专题09二次函数-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 09 二次函数 二次函数是初中数学的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有 填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、锐角的三角比在一起，显现在解答题中。因此，熟 练把握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题 的基础和关键。 一、二次函数的概念 概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 注意：二次项系数 ，而 可以为零． 二次函数 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：y  ax2 bxc.已知图像上三点或三对x、 y的值，通常选择一般式. 第 1 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (2)顶点式：y  axh2 k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x 、x ，通常选用交点式：y  a  xx  xx  . 1 2 1 2 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（ ） 2 A．yx2 B．y x2 C．y2x124x2 D．y23x2 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【解析】解：A、yx2未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； 2 B、y 未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； x2 C、y 2x12 4x2 4x2 4x14x2 4x1未知数的最高次不是2，不是二次函数，不符合题意； D、y23x2是二次函数，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如yax2bxca0的函数叫做二次函数． 2．下列各点中，在二次函数yx28x9图象上的点是（ ） A．1,16 B．1,16 C．3,8 D．3,24 【答案】B 【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可． 【解析】A． y=1+8- 9=0¹ -16，选项错误，不符合题意； B． y=1- 8- 9=-16=-16，选项正确，符合题意； C． y=9+24- 9=24¹ -8，选项错误，不符合题意； D． y=9- 24- 9=-24¹ 24，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证． 3．若函数ym3xm15是关于x的二次函数，则m（ ） A．3 B．3 C．3或3 D．2 【答案】A 第 2 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【解析】解：∵函数ym3xm15是关于x的二次函数， m 12 ∴ ， m30 ∴m3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如yax2bxca0的函数是二次函数是解题的关 键． 4．已知抛物线yx2 bx4经过2,4和4,n两点，则n的值为（ ） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【分析】将2,4代入解析式，求出b值，再将4,n代入解析式，求出n值即可． 【解析】解：将2,4代入函数解析式，得：4222b4， 解得：b2， ∴yx22x4， 当x4时，y422444，即：n4； 故选：B． 【点睛】本题考查求二次函数的函数值．解题的关键的是利用待定系数法，正确的求出二次函数解析式． 5．已知二次函数的图象经过1,0，2,0，0,2三点，则该函数的解析式为（ ） A．yx2 x2 B．yx2x2 C．yx23x2 D．yx2x2 【答案】A 【分析】根据二次函数图象经过三点，可以设二次函数一般式求出解析式 【解析】解：设yax2bxc, 把1,0，2,0，0,2分别代入yax2bxc,得 abc0  4a2bc0 ，  c2 解得a1，b1,c2， ∴该函数的解析式是：yx2 x2， 第 3 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选：A 【点睛】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握用二次函数 一般式求出解析式是解题关键． 6．将抛物线y x12 2沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（ ） A．yx12 2 B．yx122 C．yx12 2 D．y x12 2 【答案】D 【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可． 【解析】解：根据题意，得 翻折后抛物线的解析式的解析式为：yx122． 即y x12 2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为 相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互 为相反数． 7．小宇利用描点法画二次函数yax2bxca0的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数 值y，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 0 ﹣1 0 3 … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）A．x4，y3 B．x3，y0 C．x2，y1 D．x0，y4 【答案】D 【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x2，则顶点坐标为2,1，再利用待 定系数法求出二次函数解析式，进行验证． 【解析】∵x1和x3时，y0； ∴抛物线的对称轴为直线x2， ∴顶点坐标为2,1， 设抛物线为yax221， 把x1，y0代入得0a1， ∴a1， ∴该二次函数解析式为yx221， 当x0时，y22134， 第 4 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴x0，y4错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，注意进行验证， 以确保判定的正确性． 8．二次函数yax2bxc（a，b，c为常数，且a0）中的x与y的部分对应值如表，下列选项正确的是 （ ） x …… 2 0 1 3 4 …… y …… 6 4 6 4 m …… A．m6 B．这个函数的图像与x轴无交点 C．二次函数yax2bxc有最小值6 D．当x1，y的值随x值得增大而减小 【答案】D 【分析】根据表格数据求出二次函数的表达式，从而根据二次函数的性质判断各选项． 【解析】解：∵根据二次函数的x与y的部分对应值图， 当x2时，y6，当x0时，y  4，当x1时，y6， 64a2bc a1   ∴4c ，解得：b3，   6abc c4 ∴yx23x4， 令x4，则m y423440，故A错误； ∵32414250， ∴这个函数的图像与x轴有两个交点，故B错误； 41432 25 函数有最小值为  ，故C错误， 41 4 3 3 ∵抛物线的对称轴为直线x  ，开口向上， 21 2 3 ∴当x ，y的值随x值得增大而减小， 2 即当x1，y的值随x值得增大而减小，故D正确， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不 等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 二、填空题 第 5 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 9．已知关于x的二次函数ym1x2xm21的图象经过原点，则m的值为______． 【答案】1 【分析】根据函数图象经过原点，把0,0代入函数表达式，即可求出m的值，再根据二次函数的定义，排 除不符合题意的m的值即可． 【解析】解：把0,0代入ym1x2xm21得：0m21， 解得：m 1,m 1， 1 2 ∵ym1x2xm21为二次函数， ∴m10，即m1， ∴m1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，图象经过原点时x0，y0， 是本题的关键． 10．写出一个开口向上，且与y轴的负半轴相交的抛物线的解析式：____________． 【答案】yx21（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a0，c0即可． 【解析】解：开口向下，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式可以是yx21． 故答案为：yx21(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．本题属于开放性试题，答案 不唯一． 11．函数yk1xk212x的图象是抛物线，则k的值是______． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【解析】解：∵函数yk1xk212x的图象是抛物线， ∴k10,k212， 解得：k 1,k 1． ∴k1． 故答案为：1． 【点睛】题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如yax2bxca0的函数关系，称为y关于x的 二次函数，其图象为抛物线是解题的关键． 12．已知函数yk1xk12x1为二次函数，则k的值为______． 第 6 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义，即可得到答案． 【解析】解：依题意，得 k 12  k10 解得k 1 故答案为1 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键． 13．已知抛物线yx2mxn的图象经过3,0，1,0，则此抛物线的顶点坐标是_________． 【答案】(1，4) 【分析】利用待定系数法求解析式，再将其化为顶点式，即可求解． 【解析】∵抛物线yx2mxn的图象经过3,0，1,0， 93mn0  ， 1mn0 m2 解得： n3 ∴yx22x3(x1)24， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4) 故答案为：1，4 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解 题的关键． 二、二次函数的图像与性质 1. 二次函数的图象：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向： 当a  0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 y轴(或重合)的直线记作x  h.