专题08一次函数-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 08 一次函数 了解一次函数的概念，掌握一次函数的图像和性质，能正确画出一次函数的图像，并能根据图像探 索一次函数的性质；能根据具体条件求出一次函数的解析式，运用函数的观点，分析、探索实际问题中的 数量关系和变化规律均是中考的热点，运用数形结合的数学思想方法，强化数学的建模意识，培养数学的 建模能力。 一、一次函数的图形与性质 正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。 一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定 系数法。 待定系数法求函数解析式的一般步骤： 第 1 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1、 设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中 2、 解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中 正比例函数图像与一次函数图像特征 b=0 b>0 b<0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 k>0 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 k<0 图象从左到右下降，y随x的增大而减小 总结如下： k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。 k>0，b>0时, 函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数） k>0，b<0时, 函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数） k>0，b=0时, 函数的图象经过一、三象限。 （正比例函数） k<0时, y随x增大而减小，必过二、四象限。 k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数） k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数） k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。 （正比例函数） 直线y =kx＋b与y =kx图象的位置关系： 1 2 1、当b>0时，将y =kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y =kx＋b的图象． 2 1 2、当b<0时，将y =kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y =kx＋b的图象． 2 2 k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。 一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和 的一条直线。 1、当 ,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴 第 2 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2、当 ,则b=0，直线过原点 3、当 ,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴 在两个一次函数表达式中： 直线l ：y =k x＋b 与l ：y =k x＋b 的位置关系 1 1 1 1 2 2 2 2 k相同， b也相同时，两一次函数图像重合； k相同， b不相同时，两一次函数图像平行； k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； k不相同，b相同时， 两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 特殊位置关系：直线l ：y =k x＋b 与l ：y =k x＋b 1 1 1 1 2 2 2 2 两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 。即：k k 且b b 1 2 1 2 两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:k k 1 1 2 直线l 与坐标原点构成的三角形面积为s= 1 一、单选题 1．下列函数中y一定是x的一次函数的是（ ） 6 A．y2x2 B．y C．y4xb D．ymx3 x 【答案】C 【分析】利用一次函数的概念判断即可． 【解析】解：A、y2x2不是一次函数，故此选项不符合题意； 6 B、y 不是一次函数，故此选项不符合题意； x C、y4xb是一次函数，故此选项符合题意； D、当m0时，ymx3不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的概念，依据一次函数的概念进行判断是解题的关键． 2．若点A2，a在函数yx3的图象上，则a的值为（ ） A．1 B．1 C．5 D．5 【答案】C 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出a的值，此题得解． 第 3 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解：  点A2，a在函数yx3的图象上， a23235， 故选： C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ykxb”是解题的关键． 3．一次函数y mxn（m，n是常数）与y nxm在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，确定m，n的正负，看看是否矛盾即可． 【解析】解：A、观察一次函数y mxn的图象可得：m0,n0，观察一次函数y nxm的图象可得： 1 2 n0,m0，矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数y mxn的图象可得：m0,n0，观察一次函数y nxm的图象可得：m0,n0， 1 2 相符合，故本选项符合题意； C、观察一次函数y mxn的图象可得：m0,n0，观察一次函数y nxm的图象可得：n0,m0， 1 2 矛盾，故本选项不符合题意； D、观察一次函数y mxn的图象可得：m0,n0，观察一次函数y nxm的图象可得：n0,m0， 1 2 矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数ykxbk 0，当k 0,b0时，一次函数 图象经过第一、二、三象限；当k 0,b0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k 0,b0时，一 次函数图象经过第一、二、四象限；当k 0,b0时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关 键． 4．下列关于一次函数y2x2的图象的说法中，错误的是（ ）． A．函数图象经过第一、二、四象限 B．y的值随着x值的增大而减小 C．当x0时，y2 D．函数图象与x轴的交点坐标为2,0 第 4 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【解析】解：A、∵k 20，b20， ∴函数图象经过第一、二、四象限，说法正确，不符合题意； D、∵k 20， ∴y的值随着x值的增大而减小，说法正确，不符合题意； C、当x0时，y2，说法正确，不符合题意； B、∵y0时，x1， ∴函数图象与x轴的交点坐标为1,0，说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 5．将函数y2x4的图象向左平移3个单位长度，则平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为 （ ）． 1 A． B．1 C．2 D．4 4 【答案】B 【分析】先求出该函数图象向左平移3个单位长度后的直线解析式，再求得平移后直线与坐标轴的交点坐 标，并求得所求直角三角形的两条直角边的长度，利用直角三角形的面积公式解答． 【解析】解：将函数y2x4的图象向左平移3个单位长度，则平移后的解析式为：y2x34，即 y2x2． 故该直线与坐标轴的交点坐标分别是0,2，1,0． 1 所以平移后的图象与坐标轴构成的封闭图形的面积为： 211． 2 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关 键． 6．在平面直角坐标系中，直线经过第一、二、三象限，若点（0，a），（－1，b），（－3，c）都在直线l上， 则下列判断正确的是（ ） A．abc B．bca C．cba D．cab 【答案】C 【分析】根据直线l经过一、二、三象限，则y随着x的增大而增大，根据310，可知cba． 【解析】解：∵直线l经过一、二、三象限， ∴y随着x的增大而增大， ∵310， ∴cba， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握函数y值与x值之间的变化关系式解题的关键． 7．对于一次函数y2x4，下列结论正确的有（ ） ①函数的图象不经过第三象限； ②函数的图象与x轴的交点坐标是2，0； 第 5 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ③函数的图象向下平移4个单位长度得y2x的图象； ④若两点A1，y ，B3，y 在该函数图象上，则y  y ． 1 2 1 2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据一次函数的k和b的符号结合一次函数的图象和性质，来判断是否正确． 【解析】解：由y2x4可知：k 20，b40， 直线经过一、二、四象限，故①正确； 当y0时，2x40，解得x2， 函数的图象与x轴的交点坐标是2，0，故②正确； 函数的图象向下平移4个单位长度得：y2x442x，即y2x故③正确； k20，  y随x的增大而减小， y  y ，故④错误； 1 2 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象和性质，解题的关键是根据k和b的符号来判断直线经过第几象限， 会求直线与坐标轴的交点． 8．已知一次函数ymx4m，当1x3时，2 y6，则m的值为（ ） A．2 B．2 C．2或2 D．m的值不存在 【答案】B 【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当m0时，一次函数y随x增大而增大，此时x1，y2 且x3，y6；当m0时，一次函数y随x增大而减小，此时x1，y6且x3，y2；最后利用待 定系数法求解即可． 【解析】当m0时，一次函数y随x增大而增大， ∴当x1时，y2且当x3时，y6， 2 把x1，y2代入ymx4m，解得m ， 3 把x3，y6代入ymx4m，解得m6， ∴此时m的值不存在， 当m0时，一次函数y随x增大而减小， ∴x1，y6且x3，y2， 把x1，y6代入ymx4m，解得m2， 把x3，y2代入ymx4m，解得m2， ∴m2符合题意， ∴故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，待定系数法求解析式等，深度理解一次函数的性质是解题关键． 9．在平面直角坐标系中，直线l：yx1与x轴交于点A ，如图所示，依次作正方形ABCO，正方形 1 1 1 1 A BC C ，…，正方形A B C C ，使得点A ，A ，A ，…，在直线l上，点C ，C ，C ，…，在y轴正 2 2 2 1 n n n n1 1 2 3 1 2 3 半轴上，则点B 的坐标为（ ） 2021 第 6 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．  22020,220211  B．  22021,22021 C．  22021,220221  D．  22020,220211  【答案】A 【分析】根据题意，依次得到B 2,3，B 4,7，B 8,15，B 16,31，…，得到B  2n1,2n1  ，即可得 2 3 4 5 n 到答案． 【解析】解：当y0时，有x10， 解得：x1， ∴点A 的坐标为1,0． 1 ∵四边形ABCO为正方形， 1 1 1 ∴点B 的坐标为1,1． 1 同理，可得出：A 2,1，A 4,3，A 8,7，A 16,15，…， 2 3 4 5 ∴B 2,3，B 4,7，B 8,15，B 16,31，…， 2 3 4 5 ∴B  2n1,2n1  （n为正整数）， n ∴点B 的坐标为  22020,220211  ． 2021 故选：A 【点睛】此题考查了点的坐标规律，熟练掌握一次函数的性质和正方形的性质是解题的关键． 10．设Px,y ，Qx,y 分别是函数C ，C 图象上的点，当axb时，总有- 1£ y - y £ 1恒成立，则 1 2 1 2 1 2 称函数C ，C 在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”．