专题08二次函数中的角度问题（4大题型）40题专练（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 08 二次函数中的角度问题（4 大题型）40 题专练 通用的解题思路： 1、角的数量关系处理的一般方法如下： （1）证等角：常运用等腰三角形两底角相等，等角的余角相等，等角的补角相等、全等三角形 和相似三角形的对应角相等及两角的锐角三角函数值相等，等等； （2）证二倍角：常构造辅助圆，利用圆周角定理； （3）证和差角：常旋转、翻折、平移构造角． 2.特殊角问题处理的一般方法如下： （1）运用三角函数值； （2）遇 45°构造等腰直角三角形； （3）遇 30°，60°构造等边三角形； （4）遇 90°构造直角三角形． 题型一：角相等问题 对于二次函数中的角相等问题，首选方法是利用等角的三角比解决问题（利用一线三等角模型或者拆分特 殊角来发现等角），其次选择利用相似三角形中的比例线段解决问题。 二次函数中的角相等问题比较灵活，在遇到具体问题时具体分析，合理构造等角，解决问题。 1．（2024·山西太原·三模）综合与探究 如图1，经过原点O的抛物线y2x28x与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已 知点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点． (1)求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式． (2)如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线OM 交直线l于点C，设点M的横坐标为m，MC 求 的最大值． OC (3)如图3，连接OB，抛物线上是否存在一点M，使得MOABAO，若存在，请直接写出点M的坐标； 若不存在，请说明理由． 2．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=x22x3与x轴交于点A和 点B，与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出A、B、D三点坐标． (2)如图1，点M 是第四象限内抛物线上的一点，过点M 作x轴的垂线，交直线BC于点N ，求线段MN长 度的最大值； (3)如图2，若点P在抛物线上且满足PCBCBD，求点P的坐标；3．（23-24九年级下·湖南永州·开学考试）综合与探究． 2 4 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y x2 x2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的 3 3 左侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)若点P是x轴上一点，当  BCP为等腰三角形时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点Q使QCBABC？若存在，请求出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．4．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线yax2bx3经过点A(1,0)、 B(2,3)两点，与y轴的交点为C点，对称轴为直线l． (1)求此抛物线的表达式； (2)已知以点C为圆心，半径为CB的圆记作圆C，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆C外切，试判 断对称轴直线l与圆A的位置关系，请说明理由； (3)已知点D在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果BDC BAC，请求出点D的坐标．5．（2023·海南·模拟预测）如图1，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴 交于点C(0,3)．直线yx1与抛物线交于A，D两点．点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标； (2)当点P的坐标为(1,4)时，求四边形PCAD的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使BAPCAD？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点M 、N 是对称轴上的两个动点，且MN 1，点M 在点N 的上方，求四边形ACMN的周长的 最小值．5 6．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线x 对称，且经过点A(0,3) 2 和点B(3,0)，横坐标为4的点C在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结AB、BC、AC，求tanBAC的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且PAC 45，过点P作PQ y轴，垂足为Q，请说明APQBAC， 并求点P的坐标． 1 7．（2024·广西·一模）如图，已知抛物线y x2bxc交x轴于A3,0，B4,0两点，交y轴于点C，P 3 是抛物线上一点，连接AC、BC． (1)求抛物线的解析式； (2)连接OP，BP，若S 2S ，求点P的坐标； △BOP △AOC (3)若PBAACO，直接写出点P的坐标．8．（2024·山东济南·一模）如图，二次函数 yx²2mx2m1(m0). 的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点 E，与x轴交于点 F． 连接AC、BD． (1)若 m1,， 求B 点和C 点坐标； (2)若 ACOCBD,求m的值； (3)若在第一象限内二次函数 yx²2mx2m1(m0)的图象上，始终存在一点P，使得 ACP75.请 结合函数的图象，直接写出m的范围． 9．（2024·广东·一模）综合应用．2 4 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y x2 x2的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 3 3 的左侧），与y轴交于点C，连接BC． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使PCBABC？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由； (3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M 始终位于x轴上方，作直线AM ，BM ，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，DEDF的值是否为 定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A、B、C三点，已知A1,0，B3,0，C0,3． