专题09二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型）原卷版_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 09 二次函数中线段周长最值及定值问题（八大题型） 通用的解题思路： 一、二次函数中的线段最值问题有三种形式: 1.平行于坐标轴的线段的最值问题:常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式,运用二次函数性质 求解，求最值时应注意: ①当线段平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标; ②当线段平行于x轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标.在确定最值时,函数自变量的取值范围应确 定正确。 2.两条线段和的最值问题:解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”,解决这类问题的方法是:作 其中一个定点关于已知直线的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,其变 形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线 段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这 类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 二、二次函数中的定值问题 一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用: 1.参数计算法:即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出， 然后消去参数即得定值。 2.韦达定理法:当涉及到直线(一次函数图象或x轴)与二次函数交点时，先联立方程消去y之后整理得到一元 二次方程，借助韦达定理可得到交点横坐标与参数的关系，可以将要求的定值代数式用交点横坐标的和或 积表示，往往会刚好抵消掉参数，则得到定值。 题型 01 利用二次函数解决单线段的最值问题 1．（2024·河南·一模）如图，抛物线 yax2bx4与 x 轴交于点A(2，0)和点B(4，0)，与 y轴交于点 C．(1)求抛物线的函数解析式； (2)点P为抛物线位于第一象限上一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点Q，求线段PQ的最 大值； (3)点M(2，8)，N(3，8)，将抛物线向上平移m个单位，若平移后的抛物线与线段MN只有一个公共点， 直接写出m的取值范围． 2．（2024·甘肃平凉·一模）如图，抛物线yax2bxc经过点A2,0，点B4,0，交y轴于点C0,4．连 接AC,BC.D为OB上的动点，过点D作EDx轴，交抛物线于点E，交BC于点G． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)过点E作EFBC，垂足为F ，设点D的坐标为m,0，请用含m的代数式表示线段EG的长，并求出 当m为何值时EG有最大值，最大值是多少？ (3)点D在运动过程中，是否存在一点G，使得以O,D,G为顶点的三角形与 AOC相似．若存在，请求出此  时点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 1 3 如图，二次函数y x2 x4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对 4 2 称轴与x轴交于点D，连接AC，作直线BC． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的表达式； (2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂 线，交直线BC于点M，N，试探究线段MN长的最大值； (3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线BQ与y轴交于点H，连接CD，在点Q运动的过程 中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与 ACD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不  存在，请说明理由．4．（2024·湖北襄阳·一模）抛物线yx22x3的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左边）交y轴于点 C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图1，若点P在第一象限内抛物线上运动，当PABACO时，求点P的坐标； (3)如图2，点N是经过点B的直线ym(x3)上一点，直线PN∥y轴，交直线BC于点M，过点P作直线 PQ∥x轴，交直线BC于点Q． ①当0m3时，求线段MN长度的最大值； ②记线段MQ的长度为l，当l2 2时，求m的取值范围．5．（2024·山西晋城·二模）综合与探究 如图，二次函数yax2bx2的图象与x轴交于A1,0，B4,0两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．P 是抛物线上第一象限内的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交BC于点E，过点P作直线PF∥AC，交 y轴于点F，交BC于点G，连接DF，过点C作CH PD于点H． (1)求二次函数的表达式，并直接写出直线BC的函数表达式． (2)求线段GE的最大值． (3)在点P运动的过程中，是否存在点F，使△DOF≌△CHE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在， 请说明理由．  3  3 6．（2024·天津南开·一模）抛物线y= - 2x2+ bx+ c与y轴交于点A0, 且过点Bm, 3m ，其中  2   2      3 m ，连接AB． 2 (1)当m 3时，求抛物线解析式和其顶点的坐标； (2)当b4 3时，若点M为抛物线y= - 2x2+ bx+ c上位于直线AB上方的一点，过点M作直线AB的垂线， 垂足为N．求MN的最大值和此时点M的坐标；  3  3 (3)已知点D0, 3m ，点Qn, ,n0，若点P在线段AB上，且BPn，连接DP，BQ，当DPBQ     2 2     的最小值为4 7时，直接写出此时b的值和点P的坐标．7．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(-1,0)，B两点，与y轴交于点 C(0,3)． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，PDBC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点（点M不与B重合），过点M作MN x轴于 N，是否存在点M，使 CMN为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2024·新疆巴音郭楞·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc经过A1,0，C0,3 两点，并与x轴交于另一点B． (1)求该抛物线所对应的函数关系式； (2)求点B坐标； (3)设Px,y是抛物线上的一个动点，过点P作直线l x轴于点M．