则下列结论正确的有（ ） 1 2 ①函数yx5，y3x2在1x2上是“逼近函数”； 1 1 ②函数yx1，y x 在0x1上是“逼近函数”； 2 2 第 7 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 2 ③ x1是函数y2x1，yx 的“逼近区间”； 3 3 ④4x3是函数yx5，y3x2的“逼近区间”； A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】根据当axb时，总有- 1£ y - y £ 1恒成立，则称函数C ，C 在axb上是“逼近函数”， 1 2 1 2 axb为“逼近区间”．逐项进行分析判断即可． 【解析】解：①令y x5，y 3x2， 1 2 y - y = x- 5- (3x+ 2)= - 2x- 7， 1 2 ∵1x2， ∴- 11£ y - y £ - 9， 1 2 ∴函数yx5，y3x2在1x2上不是“逼近函数”；故①不正确，不符合题意； 1 1 ②令y x1，y  x ， 1 2 2 2 æ1 1ö 1 1 y 1 - y 2 = x- 1- ç ç çè2 x- 2 ÷ ÷ ÷ø = 2 x- 2 ， ∵0x1， 1 ∴  y y 0， 2 1 2 1 1 ∴函数yx1，y x 在0x1上是“逼近函数”，故②正确，符合题意； 2 2 2 ③令y 2x1，y x ， 1 2 3 æ 2ö 1 y 1 - y 2 = 2x- 1- ç ç çè - x- 3 ÷ ÷ ÷ø = 3x- 3 ， 1 ∵ x1， 3 8 ∴0£ y - y £ ， 1 2 3 1 2 ∴ x1不是函数y2x1，yx 的“逼近区间”，故③不正确，不符合题意； 3 3 ④令y x5，y 3x2， 1 2 y - y = x- 5- (3x+ 2)= - 2x- 7， 1 2 ∵4x3， ∴- 1£ y - y £ 1， 1 2 ∴4x3是函数yx5，y3x2的“逼近区间”，故④正确，符合题意； 第 8 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 综上：正确的有②④． 故选∶D． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某 个范围内的最大、最小值． 二、填空题 11．已知y＝mxm22m1+1是一次函数，则m＝_____． 【答案】2 【分析】利用一次函数定义可得m2﹣2m+1＝1，且m≠0，进而可得m的值． 【解析】解：由题意得：m2﹣2m+1＝1，且m≠0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的求解，一次函数的定义，系数不为0是本题的易错点． 12．已知一次函数ym4xm2的图像不经过第二象限，则m的范围______． 【答案】4m2##2m4 m40 【分析】由一次函数不经过第二象限，得到 ，求出解集即可得到答案． m20 【解析】解：∵一次函数ym4xm2的图像不经过第二象限， m40 ∴ ， m20 ∴4m2， 故答案为：4m2． 【点睛】此题考查了一次函数的性质：当k 0，b0时，图象过第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k 0，b0时，图象过第一、三、四象限，y随x的增大而增大；当k 0、b0时，图象过一、二、四 象限，y随x的增大而减小；当k 0，b0时，图象过二、三、四象限， y随x的增大而减小． 13．若点A(2，3)，B(4，3)，C(1,a)在同一条直线上，则a的值__________． 【答案】12 【分析】设出函数解析式，转化为求函数值问题计算即可． 【解析】设直线的解析式为ykxb，根据题意，得 2kb3  ， 4kb3 k 3 解得 ， b9 直线解析式为y3x9， 当x=1时， 第 9 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a31912， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式求函数值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14．若点Pa，b在一次函数y3x4的图像上，则代数式16a2b___________． 【答案】9 【分析】将点P坐标代入一次函数解析式可得a与b的关系，进而求解． 【解析】解：将Pa，b代入y3x4，得b3a4， ∴b3a4， ∴16a2b12b3a189， 故答案为：9． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，通过整体思想 求解． 15．若函数ykx27x7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 _____． 7 【答案】k  4 【分析】两种情况：①当k 0时，求出0的解集即可；②当k 0时，得到一次函数y7x7，与x 轴有交点；即可得到答案. 【解析】解：①当k 0时， ∵函数ykx27x7的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程kx27x70有实数根， ∴0， ∴4928k 0， 7 ∴k  ， 4 ∵k 0， 7 ∴k  且k 0， 4 ②当k 0时，得到一次函数y7x7，与x轴有交点； 7 综上，k  ， 4 7 故答案为：k  4 【点睛】本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能 进行分类求出每种情况的k的范围是解此题的关键． 16．函数ykx1的图像过点3,7及点 x,y 和 x,y ，则当x x 时，y ___________y （填“”， 1 1 2 2 1 2 1 2 “”或“”） 第 10 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】 【分析】首先把点3,7代入解析式，即可求得k的值，再根据一次函数的性质，即可解答． 【解析】解：把点3,7代入解析式，得 3k17，解得k 2， 该函数的解析式为：y2x1， k20，  y随x的增大而减小， x x ，  1 2 y  y ， 1 2 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数的性质，熟练掌握和运用一次函数的性质是解决本题 的关键． 3 17．若一次函数图象与直线y x平行，且过点0,2，则此一次函数的解析式是______． 2 3 3 【答案】y x2##y2 x 2 2 3 【分析】设一次函数的解析式是ykxb ，根据两直线平行求出k  ，把点的坐标代入函数解析式， 2 求出b即可． 【解析】解：设一次函数的解析式是ykxb， 3 ∵一次函数图象与直线y x平行， 2 3 ∴k  ， 2 3 即y xb， 2 ∵一次函数的图象过点（0，2）， ∴代入得：2b， 解得：b2， 3 即y x2， 2 3 故答案为：y x2． 2 【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题 的关键． 3 18．在平面直角坐标系中，直线y x6与x轴，y轴分别交于点A，B，在x轴的负半轴上存在点P，使 4 ABP是等腰三角形，则点P的坐标为______．   7  【答案】(18,0)或 ,0  4  【分析】先计算AB的长，分ABPA和AB为底边两种情况求解即可． 第 11 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 【解析】因为直线y x6与x轴，y轴分别交于点A，B， 4 所以A(8,0),B(0,6)， 所以AB= 6282=10； 当ABPA=10时，OPPA+OA=8+1018， 因为点P在x轴的负半轴上， 所以P(18,0)； 当AB为底边时，作AB的垂直平分线PD，交x轴于点P，根据线段垂直平分线的性质，得到PAPB，设 POt，则PAPB=8t，根据勾股定理，得8t2=t262， 7 解得t  ， 4 因为点P在x轴的负半轴上，  7  所以 ,0；  4   7  故答案为：(18,0)或 ,0．  4  【点睛】本题考查了一次函数背景下的等腰三角形存在性问题，熟练掌握够勾股定理，等腰三角形的分类， 线段垂直平分线的性质是解题的关键． 19．当x2时，不论k取任何实数，函数yk(x2)3的值为3，所以直线yk(x2)3一定经过定点 (2,3)；同样，直线y(k2)x4k一定经过的定点为__________． 【答案】4，8 【分析】先将y(k2)x4k化为y(x4)k2x，可得当x4时，不论k取何实数，函数y(x4)k2x 的值为8，即可得到直线y(k2)x4k一定经过的定点为4，8． 【解析】解：根据题意，y(k2)x4k可化为y(x4)k2x， ∴当x4时，不论k取何实数，函数y(x4)k2x的值为8， ∴直线y(k2)x4k一定经过的定点为4，8， 故答案为4，8． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式ykxb． 20．如图，一次函数ykxb的图象与x轴的交点坐标为2,0，则下列说法： 第 12 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ①y随x的增大而减小； ②b0； ③关于x的方程kxb0的解为x2； ④当x3时，y0．其中不正确的是___________．（请你将不正确序号填在横线上） 【答案】①④##④① 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对个小题分析判断即可得解． 【解析】解：由图可知： ①y随x的增大而增大，故错误； ②b0，故正确； ③关于x的方程kxb0的解为x2，故正确； ④当x3时，y0，故错误； 故答案为：①④； 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形 结合是求解的关键． 21．已知，一次函数ym1x32m（m为常数，且m1）．当m变化时，下列结论正确的有__________ （把正确的序号填上）．①当m2时，图像经过一、三、四象限；②当m0时，y随x的增大而减小；③ 2 点2,1肯定在函数图像上；④当m 时，一次函数变为正比例函数． 3 【答案】①③##③① 【分析】根据一次函数的解析式，性质，图像过点的意义等计算判断填空即可． 【解析】当m2时，ym1x32mx1， 所以图像经过一、三、四象限； 所以①正确； 当m1＜0时，y随x的增大而减小； 所以②错误； 当x2时，ym1232m2m232m1， 所以点2,1肯定在函数图像上； 所以③正确； 2 1 2 当m 时，y x 不是正比例函数， 3 3 3 所以④错误． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，增减性，图像过点，熟练掌握图像分布，性质是解题的关键． 第 13 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a b 22．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝ x 的 c c 2 9 一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1， ）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是 ， 2 2 则c的值是_____． 【答案】6 2 【分析】由点P（﹣1， ）在“勾股一次函数”的图象上将P点坐标代入计算可得a，b，c之间的关系 2 1 9 a22abb2  c2，再根据RtABC的面积是 ，可求解ab＝9，再结合勾股定理计算可求解． 2 2 2 【解析】解：∵点P（﹣1， ）在“勾股一次函数”的图象上， 2 2 a b ∴   ， 2 c c 2 即ba c， 2 1 ∴ba2  c2， 2 1 ∴a22abb2  c2， 2 9 ∵RtABC的面积是 ， 2 1 9 ∴ ab ， 2 2 ∴ab＝9， 1 ∴a218b2  c2， 2 ∵a2b2 c2， 1 ∴c218 c2， 2 解得c＝6（舍去负值）， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利用一次函数图象上 点的特征，求解a，b，c之间的关系式解题的关键． 三、解答题 第 14 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 23．如图，已知直线l：ykxb（k 0）过点A2,0，D4,1． (1)求直线l的解析式 (2)若直线yx4与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求 ABC的面积；  ②在直线yx4上是否存在点P，使  ABP的面积是  ABC面积的2倍，如果存在，求出点P的坐标；如 果不存在，请说明理由． 1 【答案】(1)y x1 2 (2)①6；②存在，P4,0或4,8 【分析】（1）将A2,0，D4,1代入ykxb，待定系数法求解析式即可求解；  1 y x1 （2）①根据yx4，令y0求得点B的坐标，联立 2 求得点C的坐标，进而即可求得S ； ABC  yx4 ②设在直线yx4上存在点Pm,m4，使 ABP的面积是 ABC面积的2倍，根据题意列出一元一次   方程，解方程即可求解． 