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2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编
专题 08 平面向量的线性运算
一．选择题（共12小题）
1．（青浦区）如果 （ 、 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A． B． ∥
C． D． 与 方向相同
【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
【解答】解：∵ ，
∴| |＝2| |； ； ＝ ； 与 的方向相反，
故A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
2．（金山区）点G是△ABC的重心，设 ＝ ， ＝ ，那么 关于 和 的分解式是
（ ）
A． + B． ﹣ C． + D． ﹣
【分析】根据向量加法的平行四边形法则得出 ＝ （ + ），再根据重心的性质得出 ＝
，即可求解．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ （ + ）＝ （ + ），
∵点G是△ABC的重心，
∴ ＝ ＝ × （ + ）＝ （ + ）．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌
握基本知识，属于中考常考题型．
3．（崇明区）如果向量 与向量 方向相反，且3| |＝| |，那么向量 用向量 表示为（ ）A． B． C． D．
【分析】由向量 与向量 方向相反，且3| |＝| |，可得 ，继而求得答案．
【解答】解：∵向量 与向量 方向相反，且3| |＝| |，
∴3 ＝﹣ ，
∴ ．
故选：D．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到3 ＝﹣ 是解此题的关键．
4．（徐汇区）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（ ）
A． ＝ B． + ＝0 C． ＝ D．| |＝ | |
【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，
∴ ； ； ；| |＝ | |，
∴A，B，C错误，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
5．（黄浦区）已知 ， ， 是非零问量，下列条件中不能判定 ∥ 的是（ ）
A． ∥ ， ∥ B． ＝3 C．| |＝| | D． ＝ ， ＝﹣2
【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
故A能；
∵ ，
∴ ，
故B能；
∵| |＝| |，不能判断 与 方向是否相同，
故C不能；
∵ ， ，
∴ ＝﹣ ，∴ ，
故D能，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
6．（嘉定区）已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，那么下列等式中一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵ 是单位向量，
∴| |＝1，
∴| | ＝ ，
∴A正确；
∵| | 与 的大小相同，但方向不一定相同，
∴B错误；
∵ 与 大小相同，但方向不一定相同，
∴C错误；
∵ 与 方向不一定相同，
∴ 不一定等于 ，
∴D错误，
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．
7．（宝山区）已知 为非零向量， ＝2 ， ＝﹣3 ，那么下列结论中，不正确的是（ ）
A．| |＝ | | B． C． D． ∥
【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．
【解答】解：∵ ＝2 ， ＝﹣3 ，
∴| |＝ | |， ＝﹣ ，
故A正确，B错误；
∵ ＝2 ， ＝﹣3 ，
∴3 ＝6 ﹣6 ＝ ，
故C正确；∵ ＝2 ， ＝﹣3 ，
∴ ＝﹣ ，
∴ ，
故D正确，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．
8．（杨浦区）已知 和 都是单位向量，下列结论中，正确的是（ ）
A． ＝ B． ﹣ ＝ C．| |+| |＝2 D． + ＝2
【分析】根据单位向量的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据单位向量的定义可知： 和 都是单位向量，但是这两个向量并没有明确
方向，
∴A，B，D错误，C正确，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．
9．（虹口区）已知 ＝7 ，下列说法中不正确的是（ ）
A． ﹣7 ＝0 B． 与 方向相同
C． ∥ D．| |＝7| |
【分析】根据平面向量的定理逐一判断即可．
【解答】解：∵ ＝7 ，
∴ ＝ ； 与 方向相同； ；| |＝7| |，
故A不正确；B、C、D正确，
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键．
10．（浦东新区）已知| |＝3，| |＝2，且 和 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．3 ＝2 B．2 ＝3 C．3 ＝﹣2 D．2 ＝﹣3
【分析】根据平行向量的性质即可解决问题．
【解答】解：∵| |＝3，| |＝2，且 和 的方向相反，
∴ ＝﹣ ，
∴2 ＝﹣3 ，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．（普陀区）已知 与 是非零向量，且| |＝|3 |，那么下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．| |＝3
【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案
【解答】解：A、由 与 是非零向量，且| |＝|3 |知， 与3 只是模相等，方向不一定相同，
不一定成立，故不符合题意；
B、由 与 是非零向量，且| |＝|3 |知， 与3 只是模相等，方向不一定相反，即 不
一定成立，故不符合题意；
C、由 与 是非零向量，且| |＝|3 |知， 与3 只是模相等，不一定共线，故不符合题意；
D、由 与 是非零向量，且| |＝|3 |知，| |＝3，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
12．（松江区）已知 ＝2 ，那么下列判断错误的是（ ）
A． ﹣2 ＝0 B． C．| |＝2| | D． ∥
【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、由 ＝2 知， ﹣2 ＝ ，符合题意；
B、由 ＝2 知， ，不符合题意；
C、由 ＝2 知，| |＝2| |，不符合题意；
D、由 ＝2 知， ∥ ，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．
二．填空题（共14小题）
13．（崇明区）计算：2（3 +2 ）﹣5 ＝ ．
【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．
【解答】解：原式＝6
＝ ，
故答案为： ，
【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的
关键．
14．（杨浦区）已知 的长度为2， 的长度为4，且 和 方向相反，用向量 表示向量 ＝ ﹣ 2
．【分析】根据 与 的长度与方向即可得出结果．
【解答】解：∵ 的长度为2， 的长度为4，且 和 方向相反，
∴ ，
故答案为：﹣2
【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．
15．（虹口区）如果向量 、 、 满足 （ + ）＝ ﹣ ，那么 ＝ （用向量 、
表示）．
【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．