特别地， y轴记作直线x 0. ③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、 开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 求抛物线的顶点、对称轴： 第 7 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  b  2 4acb2 b 4acb2 b yax2 bxcax   ∴顶点坐标（ ， ）对称轴是直线x  2a 4a 2a 4a 2a 2. 二次函数的性质 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质： 二次函数的图象及性质 y ax2 y ax2 y axm2 y axc2 y ax2  2b 2 y ax  c c bxc  a  抛物线 4acb2  4a 开口方向 当a>0时开口向上，并向上无限延伸； 当a＜0时开口向下，并无限向下延伸。 顶点坐标 （0，0） （0，c） （-m，0） （-m，k） b 4ac-b2 （- ， ） 2a 4a 对称轴 y轴 y轴 直线x=-m 直线x=-m b 直线X - 2a X=0时 X=0时 X=-m时 X=-m时 b X - 时， 2a Y 0 Y c Y 0 Y c a＞0 min min min min b2 Y 4ac- min 4a 最 值 X=0时 X=0时 X=-m时 X=-m时 b X - 时， 2a Y 0 Y c Y 0 Y c a＜0 min min min min b2 Y 4ac- min 4a 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 y a＞0 增 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 O x 减 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 性 a＜0 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 3. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c，△与抛物线的关系 a a决定开口方向：当a＞0时开口向上，a＜0时开口向下。 a、 b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧 a，b a、b异号时对称轴在y轴右侧 b=0时 对称轴是y轴 第 8 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) c决定抛物线与y轴的交点：c＞0时抛物线交y轴的正半轴 c c=0时抛物线过原点 c＜0时抛物线交y轴的负半轴 △决定抛物线与x轴的交点：△＞0时抛物线与x轴有两个交点 △ △=0时抛物线与x轴有一个交点 △＜0时抛物线与x轴没有交点 一、单选题 1．将抛物线y＝4﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线必定经过点（ ） A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3） 【答案】B 【分析】由题意可确定平移后的抛物线的函数解析式，再逐一判断即可． 【解析】抛物线y＝4﹣（x+1）2的顶点坐标为(−1，4)，抛物线y＝4﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向下 平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标为(0，2)，则平移后的抛物线解析式为yx22； 当x=−2时， y(2)222，即点（﹣2，2）不在抛物线yx22上； 当x=−1时， y1221，即点（﹣1，1）在抛物线yx22上； 当x=0时， y0222，即点（0，6）不在抛物线yx22上； 当x=1时， y1221，即点（1，3）不在抛物线yx22上； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、点与函数图象的关系，二次函数图象的平移关键是抓住抛物线 顶点的平移． 2．抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，b），（3，c），则a、b、c的大小关系是（ ） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．无法比较大小 【答案】A 1 1 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x ，然后比较三个点都直线x 的远近 2 2 得到a、b、c的大小关系． 1 7 【解析】解：  二次函数的解析式为yx2x2(x )2 ， 2 4 第 9 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 抛物线的对称轴为直线x ， 2  (2,a)、(1,b)，(3,c)， 1 1 点(3,c)离直线x 最远，(1,b)离直线x 最近， 2 2 而抛物线开口向上， cab； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解 析式． 3．若二次函数yx22kx3的图象与x轴交点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的判别式0，即可得出结论． 【解析】∵二次函数yx22kx3， ∴b24ac2k24134k212， ∵k2 0， ∴4k2120，即0， ∴二次函数yx22kx3的图象与x轴交点个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数判别式，进行判断二次函数图象与x轴交点个数，正确掌握方法是解题的关 键． 4．下列关于二次函数y4x325的说法，正确的是（ ） A．对称轴是直线x3 B．当x3时有最小值5 C．顶点坐标是3,5 D．当x3时，y随x的增大而减少 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：由二次函数y4x325可知对称轴是直线x3，故选项A错误，不符合题意； 由二次函数y4x325可知开口向上，当x3时有最小值5，故选项B正确，符合题意； 由二次函数y4x325可知顶点坐标为（3，-5），故选项C错误，不符合题意； 由二次函数y4x325可知顶点坐标为（3，-5），对称轴是直线x3，当x＜3时，y随x的增大而减 小，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 第 10 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性． 5．一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一 致． b 【解析】解：A. 由抛物线可知，a＜0，x=- ＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； 2a b B. 由抛物线可知，a＜0，x=- ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； 2a b C. 由抛物线可知，a＞0，x=- ＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； 2a b D. 由抛物线可知，a＜0，x=- ＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误． 2a 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象，掌握抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合 题是一种很好的方法． 6．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数yax2bxc的图象过点(1，0)……求 证这个二次函数的图象关于直线x2对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（ ） A．过点(3，0) B．顶点是(-2，2) C．在x轴上截得的线段的长是2 D．与y轴的交点是(0，3) 【答案】B 【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为x=2，可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C； 由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B；把x=0代入可求得y=c，由c的值有可能为3，故可判断D 正确． 【解析】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为(1，0)，抛物线对称轴为x=2， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为(3，0)， ∴在x轴上截得的线段长是3-1=2， ∴A、C正确，不符合题意； ∵该二次函数图象对称轴为x=2， ∴顶点横坐标应为2， ∴B一定不正确，符合题意； 把x=0代入可求得y=c， ∴当c=3时，抛物线与y轴的交点坐标为(0，3)， ∴D有可能正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的 第 11 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 图象上是解题关键． 7．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力， 足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如表： t 0 1 2 3 4 5 6 7 … h 0 8 14 18 20 20 18 14 … 9 下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③点（9，0） 2 在该抛物线上；④足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降．其中正确的结论是（ ）A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】由题意，抛物线经过（0，0），（9，0），所以可以假设抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8） 代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断． 【解析】解：由题意，抛物线的解析式为h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1， ∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m＞20m，故①正确， ∴抛物线的对称轴t＝4.5，故②正确， ∵t＝9时，h＝0， ∴点（9，0）在该抛物线上，故③正确， ∵当t＝5时，h＝20，当t＝7时，h＝14， ∴足球被踢出5s～7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确． ∴正确的有①②③④， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数 的性质解答． 8．小明在研究抛物线yxh2h1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ） A．无论x取何实数，y的值都小于0 B．该抛物线的顶点始终在直线yx1上 C．当1x2时，y随x的增大而增大，则h2 D．