【解析】（1）解：将A2,0，D4,1代入ykxb，得， 2kb0  ， 4kb1  1 k  解得： 2，  b1 1 ∴直线l的解析式为：y x1； 2 （2）①∵直线yx4与x轴交于点B，且与直线l交于点C， 令y0，解得：x4， ∴B0,4, 第 15 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1 y x1  2 ，  yx4 x2 解得： ， y2 ∴C2,2, 1 1 ∴S  AB y  626， ABC 2 C 2 ②设在直线yx4上存在点Pm,m4，使 ABP的面积是 ABC面积的2倍，   1 ∴ AB y 12， 2 P 1 即 6 m4 12， 2 解得：m0或m8， ∴m44或4， ∴P4,0或4,8． 【点睛】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，求两直线围成的三角形面积，数形 结合是解题的关键． 24．已知在平面直角坐标系xOy中（如图），直线y2x2，与x轴、y轴分别交于A、B两点，且点C的 坐标为3,2，连结AC，与y轴交于点D． (1)求线段AB的长度； (2)求点D的坐标； (3)联结BC，求证：ACBABO． 【答案】(1) 5 第 16 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 (2)D(0, ) 2 (3)见解析 【分析】（1）分别求出A、B点坐标，再求AB的长即可；（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，直线 与y轴的交点即为D点；（3）根据B、C点的坐标特点，可判断BC  y 轴，再分别求出tanACB与 tanABO，即可证明． 【解析】（1）如图： 令x0，则y2， B（0，2）， OB2， 令y0，则x1， A（1，0）， OA1， AB 5； （2）设直线AC的解析式为ykxb， kb0  ， 3kb2  1 k    2 解得 ， 1 b  2 1 1 y x ， 2 2 1 令x0，则y ， 2 1 D（0，）； 2 第 17 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （3）证明： B（0，2），C（3，2），  BC  y轴，BC 3， 1 D（0，），  2 3 BD ， 2 BD 1 tanACB  ， BC 2 AO1，BO2，  AO 1 tanABO  ， BO 2 ACBABO． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平面中点的坐标特点，直角 三角形三角函数值的求法是解题的关键． 1 25．如图，在平面直角系中，直线AB：y   x  2分别交x轴、y轴于A、B两点，点C1，0是x轴上 2 的一点，连接BC． (1)求证：△ABO∽△BCO； (2)求tanABC的值； (3)点D在y轴上，且使 ABC与△BCD相似，求点D的坐标．  【答案】(1)见解析 3 (2)tanABC  ； 4 4 1 (3)D点坐标为(0， )或(0，)． 3 2 【分析】（1）分别求出两个三角形的三边，根据三角形的三边对应成比例进行证明即可； （2）过点C作CFAB交于F点，分别求出CF，BF的长，即可求tanABC； （3）先判断出BAC OBC，再分两种情况讨论：当BCDABC时，CD∥AB，根据平行线分线段 1 3 OC 1 4 成比例可求D(0，)；当BDC ABC时，由tanODC    ，可求D(0， )． 2 4 OD OD 3 【解析】（1）证明：令x0，则y2， ∴B(0，2)， 第 18 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 令y0，则x4， ∴A(4，0)， ∴AB2 5，BO2，AO4， ∵点C1，0， ∴BC  5， AB BO AO ∴   2， BC CO BO ∴△ABO∽△BCO； （2）解：过点C作CFAB交于F点， ∵OB2，OA4， ∴AB2 5， 1 ∵sinBAO ， 5 CF 1 ∴  ， CA 5 ∵CA3， 3 ∴CF  ， 5 6 ∴AF  ， 5 4 5 ∴BF  ， 5 3 CF 5 3 ∴tanABC    ； BF 4 5 4 5 （3）解：∵OC 1，BO2， 第 19 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 ∴tanOBC  ， 2 ∵OA4， 1 ∴tanBAO ， 2 ∴BAC OBC， 当BCDABC时，CD∥AB， OD OC OD 1 ∴  ，即  ， OB OA 2 4 1 ∴DO ， 2 1 ∴D(0，)； 2 当BDC ABC时， 3 OC 1 tanODC    ， 4 OD OD 4 ∴OD ， 3 4 ∴D(0， )； 3 4 1 综上所述：D点坐标为(0， )或(0，)． 3 2 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质， 第 20 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 直角三角形的性质是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，点A(3,0)、点B(0,3)，过原点的直线OP交直线AB于点P． 1 (1)当直线OP的解析式为y  x时，求点P的坐标和△BOP的面积； 2 S 1 (2)当 △BOP  时，求直线OP的解析式； S 2 △AOP S (3)当 △BOP n（n为正整数）时，那么直线OP的解析式是 ． S △AOP 【答案】(1)P6,3，S 9； △BOP (2)y2x或y2x； 1 1 (3)y x或y x． n n 1 【分析】（1）求出直线AB的解析式，与y  x联立方程组，即可得出点P的坐标；OB边上的高线为：6， 2 OB3，即可得出△BOP的面积； （2）分为点P在BA上和BA的延长线上，当点P在AB上时，作PCOA于C，作PDOB于D，可推出 PC 2PD，代入y= x+ 3求得；当点P在BA的延长线上时，作PEOA于E，作PF OB于F，求得 PE 2PF，进而求得结果． S S 1 （3）由 △BOP n（n为正整数），得出 △AOP  ，分两种情况作答即可． S S n △AOP △BOP 【解析】（1）解： 第 21 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 设直线AB的解析式为：ykxb， ∵点A(3,0)、点B(0,3)， 3kb0 ∴  b3 k 1 解得： ， b3 ∴直线AB的解析式为：y= x+ 3， 1 ∵直线OP的解析式为y  x， 2 yx3  x6 ∴ 1 ，解得： ，  y x y3  2 ∴点P的坐标为：6,3， ∴△BOP中，OB边上的高线为：6， ∵直线AB的解析式为：y= x+ 3， ∴OB3， 1 ∴S  369 △BOP 2 （2）解：分两种情况： 第 22 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ①设点Pa,b， 当点P在AB上时， 作PCOA于C，作PDOB于D， S 1 ∵ △BOP  ， S 2 △AOP 1 OBPD 2 1 ∴  ， 1 2 OAPC 2 ∵OAOB， PD 1 ∴  ， PC 2 ∴PC 2PD， ∴b2a 又∵ba3， ∴a1，b2， ∴P1，2， ∴直线OP的解析式是：y2x； ②设点Pa,b， 当点P在AB的延长线上时， 作PEOA于E，作PF OB于F， S 1 ∵ △BOP  ， S 2 △AOP 1 OBPF 2 1 ∴  ， 1 2 OAPE 2 ∵OAOB， PF 1 ∴  ， PE 2 第 23 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴PE 2PF， ∴b2a 又∵ba3， ∴a3，b6， ∴P3，6， 1 ∴直线OP的解析式是：y  x； 2 1 综上，直线OP的解析式是：y2x或y  x． 2 S （3）∵ △BOP n（n为正整数）， S △AOP S 1 ∴ △AOP  ， S n △BOP 分两种情况： ①如图，过P作PC⊥OA于C， S 1 ∵ △AOP  ， S n △BOP S 1 ∴ △AOP  ， S n1 △AOB PC 1 ∴  ， OB n1 ∵OB3， 3 ∴PC  ， n1 3 3 3n 把yPC  代入y= x+ 3，得：y 3 ， n1 n1 n1 第 24 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  3n 3  ∴P ， ， n1 n1 1 ∴直线OP的解析式是：y x； n ②如图，过P作PEOA于E， S 1 ∵ △AOP  ， S n △BOP S 1 ∴ △AOP  ， S n1 △AOB PE 1 ∴  ， OB n1 ∵OB3， 3 ∴PC  ， n1 3 3 3 把yPC  代入y= x+ 3，得：y 3 ， n1 n1 n1  3 3  ∴P ， ， n1 n1 1 ∴直线OP的解析式是：y x； n 1 1 综上，直线OP的解析式是：y x或y x． n n 【点睛】本题考查了一次函数及其图象性质，一次函数与二元一次方程组的关系，解决问题的关键是熟练 掌握一次函数等基础知识． 二、一次函数与方程（组）、不等式 一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k≠0 ） 的形式.求方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k≠0)函数值为0时，自变量x的值. 第 25 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一次函数与二元一次方程组的关系： 一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b （k≠0，k，b为常数 ）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个 点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。 由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数， 于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值 相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。 因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解 一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或 ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值 范围。 一、单选题 1．在直角坐标平面内，一次函数yaxb的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A．当x0时，2 y0 B．方程 axb0的解是x2 C．当y2时，x0 D．不等式 axb0的解集是x0 【答案】C 【分析】根据函数的图象直接进行解答即可． 【解析】解：由函数yaxb的图象可知， 当x0时，y2，A选项错误，不符合题意； 方程 axb0的解是x1，B选项错误，不符合题意； 当y2时，x0，故C正确，符合题意； 不等式 axb0的解集是x1，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 2．如图所示，一次函数ykx（b k,b是常数，k 0）与正比例函数ym（x m是常数，m0）的图象相交于 点M1,2，下列判断错误的是（ ） 第 26 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．关于x的方程mxkxb的解是x1 B．关于x的不等式mxkxb的解集是x1 C．当x0时，函数ykxb的值比函数ymx的值大 ymx0 x1 D．关于x,y的方程组  的解是  ykxb y2 【答案】B 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【解析】解：  一次函数ykx（b k,b是常数，k 0）与正比例函数ym（x m是常数，m0）的图象相交于 点M1,2， 关于x的方程mxkxb的解是x1，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式mxkxb的解集是x1，选项B判断错误，符合题意； 当x0时，函数ykxb的值比函数ymx的值大，选项C判断正确，不符合题意； ymx0 x1 关于x,y的方程组 的解是 ，选项D判断正确，不符合题意； ykxb y2 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，知道 方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题的关键． 3．如图，点A的坐标为(1,0)，直线yx2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线yx2上运 动．当线段AB最短时，求点B的坐标（ ） 1 5 1 3 A． ,  B．(1,-1) C． ,  D．0,2 3 3 2 2 【答案】C 【分析】当线段AB最短时，ABBC，判定出 ABC是等腰直角三角形，得出ABCB，作BH  AC于  3 1 点H，根据三线合一的性质和直角三角形斜边的中线的性质，得出AH CH BH  ，进而得出OH  ， 2 2 第 27 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入yx2，即可得出点B的坐标． 