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上任意一点，若PBC ACO，求点P的坐标； (3)点M 是抛物线上任意一点，若以M 、B、C为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M 的坐标． 题型二：二倍角关系问题 对于平面直角坐标系中的二倍角问题，往往将其转化成等角问题。对于等角问题，往往有以下解决路径： 等角的构造方法 （1）将等角转化在一个三角形中，利用等腰三角形两边相等，借助距离公式解决； （2）用等角的三角比相等，构造直角三角形，寻找比例关系；； （3）利用角的和差关系，寻找等角，而等角存在两个相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例线段构 建数量关系； （4）利用角平分线的相关性质定理。 二倍角的构造方法  2 如图，已知 ，我们可以利用等腰三角形和外角定理去构造 ，在 BC 边上找一点 D，使得 BD=AD，则ADC2. 这样我们就构造出了二倍角，接下来利用三角函数（一般用正切）计算就可以了 1．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2(a0)与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是(4,0)，点B的坐标是(1,0)，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限， 过点P作PDx轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E (1)求该抛物线的解析式； (2)连接OP，是否存在点P，使得OPD2CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理 由． 2．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2a0与x轴分别交于A，B 两点，点A的坐标是4,0，点B的坐标是1,0，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象 限，过点P作PDx轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接OP，是否存在点P，使得OPD2CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理 由．2 3．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数y  x2bxc 的图像与y轴交于点A，且经过点B(4, 2) 2 和点C(1, 2)． (1)请直接写出b，c的值； 2 (2)直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y  x2bxc 图像上位于直线AB下方的动点，过点E作直 2 线AB的垂线，垂足为F ． ①求EF的最大值； ②若△AEF 中有一个内角是ABC的两倍，求点E的横坐标． 4．（2024·西藏·二模）已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A1,0和点B，对称轴为直线x1，抛物 线与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），P是抛物线第一象限内的任一点，过点P作PDx轴于D，直线BC与PD交于点E，当△CEP 是以PE为底的等腰三角形时，求P点的坐标； (3)如图（乙），若点M是抛物线上任意一点，且满足MAB2ACO，求M的坐标．题型三：两角和与差问题 1．（2024·山西临汾·一模）综合与探究 1 如图，抛物线y x2 bxc的图像与x轴交于A,B4,0两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 2 C0,2，作直线BC． (1)求抛物线表达式及BC所在直线的函数表达式； (2)若点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，求 PBC面积的最大值及此时点P的坐标；  (3)若点M是抛物线上的点，且OBCOBM 45，请直接写出点M的坐标．1 2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，平面直角坐标系中，抛物线y x22与x轴交于A、B两点，与y 2 轴交于点C； (1)如图1，求AB的长度． (2)如图2，点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，取AD上一点F ，以AF为底向下作等腰Rt△AGF， 设D点横坐标为t，试用含t的代数式表示tanOAG的值为______（直接填空）． (3)如图3，在（2）的条件下，点P为第一象限抛物线上一点，连接OP交BF于点Q，连接CQ、GQ，CQGQ 且CQGQ，连接并延长CF与GO交于点H，当ttan180CHG时，求P点横坐标．3．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线yx2bxc 的顶点坐标为C3,4，与x轴分别交于点A，B．连接AC，点D是线段AC上方抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在点D运动过程中，连接AD、CD，求△ADC面积的最大值； (3)如图2，在点D运动过程中，连接OD交AC于点E，点F在线段OA上，连接OC、DF、EF，若 ACOFDODFE，求点F横坐标的最大值．1 4．（2024·山东泰安·一模）如图，抛物线y x2 bxc的图象与x轴交于A，B4,0两点（点A在点B 2 的左侧），与y轴交于点C0,2，作直线BC． (1)求抛物线表达式及BC所在直线的函数表达式； (2)若点M 是抛物线上在第三象限的一个点，且OBCOBM 45，求出点M 的坐标； (3)若点P是抛物线上的一个动点，连接PB，PC，当  PBC面积是△OBC面积的一半时，请直接写出P点 的横坐标．2 2 5．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，抛物线y x2 x4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第 3 3 一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)A，B，C三点的坐标为____________，____________，____________； (2)连接AP，交线段BC于点D， PD ①当CP与x轴平行时，求 的值； DA PD ②当CP与x轴不平行时，求 的最大值； DA (3)连接CP，是否存在点P，使得BCO2PCB90，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．6．