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专题 08 解答题第 22 题(统计、方程、一次函数、解直角三角
形应用)（16 区）
1．（2023·上海松江·统考二模）某校对六年级学生进行了一次安全知识测试，按成绩x分（x为整数）评
定为A、B、C、D四个等级，其中A等级： ，B等级： ，C 等级： ，D 等
级： ． 从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）．
等
频数（人数 ） 频率
级
请根据所给信息，回答下列问题：
(1)扇形图中， 等级所在扇形的圆心角为 ；
(2)此次测试成绩的中位数处在等级 中；（填 ， 、 、 ）
(3)该校决定对 等级的学生进行安全再教育，已知 是 的 倍，那么该校六年级 名学生中，需接受安
全再教育的约有多少人？
【答案】(1)
(2)
(3) 人
【分析】（1）用 乘以 即可求解；（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据题意求得 ，然后根据样本估计总体即可求解．
【详解】（1）解：扇形图中， 等级所在扇形的圆心角为
故答案为： ．
（2） 等级的人数为 人， 等级的人数为 人，频率为 ，
等级的频率为 ，
中位数在 等级，
故答案为： ．
（3）解：总人数为 人
∵ 是 的5倍，
∴ （人）
∴
∴该校六年级 名学生中，需接受安全再教育的约有 人．
【点睛】本题考查了频数分布表，中位数的定义，样本估计总体，熟练掌握频数与频率的关系是解题的关
键．
2．（2023·上海·杨浦二模）如图，某水渠的横断面是以 为直径的半圆O，其中水面截线 ，小
明在A处测得点B处小树的顶端C的仰角为 ，已知小树的高为 米．
(1)求直径 的长；
(2)如果要使最大水深为2.8米，那么此时水面的宽度 约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：
， ）
【答案】(1)7米
(2)6.7米【分析】（1）由题意知 ，根据 ，求 的值即可；
（2）如图，过点O作 于D，并延长 交 于H，连接 ，则 米，
米， 米，在 中，由勾股定理求 的值，根据 ，
计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
答：直径 的长为7米；
（2）解：如图，过点O作 于D，并延长 交 于H，连接 ，
∴ 米，
∵ 的直径为7米，
∴ 米
∴ 米，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
答：水面的宽度 约为6.7米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌
握与灵活运用．
3．（2023·上海浦东新·统考二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基
数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：
分档 户年用水量（立方米） 自来水单价（元/立方米） 污水处理单价（元/立方米）
第一阶
0~220（含220） 2.25
梯
1.8
第二阶 220~300（含300） 4梯
第三阶
300以上 6.99
梯
注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价）
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：
(1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？
(2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段 ）的
表达式；
(3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？
【答案】(1)她家全年应缴纳水费891元
(2)
(3)他家全年用水量是270立方米
【分析】（1）根据题意列出算式计算即可；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）根据缴纳的水费1181元得出用水量在第二阶梯范围内，然后将 代入（2）中求出的函数解析
式进行解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得： （元），
答：她家全年应缴纳水费891元．
（2）解：设线段 的表达式为 ，把 ， 代入得：
，解得： ，
∴线段 的表达式为 ．
（3）解：∵ ，
∴小明家全年用水量处于第二阶梯，
把 代入 得： ，
解得： ，
答：他家全年用水量是270立方米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法，数形结合．
4．（2023·上海金山·统考二模）空气质量指数（Air Quality Index，缩写AQI）是定量描述空气状况的非线
性无量纲指数．其数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重，对人体的健康危害也就越大，
适用于表示某地区的短期空气质量状况和变化趋势．（空气污染指数为0~50是优；空气污染指数为
50~100是良好；空气污染指数为100~150是轻度污染；空气污染指数为150~200是中度污染；空气污染指
数为200~250是重度污染．）
如图表示的是某地区2022年11月份30天日均AQI指数的频率分布直方图．
空气质量指数（AQI） 0~50 50~100 100~150 150~200 200~250
天数 3 3 3
频率 0.1 0.1 0.1
（注：每组数据可含最高值，不含最低值）(1)请你根据上述频率分布直方图及表格完成下面的填空：
这个地区11月份空气为轻度污染的天数是________天． ________； ________； ________；
________．
(2)为了进一步改善生活环境和空气质量，提高人民的生活质量，当地政府计划从2023年开始增加绿化面
积．已知2022年底该地区的绿化面积为20万亩，如果到2024年底，该地区的绿化面积比为2022年的绿
化面积增加了50%，假设这两年绿化面积的年增长率相同，求这两年中绿化面积每年的增长率（精确到
0.01）（参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1)3，12，9，0.4，0.3
(2)
【分析】（1）根据样本容量=天数÷频率，求得样本容量，根据 计算出良好的频率，后运用公
式依次计算即可．
