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2023年上海市15区中考数学一模汇编
专题 09 证明题（解答题 23 题）
一．解答题（共14小题）
1．（2022秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D、F分别是边BC、AB上的点，AD和CF交于点
E．
（1）如果BF•AB＝BD•BC．求证：EF•CE＝DE•AE；
（2）如果AE•BF＝2AF•DE，求证：AD是△ABC的中线．
【分析】（1）根据BF•AB＝BD•BC，得到比例式 ＝ ，又因为成比例的边的夹角相等，证明
△ABD∽△CBF，所以对应角∠BAD＝∠BCF，再因为对顶角相等得到
△AEF∽△CED，最后根据相似三角形的性质即可证明；
（2）过D作DG∥AB交CF于G，根据平行线分线段成比例定理和已知条件等量代换即可证明．
【解答】证明（1）∵BF•AB＝BD•BC，
∴ ＝ ，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBF，
∴∠BAD＝∠BCF，
又∵∠AEF＝∠CED，
∴△AEF∽△CED，
∴ ＝ ，
∴EF•CE＝DE•AE；
（2）过D作DG∥AB交CF于G，∴ ＝ ，
∵AE•BF＝2AF•DE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴D为BC的中点，AD是△ABC的中线．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形中线定义等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．
2．（2022秋•杨浦区校级期末）已知等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E是边BC、AC上的点，且CD＝
3BD，联结AD、BE，交点为F．
（1）若AF＝4DF，求 的值．
（2）若BD2＝DF•AD，求证：BC2＝4CE•AC．
【分析】（1）作AG∥BC，交BE延长线于G，证明△AGF∽△DBF，根据相似三角形的性质得出
，则AC＝BC，进而得出 ；
（2）根据已知条件证明△BDF∽△ADB，得出∠BAD＝∠FBD，进而证明△ABO∽△BCE，根据相似三
角形的性质以及AB＝ACBC＝BD+CD＝4BD，即可得证．
【解答】（1）解：作AG∥BC，交BE延长线于G，∵AG∥BC，
∴△AGF∽△DBF，
∵AF＝4DF，
∴AG＝4BD，
∵CD＝3BD，
∴ ，
∴AC＝BC，
又AG∥BC，
∴△AGE∽△CBE，
∴ ；
（2）证明：∵BD2＝DF⋅AD，
∴ ，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴△BDF∽△ADB，
∴∠BAD＝∠FBD，
又∵∠ABD＝∠ACB，
∴△ABO∽△BCE，
∴ ，
∴CE•AB＝BD•BC，
又∵AB＝ACBC＝BD+CD＝4BD，
∴ ，
∴BC2＝4CE⋅AC．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分
别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．
【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝
∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
（2）由相似三角形的性质可得 ＝ ，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得 ＝ ，
由平行线分线段成比例可得 ＝ ，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．
∴ ＝ ，
∵∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，
∴∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠FAG，
∵∠ACD＝∠BCG，
∴△CAD∽△CBG；
（2）∵△CAD∽△CBG，
∴ ＝ ，
∵∠DCG＝∠ACB，
∴△CDG∽△CAB，
∴ ＝ ，∵AE∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DG•AE＝AB•AG．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考
常考题型．
4．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在 Rt△CAB与Rt△CEF中，∠ACB＝∠FCE＝90°，∠CAB＝
∠CFE，AC与EF相交于点G，BC＝15，AC＝20．
（1）求证：∠CEF＝∠CAF；
（2）若AE＝7，求AF的长．
【分析】（1）由∠ACB＝∠FCE＝90°，∠CAB＝∠CFE可以得出△CAB∽△CFE，可以得出 ，
∠B＝∠CEF，由等式的性质就可以得出∠BCE＝GCF，就可以得出△BCE∽△ACF就可以得出结论；
（2）由勾股定理可以得出AB，可以得出BE的值由△BCE∽△ACF就可以得出 ，进而求出结
论．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB＝∠FCE＝90°，∠CAB＝∠CFE，
∴△CAB∽△CFE，∴ ，∠B＝∠CEF．
∵∠ACB＝∠FCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠FCE﹣∠ACE，
∴∠ACF＝∠BCE，
∴△BCE∽△ACF，
∴∠B＝∠CAF，
∴∠CEF＝∠CAF；
（2）∵∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
∴由勾股定理，得
AB＝25．
∵AE＝7，
∴BE＝18．
∵△BCE∽△ACF，
∴ ，
∴ ，
∴AF＝24．
答：AF＝24．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形相似是关键．
5．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，已知点 D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，∠BAC＝
∠AED．
（1）求证：AB•AD＝BC•AE；
（2）在边AC取一点F，如果， ，求证：∠AFE＝∠D．
【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用（1）中的结论和已知条件得到 ，利用相似三角形的判定与性质得到∠AFE＝∠C，
再利用（1）中的结论和相似三角形的性质解答即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B．
∵∠BAC＝∠AED，
∴△ADE∽△BCA，
∴ ，
∴AB•AD＝BC•AE；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴∠AFE＝∠C．
由（1）知：△ADE∽△BCA，
∴∠ADE＝∠C，