该抛物线上有两点Ax,y ，Bx ,y ，若x x ，x x 2h，则y  y 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可． 【解析】解：A． yxh2h1，当xh时，y h1，当h1时， y h10，故错误；  max max B．  抛物线yxh2h1的顶点坐标为(h，h1)，当xh时，yh1h1，故错误； C．  抛物线开口向下，当1x2时，y随x的增大而增大，h2，故正确； x x D．  抛物线上有两点Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，若x 1 x 2 ，x 1 x 2 2h， 1 2 2 h，点A到对称轴的距离 第 12 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 大于点B到对称轴的距离，y  y ，故错误． 1 2 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的 关键． 1 9．如图，抛物线y(xa)2h（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝ x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x 3 1 轴，与抛物线交于点C，与直线y＝ x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（ ） 3 8 5 4 10 A． 26 B．3 3 C． D． 3 3 【答案】D 1 【分析】先根据抛物线顶点为(a,h)，直线y＝ x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据 3 1 点A在直线y＝ x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度． 3 1 【解析】  抛物线顶点为(a,h)，直线y＝ x经过抛物线顶点D， 3 1 h a， 3 1 y(xa)2 a 3 1 B(0,a2 a) 3 又  点C恰为线段AB中点 1 1 C(2a,a2 a)，A(4a,a2 a)； 3 3 1 又  点A在直线y＝ x上， 3 1 1 a2 a 4a， 3 3 解得：a1或a0（舍去）； 4 A(4, )， 3 第 13 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4 4 10 OA 42( )2  ． 3 3 故选D． 【点睛】本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质． 10．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0， 3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2，下列结论：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若点 1  5  3 2 M 2 ,y 1   ，点N 2 ,y 2   是函数图像上的两点，则y 1 ＞y 2 ；④ 5 a 5 ；⑤c－3a＞0，其中正确结论 有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点（-1， 0）及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x=3时y＞0，进而判断②，根据M，N两点 与抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得b=-4a，再根据x=-1时y=0及2＜c＜3可判断④，根 据x=1时y＞0可判断⑤． 【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， b ∵抛物线对称轴为直线x=- ＞0， 2a ∴b＞0． ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，①正确． ∵抛物线与x轴交点坐标为（-1，0），对称轴为直线x=2， ∴抛物线与x轴另一交点为（5，0）， ∴当x=3时，y=9a+3b+c＞0，②正确． 5 1 ∵ 22 ，抛物线开口向下， 2 2 ∴y ＜y ，③错误． 1 2 b ∵- =2， 2a ∴b=-4a， ∴x=-1时，y=a+4a+c=5a+c=0， ∵2＜c＜3， 第 14 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴-3＜5a＜-2， 3 2 解得 a ， 5 5 ∴④正确， ∵x=1时，y=a+b+c=-3a+c＞0， ∴c-3a＞0，⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及 不等式的关系． 二、填空题 11．抛物线y=x2- x的顶点坐标是 _____． 1 1 【答案】（ ，- ） 2 4 【分析】直接利用配方法求出二次函数顶点式，进而得出答案． 1 1 【解析】解：∵yx2x(x )2 ， 2 4 1 1 ∴抛物线y=x2- x的顶点坐标是（ ，- ）． 2 4 1 1 故答案为：（ ，- ）． 2 4 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点式是解题关键． 12．已知抛物线yx2x1与x轴的一个交点为m,0，则代数式3m23m2022的值为______． 【答案】2019 【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果． 【解析】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0， ∴m2-m=1， ∴-3m2+3m+2022 =-3（m2-m）+2022 =-3+2022 =2019． 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数 解析式得到有关m的代数式的值． 13．已知二次函数y＝（x+m）2+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 _______． 【答案】m≥﹣2 【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴，根据二次函数开口朝上，依题意，可知在对称轴的右侧y的值 随x值的增大而增大，进而求得m的取值范围． 【解析】解：二次函数y＝（x+m）2+2的对称轴为直线x＝﹣m，且开口朝上 第 15 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤2， 解得m≥﹣2． 故答案为：m≥﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得开口方向和对称轴是解题的关键． 14．将抛物线y2x323以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为___________． 【答案】y2x323 【分析】求出绕原点旋转180度所得抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出即可． 【解析】解：∵抛物线y2x323的顶点为3，3，绕原点旋转180度后变为3，3，且开口相反， ∴得到的抛物线解析式为y2x323， 故答案为：y2x323． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的 关键． 15．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y0.2x2x2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的 中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是_________m． 【答案】4 【分析】将y3.05代入y0.2x2x2.25中可求出x，结合图形可知x4，即可求出OH． 【解析】解：当y3.05时，0.2x2x2.25=3.05，解得：x1或x4， 结合图形可知：OH 4m， 故答案为：4 【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值． 16．已知二次函数y ax2bxca0与一次函数y mxnm0的图象相交于点A1,6和B7,3，如 1 2 图所示，则使不等式ax2bxcmxn成立的x的取值范围是_____________． 第 16 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】1x7 【分析】根据函数图象与两函数的交点坐标，即可求得． 【解析】解： 二次函数y ax2bxca0与一次函数y mxnm0的图象相交于点A1,6和  1 2 B7,3， 由图象可得：使不等式ax2bxcmxn成立的x的取值范围是1x7， 故答案为：1x7． 【点睛】本题考查了利用两函数的图象和交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键． 17．如图，二次函数yax2bxc的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD y轴， 交该图像于点D．若B8,0 、D6,4，则 ABC的面积为________．  【答案】20 【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解． 【解析】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点， ∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称， ∵D（6，4）， ∴点C坐标为（0，4）， ∴抛物线对称轴为直线x=3， 由B（8，0）可得点A坐标为（-2，0）， 1 1 ∴S ABC= AB•OC= ×10×4=20， △ 2 2 故答案为：20． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质． 18．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：B(3,0)、C(1,3) 都是“整点”．当抛物线yax24ax1与其关于x轴对称抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整 点时，a的取值范围______． 第 17 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 3 【答案】 a 3 4 【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为x2，过点(0,1)，对a分情况讨论a0或a<0，分别求解即 可． 【解析】解：由yax24ax1可得x2，过点(0,1)， 当a<0时，开口向下，如下图： 此时整点有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1),(4,1)… 等等，显然超过9个，不符合题意； 当a0时，开口向上，如下图： 第 18 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 要保证封闭区域内（包括边界）共有9个整点，需要满足 x1 x2  ， ，此时整数点为(1,0),(2,0),(3,0)，(1,1),(2,1),(3,1)，(1,1),(2,1),(3,1) 2 y1 2 y1 23a11 2 3 即 ，解得 a 24a11 3 4 2 3 故答案为 a 3 4 【点睛】此题考查了二次函数的新定义问题，涉及了二次函数的性质与一元一次不等式组的求解，解题的 关键是理解题意，并列出不等式组． 