
5．（4分）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为 ，水平飞行m千
米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为 ，那么此时飞机离地面的高α 度为（ ）
β
A． 千米 B． 千米
C． 千米 D． 千米
6．（4分）在△ABC与△DEF中，下列四个命题是真命题的个数共有（ ）
如果∠A＝∠D， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；
①
如果∠A＝∠D， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；
②
第1页（共25页）如果∠A＝∠D＝90°， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；
③
如果∠A＝∠D＝90°， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共12题，每题4分）
7．（4分）已知2x＝5y，那么 ＝ ．
8．（4分）如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是 ．
9．（4分）如图，已知直线l 、l 、l 分别交直线l 于点A、B、C，交直线l 于点D、E、F，且
1 2 3 4 5
l ∥l ∥l ，AB＝6，BC＝4，DF＝15，那么线段DE的长等于 ．
1 2 3
10．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，那么△ABC
与△DEF相似比为 ．
11．（4分）已知向量 与单位向量 的方向相反，| |＝4，那么向量 用单位向量 表示为
．
12．（4分）已知某斜面的坡度为1： ，那么这个斜面的坡角等于 度．
13．（4分）如果抛物线经过点A（2，5）和点B（﹣4，5），那么这条抛物线的对称轴是直线
．
14．（4分）已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数y＝ x2﹣ 的图象上，那么m、n的大
小关系是：m n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
15．（4分）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，
那么AF＝ ．
第2页（共25页）16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知抛
物线y＝﹣x2+6x的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为N，且点N在点M的下方，
MN＝10，那么点N的坐标是 ．
17．（4分）如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他
的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如
果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于 米．
18．（4分）将矩形纸片ABCD沿直线AP折叠，使点D落在原矩形ABCD的边BC上的点E处，
如果∠AED的余弦值为 ，那么 ＝ ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝2x2﹣12x+10的图象与x轴相交于点
A和点B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，求△ABC的面积．
20．（10分）如图，已知点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，AC∥BD， ， ＝
， ＝ ．
（1）求向量 关于 、 的分解式；
（2）求作向量2 ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
第3页（共25页）21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，M为腰AB上一动点，联结MC、
MD，AD＝10，BC＝15，cotB＝ ．
（1）求线段CD的长．
（2）设线段BM的长为x，△CDM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义
域．
22．（10分）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方
向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向
上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.4， ≈1.7）
23．（12分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一
点，联结EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）求证： ＝ ；
（2）当BC2＝2BA⋅BE时，求证：∠EMB＝∠ACD．
第4页（共25页）24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+b与x轴相交于点A，与y轴相交
于点B，抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴
相交于点 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：△BOD∽△AOB；
（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求点P的坐标．
25．（14分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角
顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的
斜边DE恰好经过大三角尺的重心G．已知∠A＝∠CDE＝30°，AB＝12．
（1）求小三角尺的直角边CD的长；
（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），
求点B、E之间的距离；
（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求∠BAE的正弦值．
第5页（共25页）2019年上海市浦东新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分）