（2）设平均增长率为x，根据题意得 计算即可．
【详解】（1）根据题意，得轻度污染天数为3天，样本容量为： ，
∵ ，∴良好天气的频率为 ，
∴优秀天气的频率为 ，
∴ ，
∴优秀天气的频率为 ，
故答案为：3，12，9，0.4，0.3．
（2）设平均增长率为x，根据题意得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ 或 （舍去）
故这两年中绿化面积每年的增长率为 ．
【点睛】本题考查了频数分布表，一元二次方程的增长率问题，熟练掌握频数分布表，增长率问题是解题
的关键．
5．（2023·上海嘉定·统考二模）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，
列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．
(1)如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；
(2)如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时
140千米．问列车提速后速度是否符合规定?请说明理由．
【答案】(1)
(2)符合规定，理由见解析
【分析】（1）根据时间=路程÷速度即可求出答案；
（2）根据题意列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：提速前从A城到B城的所用时间为： （小时），
提速后的速度为100千米/小时，
∴提速后从A城到B城的所用时间为： （小时），
∴提速后从A城到B城的行驶时间减少 （小时）；
（2）解：设列车提速前速度是每小时x千米，
则解得： (舍去）， ，
∴提速后的速度为 ，符合规定.
【点睛】本题考查了分式方程应用题，运用路程=速度乘以时间解决问题．
6．（2023·上海宝山·统考二模）“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示
意图，由“盒身”矩形 和“房顶”等腰三角形 组成．已知 厘米， 厘米，
厘米．
(1)求“房顶”点A到盒底边 的距离；
(2)现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段 的长度（即线段 与 的和）及矩形
的面积均不改变，且 ， ，求新造型“盒身”的高度（即线段 的长）．
【答案】(1)点A到盒底边 的距离为 厘米；
(2)新造型“盒身”的高度为 厘米．
【分析】（1）构造直角三角形，利用勾股定理求得 的长，进一步计算即可求解；
（2）利用（1）的结论，结合角和的正弦、余弦，建立方程即可求解．
【详解】（1）解：如图，作 垂足为F，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，∵四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴点A到盒底边 的距离为 厘米；
（2）解：如图，作 垂足为F，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
解得 或3，
当 时， ，不合题意，舍去；
∴ ，即新造型“盒身”的高度为 厘米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
7．（2023·上海崇明·统考二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，
计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x
（瓶）之间的函数关系如图所示．(1)求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比
乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．
【答案】(1)
(2)选购的甲、乙消毒剂的数量分别为30瓶，60瓶
【分析】（1）设出函数解析式，根据图象，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，根据两种消毒剂的数量关系，列出分
式方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为 ，
由图象可知，图象过点 ，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）解：设乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，由题意，得：
，
整理，得：
解得： （负值已舍掉），
经检验， 是原方程的解，∴乙种消毒剂的单价为 元，甲种消毒剂的单价为 元，
∴甲消毒剂的数量为 瓶，乙消毒剂的数量为 瓶．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，列出分
式方程．
8．（2023·上海静安·统考二模）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距
900米，小明家与超市相距1200米．小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在
公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用
品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟．如图反映了这个过程中小明离
开家的距离 （米）与离开家的时间 （分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：
(1)小明从家到街心公园的速度为______（米/分）；
(2)小明从街心公园到超市的速度为______（米/分）；
(3)小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离 （米）与离开家的时间 （分钟）的函数解析式，并写
出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题图信息即可求解；
（2）根据题图信息即可求解；
（3）由题可知，妈妈回家所用时间为 ；妈妈比小明早到家10分钟，小明骑自行车返回家的时间为：
；小明到家时途中所对应的坐标为； ；将相关点代入函数解析式中即可求解；
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ；
（3）由题可知，妈妈回家所用时间为 ；妈妈比小明早到家10分钟，