三、解答题 19．如图，抛物线yx2bxc的图像经过A4,0、B0,4两点． 第 19 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求抛物线的解析式； (2)点A先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点C，请判断点C是否在抛物线上． 【答案】(1)yx23x4 (2)不在，过程见解析 【分析】（1）把点A4,0、B0,4代入yx2bxc，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式； （2）根据点的坐标平移规律，先确定点C的坐标，然后将点C的横坐标代入（1）中所得二次函数解析式 进行计算，将所得的函数值与点C的纵坐标比较即可作出判断． （1） 解：∵抛物线yx2bxc的图像经过A4,0、B0,4两点， 0164bc ∴ ， c4 b3 解得： ， c4 ∴抛物线的解析式为yx23x4． （2） ∵点A4,0先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点C， ∴C3,3， 当x3时，y3233443， ∴点C不在抛物线上． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，点坐标平移的变化 规律．点的坐标平移变化规律：（1）将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变；（2）将点向右（或 向上）)平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就增加几个单位长度；将点向左（或向下）平移几个单位长 第 20 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 度横坐标（或纵坐标）就减少几个单位长度．理解和掌握点的坐标平移变化规律是解题的关键． 1 1 20．如图，直线y  x2与x轴交于点B．抛物线y  x2bxc与该直线交于A、B两点，交y轴于 1 2 2 2 点D（0，4），顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式，并求出点A的坐标． (2)求二次函数图像与x轴的交点E的坐标，并结合图像，直接写出当y·y 0时，x的取值范围． 1 2 5 1 【答案】(1)点A的坐标（－1， ），y ＝－ x2x4 2 2 2 (2)x≤－2或x=4 1 【分析】（1）根据直线y  x2与x轴交于点B，可以求得y=0时对应的x的值，从而可以得到点B的 1 2 1 1 坐标，再根据抛物线y  x2bxc过点D和点B，即可求得该抛物线的解析式，然后与直线y  x2 2 2 1 2 联立方程组，即可求得点A的坐标； （2）根据（1）求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点E的坐标，然后结合图像，可 以写出当y •y 0时，x的取值范围． 1 2 （1） 1 由直线y ＝－ x2与x轴交于点B，可得点B的坐标为（4，0）． 1 2 1 把点B（4，0）与点D（0，4）代入y ＝－ x2bxc得 2 2 84bc0  c4 b1 解得 ， c4 1 ∴y ＝－ x2x4， 2 2 1 1 ∵点A为直线y  x2与抛物线y  x2的交点， 1 2 1 2 1 1 ∴解方程－ x2＝－ x2x4 2 2 第 21 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 得x=－1， 5 ∴点A的坐标（－1， ）； 2 （2） 1 当y =0时，－ x2x4=0， 2 2 解得x 2，x 4， 1 2 ∴点E的坐标为（-2，0）， 结合图像，当y·y 0时，x的取值范围是x≤－2或x=4． 1 2 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是 解答本题的关键． 21．二次函数y(m1)x22(m1)x2m4． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若图象过点A(2,n)，且4m3，求mn的取值范围； (3)若点P(x,y ),Q(2,y )在该二次函数图象上，且y  y ，求x的取值范围． 1 1 2 1 2 1 【答案】(1)x1 (2)6mn90 (3)m1时，0x 2；m1时x 0或x 2 1 1 1 b 【分析】（1）根据x 计算即可； 2a （2）将A(2,n)代入二次函数解析式中得n的表达式，从而得到mn的表达式，根据二次函数的图象得到mn 的取值范围； （3）二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算x的取值范围即可． 1 2(m1) 【解析】（1）解：对称轴为直线x 1； 2(m1) （2）解：将A2，n代入二次函数解析式中得： n（4 m1）（4 m1）2m4 6m12， ∴mnm6m126m212m6m12 6， ∵二次函数的二次项系数不等于0， ∴m10， ∴m1， ∴mn6； ∵mn6m126，且4m3， 第 22 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴当m3时，mn6312690， ∴mn90， 综上所述，6mn90； （3）当m10时，即m1时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x1， 点Q2，y 关于对称轴x1的对称点为Q(0,y )， 2 2 ∵y  y ， 1 2 ∴0x 2； 1 当m10时，即m1时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x1， 点Q2，y 关于对称轴x1的对称点为Q(0,y )， 2 2 ∵y  y ， 1 2 ∴x 0或x 2 1 1 综上所述，m1时，0x 2；m1时x 0或x 2． 1 1 1 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想， 第（3）问进行分类讨论是解题的关键． 22．“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉 祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元，且不高于60元．销售期 间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发 现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个． (1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元 (2)当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2890元 【分析】（1）设每件纪念品销售价上涨x元，根据题意列出一元二次方程，解出方程，根据销售单价不高 于60元即可求解． （2）根据题意列出销售利润w与销售单价x之间的函数关系式，根据函数的增减性即可求解． 【解析】（1）解：设每件纪念品销售价上涨x元， 由题意得：（x+4）（300–10x）＝2640， 整理得：x2﹣26x+144＝0，即（x–8）（x–18）=0， 解得：x ＝8，x ＝18， 1 2 ∵销售单价不高于60元， ∴x＝8， 答：当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元． （2）根据题意得： w＝（x+4）（300–10x）， 第 23 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ＝–10x2+260x+1200 ＝–10（x–13）2+2890， ∵–10＜0，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=13， ∴当x＝13时，w最大且最大值为2890， ∵13445760， 所以，当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大，最大利润是2890元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，根据题意找准等量关系，列出方程及函数关 系式是解题的关键． 3 23．如图，已知抛物线yax2 x4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右 2 侧），与y轴交于C点． (1)A点的坐标是_____________；B点坐标是________________； (2)求直线BC的解析式； (3)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若 存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由； (4)若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标． 【答案】(1)-2,0，8,0 1 (2)直线BC的解析式为y x4 2 (3)存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16，理由见详解 (4)满足条件的点M 的坐标为(8,0)，(4,0)，(5 41，0)，(5 41，0) 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解 析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出 直线BC的解析式，  1 3  （3）假设存在，设点P的坐标为x, x2 x4，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐  4 2   1  1 标为x, x4，PD x22x，利用三角形的面积公式即可得出S 关于x的函数关系式，再利用二次  2  4 PBC 函数的性质即可解决最值问题； 第 24 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 【解析】（1）解：  抛物线yax2 x4的对称轴是直线x3， 2 3 1 2 ，解得：a ，  3 4 2a 1 3 抛物线的解析式为y x2 x4． 4 2 1 3 当y0时， x2 x40， 4 2 解得：x 2，x 8， 1 2 点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(8,0)． 故答案为(2,0)，(8,0)． （2）解：当x0时，y4， 点C的坐标为(0,4)． 设直线BC的解析式为ykxb(k 0)． 将B(8,0)、C(0,4)代入ykxb，  1 8kb0 k   ，解得： 2， b4  b4 1 直线BC的解析式为y x4． 2  1 3  （3）解：假设存在，设点P的坐标为x, x2 x4，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D  4 2   1  的坐标为x, x4，如图所示．  2  1 3 1 1 PD x2 x4( x4) x22x， 4 2 2 4 1 1 1 S  PD OB 8( x22x)x28x(x4)216． PBC 2  2  4 10，  当x4时，PBC的面积最大，最大面积是16． 