∴∠AFE＝∠D．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质
是解题的关键．
6．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是斜边AB的中点，点E是
边AC上的一点，∠EDF＝45°，DF交射线BC于点F．
（1）求证：∠ADE＝∠F；
（2）求证：BC2＝2AE•BF．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，AC＝BC，得∠A＝∠B＝45°，则∠F＝135°﹣∠BDF，因为∠EDF＝
45°，所以∠ADE＝135°﹣∠BDF，则∠ADE＝∠F；（2）由AC2+BC2＝AB2，且AD＝BD，AB＝2AD，推导出BC2＝2AD2，由∠A＝∠B，∠ADE＝∠F，证
明△ADE∽△BFD，得 ＝ ，则AD•BD＝AE•BF，即可证明BC2＝2AD2＝2AE•BF．
【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠F＝180°﹣∠B﹣∠BDF＝135°﹣∠BDF，
∵∠EDF＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠EDF﹣∠BDF＝135°﹣∠BDF，
∴∠ADE＝∠F．
（2）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，AB＝2AD，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴2BC2＝（2AD）2＝4AD2，
∴BC2＝2AD2，
由（1）得∠A＝∠B，∠ADE＝∠F，
∴△ADE∽△BFD，
∴ ＝ ，
∴AD•BD＝AE•BF，
∴2AD2＝2AE•BF，
∴BC2＝2AE•BF．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性
质等知识，证明△ADE∽△BFD是解题的关键．
7．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，
CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【分析】（1）由菱形的性质得出CD＝CB，∠D＝∠B，证明△CDF≌△CBE（SAS），由全等三角形
的性质得出∠DCF＝∠BCE，得出∠H＝∠BCE，则可得出结论．
（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠H＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）证明：∵BE2＝AB•AE，
∴ ，
∵CB∥DG，
∴△AEG∽△BEC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵BC＝AB，
∴AG＝BE，
∵△CDF≌△CBE，
∴DF＝BE，
∴AG＝DF．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知
识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（2022秋•黄浦区期末）已知：如图，点 D、F分别在等边三角形ABC的边CB的延长线与反向延长线
上，且满足BD•CF＝BC2．
求证：（1）△ADB∽△FAC；
（2）AF•AD＝BC•DF．
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得 AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，所以∠ABC＝
∠ACB＝120°，由BD•CF＝BC2，可得BD•CF＝AB•AC，即BD：AC＝AB：CF，进而可得结论；
（2）由（1）知，△ADB∽△FAC，所以∠DAB＝∠F，易证△ADB∽△FDA，所以AD：DF＝AB：
AF，即AD•AF＝AB•DF，再由AB＝BC可得结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝120°，
∵BD•CF＝BC2，
∴BD•CF＝AB•AC，即BD：AC＝AB：CF，
∴△ADB∽△FAC；
（2）由（1）知，△ADB∽△FAC，
∴∠DAB＝∠F，
∵∠D＝∠D，
∴△ADB∽△FDA，
∴AD：DF＝AB：AF，即AD•AF＝AB•DF，
∴AF•AD＝BC•DF．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题
关键．
9．（2022秋•闵行区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AC、AB的中点，
DF⊥AC，DF与CE相交于点F，AF的延长线与BD相交于点G．
（1）求证：∠ABD＝∠ACE；
（2）求证：CD2＝DG•BD．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质和（1）的结论，依据相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴AE＝ AB，AD＝ AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE．
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE；
（2）∵DF⊥AC，点D是边AC的中点，
∴DF是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠ACE．
由（1）知：∠ABD＝∠ACE，
∴∠FAC＝∠ABD．∵∠ADG＝∠BDA，
∴△ADG∽△BDA，
∴ ，
∴AD2＝DG•BD．
∵点D是边的中点，
∴AD＝ AC＝CD，
∴CD2＝DG•BD．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似
三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2022秋•静安区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DF分别交对角线AC、底边BC于点E、
F，且AD•AC＝AE•BC．
（1）求证：AB∥FD；
（2）点G在底边BC上，BC＝10，CG＝3，联结AG，如果△AGC与△EFC的面积相等，求FC的长．
【分析】（1）根据题意可证明，△AED∽△CAB，所以∠AED＝∠CAB，则AB∥FD；
（2）根据三角形的面积公式及相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD•AC＝AE•BC，
∴AD：AE＝BC：AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
∴△AED∽△CAB，
∴∠AED＝∠CAB，
∴AB∥FD；
（2）根据题意可得， ＝ ＝ ，
∵EF∥FD，∴△EFC∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵△AGC和△EFC面积相等，
∴ ＝ ，
解得CF＝ ．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式等相关知识，根据题意表达三角形