【解析】解：当线段AB最短时，ABBC， ∵直线BC为yx2， ∴当x0时，y=2；当y0时，x2， ∴OC OD2， ∴OCDODC 45． ∵ABCD， ∴OAB45， ∴OABOCB45， ∴ ABC是等腰直角三角形，  ∴ABCB． 作BH  AC于点H， 1 1 3 则AH CH BH  AC  12 ， 2 2 2 3 1 ∴OH 2  ， 2 2 1 即点B的横坐标为 ， 2 3 把点B的横坐标代入yx2，可得：y ， 2 1 3 ∴B , ． 2 2 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，正确 作出辅助线是解答本题的关键． 4．已知一次函数y k xb与一次函数y k xb 中，函数y 、y 与自变量x的部分对应值分别如表1、 1 1 1 2 2 2 1 2 表2：则关于x的方程k xb k xb 的解是（ ） 1 1 2 2 表1： x 1 … 4 0 1 … y 1 … 1 3 4 … 第 28 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 表2 x 2 … 4 0 1 … y 2 … 6 2 4 … A． x1 B． x0 C． x4 D． x=1 【答案】A 【分析】根据表格中的数据可知函数y 、y 与都经过点1，4，从而可以得到关于x的方程k xb k xb 1 2 1 1 2 2 的解，本题得以解决． 【解析】解：  一次函数y 1 k 1 xb 1 与一次函数y 2 k 2 xb 2 都经过点1，4， 关于x的方程k xb k xb 的解是：x1， 1 1 2 2 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数 的图象上点的坐标特征． 5．一次函数ymxn与yaxb在同一平面直角坐标系中的图像如图所示．根据图像有下列五个结论：① a0；②n0；③方程mxn0的解是x1；④不等式axb3的解集是x0；⑤不等式 mxnaxb的解集是x2．其中正确的结论个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数图像所经过的象限、一次函数图像与y轴交点的位置以及函数与一元一次不等式的 关系进行一一判断即可． 【解析】解：①由一次函数y=ax+b经过第一、三象限知：a＞0，故结论正确； ②由一次函数y=mx+n与y轴交于负半轴知：n＜0，故结论正确； ③由一次函数y=mx+n与x轴交点坐标为（-1，0）知：方程mx+n=0的解是x=-1，故结论不正确； ④由图像知：不等式ax+b＞3的解集是x＞0，故结论正确； ⑤由函数图像知：不等式mx+n≤ax+b的解集是x≥-2，故结论不正确． 综上所述，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是综合应用一 第 29 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 次函数的图像与性质解题． 6．在平面直角坐标系xOy中，直线ykx3k4(k 0)过定点P，过点A（6，m）作直线AB∥y轴交直线 ykx3k4于点B，连接OB，若BP平分OBA，则k的值是（ ） 4 5 4 3 A． B． C． D． 5 4 3 4 【答案】D 【分析】根据题意证明∠OBH=∠OHB，则OB=OH，即可根据勾股定理得到关于k的方程，解方程即可． 【解析】解：∵过点A（6，m）作直线AB∥y轴交直线y=kx-3k+4于点B， ∴点B（6，3k+4）， 设直线y=kx-3k+4与y轴交于点H，令x=0，则y=-3k+4，即点H（0，-3k+4），如图， ∵BP平分∠OBA， ∴∠ABH=∠OBH， ∵AB∥y， ∴∠ABH=∠OHB， ∴∠OBH=∠OHB， 则OB=OH， 即36+（3k+4）2=（4-3k）2， 3 解得：k  ． 4 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应 用等，表示出B、H的坐标是解题的关键． 二、填空题 7．如图，直线y kxb与直线y x5交于点(1,m)，则不等式y  y 中，x的取值范围是 __． 1 2 2 1 【答案】x1 【分析】观察图象，根据两函数图象的交点即可得出结论． 【解析】解：  直线y 1 kxb与直线y 2 x5交于点(1,m)， 第 30 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 当x1时，不等式y  y ． 2 1 故答案为：x1． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的 关键． axyb0 8．如图，已知y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，根据图象可得关于x、y的二元一次方程组  kxy0 的解是_____． x4 【答案】 y2 【分析】根据两直线交点坐标即可求解． 【解析】解：∵y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P（﹣4，﹣2）， axyb0 x4 ∴方程组 的解是 ．  kxy0 y2 x4 故答案为 ． y2 【点睛】本题考查了两直线交点与方程组的解的关系，理解交点坐标为方程组的解是解题的关键． 9．已知一次函数ymxn（m，n是常数，m0）与ykx（k是常数，k 0）的图象的交点坐标是 mxyn 2，1，则关于x，y的方程组 的解是________． kxy0 x2 y1 【答案】 ## y1 x2 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 【解析】解：∵一次函数ymxn与ykx的图象的交点坐标是2，1， 第 31 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x2 ∴方程组的解为： ， y1 x2 故答案为： ． y1 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的 关系是解决本题的关键． yk xb 10．一次函数y k xb和y k x的图象上一部分点的坐标见表：则方程组 1 的解为x_____， 1 1 2 2 yk x 2 y _____． x  2 1 0 1  y 1  0 3 6 9  y 2  6 3 0 3  【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到x1时，y  y 3，则可判断一次函数y k xb的图象和y k x的图 1 2 1 1 2 2 象的交点坐标为(1,3)，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解析】解：由表中数据得到x1时，y  y 3， 1 2 所以一次函数y k xb的图象和y k x的图象的交点坐标为(1,3)， 1 1 2 2 yk xb 所以方程组 1 的解为x1，y3． yk x 2 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 11．如图，直线y2x4与x轴交于点M，与y轴交于点N，直线l：y3x11与直线MN交于点C，若 直线y2xm与线段MC有交点，则m的取值范围为___________． 第 32 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】8≤m≤4 【分析】解方程组求出交点C的坐标，求出点M的坐标，利用当直线y2xm过点M时，当直线y2xm 过点C时，分别求出m的值即可得到答案． 【解析】解：∵直线y2x4与直线y3x11交于点C， y2x4 x3 ∴ ，解得 ， y3x11 y2 ∴C3,2 令y2x4中y0，解得x2， ∴M2,0 当直线y2xm过点M时，4m0， ∴m4； 当直线y2xm过点C时，6m2， ∴m8， ∴若直线y2xm与线段MC有交点，m的取值范围为8≤m≤4， 故答案为：8≤m≤4． 【点睛】此题考查了求两个一次函数的图象的交点坐标，一次函数图象上点的坐标特点，正确理解题意将 点M，C的坐标代入直线y2xm，求出m的值是解题的关键． 1 12．如图，直线l ：yx1与x轴交于点A，与直线l ：y x2交于点B，点C为x轴上的一点，若 ABC 1 2 2  为直角三角形，则点C的横坐标为________． 【答案】2或5##5或2 【分析】先求得A、B的坐标，然后分两种情况讨论：当ACB90时，C点的横坐标与B的横坐标相同， 求得C2,0；当ABC 90时，根据勾股定理得到x12 212322x232，解得x5，求得 第 33 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) C5,0． 【解析】解：∵直线l ：yx1与x轴交于点A， 1 ∴A1,0，  yx1  x2 由 1 解得 ，  y x2 y3  2 ∴B2,3， 当ACB90时，C点的横坐标与B的横坐标相同， ∴C2,0； 当ABC 90时，则AC2  AB2BC2， 设Cx,0，则AC2 x12，AB2 21232，BC2 2x232， ∴x12 212322x232， 解得x5， ∴C5,0， 综上，点C的横坐标为2或5， 故答案为：2或5． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点，直角三角形的 判定，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键． 三、一次函数的应用 1、数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为 了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的 分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模 型. 2、正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式， 然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 要点：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3、选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大 小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 第 34 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 1．在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体质量的变化而变化．测得一弹簧的长度ycm与所挂的物体的质 量xkg间有下面的关系（弹簧的弹性范围x10kg）； x 0 2 4 6 8 10 y 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（ ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为10cm C．所挂物体质量为5kg，弹簧长度增加了2.5cm D．所挂物体质量为9kg时，弹簧长度增加到12.25cm 【答案】C 【分析】根据表格可得到函数的关系式，再根据关系式即可判断． 【解析】解：由表格知弹簧不挂重物时的长度为10cm，物体质量每增加2kg，弹簧长度 y 增加0.5cm， 1 ∴弹簧的长度ycm与所挂的物体的质量xkg之间函数关系式为y10 x， 4 A、x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故此说法正确； B、弹簧不挂重物时的长度为10cm，故此说法正确； C、所挂物体质量为5kg时，弹簧长度增加了1.25cm，故此说法错误； D、所挂物体质量为9kg时，弹簧长度增加到12.25cm，故此说法正确． 故选C． 【点睛】此题主要考查函数的表示方法，解题的关键是根据表格的关系写出函数的关系式． 2．对于题目“ ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A1，1，B2，1，C1，3．若直线ykx2与  3 ABC有交点，求k的取值范围．”甲的结果是k 3，乙的结果是 k 5，则（ ）  2 第 35 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】先求出直线ykx2过A，B，C三点时k的值，进而可得出结论． 【解析】解：  当直线过A点时，k21，解得k 3； 3 当直线过B点时，2k21，解得k= ； 2 当直线过C点时，k23，解得k 5， 3 k的取值范是k 3或k  ． 2 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数的图象上点的坐标特点，熟知一次函数的 图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 3．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行十二 日，问良马几何日追及之？”意思是：现有良马每天行走240里，驽马每天行走150里，驽马先走12天，问 良马几天可以追上驽马？如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是 ( ) A．