0x8，  存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16． 第 25 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （4）解：如图， 当AC为平行四边形的边时，由点C0,4 可知点N 的纵坐标的绝对值为4， 1 3 1 3 ∴ x2 x44或 x2 x44， 4 2 4 2 解得：x 0,x 6,x 3 41,x 3 41， 1 2 3 4 当N (N )(6，4)时，则有CN  AM 6， 1 2 1 2 ∴OM  AM OA4， 2 2 ∴M (4,0)， 2 同理可得当N (3 41，4)，N (3 41，4)，可得M (5 41，0)，M (5 41，0)， 3 4 3 4 当AC为对角线时，则有CN  AM 6， 2 1 ∴OM OAAM 8， 1 1 ∴M (8,0)， 1 综上所述，满足条件的点M 的坐标为(8,0)，(4,0)，(5 41，0)，(5 41，0)． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及 三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S PBC 关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程；（4）用分类讨 论的思想解决问题即可． 三、二次函数的实际应用 1、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后， 第 26 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量 关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函 数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线 的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 2、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系 式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在 的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题 时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题. 一、单选题 1．从高处自由下落的物体，下落距离s与下落时间t的平方成正比．若某一物体从125米高度自由下落，5 秒落地，则下落1秒时，距离地面的高度为（ ） A．5米 B．25米 C．100米 D．120米 【答案】D 【分析】设skt2，再利用待定系数法求解函数解析式，再把t1代入函数解析式计算下落的距离，从而可 得答案． 【解析】解：∵下落距离s与下落时间t的平方成正比， ∴设skt2， 当t5时，s125， ∴25k 125，解得：k 5， ∴s5t2， 当t1时，则s5， 第 27 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 此时距离地面的高度为1255120（米）． 故选D． 【点睛】本题考查的是正比例的含义，二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式是 解本题的关键． 2．我校办公楼前的花园是一道美丽的风景，现计划在花园里再加上一喷水装置，水从地面喷出，如图，以 水平地面为x轴，出水点为原点建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线yx25x（单位： 米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ） A．4.5米 B．5米 C．6.25米 D．7米 【答案】C 【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，得到顶点坐标解题即可． 25 25 5 25 【解析】解：yx25x(x25x  )(x )2 ， 4 4 2 4 5 25 所以抛物线的顶点坐标为 ， ， 2 4  25 即水喷出的最大高度是 ， 4 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的配方是解题的关键． 3．2019年在武汉市举行了军运会．在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 1 5 5 y x2x 的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是 米，球落地点A到O点的距离是 4 4 4 （ ） 25 A．1米 B．3米 C．5米 D． 米 16 【答案】C 【分析】令y0求得x的值即可求解． 1 5 【解析】解：令y0，则 x2x 0， 4 4 第 28 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解得：x 5，x 1（舍去）， 1 2 ∴球落地点A到O点的距离是5米． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用函数的性质是解题的关键． 4．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为B，网球飞行路线是 一条拋物线，小明在直线AB上点C（靠点B一侧）右侧竖直向上摆放若干个无盖的、直径为0.5米，高为 0.3米的圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．已知AB4米，AC 3米，网球飞行的最大 高度OM 3米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放圆柱形桶（ ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】先以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，二次函数的图像过M、A、B根据待定系数法求出函 数解析式，当桶的左侧x1最高点位于抛物线以下，右侧x1.5最高点位于抛物线以上时，求才能落进桶 内，分别计算出x1和x1.5时y的值，然后与桶高0.3比较，可求出m的取值范围，从而求出m的最小 值． 【解析】解：先以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，二次函数的图像过M0,3、A2,0，设抛物线 的解析式为yax23; ∵抛物线过点B2,0， 3 ∴4a30，a ， 4 3 抛物线的解析式为：y x23， 4 9 当x1时，y ， 4 21 当x1.5时，y ， 16 第 29 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵桶高0.3， 21 9 ∴有 ＜0.3m＜ ， 16 4 解得4.375＜m＜7.5 ∴m的值为5或6或7时，网球能落入桶中， ∴至少要摆5个桶； 故答案是：B． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高度的比较关系是解题的关键． 5．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可 以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x （单位：m）近似满足函数关系yaxh2ka0．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据， 根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）． A．4m B．7m C．8m D．10m 【答案】C 【分析】将点0,20,5,22.75,14,21.40分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公 式可以得到答案． 【解析】解：根据题意知，抛物线yax2bxc经过点0,20,5,22.75,14,21.40， c20  则25a5bc22.75 ，  196a14bc21.40  1 a  20   4 解得： b 5  c20   第 30 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 4 ∴抛物线为y x2 x20, 20 5 4 所以x 5 8m ，该运动员起跳后飞行到最高点．  1  2   20 即该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为8m． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意建立二次函数的模型再利用二次函数的性质解决问题是解 本题的关键． 6．洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部A下压如图位置时，洗手液从喷口B流出，路 线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．同学测得： 洗手液瓶子的底面直径GH 12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．在距离 台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH 的水平距离为3cm，不去接则洗手液落在台面的位置距DH 的水平面是（ ）cm A．6 3 B．6 2 C．12 3 D．12 2 【答案】D 【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为yax6216，利用待定系数法求抛物线解析式进 而求解． 【解析】解：如图： 第 31 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 根据题意，得Q9,15.5,B6,16,OH 6， 设抛物线解析式为yax6216， 把点Q9,15.5代入得：a962 1615.5， 1 解得：a ， 18 1 1 2 所以抛物线解析式为y x62 16 x2 x14， 18 18 3 1 2 当y0时，即 x2 x140， 18 3 解得： x612 2或612 2（舍去）， 又OH 6， 所以洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是12 2cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行 计算． 二、填空题 7．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水 面的宽度为___________米．（结果可带根号） 【答案】2 3 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示（见详解），可知抛物线与x轴的两个交点分别是(0,0)， (4,0)，且对称轴为x2，此时抛物线的最大值为2，由此即可求出抛物线的解析式，当水位上升0.5米时， 求函数自变量的值，由此即可求解． 