交直线BC于点N． ①若点P在第一象限内，试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值； 若不存在，请说明理由； ②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰△BPC的面 积．9．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数yx2bxc经过A，B两点，BC x轴于点C，且点 A1，0，C4，0，ACBC． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF 的长度 最大时，求点E的坐标及S ； △ABF (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使 ABP成为直角三角形？若存在，求出所  有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·湖北恩施·一模）如图1，抛物线yax2bxc的顶点坐标为A1,2，与x轴交于点B(1,0)，C 两点，与y轴交于点D，点P是抛物线上的动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接AB、AC，判断 ABC的形状并说明理由．  (3)连接CD，若点P在第一象限，过点P作PECD于E，求线段PE长度的最大值； (4)已知ACBPCB，是否存在点P，使得tan2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说 明理由．1 11．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，二次函数y x2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 4 C．点B坐标为(6,0)，点C坐标为(0,3)，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴，垂 足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的表达式； (2)如图2，过点P作PF BC，垂足为F ，当m为何值时，PF最大？最大值是多少？ (3)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的 对称点O恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 12．（2024·安徽黄山·一模）已知抛物线y  ax2＋bx  c(a  0)与x轴交于A1,0，B(4,0)两点，经过点 D2,3，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若点M是x轴上位于点A与点B之间的一个动点（含点A与点B），过点M作x轴的垂线分别交抛物线 和直线BC于点E、点F．求线段EF 的最大值．13．（2024·天津·一模）抛物线yx2bxc（b，c为常数，c0）顶点为P，与x轴交于点A，B（点A 在点B左侧），与y轴交于点C，直线l过点C且平行于x轴，M 为第一象限内直线l上一动点，N 为线段 BC上一动点． (1)若b2，c3． ①求点P和点A，B的坐标； ②当点M 为直线l与抛物线的交点时，求MN的最小值； (2)若Bc,0，BNCM，且ONBM 的最小值等于4 3时，求b，c的值． 14．（2024·安徽·二模）如图1，抛物线yax2bxc(a0)的顶点D的坐标为(1,4)，与x轴交于A，B两 点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C(0,3)． (1)求抛物线的表达式及点A，点B的坐标； (2)如图2，连接AD交y轴于点E，过点E作EFAD交x轴于点F，连接DF交抛物线于点G，试求点G 的坐标； (3)如图3，连接AC，BC，点P是抛物线在第一象限内的点，过点P作PQ∥AC，交BC于点Q，当PQ 的长最大时，求点P的坐标．15．（2024·广东惠州·一模）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线ykx4与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点C，抛物线yx2bxc 经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图①，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当ACD2BAC时，求D点的坐标； (3)如图②，若F 是线段OA的上一个动点，过点F 作直线EF 垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、 E，连接CE．设点F 的横坐标为m． ①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与 AFG相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理  由．1 16．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y  x2  bx  c与x轴交于点A，B， 4 与y轴交于点C，其中B3,0，C0,3 ． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点 F ，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的△QEF 是等腰三角形的点Q的 坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．17．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B5,0两点，与y轴交于点C．直 线y  3x3过抛物线的顶点P． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线xm5m0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m的值和EF 的最大值； ②当 EFC是等腰三角形时，求点E的坐标． 18．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A6,0，与y轴交于点 B0,6，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x1． (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC x轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作 PM l，垂足为M．求PM 的最大值及此时P点的坐标．题型02 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题 19．（2024·山东枣庄·一模）已知抛物线yax2bx4与x轴交于A4,0，B1,0两点，与y轴交于点 C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将△ABD沿直线AD翻折，得到VABD，当点B 恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； (3)如图2，动点P在直线AC下方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点 E，F，过点F作FGx轴，垂足为G，求FG 2FP的最大值．20．