∴小明骑自行车返回家的时间为： ；
∴小明到家时途中所对应的坐标为； ；
设小明从超市骑车返回家时，他离开家的距离 （米）与离开家的时间 （分钟）的函数解析式为
将 、 代入 得， ；
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题图信息得到相关点的坐标是解本题的关键．
9．（2023·上海·闵行二模）如图，在修建公路 时，需要挖掘一段隧道 ，已知点A、B、C、D在同
一直线上， ， ， 米；
(1)求隧道两端B、C之间的距离（精确到个位）；
（参考数据： ， ， ）．
(2)原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B、C两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了
20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？【答案】(1)1200米
(2)原计划单向开挖每天挖100米
【分析】（1）由题意易得 ，然后根据三角函数可进行求解；
（2）设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得方程 ，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ， 米，
∴ 米；
答：隧道两端B、C之间的距离为1200米．
（2）解：设原计划单向开挖每天挖x米，根据题意可得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解且满足题意，
答：原计划单向开挖每天挖100米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形及分式方程的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．
10．（2023·上海黄浦·统考二模）已知，如图， 的半径为 ，半径 被弦 垂直平分，交点为 ，
点 在圆上，且 ．
(1)求弦 的长；
(2)求图中阴影部分面积（结果保留π）．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）连接 ，则 ，由线段垂直平分线性质得 ．进而由勾股定理得
，再由垂径定理即可求解；
（2）连接 ， ，先证 是等边三角形，再证 ，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，则 ，
∵弦 垂直平分 ，
∴ ．
在 中，
∵半径 垂直 ，
∴
∴ ；
（2）解：在 中， ，
∴ ．
连接 ， ，∵ ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴ ，
∵ ， ．
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，扇形面积的计算以及勾股定理关键
是由条件推出阴影的面积=扇形的面积．
11．（2023·上海徐汇·统考二模）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装
在离地面高度 厘米的A处，花洒 的长度为 厘米．
(1)已知花洒与墙面所成的角 ，求当花洒喷射出的水流 与花洒 成 的角时，水流喷射
到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号）
(2)某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为 元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价
格比上个月便宜 0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了 元，求这个此款花洒的原价是
多少元？
【答案】(1)
(2)120元【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，过点B作 于点E，构造出矩形ABHE， ，
然后解直角三角形求解，
（2）设此款花洒的原价是 元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元列分式方程即可求
解．
【详解】（1）解：过点 作 ，垂足为点 ，过 作 ，垂足为点 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中，
，
，
∴ ，，
在 中， ，
∴流喷射到地面的位置点C与墙面的距离 ，
（2）设此款花洒的原价是 元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，列方程得：
，
解得： ，
经检验： 是方程的解，答：这个此款花洒的原价是120元．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，熟记理解题意，明确每一个量的意义是解题
的关键．
12．（2023上海虹口二模）（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图8，在△ABC中，AB=5，AC= ，tan∠BAC=2．小明根据下列步骤作图：
①以点C为圆心，AC的长为半径作弧，交AC的延长线于点D；
②以点A为圆心，取定长a为半径作弧分别交∠BAC的两边于点M、N；
③以点D为圆心，a为半径作弧，交CD于点P；
④以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交前弧于点Q，联结DQ并延长交BC的延长线于点E．
（1）填空：
由作图步骤①可得CD=AC；
由作图步骤②③④可得 ▲ = ▲ ；
又因为∠ACB=∠DCE；
所以△ABC≌△DEC，理由是 ▲ ．
（2）联结AE，求tan∠EAD的值．
A
M N
E
B
C
图8
P Q
D
解：（1）∠CDE，∠CAB；A.S.A. ……………………………………………（2分，2分）
（2）过点E作EF⊥CD于点F，…………………………………………………（1分）
∵△ABC≌△DEC ∴ED=AB=5
∵∠BAC =∠CDE ∴tan∠CDE =tan∠BAC =2……………………………（1分）
∴cos∠CDE= sin∠CDE= …………………………………………（1分）
，
在Rt△EFD中， ，
……………………（2分）
∵CD=AC= ∴CF= ∴AF=
， ，
Rt△EAF中， .………………………………………（1分）
在13.（2023上海奉贤二模）22．（本题满分10分，每小题满分5分）