【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 第 32 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴抛物线过点(0,0)，(4,0)，且顶点坐标为(2,2)， 设抛物线的解析为ya(x0)(x4)，将顶点坐标代入得，a(20)(24)2，即4a2， 1 1 ∴a ，则抛物线的解析式为：y x22x， 2 2 1 当水位上升0.5米，即y0.5时，0.5 x22x， 2 整理得，x24x10，解方程得，x 2 3，x 2 3， 1 2 ∴水面的宽度为：(2 3)(2 3)2 3， 故答案为：2 3． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，理解和掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图形 的性质是解题的关键． 8．两辆车A和B，从相同标记处同时出发，沿直线同方向行驶，并且由出发点开始计时，行驶的距离x与 1 行驶时间t的函数关系分别为：x  t32t2和x t28t，求： A 3 B （1）它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是_____； （2）它们出发后，B车相对A车速度为零的时刻是_____． 【答案】 B车 2 【分析】（1）由已知行驶的距离x与行驶时间t的函数关系可表示出速度与时间的关系式，比较刚离开时即 t0时，两车的速度大小即可得到答案；（2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B速度的时 刻，列出方程求解即可． 【解析】（1）由已知得，A车的速度与时间关系式为V t24t，B车的速度与时间关系式为V 2t8 A B  它们刚离开出发点时，B车速度大于A车速度（t0时，V B 8V A 0） 行驶在前面的一辆车是B车 故答案为：B车 （2）B车相对A车速度为零的时刻即是A车速度等于B车速度的时刻 V V ，即t24t2t8 A B 解得t2或t4（舍去） 故答案为：2 【点睛】本题考查变速运动中运动距离与速度的关系，解题的关键是由已知的行驶的距离x与行驶时间t关 系式求出速度与时间的关系式． 第 33 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 9．小亮和小明在篮球场练习投篮，小亮投篮时篮球出手的高度是1.7米，篮球的运行路线是抛物线的一部 分，篮球运行的水平距离为3米时达到最高点，最高点的高度是3.5米，篮筐的高度是3.05米，结果小亮 恰好命中篮筐，建立如图所示的平面直角坐标系(篮球和篮筐均看作一个点)，y轴经过抛物线的顶点，解答 下列问题． （1）小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为__________； （2）小亮投篮时与篮筐的水平距离L为__________； （3）小亮投篮后篮球被篮筐弹了出来，恰被离篮筐水平距离为5米处的小明跳起来接住．已知篮球弹出后 运行路线也是抛物线的一部分(两抛物线在同一平面内)，运行的水平距离为2米时到达最高点，小明接球的 高度为2.3米．则篮球弹出后最高点的高度为__________； 【答案】 y0.2x23.5 4.5米 3.65米 【分析】（1）由题意可设小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为yax23.5，再代入(3,1.7)， 可直接求解析式； （2）令y3.05，代入y0.2x23.5，即可求出答案； （3）根据题意设篮球弹出后运行路线所在抛物线ya(x0.5)2k，再代入(3.5,2.3)，(1.5,3.05)即可求 出答案． 【解析】（1）由题意可设小亮投篮时篮球运行路线所在抛物线的解析式为yax23.5，代入(3,1.7)， 1.7a (3)23.5，  ∴a0.2， ∴y0.2x23.5， 故答案为：y0.2x23.5； （2）令y3.05，则3.050.2x23.5， ∴x1.5， 根据图象可得，篮筐在第一象限， ∴x1.5， 则L1.534.5， 第 34 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：4.5米； （3）∵篮球弹出后运行得水平距离为2米时到达最高点，且篮筐到y轴得距离为1.5米，∴篮球弹出后运行 路线所在抛物线的对称轴时直线x0.5， 故可设该抛物线的解析式为ya(x0.5)2k， ∵小明到篮筐的水平距离为5米，篮筐到y轴的距离为1.5米， ∴小明到y轴的距离为3.5米，故抛物线ya(x0.5)2k，经过点(3.5,2.3)， 又知抛物线经过点(1.5,3.05)， 3.05a(1.50.5)2k 故有 ， 2.3a(3.50.5)2k a0.15 ∴ ， k3.65 即y0.15(x0.5)23.65， ∴篮球弹出后最高点的高度为3.65米． 故答案为：3.65米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是掌握二次函数的定义、性质以及在实际问题中的应 用． 三、解答题 10．如图，有长为12m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为5m），设花圃的宽AB为xm，面积 为Sm2． (1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围； (2)要围成面积为9m2的花圃，AB的长是多少米？ (3)当AB的长是多少米时，围成的花圃面积最大？ 7 【答案】(1)S 3x212x， x4 3 (2)3米 7 (3) m 3 【分析】（1）根据S  ABBC列得函数关系式，利用0＜BC5求出x值的取值范围； （2）利用（1）得到3x212x9，求解即可； 第 35 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）将函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【解析】（1）解：由题意，得：BC 123x， ∴S  ABBC x123x3x212x； ∵0＜BC5， 即0123x5， 7 解得： x4， 3 7 ∴x值的取值范围为： x4； 3 （2）当S  9时， 即3x212x9， 解得：x 1，x 3， 1 2 7 ∵ x4， 3 ∴x3， 即AB的长是3米； （3）S 3x212x3x2212， ∵a=-3<0，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 7 ∵ x4， 3 7 7  2 35 ∴当x 时，S取的最大值3 2 12 m2， 3 3  3 7 ∴当AB的长是 m时，围成的花圃面积最大． 3 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求二次函数的解析式，最值问题，一元二次方程的应用，正确 掌握各知识点是解题的关键． 11．某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法 来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．请问每件售价提高多 少元时，才能使一天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】每件售价提高4元时，才能使一天的利润最大，最大利润是360元． 【分析】设每件售价提高x元，每天的利润为y元，依题意可列出关于x与y的关系式，再根据二次函数的 性质求解即可． 【解析】解：设每件售价提高x元，每天的利润为y元，则每件的利润为(108x)元，每天的销售量为 (10010x)件， ∴10010x0， 解得：x10． 依题意有：y(108x)(10010x)10(x4)2360． 第 36 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵100， ∴当x4时，y最大，最大值为360， ∴每件售价提高4元时，才能使一天的利润最大，最大利润是360元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题关键． 12．某公司研发了一款成本为30元的新型产品，投放市场进行销售．按照物价部门规定，销售单价不低于 成本且不高于70元，调研发现每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所 示． (1)求每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)yx100 (2)销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案． 【解析】（1）解：设ykx（b k 0）， 40kb60 将点（40，60），（60，40）代入得： ， 60kb40 k 1 解得 ， b100 ∴每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数关系式yx100； （2）设每天获得的利润为w元， 由题意得w（x30）（- x100）=-x2130x3000（x65）21225， ∵按照物价部门规定，销售单价不低于成本且不高于70元， ∴30x70， ∵a1＜0，抛物线开口向下， ∴当x65时，w有最大值，w 1225， 最大值 ∴销售单价为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1225元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性 质． 13．图1是一个倾斜角为的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿 地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，BC与喷头A的水平距离为6米，喷头A喷出的水珠在空中走 过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y (单位：米)(水珠的竖直高度 是指水珠与水 平地面的距离)，水珠与喷头A的水平距离为x(单位：米)，y与x之间近似满足二次函数关系，图2记录了 第 37 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x与y的相关数据，其中当水珠与喷头A的水平距离为4米时，喷出的水珠达到最大高度4米． (1)求y关于x的函数关系式； (2)斜坡上有一棵高1.9米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这 棵树． 1 【答案】(1)y x424 4 (2)能越过 【分析】（1）由图象知，顶点坐标为4,4，且图象过点B6,3，设y关于x的函数关系式为 yax424，利用待定系数法求解可得； （2）代入x2求得y的值后与11.9比较大小后即可确定正确的结论． 【解析】（1）解：由图象知，顶点坐标为4,4，且图象过点B6,3， 设y关于x的函数关系式为yax424，将B6,3代入， ∴4a43， 1 解得a ， 4 1 ∴y x424 4 1 （2）当x2时，y x424143， 4 ∵11.92.9，且2.93， ∴水珠能越过这棵树． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的 性质、二次函数的图象与性质及其平移规律等知识点． 一、单选题 1．（2021·上海浦东新·统考二模）二次函数yx22 3的图像的顶点坐标是（ ） 第 38 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．2,3 B．2,3 C．2,3 D．2,3 【答案】B 【分析】根据题目中函数的解析式即可直接得出此二次函数的顶点坐标． 【解析】  yx22 3  二次函数yx22 3的图像的顶点坐标为2,3， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，懂得从二次函数顶点式的表达式中解出顶点坐标是解题的关键． 