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线yax2bx1a0与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交 于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l x轴，过点D作DECD，交直线l于点E． (1)求抛物线的解析式； BQ 5 (2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当  时．求点P的坐标； PQ 7 (3)在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F ，使得DEF ACDBED？若存在，请直 接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc与x轴交于两点 A3,0,B4,0，与y轴交于点C0,4 ． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点Px,y ，其中y 0，若CAOABP90，求x 的值； 0 0 0 0 (3)若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE2CD，求CE2BD的最小值．8．（23-24九年级下·重庆北碚·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc与x轴交于 点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,2)，点E(1,1)是抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接BC，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PDBC交直线BC于点D，求 13PD 的最大值及此时点P的坐标； (3)连接CE，过点A作AF CE，交CE于点F，将原抛物线沿射线AF方向平移 2个单位长度得到新抛物 线y，点Q为新抛物线y上一点，直线CQ与射线AF交于点G，连接GE．当CAECGE180时，直 接写出所有符合条件的点Q的横坐标．9．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2ax2交x轴的负 半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，交y轴于点C,OAOC． (1)a______________； (2)如图1，点D在第二象限的抛物线上，连接BD交y轴于点E，设点D的横坐标为m，线段DE的长为d， 请直接写出d与m的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，点F 在第四象限的抛物线上，点G在第一象限的抛物线上，连接 AD,AE,BF,DF,DG,FG,DF交y轴于点H，若ABDBFGDGF,AD AE,BFFH DH ，求点G的坐标并直接写出直线FG的解析式．1 10．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，抛物线y x2bx10分别交x轴于点A和B（A在B左侧），交 3 1 189 y轴于点C，直线y x9交x轴于点E，交y轴于点D，连接AD，VADE的面积是 ． 2 2 (1)如图1，求b的值； (2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接AP和BP， ABP的面积为S，求S与t  之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，S 65，直线AP和直线DE相交于点F ，G为AP延长线上一点，连接GE， AEDDEG，点M 为GE上一点，连接FM、FN ，MN FM 交x轴于点N ，BN NE，且GM  NE， 在y轴负半轴上一点H，使MFNFEH 90，若求点H的坐标．题型四：特殊角问题 1．（2024·安徽芜湖·二模）如图1，抛物线yx12 c与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点 B在原点的右侧），且OB3．在x轴上有一动点Em,00m3，过点E作直线l x轴，交抛物线于 点M ． (1)求点A的坐标及抛物线的解析式； (2)如图2，连接AM ，若MAB60，求此时点E的坐标； (3)如图3，连接BM 并延长交y轴于点N ，连接OM ，记△AEM 的面积为S ,△MON的面积为S ，若 1 2 S =S ，求此时点E的坐标． 1 22．（2024·广东东莞·一模）如图，抛物线yx22x3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，连接AC， BC． (1)求 ABC的面积；  (2)点M 为y轴上一点，是否存在点M ，使得 MBC与 ABC相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存   在，请说明理由； (3)点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得△PAC中有一个角是45，请直接写出点P的坐 标． 1 1 3．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线y x2 mxc与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 4 2 与y轴交于点C0,3，顶点D的坐标是4,1． (1)求该抛物线的解析式； (2)经过0,2的直线l∥x轴，过点B作BH l于点H． ①求证：A，D，H三点共线； ②M是抛物线上一点，且MAH 45，求点M的坐标．4．（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与直线l:ykxm交于 A1，1，B两点，与y轴交于C0，5，直线l与y轴交于点D． (1)求抛物线的函数表达式： AF 3 (2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，若  ，求直线l的解析式： FB 4 (3)若在x轴上存在一点P，使APB90，且APBP，直接写出k的值．5．（2024·河北邯郸·一模）【建立模型】（1）如图1，点B是线段CD上的一点，ACBC，ABBE， EDBD，垂足分别为C，B，D，ABBE．求证： ACB≌ BDE；   【类比迁移】（2）如图2，一次函数y3x3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B 逆时针旋转90得到BC、直线AC交x轴于点D． ①点C的坐标为______； ②求直线AC的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3，抛物线yx23x4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 1 于点C，已知点Q0,1，连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tanMBQ ，若存在，直接写出点M 3 的横坐标．