（2024·广东广州·一模）如图所示，抛物线yx2bxc与直线AB交于A(4,4)，B(0,4)两点，点C 为线段AB上一动点，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D．． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点C运动到何处时，线段CD的长度有最大值； 5 (3)点E为直线CD上一动点，在（2）的条件下，当BE CE有最小值时，点E的坐标为______（直接写 5 出答案）．21．（2024·山东淄博·一模）如图，已知直线l:ykx4与抛物线yax2bx2交于点A,B1,3，且点A在x 轴上，P是y轴上一点，连接PA,PB． (1)求k,a,b的值； (2)当PAPB取得最小值时，求点P的坐标； (3)若直线xm交直线l于点C（点C在线段AB上，不与端点重合），交抛物线于点D，连接OC．设 wOC2CD，求w关于m的函数表达式，并求出w的最小值． 22．（2024·广东江门·一模）如图，已知抛物线yax2bx3(a0)，与x轴交于A(3,0)、B(9,0)两点，且与 y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使APCP的值最小?若存在，求出APCP的最小值；若不存在， 请说明理由； (3)在以AB为直径的圆中，直线CN 与  D相切于点N ，直线CN 交x轴于点M ，求直线CN 的解析式．1 23．（2024·重庆·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2bxc交x轴于A6，0， 3 B2，0， 交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2， 连接AC，点P是直线AC上方抛物线上的一动点， 过点 P作PE  y轴交AC于点E，过点P 13 作 PF∥AC交x轴于点 F， 求 PE PF的最大值及此时点P坐标； 13 (3)将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点 D，过点D作DM∥x轴交新抛物线于 点M，射线MO交新抛物线于点 N，如果MO4ON，请写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．24．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点（点 A在点B的左侧），与y轴交于点C，OBOC 5，顶点为D，对称轴交x轴于点E． 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标； (2)如图2，点Q为抛物线对称轴上一动点，当Q在什么位置时QAQC最小，求出Q点的坐标，并求出此 时△QAC的周长； (3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M，在对称轴右侧的抛物线上有一点N，满足MDN 90．求 证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．25．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已 知点A的坐标是1,0，抛物线的对称轴是直线x1． (1)直接写出点B的坐标； (2)在对称轴上找一点P，使PAPC的值最小．求点P的坐标和PAPC的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M ，过点M 作MN x轴，垂足为N ，连接BC交MN于点Q．依题意 补全图形，当MQ 2CQ的值最大时，求点M 的坐标． 26．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线yax2bxc过点A1,0，B3,0，C0,3． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证： PBC直角三角形；  ②求出 PBC的最大面积及此时点P的坐标；  ③过点P作PN x轴，垂足为N，PN 与BC交于点E．当PE 2CE的值最大时，求点P的坐标．27．（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线yx2bxc上的点A，C坐标分别为0,2， 4,0，抛物线与x轴负半轴交于点B，且OM 2，连接AC，CM ． (1)求点M的坐标及抛物线的解析式； (2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当S S 时，求点P的坐标； △PAC △ACM (3)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A，点C的对应点为点C，当MAMC 的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，MAMC的最小值为 ． 1 28．（2024·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线y x3xa与x轴交于A,B两点，点 4 B4,0．点C在y轴正半轴上，且OCOB，D,E分别是线段AC，AB上的动点（点D不与点A,C重合， 点E不与点A,B重合）． (1)求此抛物线的表达式； (2)连接BD． ①将△BCD沿x轴翻折得到 BFG，点C,D的对应点分别是点F 和点G，当点G在拋物线上时，求点G的  坐标； ②连接CE，当CD AE时，求BDCE的最小值．29．（2024·山东临沂·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3与x轴交于点A，B( 点A在点B的左侧)，交y轴于点C，点A的坐标为1,0，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点 E． (1)填空：a_________，点B的坐标是 _________； (2)连接BD，点M 是线段BD上一动点(点M 不与端点B，D重合)，过点M 作MN BD，交抛物线于点N( 点N 在对称轴的右侧)，过点N 作NH x轴，垂足为H，交BD于点F ，点P是线段OC上一动点，当  MNF 1 的周长取得最大值时，求FP PC的最小值； 2 1 2 3 (3)在(2)中，当  MNF的周长取得最大值时，FP PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移 个单 2 3 位得到点Q，连接AQ，把 AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度(0360)，得到 AOQ，其中边AQ   交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQOG？若存在，请直接写出所有满足条件的 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2024·天津滨海新·一模）已知抛物线yx22mxc（m，c为常数，且m0），与x轴交于点A(1,0)， B两点，与y轴相交于点C． (1)当m1时，求抛物线的顶点坐标； 1 (2)点M 为抛物线对称轴上一点，点M 的纵坐标为 ，若MBMC，求抛物线的解析式： 2 (3)当m 1时，抛物线的对称轴与x轴交于点D，过点P( 3m,1m)作直线l垂直于y轴，垂足为E，Q为 103 3 直线l上一动点，N 为线段CP上一动点，当DQQN 的最小值为 时，求m的值． 4 31．