的面积比，得出方程是解题关键．
11．（2022秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝
BC•BE
（1）求证：DE•AB＝AC•BE；
（2）如果AC2＝AD•AB，求证：AE＝AC．
【分析】（1）由BA•BD＝BC•BE得 ，结合∠B＝∠B，证△ABC∽△EBD得 ，即可得
证；
（2）先根据AC2＝AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD＝∠B，再由 证△BAE∽△BCD得∠BAE
＝∠BCD，根据∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD可得∠AEC＝∠ACE，即可得证．
【解答】证明：（1）∵BA•BD＝BC•BE，
∴ ，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴ ，∴DE•AB＝AC•BE；
（2）∵AC2＝AD•AB，
∴ ，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠ACD＝∠B，
∵ ，∠B＝∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴AE＝AC．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似
是解题的关键．
12．（2022秋•青浦区校级期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与
BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．
求证：（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG•DF＝DB•EF．
【分析】（1）由 AB＝AC，根据等边对等角，即可证得：∠ABC＝∠ACB，又由 DE∥BC，易得
∠ABC+∠BDE＝180°，∠ACB+∠CED＝180°，则可证得：∠BDE＝∠CED，又由已知∠EDF＝
∠ABE，则可根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DEF∽△BDE；
（2）由（1）易证得DE2＝DB•EF，又由∠BED＝∠DFE与∠GDE＝∠EDF证得：△GDE∽△EDF，则可得：DE2＝DG•DF，则证得：DG•DF＝DB•EF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE＝180°，∠ACB+∠CED＝180°．
∴∠BDE＝∠CED，
∵∠EDF＝∠ABE，
∴△DEF∽△BDE；
（2）由△DEF∽△BDE，得 ．
∴DE2＝DB•EF，
由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE．
∵∠GDE＝∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．
∴ ，
∴DE2＝DG•DF，
∴DG•DF＝DB•EF．
【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定．注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对
应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用．
13．（2022秋•杨浦区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，
AE与CD交于点F，且AC2＝CE•CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF＝∠EAB．
【分析】（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出 CD＝AD，由∠CAD+∠ABC＝90°可得出∠ACD+∠EAC＝90°，进而可得出∠AFC＝90°；
（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC＝90°，∠ACE＝∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的
中点可知CE＝BE，故 ，根据∠BEF＝∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．
【解答】证明：（1）∵AC2＝CE•CB，
∴ ．
又∵∠ACB＝∠ECA＝90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC＝∠EAC．
∵点D是AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠CAD
∵∠CAD+∠ABC＝90°，
∴∠ACD+∠EAC＝90°
∴∠AFC＝90°，
∴AE⊥CD
（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC＝90°，
∴∠ACE＝∠EFC
又∵∠AEC＝∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴
∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∴
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF＝∠EAB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
14．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG
分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF•CG＝DF•BG．
【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE＝∠C，根据两边对应成比例及夹角相等证明
△ADF∽△ACG，其性质和角平分线的定义得AG平分∠BAC；
（2）由两对应角相等证明△AEF∽△ABG，△ADF∽△AGC，其性质得 ， ，再根据等
式的性质求出EF•CG＝DF•BG．
【解答】解：如图所示：
（1）∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°，
∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，在△ADF和△ACG中，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF＝∠CAG，
∴AG平分∠BAC；
（2）在△AEF和△ABG中，
，
∴△AEF∽△ABG，
∴ ，
在△ADF和△AGC中，
，
∴△ADF∽△AGC，
∴ ，
∴ ，
∴EF•CG＝DF•BG．
【点评】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式
的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积
式．