1．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，那么下列等式正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，即可得到AB＝17，进而根据锐角三
角函数的定义进行计算，可得出正确结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴由勾股定理可得AB＝17，
∴sinA＝ ＝ ，故A选项错误；
cosA＝ ＝ ，故B选项错误；
tanA＝ ＝ ，故C选项错误；
cotA＝ ＝ ，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A
的正弦，记作sinA．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．锐角A的对
边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
2．（4分）已知线段MN＝4cm，P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，那么线段MP的长度等
于（ ）
A．（2 +2）cm B．（2 ﹣2）cm C．（ +1）cm D．（ ﹣1）cm
【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝ MN，把MN＝4cm代入计算即可．
【解答】解：MP＝ MN
＝ ×4
＝2 ﹣2（cm）．
第6页（共25页）故线段MP的长度等于（2 ﹣2）cm．
故选：B．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线
段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这
条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
3．（4分）已知二次函数y＝﹣（x+3）2，那么这个二次函数的图象有（ ）
A．最高点（3，0） B．最高点（﹣3，0）
C．最低点（3，0） D．最低点（﹣3，0）
【分析】根据当a＜0时，二次函数图象有最高点解答．
【解答】解：在二次函数y＝﹣（x+3）2中，a＝﹣1＜0，
∴这个二次函数的图象有最高点（﹣3，0），
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质，掌握当a＜0时，二次函数图象有最高点是
解题的关键．
4．（4分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以
是（ ）
A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位
B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位
C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位
D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位
【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线y＝x2+1的
顶点坐标为（0，1），
∴顶点由（﹣2，3）到（0，1）需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解
析式更简便．
5．（4分）如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为 ，水平飞行m千
米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为 ，那么此时飞机离地面的高α 度为（ ）
β
第7页（共25页）A． 千米 B． 千米
C． 千米 D． 千米
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可表示出此时飞机离地
面的高度．
【解答】解：作PC⊥AB交AB于点C，如右图所示，
AC＝ ，BC＝ ，
∵m＝AC﹣BC，
∴m＝ ﹣ ，
∴PC＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利
用锐角三角函数解答，注意tan •cot ＝1．
6．（4分）在△ABC与△DEF中，α下列α四个命题是真命题的个数共有（ ）
如果∠A＝∠D， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；
①
如果∠A＝∠D， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；
②
如果∠A＝∠D＝90°， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；
③
如果∠A＝∠D＝90°， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；
④ 第8页（共25页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解： 如果∠A＝∠D， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；故错误；
①
如果∠A＝∠D， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；故正确；
②
如果∠A＝∠D＝90°， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；故正确；
③
如果∠A＝∠D＝90°， ＝ ，那么△ABC与△DEF相似；故正确；
④
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分）
7．（4分）已知2x＝5y，那么 ＝ ．
【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．
【解答】解：∵2x＝5y，
∴设x＝5a，则y＝2a，
那么 ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．
8．（4分）如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是 k ≠ 3 ．
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，
∴k﹣3≠0，
解得：k≠3，
∴k需满足的条件是：k≠3，
故答案为：k≠3．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．