20,4800 B．32,4800 C．20,3000 D．32,3000 【答案】A 【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决． 【解析】解：设良马t天追上驽马， 240t 150t12， 解得，t 20， 第 36 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 20天良马行走的路程为240204800(里)， 故点P的坐标为20,4800， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．网语期印，李明同学在老家学习生活，为缓解线上学习疲劳，在某个周末和爸爸进行登山锻炼，登山过 程中，两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图像如图所示(甲为爸爸，乙为李明)，李明提 速后，李明的登山速度是原来速度的2倍，并先到达山顶.根据图象所提供的信息，下列说法情误的是（ ） A．甲登山的速度是每分钟10米 B．乙在A地时距地面的高度b为30米 C．乙登山5.5分钟时追上甲 D．登山时间为5分钟、8分钟、17分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为30米 【答案】C 【分析】根据图像直接可求甲的速度，根据待定系数法找点代入即可得到解析式及b的值，根据交点问题 联立求解即可得到相遇时时间，分别讨论高度差30时的方程即可解得时间． 【解析】解：由题意可得，(300100)2010，故A正确； 设OA 段解析式为ykx，将(1,15)代入即可得到，k 15， 1 1 ∴y15x，将x2代入即可得到：b21530，故B正确； 由上述可得甲的速度为10，乙的速度为15， ∵李明提速后，李明的登山速度是原来速度的2倍， ∴李明后来的登山速度是15230， 结合图像及路程=速度时间可得， 甲的解析式为：y10x100，乙的解析式为：y30x30 (x2)， 当乙追上甲时有：10x10030x30， 解得：x6.5，故C错误； 当10x100(30x30)30时，x5； 当30x30(10x100)30时，x8； 当300(10x100)30时，x17；故D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到相应的等量关系式列方程或方程组求解． 5．因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙 地．已知甲、乙两地的路程是330km，货车行驶时的速度是60km/h．两车离甲地的路程s(km)与时间t(h) 第 37 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 的函数图象如图所示．下列结论：①a1.5 ②轿车追上货车时，轿车离甲地150km ③轿车的速度为 100km/h ④轿车比货车早0.7h时间到达乙地．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据路程等于速度乘以时间及图形可得到货车的解析式，即可得到a的值，从而得到轿车的解析 式即可得到答案． 【解析】解：由题意可得， 货车第一段解析式为s60t ， 当s90 时，60a90， 3 解得a ，故①正确； 2 设货车第三段解析式为sktb，将(2,90)，(3,150)代入得， 2kb90 k 60  ，解得： ， 3kb150 b30 60t(0t1.5)  ∴货车的解析式为s90(1.5t2)  60t30(t 2) 设轿车的为sktb ，将(3,150)，(1.5,0)，代入得， 1 1 1.5k b 0 k 100  1 1 ，解得： 1 ， 3k b 150 b 150 1 1 1 ∴轿车的解析式为：s100t150，故③正确； 由图像得辆车相遇时在150km处，故②正确； 由图像可知轿车先到则有， 轿车到达时间：330100t150 ，解得t 4.8， 货车到达时间：33060t30，t6 64.81.2，故④错误； 故选A． 【点睛】本题考查用一次函数解决行程问题，解题的关键是看懂函数图像求出解析式． 6．已知小林、小慧两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小慧骑自行车，小林骑摩托车，小慧先行1小时 第 38 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 后小林才出发．图中的折线OABCD表示小林、小慧两人之间的距离Skm与时间th的函数关系的图象， 根据图象提供的信息可知，小林骑摩托车的速度为（ ） 80 100 A． km/h B． km/h C．48km/h D．60km/h 3 3 【答案】D 80 80 【解析】由图像可知，小惠骑自行车的速度为： 1 km/h， 3 3 9 9 80 当t  时，小林追上小惠，此时小惠行驶的路程为：  48km， 5 5 3  小林比小惠晚出发1小时， 48 60km 小林的速度为： 9 ． 1 5 故选D． 【点睛】本题考查利用一次函数图象解决实际问题，正确理解函数图象纵坐标表示的意义，准确识图并获 取有用信息是解题的关键． 7．甲乙两车从A城出发匀速驶向B城，在整个行驶过程中，两车离开A城的距离y（km）与甲车行驶的 时间t（h）之间的函数关系如图，则下列结论错误的是（ ） A．A、B两城相距300千米 B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时 C．乙车出发后2.5小时追上甲车 5 5 15 25 D．当甲乙两车相距50千米时，t的值为 或 或 或 6 4 4 6 【答案】C 【分析】观察图象可判断A、B，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式， 可求得两函数图象的交点，可判断C；三种情况讨论：第一种情况：甲乙均在行驶当中，再令两函数解析式 第 39 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 的差为50，可求得t；第二种情况：乙还没有出发时，y 50，第三种情况：乙已到B城，即甲距离B城 甲 还有50km，可判断D，可得出答案． 【解析】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，选项A描述正确，故本项不合题意； 甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，选项B描 述正确，故本项不合题意； 设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y kt， 甲 把5,300代入可求得k 60， ∴y 60t， 甲 设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y mtn， 乙  mn0 把1,0和4,300代入可得 ， 4mn300 m100 解得 ， n100 ∴y 100t100， 乙 令y  y 可得：60t 100t100， 甲 乙 解得t2.5， 即甲、乙两直线的交点横坐标为t2.5， 此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，C项描述错误，故本项符合题意； 第一种情况：甲乙均在行驶当中， 令 y y 50，可得 60t100t100 50， 甲 乙 即10040t 50， 5 当10040t 50时，可解得t  ， 4 15 当10040t 50时，可解得t ， 4 第二种情况：乙还没有出发时，y 50， 甲 y 5 即：t  甲  ， 60 6 第三种情况：乙已到B城，即甲距离B城还有50km， 即：y 60t 30050， 甲 第 40 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 25 解得：t  ， 6 5 5 15 25 综上可知当t的值为 或 或 或 ，故D项描述正确，故本项不符合题意． 6 4 4 6 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数在行程问 题中的应用等知识，准确读懂一次函数图象是解答本题的关键． 2 8 8．如图，已知直线l :y x 与直线l :y2x16相交于点C，直线l ，l 分别交x轴于A，B两点， 1 3 3 2 1 2 矩形DEFG的顶点D，E分别在l ，l 上，顶点F ，G都在x轴上，且点G与点B重合，那么 1 2 S :S （ ） 矩形DEFG ABC A．1:3 B．8:9 C．9:16 D．32:35 【答案】B  2 8 y x 【分析】先分别求出点A、B的坐标，然后联立方程组 3 3 求出点C的坐标，即可求出  ABC的面  y2x16 积，由点B的坐标即可求出点D的坐标，从而可求点E的坐标，即可求出矩形DEFG的面积，最后求出它 们的面积比即可． 2 8 【解析】解：当y0时， x 0，2x160， 3 3 解得x4，x8， ∴A4,0，B8,0 ， ∴AB12，  2 8 y x 联立方程组 3 3 ，  y2x16 x5 解得 ， y6 ∴C5,6， 第 41 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 ∴S  AB y  12636， ABC 2 C 2 ∵点G与点B重合，点G、D的横坐标相同， ∴点G、D的横坐标为8， 2 8 ∴当x8时，y 8 8， 3 3 ∴D8,8， 又点E、D的纵坐标相同， ∴E的纵坐标为8， ∴当y8时，2x168，解得x4， ∴E4,8， ∴DE4，BD8， ∴S BDDE8432， 矩形DEFG ∴S :S 32:368:9． 矩形DEFG ABC 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数交点坐标求法以及图象上点的坐标性质等知识，根据题意分别求出点C、D的 坐标是解决问题的关键． 二、填空题 9．A、B两地相距50千米，小张骑自行车从A地到B地，车速为13千米/小时，骑了t小时后，小张离B 地s千米，那么s关于t的函数解析式是___． 【答案】s5013t 【分析】直接利用总路程行驶路程离B地距离，进而得出关系式． 【解析】解：由题意可得：s5013t． 故答案为：s5013t． 【点睛】此题主要考查了函数关系式，正确理解题意得出等式是解题关键． 10．如图，小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走 的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行13分钟时， 到学校还需步行____________米． 【答案】490 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得当8≤x≤20时，s与t的函数关系式，然后将t＝13代入函数解析 第 42 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 式，求出s的值即可． 【解析】解：当8≤x≤20时，设s与t的函数关系式为s＝kt+b， ∵点（8，960），（20，1800）在该函数图象上，  8kb960 ∴ ， 20kb1800 k 70 解得 ， b400 ∴当8≤x≤20时，s与t的函数关系式为s＝70t+400， 当t＝13时， s＝70×13+400＝1310， 1800﹣1310＝490（米）， 故答案为：490． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 1 11．y x3的图像上有一点P，点P到x轴、y轴的距离相等，则点P的坐标为_________． 2 【答案】（6，6）或（−2，2）##（−2，2）或（6，6） 【分析】代入y＝x或y＝−x，求出x的值，进而可得出点P的坐标． 1 【解析】解：当y＝x时， x＋3＝x， 2 解得：x＝6， ∴点P的坐标为（6，6）； 1 当y＝−x时， x＋3＝−x, 2 解得：x＝−2， ∴点P的坐标为（−2，2）． 综上，点P的坐标为（6，6）或（−2，2）． 故答案为：（6，6）或（−2，2）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx＋ b是解题的关键． 12．已知某汽车油箱中的剩余油量y(升)与汽车行驶里程数x(千米)是一次函数关系．油箱中原有油100升， 行驶60千米后的剩余油量为70升，那么行驶x(千米)后油箱中的剩余油量y=____________（升）． 1 【答案】100 x 2 【分析】根据汽车油箱原有油、行驶距离及剩余油量，可计算出每千米耗油量，用油箱原有减去行驶x千米 耗油量，即可得到剩余油量y． 【解析】∵原有油100升，行驶60千米后的剩余油量为70升 1 ∴每千米耗油量：1007060 （升/千米） 2 1 ∴行驶x(千米)后油箱中的剩余油量为：y100 x（升） 2 第 43 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 故答案为：y100 x． 2 【点睛】本题考查一次函数的知识点，解题的关键是一次函数与实际问题的联系． 13．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现，该纪念册每周的销量y（本）与每 本的售价x（元）之间满足一次函数关系：y2x8020x40．已知某一周该纪念册的售价为每本30 元，那么这一周的盈利是___________元． 