（2024·山东临沂·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax3与x轴交于点A，B（点 A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为1,0，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)填空：a＝_____，点B的坐标是______； (2)连接BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN BD，交抛物线于点N （点N在对称轴的右侧），过点N作NH x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当 MNF  1 的周长取得最大值时，求FP PC的最小值； 2 1 2 3 (3)在（2）中，当 MNF的周长取得最大值时，FP PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移 个  2 3 单位得到点Q，连接AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度0360，得到  AOQ，其中 边AQ交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQOG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 32．（2024·湖北·一模）如图1，抛物线y  x2  bx  c与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B0,3， 4 1 经过点C的直线ykx4k与抛物线y  x2  bx  c的另一个交点为M． 4 (1)直接写出b，c的值； (2)若MCAABO，求k的值； (3)若D为BC上的点，F为AC上的点，BDCF ，过点B作x轴的平行线交抛物线于点E，连接DE， BF，如图2，当DEBF取得最小值时，求点F的坐标．33．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线y ax2bxc的图象经过A(6,0)，B(2,0)，C(0,6)三 1 点，且一次函数ykx6的图象经过点B． (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点E，F 为平面内两点，若以E、F 、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F 的左侧．这样的 E，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线y ax2bxc的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y ，此抛物线的图象与x轴交于M ， 1 2 N 两点（M 点在N 点左侧）．点P是抛物线y 上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过 2 1 点P作PDNC于点D．求m为何值时，CD PD有最大值，最大值是多少？ 2 题型03 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题 34．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线L:yax24xc(a0)与直线yaxc都经过点A(1,m)，直线 yaxc与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)求证：a2c2 4； (3)当a1时，将抛物线L向左平移n(n0)个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， 且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求BM AN 的最大值，并求出此时n的值． 35．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点O0，0，A5，5，且它的对称轴为x2． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当  OAB的面积为15时；求点B的坐标． (3)在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，求P的坐标以及PAPB的最大值． 题型04 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题 36．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上， 抛物线yx2bxc经过点B，D4,5两点，且与直线DC交于另一点E． （1）求抛物线的解析式； （2）F 为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F ，E，B为顶点的四 边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME，BP．探究EM MPPB是 否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 37．（2024·天津河北·一模）已知抛物线yx²bxc，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 1 轴相交于点C，若C点坐标为0，2，对称轴为x ． 2 (1)求抛物线顶点P和点A的坐标； (2)点D为y轴上一点，连接AD，BD，若将△ABD沿AD所在直线翻折，点B的对应点B恰好落在抛物 线的对称轴上，求D点坐标； (3)抛物线上点M在直线yc上方，过M作AC的垂线交线段BC于点N，过N点向y轴作垂线，垂足为 Q，求CBMN2 2QN的最小值． 38．（2022·山东烟台·统考二模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线𝑦=― 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过A，𝐶(4,―5)两点，且与直线DC交于另一点E． (1)求抛物线的解析式： (2)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求𝐸𝑄+𝑃𝑄+𝐴𝑃的最小值； (3)N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若 存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型05 利用二次函数解决三角形周长的最值问题 39．（2024·江西·一模）已知关于x的二次函数yax2bxc的图象的对称轴是直线x1，其最大值是4， 经过点A1,4，交y轴于点B，请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作二次函数图象上的点P2,2； (2)在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使  ABQ的周长最短． 40．（2024·山东济宁·一模）如图，顶点坐标为1,4的抛物线yax2bxc与x轴交于A，B两点（点A在 点B的左边），与y轴交于点C0，3，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接AD交拋物线的对称轴于 点E．(1)求抛物线的解析式； (2)连接AC，当△ACE的周长最小时，求点D的坐标； (3)过点D作DH x轴于点H，交直线BC于点F ，连接AF．在点D运动过程中，是否存在使△ACF为等 腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2bxc的图象与x轴 交于点A2,0和点B6,0两点，与y轴交于点C0,6．