9．（4分）如图，已知直线l 、l 、l 分别交直线l 于点A、B、C，交直线l 于点D、E、F，且
1 2 3 4 5
l ∥l ∥l ，AB＝6，BC＝4，DF＝15，那么线段DE的长等于 9 ．
1 2 3
第9页（共25页）【分析】利用平行线分线段成比例定理得到 ＝ ，利用比例的性质得到 ＝ ，从而可
计算出DE的长．
【解答】解：∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴ ＝ ，即 ＝ ，
＝ ，即 ＝ ，
∴DE＝9．
故答案为9．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例．
10．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，那么△ABC
与△DEF相似比为 1 ： 2 ．
【分析】根据题意求出△ABC与△DEF的面积比，根据相似三角形的性质解答．
【解答】解：△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
∵△ABC∽△DEF，
∴△ABC与△DEF相似比为1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是
解题的关键．
11．（4分）已知向量 与单位向量 的方向相反，| |＝4，那么向量 用单位向量 表示为 ﹣
4 ．
【分析】由向量 与单位向量 的方向相反，且长度为4，根据向量的定义，即可求得答案．
第10页（共25页）【解答】解：∵向量 与单位向量 的方向相反，| |＝4，
∴ ＝﹣4 ．
故答案是：﹣4 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．
12．（4分）已知某斜面的坡度为1： ，那么这个斜面的坡角等于 3 0 度．
【分析】坡度等于坡角的正切值．根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：设该斜面坡角为 ，
∵某斜面的坡度为1： ， α
∴tan ＝ ＝ ，
α
∴ ＝30°．
故α答案为：30．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是掌握坡度的定义以
及坡度与坡角之间的关系．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它
是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．把坡面与水
平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：i═tan ．
13．（4分）如果α抛物线经过点A（2，5）和点αB（﹣4，5），那么这条抛α物线的对称轴是直线 x
＝﹣ 1 ．
【分析】根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．
【解答】解：∵抛物线经过点A（2，5）和点B（﹣4，5），
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题
的关键．
14．（4分）已知点A（﹣5，m）、B（﹣3，n）都在二次函数y＝ x2﹣ 的图象上，那么m、n的大
小关系是：m ＞ n．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】先利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后根据二次函数的性质解
决问题．
【解答】解：抛物线的对称轴为y轴，
而抛物线开口向上，
第11页（共25页）所以当x＜0时，y随x的增大而减小，
所以m＞n．
故答案为＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析
式．也考查了二次函数的性质．
15．（4分）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，且BD＝4，CD＝2，
那么AF＝ ．
【分析】依据∠B＝∠C，∠BAD＝∠CDF，即可判定△ABD∽△DCF，进而得出 ＝ ，
求得CF＝ ，即可得到AF的长．
【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，BD＝4，CD＝2，
∴AB＝AC＝6，∠B＝∠C＝∠ADF＝60°，
∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠CDF＝120°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得CF＝ ，
∴AF＝AC﹣CF＝6﹣ ＝ ，
故答案为： ．
第12页（共25页）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利
用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，我们把对称轴相同的抛物线叫做同轴抛物线．已知抛
物线y＝﹣x2+6x的顶点为M，它的某条同轴抛物线的顶点为N，且点N在点M的下方，
MN＝10，那么点N的坐标是 （ 3 ，﹣ 1 ） ．
【分析】把解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，然后根据题意即可求得N的坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
∴M（3，9），
∵点N在点M的下方，MN＝10，
∴N（3，﹣1），
故答案为（3，﹣1）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，还考查了二次函数图象与几何变换，求得M点的坐
标是解题的关键．
17．（4分）如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他
的影长CD＝3米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如
果小明的身高为1.6米，那么电线杆AB的高度等于 4. 8 米．
【分析】如图，证明△DC′C∽△DAB得到 ＝ ，证明△FE′E∽△FAB得到
＝ ，然后解关于AB和BC的方程组即可．
【解答】解：如图，∵CC′∥AB，
∴△DC′C∽△DAB，
第13页（共25页）∴ ＝ ，即 ＝ ，
①
∵EE′∥AB，
∴△FE′E∽△FAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
②
﹣ 得 ＝ ，解得BC＝6，
① ②
∴ ＝ ，
∴AB＝4.8．