【解答】解：∵ （ + ）＝ ﹣ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
16．（浦东新区）计算：3（2 ﹣ ）﹣2（2 ﹣3 ）＝ 2 +3 ．
【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．
【解答】解：3（2 ﹣ ）﹣2（2 ﹣3 ）
＝6 ﹣3 ﹣4 +6
＝2 +3 ，
故答案为：2 +3 ．
【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．
17．（浦东新区）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．设 ＝ ， ＝
，那么向量 关于向量 、 的分解式是 ﹣ + ．
【分析】根据向量的加减计算法则即可得出结果．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴
＝
＝﹣ + ，故答案为：﹣ + ．
【点评】本题考查了向量的加减计算法则，熟练掌握向量的加减计算法则是解题的关键．
18．（普陀区）已知 是单位向量， 与 方向相反，且长度为6，那么 ＝ ﹣ 6 .（用向量
表示）
【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．
【解答】解：∵ 是单位向量， 与 方向相反，且长度为6，
∴ ＝﹣6 ，
故答案为：﹣6 ．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（徐汇区）计算：2 ﹣ （ ﹣4 ）＝ +2 ．
【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．
【解答】解：2
＝2 ﹣ +2
＝ +2 ，
故答案为： +2 ，
【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的
关键．
20．（徐汇区）如图，已知点G是△ABC的重心，记向量 ＝ ， ＝ ，则向量 ＝ +
． ．（用向量x +y 的形式表示，其中x，y为实数）
【分析】如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．求出 ，证明AG＝ AH即可
解决问题．
【解答】解：如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．
∵AE＝EH，BE＝EC，
∴四边形ABHC是平行四边形，
∴AC＝BH，AC∥BH，∵ ＝ + ＝ + ，
∵G是重心，
∴AG＝ AE，
∵AE＝EH，
∴AG＝ AH，
∴ ＝ （ + ）＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
21．（嘉定区）已知向量 、 、 满足 ，试用向量 、 表示向量 ，那么
＝ ．
【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．
【解答】解：∵ ，
∴2 ﹣2 ＝3 ﹣3 ，
∴ ＝3 ﹣2 ，
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的
关键．
22．（静安区）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果 ＝ ， ＝ ，那么 ＝
+ ．（用含向量 、 的式子表示）【分析】由重心的性质可得 ， ，利用三角形法则，即可求得 的长，又由中线的性质，
即可求得答案．
【解答】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，
∴点G为△ABC的重心，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ，
∴ ＝2 ＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：
1．也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结
合思想的应用．
23．（崇明区）如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设
＝ ， ＝ ，那么 可用 、 表示为 ．
【分析】先根据中位线定理求出 ，再根据平面向量的加减运算法则求出 即可求解．
【解答】解：如图，连接BD，
∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，
∴MN是△BDC的中位线，
∴MN∥BD，且MN＝ ，∴ ，
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的
关键．
24．（奉贤区）计算：2（ ﹣2 ）+3（ + ）＝ 5 ﹣ ．
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【解答】解：2（ ﹣2 ）+3（ + ）＝2 ﹣4 +3 +3 ＝5 ﹣ ，
故答案为5 ﹣ ．
【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于
中考常考题型．
25．（金山区）计算： （ ﹣2 ）+2 ＝ + ．
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【解答】解： （ ﹣2 ）+2 ＝ ﹣ +2 ＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考
常考题型．
26．（青浦区）计算：3 ﹣2（ ﹣2 ）＝ ．
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．
【解答】解：3 ﹣2（ ﹣2 ）＝3 ﹣2 +4 ＝ +4 ，
故答案为： +4 ．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．
三．解答题（共9小题）
27．（浦东新区）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝ BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设 ＝ ， ＝ ，求向量 （用向量 、 表示）．【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；
（2）利用平面向量的三角形法则解答．
【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE＝ BC，
∴ ＝ ＝ ．
又AC＝6，
∴AE＝4．
（2）∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
又DE∥BC，DE＝ BC，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）．
【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．
28．（杨浦区）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝ BC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设 ＝ ， ＝ ，试用 、 的线性组合表示向量 ．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；
（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∴ ，
∵DE＝ ，
∴AE＝4；
（2）由（1）知， ，
∴DE＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ．
【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法
则是解题的关键．
29．（宝山区）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，
又 ＝ ．
（1）设 ＝ ， ＝ ，用向量 、 表示向量 ＝ ， ＝ ．