点D为线段BC上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求△AOD周长的最小值； (3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA,PB，记 PAD与△PBD的面积和  为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．42．（2023·山东济宁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线yax2bx2与x轴交于A4,0和 B1,0，与y轴交于点C，连接AC，BC． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点M 为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M 作y轴的平行线，交AC于点N ，过点M 作 x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值； (3)点P为抛物线上的一动点，是否存在点P使ACPBAC 45？若存在，请求出点P的坐标；若不存 在，请说明理由．43．（2024·山东滨州·一模）在平面直角坐标系中，直线y  x 2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛 物线yax2bxca0经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C． (1)求a，b满足的关系式及c的值； 1 (2)当a 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求 ABP周长的最小值  4 (3)当a1时，若点Qm,n是直线AB下方抛物线上的一个动点，当m取何值时，  ABQ的面积最大？并求 出 ABQ面积的最大值．  44．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bx2与x轴交于点A1,0， 点B4,0，与y轴交于点C，连接AC，BC． (1)求抛物线的解析式． (2)点D为抛物线的对称轴上一动点，当 ACD周长最小时，求点D的坐标． (3)点E是OC的中点，射线AE交抛物线于点F ，P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交射线AF 与点G，是否存在点P使得△PFG与△AOE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（2024·山西晋中·一模）综合与探究 如图1，抛物线 yax2bx 3与x轴交于A3，0，B1，0两点，与y轴交于点C，顶点为点D．连接 AC，BC，将 ABC沿x轴向右平移 mm0个单位长度，得到 ABC．   (1)求抛物线的函数表达式与顶点D的坐标． (2)如图2，连接AC，AD，CD，当 △ACD周长最短时，求m的值． (3)如图3，设边BC与边AC交于点E，连接BE，是否存在m，使得BE与 ABE的一边相等?若存在，  直接写出m的值；若不存在，请说明理由．46．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc（a,c是常数）经过A0,3、 B3,0两点．点P为抛物线上一点，且点P的横坐标为m． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)点C为抛物线对称轴上一点，连结AC,OC，求 AOC周长的最小值；  (3)已知点Q4m,m1，连结PQ，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形各边直于坐标轴． ①抛物线在矩形内的部分图象y随x增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； ②连结BQ，设BQ的中点为D，当以P、D、Q为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出m的取值范 围．47．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx4a0与x轴交 于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为1,0，且OCOB，点D和点C关 于抛物线的对称轴对称． (1)分别求出a，b的值和直线AD的解析式； (2)直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH  AD于点H，作PM 平行于y轴交直线AD于点M ， 交x轴于点E，求 PHM 的周长的最大值；  (3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NGx轴 交x轴于点G，使得以点E、N 、G为顶点的三角形与 AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标；  如果不存在，请说明理由．48．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2过点1,3，且交x轴于点 A1,0，B两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PDBC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于 点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移 5个单位长度，点M为平 移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写 出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 题型06 利用二次函数解决四边形周长的最值问题 49．（2024·四川凉山·模拟预测）如图，抛物线yx2bxc的图象与x轴交于A3,0、B两点，与y轴 交于点C0,3． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若点E在抛物线上，且S S ，求点E的坐标； △EOC △ABC (3)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PM x轴于点M ，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q， 过点Q作QN x轴于点N ．设点P的横坐标为点m，请用含m的代数式表示矩形PQNM 的周长，并求矩 形PQNM 周长的最大值． 50．（2022·广西柳州·中考真题）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y 轴交于点C（0，5）． (1)求b，c，m的值； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交 抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最 大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一 点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．51．