即电线杆AB的高度等于4.8m．
故答案为4.8．
【点评】本题看了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的
高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边
的比相等的性质求物体的高度．
18．（4分）将矩形纸片ABCD沿直线AP折叠，使点D落在原矩形ABCD的边BC上的点E处，
如果∠AED的余弦值为 ，那么 ＝ ．
【分析】设EF＝3a，AE＝5a，则AD＝BC＝5a，利用射影定理可得PF＝ a，利用勾股定理
可得DP＝ a，再根据△ABE∽△ECP，即可得到 ＝ ，进而得出AB＝ a，据此可
得 的值．
【解答】解：如图所示，由折叠可得，AP垂直平分DE，∠ADP＝∠AEP＝90°，
∵∠AED的余弦值为 ，
第14页（共25页）∴可设EF＝3a，AE＝5a，则AD＝BC＝5a，
∵Rt△AEP中，EF⊥AP，
∴EF2＝AF×PF，即PF＝ ＝ a，
∴Rt△ADP中，DP＝ ＝ a，
∴PE＝ a，
设AB＝CD＝x，则CP＝x﹣ a，BE＝ ＝ ，
由∠B＝∠C＝90°，∠BAE＝∠CEP，可得△ABE∽△ECP，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ a，
∴AB＝ a，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应
边和对应角相等．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝2x2﹣12x+10的图象与x轴相交于点
A和点B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，求△ABC的面积．
第15页（共25页）【分析】根据题目中的函数解析式可以求得点A、B、C的坐标，从而可以求得△ABC的面
积，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣12x+10，
∴当x＝0时，y＝10，当y＝0时，x＝1或x＝5，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，10），
∴AB＝5﹣1＝4，
∴△ABC的面积是： ＝20．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质
解答．
20．（10分）如图，已知点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，AC∥BD， ， ＝
， ＝ ．
（1）求向量 关于 、 的分解式；
（2）求作向量2 ．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）
【分析】（1）由三角形法则知 ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，根据AC∥BD， 知 ＝ ＝
，即BD＝3AC，据此可得答案；
（2）作CF∥OB交BD于点F，作AE∥OC交CF于点E，据此知 ＝ ＝ ，由AB＝2OA
知 ＝2 ＝2 ，再利用三角形法则即可得出答案．
【解答】解：（1）∵ ＝ ， ＝ ．
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵AC∥BD， ，
∴ ＝ ＝ ，
第16页（共25页）则BD＝3AC，
∴ ＝3 ＝3 ﹣3 ；
（2）如图所示， ＝2
．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握平面向量的三角形法则和平行
四边形法则等知识点．
21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，M为腰AB上一动点，联结MC、
MD，AD＝10，BC＝15，cotB＝ ．
（1）求线段CD的长．
（2）设线段BM的长为x，△CDM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义
域．
【分析】（1）如图，作AH⊥BC于H．则四边形AHCD是矩形，在Rt△ABH中求出AH即可
解决问题；
（2）作ME⊥CD于E，MF⊥BC于F，则四边形MECF是矩形．解直角三角形求出BF，根
据y＝ ×CD×ME，列出关系式即可；
【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H．
∵AD∥BC，AD⊥CD，
∴CD⊥BC，
∴∠ADC＝∠DCH＝∠AHC＝90°，
第17页（共25页）∴四边形AHCD是矩形，
∴AD＝CH＝10，AH＝CD，
∵BC＝15，
∴BH＝BC﹣HC＝5，
∵cotB＝ ＝ ，
∴AH＝12，
∴CD＝AH＝12．
（2）作ME⊥CD于E，MF⊥BC于F，则四边形MECF是矩形．
在Rt△ABH中，∵BH＝5，AH＝12，
∴AB＝ ＝13，
∵BM＝x，
∴BF＝ x，CF＝EM＝15﹣ x，
∴y＝ ×CD×ME＝ ×12×（15﹣ x）＝90﹣ x（0≤x≤13）．
【点评】本题考查直角梯形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）“雪龙”号考察船在某海域进行科考活动，在点A处测得小岛C在它的东北方
向上，它沿南偏东37°方向航行2海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东23°方向
上（如图所示），求“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离．
（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， ≈1.4， ≈1.7）
第18页（共25页）【分析】由已知方位角，根据平行线的性质、角的和差关系及三角形的内角和定理可得
∠CAB、∠ABC、∠C的度数．过点A作AM⊥BC，构造直角△ABM和直角△CAM，利用直
角三角形的边角关系，可求出线段AM、CM、BM的长，从而问题得解．
【解答】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M．
由题意知：AB＝2海里，∠NAC＝∠CAE＝45°，
∠SAB＝37°，∠DBC＝23°，
∵∠SAB＝37°，DB∥AS，
∴∠DBA＝37°，∠EAB＝90°﹣∠SAB＝53°．
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝37°+23°＝60°，
∠CAB＝∠EAB+∠CAE＝53°+45°＝98°．
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣98°﹣60°＝22°．