图7-1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图7-2是它
的示意图．经过测量，支架的立柱AB与地面垂直（∠BAC=90°），AB=2.7米，点A、C、M在同一水平线
上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB=33°，支撑杆DE⊥BC，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角
∠DBE=66°，又测得CE=2.2米．
（1）求该支架的边BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据: ， ， ， ， ， ）
D
支撑杆
立柱 B
斜杆
E
A
M C
图7-1 图7-2
（1）由题意得，∠BAC=90°，AB=2.7米，∠ACB=33°，∠DBE=66°，CE=2.2米，DE⊥BC．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ，
即 （米）．····································································（2分）
∴ （米）．··································································（1分）
在Rt△BED中，∠BED＝90°， ，
即 （米）．····································································（2分）
答：该支架的边BD的长7米．
（2）过点D作DH⊥AM，垂足为H，过点B作BF⊥DH，垂足为F．···························（1分）
∵BF//AM，∴∠FBC=∠ACB．
∵∠ACB=33°，∴∠FBC=33°．
∵∠DBE=66°，∴∠DBF=33°．····················································································（1分）
在Rt△DBF中，∠DFB＝90°， ，
即 （米）．·······················································（2分）
∵FH=AB=2.7（米），
∴ （米）．················································（1分）答：支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为6.5米．
14．（2023上海青浦）（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图6
所示．已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题．
（1）求参加篮球和足球运动的总人数；
（2）学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一
只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元．
请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？
篮球
乒乓球
40%
其它球类
足球
10%
图6
解：（1） （人）．······················································································（2分）
（人）．······························································（2分）
（2）设参加篮球运动的有x人，也就是购买了x只篮球．根据题意，得··········（1分）
．·····················································································（2分）
整理，得 ，解得 ．·························（1分）
检验 都是原方程的根，但 不符合题意，舍去.（1分）
足球人数： （人）．
答：参加篮球运动的学生有60人，参加足球运动的学生有40人. ·························（1分）
15.（2023上海普陀二模）
22. (本题满分10分，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分2分，第(3)小题满分4分)
购物节期间，A、B两家网店分别推出了促销活动，A店活动:当购买的商品总金额在
200元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过200元，超过200元的金额打a折，A店购物的实付
总金额y (元) 与商品总金额x (元)之间的函数关系如图8所示; B店活动:
所有商品直接打七折.
(1)当A店购买的商品总金额超过200元时，求出y与x之间的函数解析式;
(2)A店推出的促销活动中:a=__▲;
(3)某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现A店的单价要比B店的单价贵1元，
如果购买相同数量的优盘，在A店的实付总金额是800元，而在B店的实付总金额是819元请求出A店这
种型号优盘的单价.x 1
22．(1)y= +100 (2) (3)设A店这种型号优盘的单价为x，则B店为x-1，数量为n，
2 2
1 140
nx+100=800，解得nx=1400，0.7n(x-1)=819，解得n(x-1)=1170，解得n=230,x= .
2 23
16.（2023上海长宁二模）（本题满分10分）
为了测量某建筑物的高度 BE ，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为 i=1:2.4 的
斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为
E
30° ，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点 C 处，此时测 D C 得
A
B
建筑物顶端E的仰角为 60° ，建筑物底端B的俯角为 45° ，如图， 已
知点A、B、 C 、D、E在同一平面内，求建筑物 BE 的高度与 AD 的长.（参考数据：
√3≈1.732
）