【答案】200 【分析】将x30代入y2x80中得到每周的销量，再乘以单件利润即可得到答案； 【解析】解：将x30代入y2x80中得， y2308020（件）， ∴当纪念册的售价为每本30元，这一周的盈利是：203020200（元）； 故答案为：200． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，正确计算是解本题的关键． 1 14．一次函数y＝ x+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B，点C在y轴的正半轴上，BC＝5， 3 如果四边形ABCD是等腰梯形，那么点D的坐标是 __． 【答案】（6，1）或（3，4） 1 1 【分析】将A6,0代入y xb，解得b2，可知一次函数的解析式是：y  x2，求出B,C坐标， 3 3 由四边形ABCD是等腰梯形，可分两种情况求解：①当AD∥BC时，如图，作DE⊥BC于点E，则CE OB2， 1 ADOE5CEOB1，进而可得D的坐标；②当CD∥AB时，直线CD的解析式为y＝ x+3，设D 3 （m， 1 m+3），根据BC  AD5，即6m2   1 m3   2 52，求出满足要求的m的值，进而可得D的坐 3 3  标． 1 【解析】解：将A6,0代入y xb得2b0， 3 解得b2， 1 ∴一次函数的解析式是：y  x2， 3 令x0，则y=2， ∴B0,2； ∵BC5， ∴C0,3， 由四边形ABCD是等腰梯形，可分两种情况求解：①当AD∥BC时，如图，作DE⊥BC于点E， 第 44 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴CE OB2， ∴ADOE5CEOB1， ∴D6,1； ②当CD∥AB时， 1 直线CD的解析式为y＝ x+3， 3 1 设D（m， m+3）， 3 ∵BC  AD5， ∴6m2   1 m3   2 52， 3  解得m3，m6（不合题意，舍去）， ∴D3,4； 综上所述，D点坐标为（6，1）或（3，4）； 故答案为：（6，1）或（3，4）． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，等腰梯形的性质等知识．解题的关键在于数形结合根据等腰梯 形的性质分类讨论． 15．某周末小明到公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为3.5km，小明步行20分钟后，在家的妈妈 发现小明画画的工具没有拿，立即通知小明原地等待，把工具送过去，小明妈妈追上小明把工具交给小明 后立即以原来的速度返回，同时，小明以原来1.2倍的速度前往目的地．如图是小明与小明妈妈距家的路程 （千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）前20分钟小明的速度为 千米/时． （2）图中A点的实际意义是 ． （3）小明妈妈的速度是 千米/时． （4）小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早 分钟． 第 45 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】（1）4.2；（2）小明妈妈追上小明（3）5.6；（4）10 【分析】（1）由图象知，小明前20分钟行驶了1.4千米，从而根据速度=路程÷时间，可求得小明的速度； （2）A点是两个函数图象的交点，根据交点即可知其实际意义； （3）由小明妈妈距家的路程与小明所用时间的函数图象知，小明妈妈从家到追上小明用时15分钟，行驶 了1.4千米，从而根据速度=路程÷时间，可求得小明妈妈的速度； （4）小明原速返回的时间仍为15分钟，小明拿到工具后离目的地的距离为3.5－1.4=2.1（千米），小明的 速度可求得，从而可求得小明到达目的地的时间，两时间之差即可所求结果． 【解析】（1）由图象知，小明前20分钟行驶了1.4千米 1 而20分钟= 小时 3 1 则前20分钟小明的速度为：1.4 4.2（千米/时） 3 故答案为：4.2 （2）A点的实际意义：小明妈妈追上小明 故答案为：小明妈妈追上小明 （3）由图象知，小明妈妈从家到追上小明用时15分钟，行驶了1.4千米 1 而而15分钟= 小时 4 1 则小明妈妈的速度为：1.4 5.6（千米/时） 4 故答案为：5.6 （4）因小明妈妈原速返回，时间仍为15分钟，小明拿到工具后离目的地的距离为3.5－1.4=2.1（千米）， 小明此时的速度为：1.24.25.04（千米/时） 5 则小明拿到工具后到达目的地要行驶的时间为：2.15.04 （小时） 12 5 而 小时=25分钟 12 25-15=10（分钟） 即小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早10分钟 故答案为：10 【点睛】本题考查一次函数的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，关键是数形结合，并灵活运用 所学知识解决问题． 16．点A2,m在一次函数y3x12的图象上，一次函数与x轴相交于点B，B、C两点关于y轴对称．将 ACB沿x轴左右平移到ACB，在平移过程中，将该角绕点C旋转，使它的一边始终经过点A，另一边 第 46 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 与直线AB交于点B．若△ACB为等腰直角三角形，且A90，则点B的坐标为________． 【答案】8,12或4,24 【分析】分别过A、B和C作y轴、x轴的垂线并相交于M、N点，则由题意可得△B'MA≌△ANC'，再由全 等的性质和已知条件可以得到B'坐标． 【解析】解：由题意可得：AB'=AC'，∠B'AC'= 90°， Ⅰ．当B'在A下方时，△BMA≌△ANC， CN  y 6 AM A M8,6 将x8代入y3x12 B8,12 Ⅱ．当B在A上方时， 此时，B与B关于A点对称， ∴B''为[-2×2-(-8)，6×2-（-12）]即（4，24）， 故答案为：8,12或4,24 ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象与性质、直角三角形全等的判定是解题 关键． 三、解答题 第 47 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 17．甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图 所示，根据图象所提供的信息解答问题： (1)分别求出甲、乙在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系及定义域； (2)当x为多少时，甲、乙两人相距最远，并求出最远距离． 【答案】(1)甲在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝ ﹣250x+5000（0≤x≤20）；乙在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为 200x50000x15 y 400x8000(15x20) (2)当x＝15时，甲、乙两人相距最远，最远距离为750米 【分析】（1）观察函数图象，根据图中给出的点的坐标，利用待定系数法即可求出甲、乙在整个过程中距 离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式及定义域； （2）根据图象可得出当x＝15时，甲、乙两人相距最远，解答即可． （1） 设甲在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝k x+b （k ≠0）， 1 1 1 b 5000 将（0，5000），（20，0）代入y＝k x+b 得： 1 ， 1 1 20k b 0 1 1 k 250 解得： 1 ， b 5000 1 ∴甲在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为y＝﹣250x+5000 （0≤x≤20）． 当0≤x≤15时，设乙距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为y＝k x+b （k ≠0）， 2 2 2 b 5000 将（0，5000），（15，2000）代入y＝k x+b 得： 2 ， 2 2 15k b 2000 2 2 k 200 解得： 2 ， b 5000 2 ∴乙距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为y＝﹣200x+5000（0≤x≤15）； 当15＜x≤20时，设乙距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为y＝k x+b （k ≠0）， 3 3 3 第 48 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 15k b 2000 将（15，2000），（20，0）代入y＝k x+b 得： 3 3 ， 3 3 20k b 0 3 3 k 400 解得： 3 ， b 8000 3 ∴乙距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系为y＝﹣400x+8000（15＜x≤20）． ∴乙在整个过程中距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式为 200x50000x15 y ，  400x800015＜x20 （2） 由图可知，当x＝15时，甲、乙两人相距最远， 当x＝15时，y＝﹣250×15+5000＝1250， 2000﹣1250＝750（米）， 即最大距离为750米． ∴当x＝15时，甲、乙两人相距最远，最远距离为750米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出一次 函数解析式；（2）观察函数图象，找出当x=15时两人相距最远． 18．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图（甲）所示，出水 口出水提与时间的关系如图（乙）所示．已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开一个水口， 且该水池的蓄水量与时间的关系如图（丙）所示，根据图像说明： (1)进水口单位时间内进水量是多少？出水口单位时间内出水量是多少？ (2)求0点到3点这段时间水池内水量y与时间x的函数解析式及定义域； (3)试说明3点到4点和4点到6点这个时间段内进出水口的开放情况． 【答案】(1)1（万立方米/时），2（万立方米/时） (2)y2x(0x3) (3)3点到4点时一只进水管进水，一只出水管出水；4点到6点时两只进水管进水，一只出水管出水 【分析】（1）根据图甲，乙可知进水口的进水量，出水口的出水量，由此即可求解； （2）根据图丙，可知0点到3点只有进水管进水，由此即可求解； （3）根据图丙，从3点开始水量下降，到4点时保持不变，从4点到6点时水池水量保持不变，由此即可求 解． 【解析】（1）解：由图甲可知，当时间是1小时时，进水量为1万立方米，从图乙可知，当时间是1小时时， 第 49 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 出水量为2万立方米， ∴进水口单位时间内进水量是1（万立方米/时），出水口单位时间内出水量是2（万立方米/时）． （2）解：0点到3点，则有(0,0)，(3,6)，根据图丙，设水量y与时间x的函数解析式为ykx(k 0)， ∴3k 6，则k 2， ∴水量y与时间x的函数解析式为y2x，定义域为0x3． （3）解：3点到4点，根据图丙得，(3,6)，(4,5)，设直线方程的解析式为yk xb， 1 1 3k b 6 k 1 ∴ 1 1 ，解方程组得， 1 ， 4k b 5 b 9 1 1 1 ∴3点到4点时的直线方程为yx9(3x4)，即一只进水管进水，一只出水管出水； 当时间从4点到6点时，若一只进水管进水，一只出水管出水，则水池的水量y5，从图丙可知，水位恒定 在5万立方米，则两只进水管进水，一只出水管出水． 【点睛】本题主要考查一次函数图形的性质，理解函数图形的性质，对图形上数据分分析，结合实际情况 得出结论是解题的关键． 19．已知直线AB交x轴于点A6,0，交y轴于点B0,8，点C在x负轴上，且AC  AB，点D为线段BO （不与点B、点O重合）上一点，直线l经过点C、D，点P为直线l上一点． (1)连接AD，若S S ，求直线l的解析式； ACD ABD (2)在（1）的条件下，且AD2 DPCD，求点P坐标； (3)是否存在点P使 COP与 ABO相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．   3 【答案】(1)y x3 4 12 24  12 6 (2)P , 或 , ；  5 5   5 5 (3)点P的坐标为0,3或1.44,1.92．. 【分析】（1）过点D作DEAB于点E，由S S ，得到DEDO，证明 ACD ABD Rt△AOD≌Rt△AEDHL，则AE AO6，得到BE4，设ODDEx，则BD8x，在Rt△BDE中， 由勾股定理列方程求出解得x3，进而得到D(0,3)，由待定系数法求出解析式即可；  3  （2）设点P  m, 4 m3  ，由AD2 DP  CD得到方程，求出m的值，即可得到结果； （3）分两种情况，分别由相似三角形的判定和性质得到结果即可． 