6．（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线yx22n1x3n1交x轴于点A1，0和点B，交y轴于点 C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，已知点P是位于BC上方的抛物线上的一点，作PM BC，垂足为M，求线段PM 长度的最大 值； (3)如图2，已知点Q是第四象限抛物线上一点，ACQ45，求点Q的坐标．4 7．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y x2bx4与x轴交于A(3,0)，B两点，与y轴交于 3 点C． (1)求抛物线解析式及B，C两点坐标； (2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得ACE45，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理 由．8．（2024·山西大同·一模）综合与探究 1 如图，抛物线y x22x6与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线BC． 2 (1)求点B的坐标及直线BC的表达式； DE 5 (2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD交BC于点E，若  ，求点D的坐标； OE 12 (3)抛物线上是否存在点F．使得BCF 15?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2024·山东济南·一模）如图，抛物线yax2bx 3（a0）与x轴交于点A1,0和点B，与y轴 交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D1,0，过点B作直线l x轴，过点D作DECD，交直线l于点 E． (1)求抛物线的解析式； BQ 1 (2)点P为第四象限内抛物线上的点，直线BP与DE交于点Q，当  时，求点P的坐标； PQ 2 (3)坐标轴上是否存在点F，使得DEF 75，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024·山东济南·一模）如图，二次函数 yx²2mx2m1(m0). 的图象与x轴交于A、B两点（点 A 在点B的左侧），与y轴交于点 C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点 E，与x轴交于点 F． 连接 AC、BD． (1)若 m1,， 求B 点和C 点坐标； (2)若 ACOCBD,求m的值； (3)若在第一象限内二次函数 yx²2mx2m1(m0)的图象上，始终存在一点P，使得 ACP75.请 结合函数的图象，直接写出m的范围．11．（2024·山东枣庄·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2与x轴交于两点  1   7 A ,0，B（点A在B左边），交y轴于C，点P3, 是抛物线上一点．  2   2 (1)求抛物线的关系式； (2)在对称轴上找一点M，使MAMC的值最小，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使QCP45？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理 由．12．（2024·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于点A1,0，B 与y轴交于点C0,3，对称轴为x1，点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2mm0，连接 BC，CP，CQ，PQ，BQ． (1)求此抛物线的解析式； (2)当CPQ90时，求m的值，并直接写出△BCQ的面积； (3)设此抛物线在点C与点P之间部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h ，在点C与 1 点Q之间部分（包括点C和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h ．当h h m时，直接写出m的 2 2 1 值．13．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线yax2bx4与x轴相交于点A(1,0)，B4,0，与y轴相交 于点C． (1)求抛物线的表达式； PA (2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求 的值； PC 1 (3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tanQDB ？若存在，求出点Q的坐标； 2 若不存在，请说明理由．1 14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，抛物线y x2bx交x轴正半轴于点A，过顶点C作CDx轴于 2 点D,OACD． (1)求抛物线的解析式； (2)若2x6时，则函数y的取值范围是______； (3)点P为CD右侧第一象限抛物线上一点，过点P作PH x轴于点H，点Q为y轴正半轴上一点，连接 2 AQ、HQ，tanOHQ ，PQ延长线交x轴于点B，点N 在y轴负半轴上，连接BN 、AN，若BQA135， 3 ANB45求直线AN的解析式．15．（2024·广东广州·一模）已知二次函数yax22axc图象与x轴交于点A和点B3,0，与y轴交于 点C0,3． (1)求点A的坐标； (2)若点D是直线BC上方的抛物线上的一点，过点D作DE∥y轴交射线AC于点E，过点D作DF  BC 于点F，求3 2DFDE的最大值及此时点D坐标； (3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足PBQ90，试求 点D到直线PQ的最大距离．1 16．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y  x2  bx  c交x轴 4 于点A2，0，B7，0，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； 3 (2)如图1，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N，MQ  BC求MN  BQ的最大值； 2 (3)如图2，在y轴上取一点G(0,7)，抛物线沿BG方向平移2 2个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点 E，F ，交y轴于点D，点P在线段FD上运动，线段OF 关于线段OP的对称线段OF所在直线交新抛物线 于点H，直线FP与直线BG所成夹角为45，直接写出点H的横坐标．