2．（2017·上海松江·统考一模）下列抛物线中，对称轴是y轴的抛物线是（ ） A．yx21 B．yx12 C．yx2x D．yx2x1 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解． b 【解析】解：对于二次函数yax2bxca0的对称轴为x ， 2a 若对称轴是y轴的抛物线，则b=0， 故选：A． b 【点睛】本题考查了二次函数yax2bxca0的对称轴为x ，掌握二次函数的性质是解题的关 2a 键． 1 3．（2019·上海嘉定·校考二模）将抛物线y x21绕原点O旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为（ ） 2 A．y2x21 B．y2x21 1 1 C．y x21 D．y x21 2 2 【答案】D 1 【分析】抛物线y x21的顶点坐标为0,1，开口向上，抛物线绕原点O旋转180后，开口向下，抛物线 2 的开口大小不变，顶点坐标为0,1，由此即可得． 1 【解析】解：抛物线y x21的顶点坐标为0,1，开口向上， 2 1 则将抛物线y x21绕原点O旋转180后，顶点坐标为0,1，开口向下，抛物线的开口大小不变， 2 1 所以旋转后的抛物线的解析式为y x21， 2 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与旋转变换，解题的关键是熟练掌握抛物线绕某点旋转180得到旋转 后的抛物线的开口方向相反，开口大小不变． 4．（2022·上海黄浦·统考二模）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ） 第 39 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 2 A．y x B．yx1 C．y D．yx21 3 x 【答案】B 【分析】根据在一次函数y=kx+b中，k大于0时，y随x增大而增大，k小于0时，y随x增大而减小；在 k 反比例函数y (x>0)中，k大于0时，函数图像在第一象限，y随x增大而减小，k小于0时，函数图像在 x 第三象限，y随x增大而增大；在二次函数y=ax2+h中，a大于0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在 对称轴右侧，y随x增大而增大，对每个选项进行判断． 2 2 【解析】A.y x，x系数为 大于0，y随x增大而增大，与题意不符，错误； 3 3 B.y=-x+1，x系数为-1小于0，y随x增大而减小，与题意相符，正确； 2 C.y ，因为-2<0，x>0，函数图像在第三象限，y随x增大而增大，与题意不符，错误； x D.yx21，x2系数为1大于0，对称轴为x轴，当x0时，函数图像在对称轴右侧，y随x增大而增大， 与题意不符，错误； 故选 B． 【点睛】本题考查了函数的图像及性质，熟练掌握各种函数的图像及性质是解题关键． 5．（2022·上海闵行·统考二模）在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（ ） ①图像经过点1,1；②图像经过第三象限；③当x0时，y的值随x的值增大而增大 A．yx22 B．yx C．y2x3 D．y 1 x 【答案】A 【分析】根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可． 【解析】A.yx22，当x1时，y1，经过点1,1；图像经过第三、四象限；对称轴为y轴，开口向 下，当x0时，y的值随x的值增大而增大；所以同时具备①②③三个特征,符合题意； B. yx图像经过第二、四象限，故不符合题意； C. y2x3图像经过第一、二、四象限，故不符合题意； 1 D. y ，当x0时，y的值随x的值增大而减小，故不符合题意； x 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解 题的关键． 6．（2022·上海崇明·统考二模）将抛物线y2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线 和原抛物线相比，不变的是（ ） A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点． 【答案】B 【分析】求出平移后的抛物线，再比较对称轴，顶点，开口方向，与y轴交点，进而求解． 【解析】y2x2的对称轴为y轴，开口向上，与y轴交点（0，0），顶点（0,0） 第 40 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 将抛物线y2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后解析式为：y2(x1)22 ∴平移后对称轴为x1，开口向上，与y轴交点（0，4），顶点（1,2） ∴开口方向不变 故选：B 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象平移的 规律． 7．（2021·上海黄浦·统考一模）小明准备画一个二次函数的图像，他首先列表（如下），但在填写函数值时， 不小心把其中一个蘸上了墨水（表中 ），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ） x … -1 0 1 2 3 … y … 3 4 3 0 … A．-1 B．3 C．4 D．0 【答案】D 【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性即可求出结论． 【解析】解：由表格可知：抛物线过（0，3）、（2，3）、（3，0） 02 ∴抛物线的对称轴为直线x= =1 2 13 而 1 2 ∴x=-1对应的纵坐标与x=3对应的纵坐标相等，都是0 ∴这个被蘸上了墨水的函数值是0 故选D． 【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线的对称性求对称轴是解题关键． 8．（2022·上海·二模）二次函数yax2bxca0的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．a<0 B．4a2bc0 C．c0 D．当x1时，函数有最小值 【答案】D 13 【分析】由图象可知a0，c0，当x2时y4a2bc0，抛物线的对称轴为直线x 1，对 2 各选项进行判断即可． 【解析】解：由图象可知a0，c0，选项A、C错误，故不符合题意； 第 41 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当x2时y4a2bc0，选项B错误，故不符合题意； 13 该抛物线的对称轴为直线x 1，该函数在对称轴处取最小值，选项D正确，故符合题意； 2 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 9．（2022·上海杨浦·校考一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），且 顶点在第一象限，那么下列结论：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其 中正确的结论为（） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】将点（1，0）代入解析式可判断①；由对称性可得另一个交点为（3，0），可判断②；由开口方向可判 b 断a，根据对称轴x  0，可判断b，根据c20即可判断③，由c＝2，a＜0可判断④． 2a 【解析】解：① 抛物线y＝ax2bxc经过点（1，0）， a－bc0， ac＝b，故①正确； ② 抛物线经过点（1，0）， 故②正确； ③由抛物线开口向下可得a0,由对称轴为x>0， b0， 与y轴交于（0，2），c20， abc<0， 故③不正确； ④ 抛物线y＝ax2bxc与y轴交于（0，2）， c＝2， a＜0， ca2，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数关系，二次函数图象与系数关系，二次函数图象上点 的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 10．（2020·上海嘉定·统考二模）下列关于二次函数y=x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是( ) 第 42 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．该函数图象的开口向上 B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大 C．该函数图象关于y轴对称 D．该函数图象可由函数y=x2的图象平移得到 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质逐一判断即可得． 【解析】A．由a=1＞0知抛物线开口向上，此选项描述正确； B．∵抛物线的开口向上且对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而证得：故此选项描述错误； 由y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1知抛物线的顶点坐标为(1，1)，此选项错误； C．∵抛物线的对称轴为y轴，∴该函数图象关于y轴对称，此选项描述正确； D．该函数图象可由函数y=x2的图象向下平移3个单位得到，此选项描述正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象平移的规律逐一分析四个选项 的正误是解题的关键． 二、填空题 11．（2022·上海普陀·统考二模）如果二次函数y(a1)x2的图像在y轴的右侧部分是下降的，写出符合条 件的一个a的值是________． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】由图像在y轴的右侧部分是下降的可得a10，进而求解． 【解析】解： y(a1)x2图像在y轴右侧部分下降，  抛物线开口向下， a10， 解得a 1， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系． 12．（2022·上海青浦·统考二模）将抛物线C向左平移2个单位，向上平移1个单位后，所得抛物线为 y(x1)2，则抛物线C解析式为________． 【答案】y=(x3)21##yx26x8 【分析】设抛物线C为y(xk)2h ，根据平移的规律写出平移后的解析式，并与已知相等，即可求 解． 【解析】设抛物线C为y(xk)2h 将抛物线C向左平移2个单位，向上平移1个单位后，可得y(xk2)2h1 即y(xk2)2h1为y(x1)2 第 43 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) k21,h10 解得k 3,h1  抛物线C为y=(x3)21 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，牢记“左加右减，上加下减”是解题的关键． 13．（2018·上海长宁·统考中考模拟）抛物线yx24x3的顶点坐标是______． 【答案】(2，-1) 【分析】先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可． 【解析】解：yx24x3x221， ∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）． 故答案为（2，-1）． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键． 14．（2021·上海虹口·统考一模）如果抛物线yk1x2有最高点，那么k的取值范围是________． 【答案】k 1 【分析】根据二次函数yk1x2有最高点，得出抛物线开口向下，即k+1＜0，即可得出答案． 【解析】解：∵抛物线yk1x2有最高点， ∴抛物线开口向下， ∴k+1＜0， ∴k 1， 故答案为：k 1． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点． 15．（2021·上海嘉定·统考一模）如果抛物线yax2bxca0的对称轴是直线x1，那么2ab______0. （从＜，＝，＞中选择） 【答案】 b 【分析】根据对称轴公式得x 1，即可求出结果． 2a b 【解析】解：∵抛物线对称轴是直线x 1， 2a ∴b2a，即2ab0． 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数图象的对称轴，解题的关键是掌握抛物线的对称轴公式． 16．（2021·上海松江·统考一模）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加xx0厘米，则面积随之 增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为____． 【答案】yx24x 【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面 第 44 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 积随之增加y平方厘米可列出方程． 【解析】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：x＋2， 则面积为：（x＋2）2平方厘米， ∴y＝（x＋2）2−4＝x2＋4x． 故答案为：y＝x2＋4x． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 3 17．（2020·上海宝山·统考一模）如图，点A在直线y＝ x上，如果把抛物线y＝x2沿OA方向平移5个单 4 位，那么平移后的抛物线的表达式为_____． 【答案】y＝（x﹣4）2+3． 【分析】过点A作AB⊥x轴于B，求出OB、AB，然后写出点A的坐标，再利用顶点式解析式写出即可． 【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B， 3 ∵点A在直线y＝ x上，OA＝5， 4 ∴OB＝4，AB＝3， ∴点A的坐标为（4，3）， ∴平移后的抛物线解析式是y＝（x﹣4）2+3． 故答案为y＝（x﹣4）2+3． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点 的变化求解更简便． 18．（2021·上海奉贤·统考一模）当两条曲线关于某直线l对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线l的对称 曲线，如果抛物线C :yx22x与抛物线C 关于直线x=1的对称曲线，那么抛物线C 的表达式为 1 2 2 _______________________． 第 45 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】yx321 【分析】先把抛物线C 的解析式写成顶点式得到顶点坐标，根据对称的关系得到C 的顶点坐标，从而得到C 1 2 2 的解析式． 【解析】解：C :yx22xx121， 1 ∴顶点坐标是P1,1， 点P1,1关于直线x=1对称的点是P3,1， ∴C :yx321． 2 故答案为：yx321． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是掌握二次函数图象的性质． 三、解答题 19．（2019·上海虹口·校联考一模）已知抛物线y2x24x6． （1）请用配方法求出顶点的坐标； （2）如果该抛物线沿x轴向左平移mm0个单位后经过原点，求m的值． 【答案】（1）（1，﹣8）；（2）m3． 【分析】（1）用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质得到答案； （2）直接求出抛物线与x轴的交点，进而得出平移规律． 【解析】解：（1）y2x24x6 2  x22x  6 2x128， 故该抛物线的顶点坐标为：（1，﹣8）； （2）当y0时，02x128， 解得：x 1,x 3， 1 2 即图象与x轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0）， 故该抛物线沿x轴向左平移3个单位后经过原点， 即m3． 故答案为（1）（1，﹣8）；（2）m3. 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键． 第 46 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 20．（2021·上海金山·统考一模）已知抛物线y= - 2x2+ bx+ c经过点A0,1、B1,5． （1）求抛物线的表达式； （2）把表达式化成y2xm2 k的形式，并写出顶点坐标与对称轴． 【答案】（1）y2x24x1；（2）y2x123，顶点坐标为：1,3，对称轴为：直线x=1． 【分析】（1）直接将A、B的坐标代入y= - 2x2+ bx+ c求得b、c即可； （2）通过配方将（1）求得的解析式化成顶点式，然后直接写出顶点坐标和对称轴即可． 【解析】解：（1）由抛物线y= - 2x2+ bx+ c经过点A0,1、B1,5两点可得： c1  2bc5 b4 解得： ； c1 ∴抛物线的解析式为：y2x24x1； （2）y2x24x12x12 3； ∴y2x123， ∴顶点坐标为：1,3，对称轴为：直线x=1． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，将二次函数的一般式化成顶 点式成为解答本题的关键． 21．（2018·上海嘉定·统考中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象上部分点的坐标（x，y）满足下表： x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣4 ﹣2 2 8 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 3 17 【答案】（1）二次函数的解析式是y=x2+3x﹣2；（2）顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），对称轴是直线 2 4 3 x=﹣ ． 2 【解析】试题分析：（1）运用待定系数法求解即可；  3 2 17 （2）运用配方法得yx   ，从而求出顶点坐标和对称轴.  2 4 第 47 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) abc4,  试题解析：（1）由题意，得  c2,   abc2 解这个方程组，得 a1，b3 所以，这个二次函数的解析式是yx23x2. 9 9  3 2 17 （2）yx23x2x23x  2x   4 4  2 4  3 17 顶点坐标为  ；  2 4  3 对称轴是直线x . 2 22．（2021·上海嘉定·统考一模）我们已经知道二次函数yax2bxca0的图像是一条抛物线．研究二 次函数的图像与性质，我们主要关注抛物线的对称轴、抛物线的开口方向、抛物线的最高点（或最低点） 的坐标、抛物线与坐标轴的交点坐标、抛物线的上升或下降情况（沿x轴的正方向看）． 已知一个二次函数yax2bxca0的大致图像如图所示． （1）你可以获得该二次函数的哪些信息？（写出四条信息即可） （2）依据目前的信息，你可以求出这个二次函数的解析式吗？如果可以，请求出这个二次函数的解析式； 如果不可以，请补充一个条件，并求出这个二次函数的解析式． 【答案】（1）对称轴为直线x2；顶点坐标为2,7；开口向下；当x2时，y随x增大而增大；（2）不 5 可以；补充条件C0，2，y x227 4 【分析】（1）观察函数图像顶点，对称轴，由对称轴分开增减区间； 第 48 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）只有顶点，条件不足，不能求出解析式，可以给出除顶点外的一点坐标即可如添加“C（0，2）”设出 顶点式，然后把C点坐标代入即可． 【解析】（1）对称轴：直线x2，最高点/顶点2,7， 开口方向：向下， 当x2时，y随x增大而增大， 当x2时，y随x增大而减小； （2）不可以，加上“C0,2”， 设yax227a0， 5 代入C0,2得a ， 4 5 ∴y x227． 4 【点睛】本题考查数形结合的问题，仔细观察图像，找出发现的信息，掌握求抛物线解析式需三个独立的 条件是解题关键． 1 23．（2022·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y   x  2与x轴、y轴分别交 2 1 于点A、B．抛物线y x2 bxc经过点A、B顶点为C． 2 (1)求该抛物线的表达式； (2)将抛物线沿y轴向上平移，平移后所得新抛物线顶点为D，如果BDC OAB，求平移的距离； (3)设抛物线上点M的横坐标为m，将抛物线向左平移3个单位，如果点M的对应点Q落在 OAB内，求m  的取值范围． 1 3 【答案】(1)抛物线的解析式为y  x2  x2 2 2 15 (2)平移的距离为 8 (3)m的取值范围为3m4 【分析】（1）由直线解析式可求出点A、B的坐标，然后再代入二次函数解析式进行求解即可； 3 （2）过点B作BE⊥DC于点E，由（1）可得：OA4,OB2，抛物线的对称轴为直线x ，顶点坐标为 2 3 25 1  , ，然后可得tanBDC tanBOA ，进而问题可求解； 2 8  2 第 49 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 （3）由（1）可知点B0,2，A4,0，抛物线的对称轴为直线x ，则有点B关于抛物线对称轴对称的 2 点的坐标为3,2，然后根据图象的平移可进行求解． 1 【解析】（1）解：令x=0时，则有y 022，即点B0,2， 2 1 令y=0时，则有0   x  2，解得：x4，即点A4,0， 2 把点A、B的坐标代入二次函数解析式得：  1  3  424bc0 b  2 ，解得： 2，   c2  c2 1 3 ∴抛物线的解析式为y  x2  x2； 2 2 （2）解：由题意可得如下图象： 过点B作BE⊥DC于点E， 3 3 25 由（1）可得：OA4,OB2，抛物线的对称轴为直线x ，顶点坐标为 , ， 2 2 8  3 OB 1 ∴BE ,tanBOA  ， 2 OA 2 ∵BDC OAB， 1 ∴tanBDC tanBOA ， 2 ∴DE2BE3， 25 15 ∴平移距离DC 32  ； 8 8 3 （3）解：由（1）可知点B0,2，A4,0，抛物线的对称轴为直线x ， 2 ∴点B关于抛物线对称轴对称的点的坐标为3,2， ∵将抛物线向左平移3个单位，且点M的对应点Q落在 OAB内，  ∴点M的横坐标为m的取值范围为3m4． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第 50 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 51 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 52 页 共 52 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司