【解析】（1）解：过点D作DEAB于点 E， 第 50 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵点A6,0，点B0,8， ∴OA6，OB8， ∴AB OA2OB2  6282 10， ∵AB AC， ∴AC 10， ∴C4,0， ∵AB AC，S S ， ACD ABD ∴DEDO， ∵AD AD， ∴Rt△AOD≌Rt△AEDHL， ∴AE AO6， ∴BE ABAE1064， 设ODDEx，则BD8x， 在Rt△BDE中，由勾股定理得到x242 8x2， 解得x3， 即OD3， ∴D(0,3)， 设直线l的解析式为ykxbk 0， 4kb0 则 ，  b3  3 k  解得 4，  b3 3 ∴直线l的解析式为y x3； 4 第 51 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  3  （2）设点Pm, m3，  4  ∵AD2 DP  CD，AD 6232 3 5，CD 3242 5，  2 3  2 ∴ 3 5 5 m2 m3 ， 4  12 解得m ， 5 3 24 3 6 ∴ m3 或 m3 ， 4 5 4 5 12 24  12 6 ∴P , 或 , ；  5 5   5 5 （3）由（1）可知，DEDO， ∴DAC DAB， ∵AD AD，AC  AB， ∴△ACD≌△ABDSAS， ∴ACDABD， 当点P与点D重合时，COPAOB90， ∴△COP∽△BOA， 此时，点P0,3， 过O作OPCD于点P，则OPC AOB90， ∴△COP∽△BAO， PC PO OC ∴   ， OB OA AB PC PO 4 则   ， 8 6 10 解得PC 3.2，PO2.4， 作PH x轴于点H， 第 52 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 ∵S △OPC  2 PC  PO 2 OC  PH， PC PO ∴PH   1.92， OC ∴OH  OP2PH2 1.44， ∴P1.44,1.92， 综上，存在，点P的坐标为0,3或1.44,1.92． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的 关键 一、单选题 1．（2021·上海崇明·统考二模）一次函数y2x1的图像不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图像特点即可得． 【解析】解：在一次函数y2x1中，k 20，b10， 则一次函数y2x1的图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，熟练掌握一次函数的图像特点是解题关键． 2．（2022·上海黄浦·统考二模）下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ） 2 2 A．y x B．yx1 C．y D．yx21 3 x 【答案】B 【分析】根据在一次函数y=kx+b中，k大于0时，y随x增大而增大，k小于0时，y随x增大而减小；在 k 反比例函数y (x>0)中，k大于0时，函数图像在第一象限，y随x增大而减小，k小于0时，函数图像在 x 第三象限，y随x增大而增大；在二次函数y=ax2+h中，a大于0时，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在 对称轴右侧，y随x增大而增大，对每个选项进行判断． 2 2 【解析】A.y x，x系数为 大于0，y随x增大而增大，与题意不符，错误； 3 3 B.y=-x+1，x系数为-1小于0，y随x增大而减小，与题意相符，正确； 2 C.y ，因为-2<0，x>0，函数图像在第三象限，y随x增大而增大，与题意不符，错误； x D.yx21，x2系数为1大于0，对称轴为x轴，当x0时，函数图像在对称轴右侧，y随x增大而增大， 与题意不符，错误； 故选 B． 【点睛】本题考查了函数的图像及性质，熟练掌握各种函数的图像及性质是解题关键． 第 53 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3．（2022·上海闵行·统考二模）在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（ ） ①图像经过点1,1；②图像经过第三象限；③当x0时，y的值随x的值增大而增大 A．yx22 B．yx C．y2x3 D．y 1 x 【答案】A 【分析】根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可． 【解析】A.yx22，当x1时，y1，经过点1,1；图像经过第三、四象限；对称轴为y轴，开口向 下，当x0时，y的值随x的值增大而增大；所以同时具备①②③三个特征,符合题意； B. yx图像经过第二、四象限，故不符合题意； C. y2x3图像经过第一、二、四象限，故不符合题意； 1 D. y ，当x0时，y的值随x的值增大而减小，故不符合题意； x 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解 题的关键． 4．（2022·上海·校联考模拟预测）关于函数y=kx+b（k，b都是不等于0的常数），下列说法，正确的是（ ） A．y与x成正比例 B．y与kx成正比例 C．y与xb成正比例 D．yb与x成正比例 【答案】D 【分析】根据正比例的定义可得结果． 【解析】解：如果两个量成正比例，则它们的比值是定值， 当y=kx+b时，y-b=kx， ∴y-b与x的比值是一个常数k，符合成正比例的定义． ∴yb与x成正比例． 故选：D． 【点睛】本题考查成正比例的定义，准确把握正比例的定义是解题的关键． 5．（2021·上海嘉定·统考二模）如果一次函数ykxb的图像经过第二、三象限，且与y轴的负半轴相交， 那么在下列四个正确的选项是（ ） A．k 0，b0 B．k 0，b0 C．k 0，b0 D．k 0，b0 【答案】A 【分析】由一次函数y=kx+b的图象经过第二、三象限，且与y轴的负半轴相交，可得出一次函数y=kx+b （k≠0）的图象经过第二、三、四象限，再利用一次函数图象与系数的关系，可得出k＜0，b＜0． 【解析】解：依题意可知：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是 解题的关键． 6．（2020·上海嘉定·统考一模）如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三个点都在同一个函数的图像上，那 么这个函数的解析式可能是 ( ) 第 54 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 A．y2x B．y C．yx2 D．y =x2 x 【答案】D 【分析】分析给出的三个点的特点，可知A,B关于y轴对称，所以排除关于原点对称的函数A，B选项， 然后再利用函数的增减性可得出答案. 【解析】∵A(-2，n)，B(2，n) ∴点A与点B关于y轴对称 2 ∵y2x、y 的图像都关于原点对称 x ∴选项A、B错误 ∵由B(2，n)、C(4，n+12)得，在对称轴右侧y随x增大而增大 ∴a＞0 ∴选择D：y =x2 故选D 【点睛】本题主要考查函数的增减性和对称性，掌握函数的图像和性质是解题的关键. 7．（2019·上海·校考三模）已知一次函数y=mx＋n的图象如图所示，则m，n的取值范围是 A．m＞0，n＜0 B．m＞0，n＞0 C．m＜0，n＜0 D．m＜0，n＞0 【答案】D 【分析】先根据一次函数的图象经过二、四象限可知m＜0，再根据函数图象与y轴交于正半轴可知n＞0， 进而可得出结论． 【解析】∵一次函数y=mx+n的图象过二、四象限，∴m＜0． ∵函数图象与y轴交于正半轴，∴n＞0． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，即直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时， 直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直 线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 8．（2018·上海奉贤·统考二模）如果将直线l ：y＝2x﹣2平移后得到直线l ：y＝2x，那么下列平移过程正 1 2 确的是（ ） A．将l 向左平移2个单位 B．将l 向右平移2个单位 1 1 C．将l 向上平移2个单位 D．将l 向下平移2个单位 1 1 【答案】C 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可． 【解析】将函数y＝2x﹣2的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是y＝2x． 故选C． 第 55 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键． 二、填空题 9．（2022·上海崇明·统考二模）当0k 1时，一次函数yk1xk的图像不经过第_____象限． 【答案】三 【分析】根据k-1＜0，k＞0判断即可． 【解析】∵0k 1， ∴k-1＜0， ∴函数图像一定经过第二、第四象限； ∵b=k＞0， ∴图像与y轴交于正半轴， ∴函数图像一定经过第一象限； ∴函数图像一定不经过第三象限； 故答案为：三． 【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，熟练掌握根据k，b判断图像的分布是解题的关键． 10．（2022·上海普陀·统考二模）将直线y2x1沿着y轴向下平移4个单位，所得直线的表达式是 ___________． 【答案】y2x3 【分析】根据一次函数沿着y轴平移的变换规律：上加下减，即可求出直线表达式． 【解析】解：根据题意可得，平移后的直线解析式：y=-2x+1-4=-2x-3， 故答案为：y=-2x-3． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数沿着y轴平移的变换规律“上加下减”是解题的 关键． 11．（2021·上海浦东新·统考模拟预测）如果一次函数的图象平行于直线y＝2x，且与y轴相交于点（0， ﹣5），那么这个一次函数的解析式是_____． 【答案】y＝2x﹣5 【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式即可． 【解析】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝2x， ∴k＝2， ∵与y轴交于点（0，﹣5）， ∴b＝﹣5， ∴此一次函数的解析式为y＝2x﹣5． 故答案为：y＝2x﹣5． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，熟知平行 直线的k相等是解答的关键． 12．（2019·上海徐汇·校联考中考模拟）如果函数ykxb的图像平行于直线y3x1且在y轴上的截距为 2，那么函数ykxb的解析式是__________． 【答案】y3x2 【分析】利用两直线平行得到k的值，利用在y轴上的截距的意义得到b的值，从而可确定函数y=kx+b的 解析式． 第 56 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】∵函数y=kx+b的图象平行于直线y=3x-1且在y轴上的截距为2， ∴k=3，b=2， ∴函数y=kx+b的解析式为y=3x+2． 故答案为y=3x+2． 【点睛】本题考查了两条直线的交点或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次 函数表达式所组成的二元一次方程组的解．若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同． 13．（2022·上海·二模）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了 小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早 到乙地的时间是_____分钟． 【答案】6 【分析】根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程=8代入即 可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【解析】解：由图像可知： 设OA的解析式为：y＝kx， ∵OA经过点（60，5）， 1 ∴5＝60k，得k＝ ， 12 1 ∴OA函数解析式为：y＝ x， 12 1 1 把y＝8代入y＝ x得：8＝ x， 12 12 解得：x＝96， ∴小张到达乙地所用时间为96（分钟）； 设PB的解析式为：y＝mx+n， 10mn0 ∴ ， 60mn5  1 m 解得： 10，  n1 1 ∴PB的解析式为：y＝ x﹣1， 10 第 57 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 1 把y＝8代入y＝ x﹣1得：8＝ x﹣1， 10 10 解得：x＝90， 则小王到达乙地时间为小张出发后90（分钟）， ∴小王比小张早到96﹣90＝6（分钟）． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 14．