在Rt△AMB中，∵AB＝2海里，∠ABC＝60°，
∴BM＝1海里，AM＝ 海里．
在Rt△AMC中，tanC＝ ，
∴CM＝ ≈ ≈ ＝4.25（海里）
∴CB＝CM+BM＝4.25+1＝5.25（海里）
答：“雪龙”号考察船在点B处与小岛C之间的距离为5.25海里．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解决本题的关键是作垂线构
造直角三角形，利用直角三角形的边角间关系求解．
第19页（共25页）23．（12分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一
点，联结EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）求证： ＝ ；
（2）当BC2＝2BA⋅BE时，求证：∠EMB＝∠ACD．
【分析】（1）由AD∥BC，推出 ＝ ， ＝ ，由CM＝BM，可得 ＝ ，即可推出
＝ ；
（2）只要证明△BCA∽△BEM，可得∠BME＝∠BAC，再证明∠ACD＝∠BAC，即可解决问
题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵CM＝BM，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ．
（2）∵BC2＝2BA⋅BE，
∴ ＝ ＝ ，
∵∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BEM，
第20页（共25页）∴∠BME＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴∠EMB＝∠ACD．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定
理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+b与x轴相交于点A，与y轴相交
于点B，抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，并与x轴相交于另一点C，对称轴与x轴
相交于点 D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：△BOD∽△AOB；
（3）如果点P在线段AB上，且∠BCP＝∠DBO，求点P的坐标．
【分析】（1）利用直线表达式求出点A、B的坐标，把这两个点的坐标代入二次函数表达式
即可求解；
（2）利用两个三角形夹角相等、夹边成比例，即可证明△BOD∽△AOB；
（3）证明△BCP∽△BAC，则 ＝ ，求出BP的长度，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，点B在y轴上，
∴当x＝0时，y＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∵直线y＝﹣ x+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴b＝4，
第21页（共25页）∴直线y＝﹣ x+4，
当y＝0时，x＝8，
∴点A的坐标为（8，0），
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4经过点A和点B，
∴a×82﹣4a×8+4＝0，解得，a＝ ，
∴抛物线y＝﹣ x2+ x+4；
（2）证明：∵y＝﹣ x2+ x+4＝﹣ + ，该抛物线的对称轴与x轴相交于点D，
令y＝0，解得：x＝﹣4和8，则点C的坐标为（﹣4，0），即：OC＝4，
∴点D的坐标为（2，0），∴OD＝2，
∵点B（0，4），
∴OB＝4，
∵点A（8，0），
∴OA＝8，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴△BOD∽△AOB；
（3）连接CP，∵△BOD∽△AOB，
∴∠OBD＝∠BAO＝ ，∠BCP＝∠DBO＝ ，
∴∠BCP＝∠BAO＝α，而∠CPB＝∠CBP，α
第22页（共25页）
α∴△BCP∽△BAC，则 ＝ ，
其中，BC＝4 ，AB＝4 ，代入上式并解得：BP＝ ，
过点P作x轴的平行线交y轴于点H，
∵PH∥x轴，
∴ ＝ ，
即： ＝ ，解得：PH＝ ，
即：点P的横坐标为： ，
同理可得其纵坐标为 ，
即点P的坐标为（ ， ）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，要会
利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用三角形相似求出线段的长度．
25．（14分）将大小两把含30°角的直角三角尺按如图1位置摆放，即大小直角三角尺的直角
顶点C重合，小三角尺的顶点D、E分别在大三角尺的直角边AC、BC上，此时小三角尺的
斜边DE恰好经过大三角尺的重心G．已知∠A＝∠CDE＝30°，AB＝12．
（1）求小三角尺的直角边CD的长；
（2）将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边AB上时（如图2），
求点B、E之间的距离；
（3）在小三角尺绕点C旋转的过程中，当直线DE经过点A时，求∠BAE的正弦值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，由重心的性质得： ＝ ，即可求解；
（2）证明△ADC∽△BEC，则 ，即可求解；
第23页（共25页）（3）分DE在AC下方、上方两种情况求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝ABcos30°＝6 ，BC＝6，
由重心的性质得： ＝ ，则CD＝4 ，
DE＝8；
（2）连接BE，过点C作CH⊥AB交于点H，
BH＝ BC＝3，CH＝BCsin60°＝3 ，AH＝9，
HD＝ ＝ ，AD＝AH﹣HD＝9﹣ ，
∵∠ACD＝∠ECB， ，
∴△ADC∽△BEC，
∴ ，即：AD＝ BE，
∴BE＝ （9﹣ ）＝3 ﹣ ；
（3） 如图，当DE在AC下方时，
①
∵△ADC∽△BEC，
∴∠BEC＝∠ADC＝∠AEB+∠CED＝∠DCE+∠DEC＝90°+∠CED，
即：∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，
设：BE＝x，则AD＝ x，
AB＝12，AE＝AD+DE＝ x+8，
即：（ x+8）2+x2＝122，解得：x＝4 ﹣2 ，
第24页（共25页）当DE在AC上方时，
②求得：x＝4 +2 ；
sin∠BAE＝ ＝ ．
【点评】本题是三角形相似综合题，核心是确定图象旋转后的位置，利用相似确定边角关
系，此类题目难度在于作图的准确性．
第25页（共25页）