（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．
【分析】（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解；
（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角
形对应边成比例得出比例式求解即可．
【解答】解：（1）∵AF＝2DF，
∴AF＝ ，
∵ ，
∴ ，
∴
＝ ，
∵ ＝ ，∴ ，
∴
＝ ，
故答案为： ， ；
（2）∵ ＝ ，
∴AF∥BC，AF＝ ，
∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，
∵AD＝3，AF＝2DF，
∴AF＝2，
∴BC＝8，
在Rt△ABF中，
BF＝ ＝2 ，
又∵ ，
∴△ABF∽△BCA，
∴∠ABF＝∠BCA，
∴△ABF∽△ECB，
∴ ，
∴ ，
∴BE＝ ．
【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第（2）
问的关键．
30．（虹口区）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE＝BC，联结AE交DC于
点F，设 ＝ ， ＝ ．
（1）用向量 、 表示 ；
（2）求作：向量 分别在 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）【分析】（1）利用三角形法则解决问题即可；
（2）利用平行四边形法则解决问题即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD时平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∵CE＝BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ；
（2）如图，过点F作FM∥AD交AB于点M， ， 即为向量 分别在 、 方向上的分向
量．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向
量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．
31．（奉贤区）如图，在△ABC中，AC＝5，cotA＝2，cotB＝3，D是AB边上的一点，∠BDC＝
45°．
（1）求线段BD的长；
（2）如果设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝ ， ＝ ， ＝
（含 、 的式子表示）．
【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，
x2+（2x）2＝52，解方程即可解决问题；
（2）先求出AD的长，再求出AD与AB的数量关系，根据平面向量的加减运算法则即可求解．
【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，
∵cotA＝ ，
∴AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，
x2+（2x）2＝52，
解得x＝± ，
∵x＞0，
∴x＝ ，
∴CE＝ ，
∵∠CDE＝45°，
∴CE＝DE＝ ，
∵cotB＝3，
∴BE＝3CE＝3 ，
∴BD＝BE+DE＝3 + ＝4 ；
（2）∵DE＝ ，AE＝2 ，
∴AD＝ ，
∵BD＝4 ，
∴ ，
即AD＝ ，
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴
＝
＝ ，
故答案为： ； ； ．
【点评】本题考查了平面向量，三角函数的定义勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义，
平面向量的加减运算法则是解题的关键．
32．（长宁区）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，
联结BE交对角线AC于点F，若 ＝ ， ＝ ．
（1）用 、 表示 、 ；
（2）求作 在 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．
（2）利用平行四边形法则作出图形即可．
【解答】解：（1）∵AB：CD＝3：2，
∴CD＝ AB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ，
∴DE＝EC，CE∥AB，
∴ ＝ ＝ ，
∴AF＝ AC，
∴ ＝ （ + ）＝ + ．
（2）如图， 在 、 方向上的分向量分别为 ， ．
【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边
形法则，属于中考常考题型．
33．（金山区）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上， ＝ ＝2，
设
＝ ， ＝ ．
求向量 关于 、 的分解式．【分析】连接BD，先由 得到MN∥BD、MN：BD＝2：3，然后得到3 ＝2 ，
再结合平面向量的减法运算得到 与 和 的关系，最后即可用含有 和 的式子表示 ．
【解答】解：连接BD，
∵ ，
∴MN∥BD， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了平行线的判定、平面向量的减法运算，熟练应用三角形法则是解题的关
键．
34．（普陀区）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，AB：
CD＝1：3．
（1）求 的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝ ， ＝ + （用向量 ， 表示）
【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABE∽△DCE和△BEF∽△BCD
即可得出结论；
（2）根据（1）中结论和平面向量的加、减运算即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠ABE＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ＝ ＝ ，
∴CE＝3BE，
∵EF∥CD，
∴∠BEF＝∠BCD，
∵∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCD，
∴ ＝ ，
∵BC＝BE+CE＝BE+3BE＝4BE，
∴ ＝ ；
（2）由（1）知：EF＝ CD，
∴ ＝ ＝ ，
∵ + ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∵AB：CD＝1：3，
∴AB＝ CD，
∴ ＝ ，
＝ + ﹣ ＝ ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及平面向量，熟练掌握平行线的性质和平面向
量的加、减运算是解题的关键．
35．（青浦区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF＝
3DF．
（1）求AE：ED的值；
（2）如果 ， ，试用 、 表示向量 ．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，从而△BCF∽△DEF，利用相似三角形的性
质得比例式，从而解得AE：ED的值；
（2）先求出 ．再利用向量的加法可得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△BCF∽△DEF，
∴ ，
∵BF＝3DF，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴AE：ED＝2；
（2）∵AE：ED＝2：1，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴ ，
∵BF＝3DF，
∴ ．
∴ ．
∴ ，∴ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的
关键是理解平面向量．