（2020·上海金山·统考二模）上海市居民用户燃气收费标准如表： 年用气量（立方米） 每立方米价格（元） 第一档0﹣﹣﹣310 3.00 第二档310（含）﹣﹣﹣520（含） 3.30 第三档520以上 4.20 某居民用户用气量在第一档，那么该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是__． 【答案】y＝3x（0≤x＜310） 【分析】根据该居民用户用气量在第一档，利用“总价＝单价×数量．”即可求出该用户每年燃气费y（元） 与年用气量x（立方米）的函数关系式． 【解析】解：根据题意得第一档燃气收费标准为3.00（元/立方米）， ∴该用户每年燃气费y（元）与年用气量x（立方米）的函数关系式是y＝3x（0≤x＜310）． 故答案为：y＝3x（0≤x＜310）． 【点睛】本题考查了根据实际问题的意义求函数关系式，明确等量关系“总价＝单价×数量”是解答本题的关 键，要注意题目要求是在第一档，故要写上自变量的取值范围． 15．（2022·上海·统考模拟预测）平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（0， 3），B（﹣1，0），平行于AB 的直线l交y轴于点C，若直线l上存在点P使得△PAB是等边三角形，点C的坐标为_____． 【答案】（0，﹣ 3）或（0，3 3）． 【分析】分两种情形构建一次函数即可解决问题； 【解析】如图，∵A  0, 3  ，B1,0， ∴OA 3，OB1， ∴tan∠ABO= ， ∴∠ABO=60°， 第 58 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AB=2OB=2， 在x轴正半轴上取一点P（1，0），连接PA，则△APB是等边三角形， ∵直线AB的解析式为y 3x 3， ∴直线PC的解析式为y 3x 3，   ∴C 0, 3 .   作点P关于直线AB的对称点P′ 2, 3 , 过P′平行AB的直线的解析式为y 3x3 3，   ∴可得C 0,3 3 ，     综上所述，满足条件的点C坐标为 0, 3 或 0,3 3 .     故答案为 0, 3 或 0,3 3 . 【点睛】本题考查两直线平行和相交问题，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思 想思考问题，属于中考常考题型． 16．（2020·上海杨浦·统考二模）定义：对于函数y＝f（x），如果当a≤x≤b时，m≤y≤n，且满足n﹣m＝k （b﹣a）（k是常数），那么称此函数为“k级函数”．如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则 ﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3级函数”．如果一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5） 为“k级函数”，那么k的值是_____． 【答案】2 【分析】先根据一次函数的性质求出对应的y的取值范围，再根据k级函数的定义解答即可． 【解析】解：∵一次函数y＝2x﹣1，1≤x≤5， ∴1≤y≤9， ∵一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”， ∴9－1=k（5－1），解得：k＝2； 第 59 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：2． 【点睛】本题是新定义试题，主要考查了对“k级函数”的理解和一次函数的性质，正确理解“k级函数”的概 念、熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 17．（2022·上海松江·统考二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，对于任意两点Px,y 、 1 1 Qx ,y 称 x x  y y 的值为P、Q两点的“直角距离”．直线yx5与坐标轴交于A、B两点，Q 2 2 1 2 1 2 为线段AB上与点A、B不重合的一点，那么O、Q两点的“直角距离”是___________． 【答案】5 【分析】根据“直角距离”的概念，设Qm，m5，判断出Q点横坐标和纵坐标的正负性，计算即得结果； 【解析】解：由题意知O0，0，设Qm，m5， ∴O、Q两点的“直角距离”是： m0  m50  m  m5 ， 将x0代入yx5得，y055，故A0，5； 将y0代入yx5得，0x5，解得：x5，故B5，0； ∵Q为线段AB上与点A、B不重合的一点， ∴m0，m50 ∴ m  m5 mm55 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，掌握题目中的“直角距离”的概念，结合一次函数知识进行解题是关 键． 18．（2022·上海徐汇·统考二模）如图，四个白色全等直角三角形与四个黑色全等三角形按如所示方式摆放 成“风车”型，且黑色三角形的顶点E、F、G、H分别在白色直角三角形的斜边上，已知∠ABO＝90°，OB＝ 3，AB＝4，若点A、E、D在同一直线上，则OE的长为______． 45 8 【答案】 ##1 37 37 【分析】建立平面直角坐标系，得出点A、B、C、D的坐标，利用待定系数法分别求出直线AD，直线OC 的解析式，联立解方程组可得点E的坐标，即可求解． 【解析】解：建立平面直角坐标系如图： 第 60 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵∠ABO=90°，OB=3，AB=4，△ABO≌△CDO， ∴OD=OB=3，CD=AB=4， ∴点A(-4，-3) ，B(0，-3) ，C(3，-4) ，D(3，0)， 设直线AD的解析式为y=kx+b，  3 k= 4k+b=3   7 ∴ ，解得 ，  3k+b=0 b= 9  7 3 9 ∴直线AD的解析式为y x ， 7 7 设直线OC的解析式为y=mx， 把C(3，-4)代入， 4 ∴3m=-4，解得m=- ， 3 4 ∴直线OC的解析式为y=- x， 3  3 9  27 y= x x=    7 7  37 联立 ，解得 ， 4 36  y= x y=  3  37 27 36 ∴E( ， )， 37 37 27 36 45 ∴OE ( )2( )2  ， 37 37 37 45 故答案为： ． 37 【点睛】本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数的解析式，建立平面直角坐标 系是解题的关键． 三、解答题 第 61 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 19．（2022·上海·统考中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的 值． 【答案】(1)y=x+1 5 (2) 5 【解析】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1， 把A（2，3）代入，得3=2k+1， 解得：k=1， ∴这个一次函数的解析式为y=x+1； （2）解：如图， m 设反比例函数解析式为y= ， x m 把A（2，3）代入，得3= ， 2 解得：m=6， 6 ∴反比例函数解析式为y= ， x 6 当x=6时，则y= =1， 6 ∴B（6，1）， ∴AB= (62)2(13)2 2 5， ∵将点B向上平移2个单位得到点C， ∴C（6，3），BC=2， ∵A（2，3），C（6，3）， ∴AC∥x轴， ∵B（6，1），C（6，3）， ∴BC⊥x轴， ∴AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形， 第 62 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BC 2 5 ∴cos∠ABC=   ． AB 2 5 5 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关 键． 20．（2017·上海·中考真题）甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案． 甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示． 乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月 在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元． （1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）； （2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养 护费用较少． 【答案】（1）y=5x+400．（2）乙 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断； 【解析】解：（1）设ykxbk 0， b400 则有 ， 100kb900 k 5 解得 ， b400 ∴y5x400． （2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元， ∵6300＜6400 ∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少． 21．（2022·上海·上海市进才中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点A(-1，0) 、B(3，0) 、 C(2，3)三点，且与y轴交于点D． 第 63 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴； (2)分别联结AD、DC、CB，直线 y = 4x + m 与线段DC交于点E，当此直线将四边形 ABCD 的面积平分时， 求m的值； (3)设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、F、B、C为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满 足条件的点的坐标． 【答案】(1)y=-x2+2x+3，x=1 (2)m=-2.5 (3)点F的坐标为（1，3）或（1，-2）或（1，-6） b 【分析】（1）根据题意设交点式y=a（x+1）（x-3），再代入C(2， 3)，求出解析式，根据直线x=- ，即可 2a 求出对称轴； （2）分别求出直线与线段CD和x轴的交点坐标E和G，再求出四边形ABCD的面积和四边形BCEG的面 积，再根据题意求解即可； （3）根据梯形的性质，分情况讨论：①CF∥AB；②BF∥AC；③AF∥BC，进行讨论求点坐标． （1） 解：∵抛物线过点 A(-1，0) 、B(3，0) ∴设抛物线交点式y=a（x+1）（x-3） 将C(2， 3)代入得a（2+1）×（2-3）=3，解得a=-1 b ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，对称轴为x=- =1 2a （2） 解：当x=0时，y=3 ∴点D为（0，3） ∵点C为(2，3) ∴CD∥x轴 第 64 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵直线 y = 4x + m 与线段 DC 交于点 E ∴E点的纵坐标为3 3m ∴E点的坐标为（ ，3） 4 令直线 y = 4x + m 与x轴交于点G ∴G点的纵坐标为0 m ∴G点的坐标为（ ，0） 4 1 1 ∵S ABCD= （CD+AB）×OD= （2+4）×3=9 四边形 2 2 1 1 3m m 516m S CEGB= （CE+GB）×OD= （2- +3+ ）×3= 四边形 2 2 4 4 8 又直线将四边形 ABCD 的面积平分 516m ∴ ×2=9 8 解得m=-2.5 （3） 解：分情况讨论 ①当CF∥AB时 F在线段CD上 ∴点F的坐标为（1，3） 第 65 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ②当BF∥AC时 设直线AC的解析式为y=kx+b kb0 k 1 则 解得 2kb3 b1 ∴直线AC的解析式为y=x+1 ∵BF∥AC ∴设BF的解析式为y=x+a 将点B（3，0）代入3+a=0解得a=-3 ∴BF的解析式为y=x-3 当x=1时，y=1-3=-2 ∴点F的坐标为（1，-2） ③当AF∥BC时 设直线BC的解析式为y=kx+b 第 66 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3kb0 k 3 则 解得 2kb3  b9 ∴直线BC的解析式为y=-3x+9 ∵AF∥BC ∴设AF的解析式为y=-3x+a 将点A（-1，0）代入3+a=0解得a=-3 ∴AF的解析式为y=-3x-3 当x=1时，y=-3-3=-6 ∴点F的坐标为（1，-6） 综上可知，点F的坐标为（1，3）或（1，-2）或（1，-6） 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，梯形的判定和性质，梯形的面积求解，一次函数的性质 等知识，最后一问是分类讨论的思想，注意不重不漏. 第 67 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 68 页 共 68 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司