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+5与x轴交于𝐴 (―1,0)，𝐵(5,0)两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P是位于直线𝐵𝐶上方抛物线上的一个动点，求△𝐵𝑃𝐶面积的最大值； (3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标； (4)若点E为抛物线的顶点，点𝐹(3,𝑎)是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N 使四边形𝐸𝐹𝑀𝑁的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．52．（2022·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+3(𝑎≠0)的图像与𝑦轴交于点𝐶，与𝑥 (9 ) 轴交于点𝐴(1,0)、𝐵 ,0 ． 2 (1)求𝑎、𝑏的值； (2)𝑃是二次函数图像在第一象限部分上一点，且∠𝑃𝐴𝐵=∠𝑂𝐶𝐴，求𝑃点坐标； (3)在（2）的条件下，有一条长度为1的线段𝐸𝐹落在𝑂𝐴上（𝐸与点𝑂重合，𝐹与点𝐴重合），将线段𝐸𝐹沿𝑥轴正 6 方向以每秒 个单位向右平移，设移动时间为𝑡秒，当四边形𝐶𝐸𝐹𝑃周长最小时，求𝑡的值． 1353．（2022·安徽六安·校考一模）如图，直线AB∶y=x-3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c 经过点A，B，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与直线AB交于点N，顶点为C (1)求抛物线的解析式； (2)点M在线段BN上运动，过点M作线段EF平行于y 轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作FG⊥CD 于点G； ①若设E（t，0），试用含t的式子表示 DE的长度； ②试求四边形 EFGD的周长取得最大值． 题型07 利用二次函数解决线段比最值问题 54．（2024·山西太原·三模）综合与探究 如图1，经过原点O的抛物线y2x28x与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已 知点B的横坐标为1，点M为抛物线上一动点．(1)求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式． (2)如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线OM 交直线l于点C，设点M的横坐标为m， MC 求 的最大值． OC (3)如图3，连接OB，抛物线上是否存在一点M，使得MOABAO，若存在，请直接写出点M的坐标； 若不存在，请说明理由． 55．（2024·山东济南·一模）如图，抛物线yax23ax4a的图象经过点C0,2，交x轴于点A，B (点A在 点B左侧)，连接BC直线ykx1k 0与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E与BC交于点F． (1)求抛物线的解析式； EF (2) 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． DF (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得 BCO中有一个锐角与PCF 相等？若存在，求点P得横坐 标，若不存在，请说明理由． 56．（2024·四川广元·二模）如图1，二次函数yax²bxc的图象与x轴交于点．A1,0，B3,0，与y 轴交于点C0,3. (1)求二次函数的解析式． (2)点P为抛物线上一动点． OE ①如图2，连接BC，若点P在直线BC下方的抛物线上，连接OP，与BC交于点E，求 的最小值； PE 1 ②如图3，过点C作x轴的平行线与抛物线交于另一点D，连接BD，当S  S 时，求点P的坐 VDBC 3 VPBC 标．57．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线yax2bxca0与x轴交于A2,0，B6,0两点，与y轴交 于点C0,3． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在点D，使△BCD是以BC直角边的直角三角形？若存在，请求出点D的坐 标；若不存在，请说明理由． PM (3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M ，当 最大时，请直接写出点P的坐 AM 标． 题型08 利用二次函数解决线段定值问题 58．（2024·山东济宁·一模）如图1，已知二次函数 yax²bxc(a、b、c为常数，且a≠0)的图象，与x 轴交于A(1,0)，B(3,0)，两点，与y轴交于点C0,3，已知点 P为该抛物线在第一象限内的一动点，设 其横坐标为m．(1)求该二次函数的表达式； (2)连接BC，过点P作PQx轴于点Q，交BC于点N ，直线AP交y轴于点M ，连接MN．设四边形MNQO 的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值； (3)如图2，若直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点H，直线AP，BP分别交直线l于点E、F ．在 点P运动的过程中，HFHE是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 59．（2024·天津和平·一模）已知抛物线C ：yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的顶点为P1,4， 1 与x轴相交于点A(1,0)和点B，与y轴相交于点C，抛物线C 上的点P的横坐标为t． 1 (1)求点B和点C坐标； (2)若点P在直线BC下方的抛物线C 上，过点P作PEx轴，PF  y轴，分别与直线BC相交于点E和点F ， 1 当EF 取得最大值时，求点P的坐标； (3)抛物线C ：ymx22mx1（m是常数，m0）经过点A，若点P在x轴下方的抛物线C 上运动，过 2 1 HP 点P作PDx于点D，与抛物线C 相交于点H，在点P运动过程中 的比值是否为一个定值?如果是， 2 DH 请求出此定值；如果不是，请说明理由．60．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数y2 x24 x 的图象和性质，探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下 5 3 1 1 3 5 x L  2  1  0 1 2 L 2 2 2 2 2 2 5 3 3 3 3 5 y L  0 m 0 2 0  L 2 2 2 2 2 2 其中，m________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分， 请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质； (2)点F 是函数y2 x24 x 图象上的一动点，点A2,0，点B2,0 ，当S 3时，请直接写出所有 △FAB 满足条件的点F 的坐标； (3)在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y2x24x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q1,0关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M ，N 两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM 与PN 的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请 说明理由．